a) Izrežite proizvoljni trokut u nekoliko komada tako da se pravokutnik može presaviti od njih.
b) Izrežite proizvoljni pravokutnik na nekoliko komada tako da se kvadrat može presaviti.
c) izrezati dva proizvoljna kvadrata u nekoliko komada tako da se može preklopiti jedan veliki kvadrat.
b) Prvo, čine takav pravokutnik iz proizvoljnog pravokutnika, omjer glavne strane ne prelazi četiri.
c) Koristite teoremu Pitagore.
a) povucite visinu ili prosječnu liniju.
b) Provjerite pravokutnik na kvadrat, koji bi se trebao pokazati i povući "dijagonalno".
c) primijeniti kvadrate jedni drugima, na strani većeg trga, izmjerite segment jednak duljini manjeg kvadrata, zatim ga spojite s "suprotnim" vrhovima svakog kvadrata (vidi sl. 1).
a) neka dobije proizvoljan trokut Abc, Izrežite srednju liniju Mn. Paralelna strana Abiu rezultirajućem trokutu Cmn. Spustite visinu CