Razlika kvadrata
Izvedimo formulu za razliku kvadrata $ a ^ 2-b ^ 2 $.
Da biste to učinili, zapamtite sljedeće pravilo:
Ako izrazu dodamo bilo koji monom i oduzmemo isti monom, tada ćemo dobiti ispravan identitet.
Dodajte našem izrazu i oduzmite od njega monom $ ab $:
Ukupno, dobivamo:
To jest, razlika između kvadrata dvaju monoma jednaka je umnošku njihove razlike na njihov zbroj.
Primjer 1
Predstavite kao proizvod $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $
\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 = ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \]
\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 = \ lijevo (2x-y \ desno) (2x + y) \]
Izvodimo formulu za zbroj kocki $ a ^ 3 + b ^ 3 $.
Izdvojite uobičajene čimbenike:
Izvadimo $ \ lijevo (a + b \ desno) $ izvan zagrada:
Ukupno, dobivamo:
To jest, zbroj kocki dvaju monoma jednak je umnošku njihovog zbroja po nepotpuni kvadrat njihove razlike.
Primjer 2
Predstavite kao proizvod $ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $
Ovaj izraz se može prepisati na sljedeći način:
\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 = ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \]
Koristeći formulu za razliku kvadrata, dobivamo:
\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 = \ lijevo (2x + y \ desno) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \]
Izvedimo formulu za razliku kocki $ a ^ 3-b ^ 3 $.
Za to ćemo koristiti isto pravilo kao gore.
Dodajte našem izrazu i oduzmite od njega monome $ a ^ 2b \ i \ (ab) ^ 2 $:
Izdvojite uobičajene čimbenike:
Izvadimo $ \ lijevo (a-b \ desno) $ izvan zagrada:
Ukupno, dobivamo:
To jest, razlika između kocki dvaju monoma jednaka je umnošku njihove razlike nepotpunim kvadratom njihovog zbroja.
Primjer 3
Predstavite kao proizvod $ (8x) ^ 3-y ^ 3 $
Ovaj izraz se može prepisati na sljedeći način:
\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 = ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \]
Koristeći formulu za razliku kvadrata, dobivamo:
\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 = \ lijevo (2x-y \ desno) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \]
Primjer 4
Faktor.
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $
Riješenje:
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
\ [(((a + 5)) ^ 2-9 = (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \]
Primjenom formule za razliku kvadrata dobivamo:
\ [((a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 = \ lijevo (a + 5-3 \ desno) \ lijevo (a + 5 + 3 \ desno) = \ lijevo (a + 2 \ desno) (a +8) \]
Zapišimo ovaj izraz u obliku:
Primijenimo formulu kuma kocke:
c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $
Zapišimo ovaj izraz u obliku:
\ [- x ^ 3 + \ frac (1) (27) = (\ lijevo (\ frac (1) (3) \ desno)) ^ 3-x ^ 3 \]
Primijenimo formulu kuma kocke:
\ [(\ lijevo (\ frac (1) (3) \ desno)) ^ 3-x ^ 3 = \ lijevo (\ frac (1) (3) -x \ desno) \ lijevo (\ frac (1) ( 9) + \ frac (x) (3) + x ^ 2 \ desno) \]
U prethodnim lekcijama pogledali smo dva načina da se polinom faktori u faktore: zagrade i grupiranje.
U ovoj lekciji ćemo pogledati još jedan način faktorizacije polinoma korištenjem skraćenih formula za množenje.
Preporučujemo propisivanje svake formule najmanje 12 puta. Za bolje pamćenje napišite sve formule za skraćeno množenje za sebe na malu varalicu.
Prisjetimo se kako izgleda formula za razliku kocki.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)Formulu za razliku među kockama nije baš lako zapamtiti, stoga preporučujemo korištenje posebnog načina za pamćenje.
Važno je razumjeti da bilo koja formula za skraćeno množenje također funkcionira obrnuta strana.
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3Pogledajmo primjer. Potrebno je faktorirati razliku među kockama.
Imajte na umu da je "27a 3" "(3a) 3", što znači da za formulu za razliku između kocki, umjesto "a" koristimo "3a".
Koristimo formulu za razliku kocki. Na mjestu "a 3" imamo "27a 3", a na mjestu "b 3", kao u formuli, nalazi se "b 3".
Pogledajmo još jedan primjer. Umnožak polinoma želite pretvoriti u razliku kocki koristeći skraćenu formulu za množenje.
Imajte na umu da proizvod polinoma "(x - 1) (x 2 + x + 1)" podsjeća na desnu stranu formule za razliku između kocki "", samo umjesto "a" nalazi se "x", a umjesto toga od "b" postoji "1" ...
Za "(x - 1) (x 2 + x + 1)" koristimo formulu za razliku kocki u suprotnom smjeru.
Pogledajmo kompliciraniji primjer. Potrebno je pojednostaviti umnožak polinoma.
Ako usporedimo "(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)" s desnom stranom formule razlike kocke
« a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)", Tada možete razumjeti da je na mjestu" a "iz prve zagrade" y 2, a na mjestu "b" je "1".
Formule ili skraćena pravila množenja koriste se u aritmetici, odnosno u algebri, za brži proces izračunavanja velikih algebarskih izraza. Same formule su izvedene iz pravila koja postoje u algebri za množenje nekoliko polinoma.
Korištenje ovih formula pruža prilično brzo rješenje za razne matematički problemi a također pomaže u pojednostavljenju izraza. Algebarska pravila transformacije omogućuju vam da izvršite neke manipulacije s izrazima, slijedeći koje možete dobiti izraz s lijeve strane jednakosti na desnoj strani, ili transformirati desnu stranu jednakosti (da biste dobili izraz s lijeve strane nakon znak jednakosti).
Zgodno je znati formule koje se koriste za smanjeno množenje po pamćenju, budući da se često koriste u rješavanju zadataka i jednadžbi. Ispod su glavne formule uključene u ovaj popis i njihov naziv.
Zbroj na kvadrat
Da biste izračunali kvadrat zbroja, trebate pronaći zbroj koji se sastoji od kvadrata prvog člana, dvostrukog umnoška prvog člana i drugog i kvadrata drugog. Kao izraz, ovo pravilo je zapisano na sljedeći način: (a + c) ² = a² + 2ac + c².
Razlika na kvadrat
Da biste izračunali kvadrat razlike, morate izračunati zbroj koji se sastoji od kvadrata prvog broja, dvostrukog umnoška prvog broja na drugi (uzet s suprotnim predznakom) i kvadrata drugog broja. Kao izraz, ovo pravilo izgleda ovako: (a - c) ² = a² - 2ac + c².
Razlika kvadrata
Formula za razliku između dva broja na kvadrat jednaka je umnošku zbroja tih brojeva s njihovom razlikom. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a² - c² = (a + c) · (a - c).
Zbroj kocke
Za izračunavanje kocke zbroja dva člana potrebno je izračunati zbroj koji se sastoji od kocke prvog člana, trostrukog umnoška kvadrata prvog člana i drugog, trostrukog umnoška prvog člana i drugog člana. na kvadrat, kao i kocka drugog člana. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a + c) ³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Zbroj kocki
Prema formuli, izjednačen je s umnoškom zbroja ovih članova njihovim nepotpunim kvadratom razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a³ + c³ = (a + c) · (a² - ac + c²).
Primjer. Potrebno je izračunati volumen figure, koji se formira dodavanjem dvije kocke. Poznate su samo veličine njihovih strana.
Ako su bočne vrijednosti male, onda su izračuni laki.
Ako su duljine stranica izražene glomaznim brojevima, tada je u ovom slučaju lakše primijeniti formulu "Zbroj kocki", što će uvelike pojednostaviti izračune.
Kocka razlike
Izraz za kubičnu razliku je sljedeći: kao zbroj trećeg stupnja prvog člana, utrostručite negativni umnožak kvadrata prvog člana s drugim, utrostručite umnožak prvog člana s kvadratom drugog , i negativnu kocku drugog člana. U obliku matematičkog izraza, kocka razlike izgleda ovako: (a - c) ³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Razlika kockica
Formula za razliku između kocki razlikuje se od zbroja kocaka samo u jednom znaku. Dakle, razlika između kocki je formula jednaka umnošku razlike tih brojeva s njihovim nepotpunim kvadratom zbroja. U obliku, razlika kockica izgleda ovako: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Primjer. Potrebno je izračunati volumen figure koji će ostati nakon oduzimanja volumetrijske figure od volumena plave kocke žuta boja koji je također kocka. Poznata je samo veličina stranice male i velike kocke.
Ako su bočne vrijednosti male, onda su izračuni prilično jednostavni. A ako su duljine stranica izražene značajnim brojevima, onda je vrijedno upotrijebiti formulu pod nazivom "Kocke razlike" (ili "Kocka razlike"), što će uvelike pojednostaviti izračune.
Skraćene formule za množenje.
Proučavanje formula za skraćeno množenje: kvadrat zbroja i kvadrat razlike dvaju izraza; razlika kvadrata dvaju izraza; kocka zbroja i kocka razlike dvaju izraza; zbroj i razlika kocaka dvaju izraza.
Primjena skraćenih formula za množenje pri rješavanju primjera.
Za pojednostavljenje izraza, faktorizaciju polinoma i dovođenje polinoma u standardni oblik, koriste se skraćene formule za množenje. Formule za skraćeno množenje potrebno je znati napamet.
Neka a, b R. Tada:
1. Kvadrat zbroja dvaju izraza je kvadrat prvog izraza plus dvostruki umnožak prvog izraza na drugi plus kvadrat drugog izraza.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Razlika na kvadrat dva izraza je kvadrat prvog izraza minus dvostruki umnožak prvog izraza s drugim plus kvadrat drugog izraza.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Razlika kvadrata dva izraza jednaka je umnošku razlike ovih izraza i njihovog zbroja.
a 2 - b 2 = (a -b) (a + b)
4. Zbroj kocke od dva izraza jednaka je kocki prvog izraza plus tri puta kvadratu prvog izraza i drugom plus tri puta umnošku prvog izraza i kvadratu drugog plus kocki drugog izraza.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Kocka razlike dva izraza jednaka su kocki prvog izraza minus tri puta kvadratu prvog izraza i drugom plus tri puta umnošku prvog izraza i kvadratu drugog minus kocki drugog izraza.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Zbroj kocki dva izraza jednak je umnošku zbroja prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom razlike tih izraza.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Razlika kockica dva izraza jednak je umnošku razlike prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom zbroja tih izraza.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Primjena skraćenih formula za množenje pri rješavanju primjera.
Primjer 1.
Izračunati
a) Koristeći formulu za kvadrat zbroja dvaju izraza, imamo
(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Koristeći formulu za kvadrat razlike dvaju izraza, dobivamo
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604
Primjer 2.
Izračunati
Koristeći formulu za razliku između kvadrata dvaju izraza, dobivamo
Primjer 3.
Pojednostavite izražavanje
(x - y) 2 + (x + y) 2
Koristimo formule za kvadrat zbroja i kvadrat razlike dvaju izraza
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Skraćene formule za množenje u jednoj tablici:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
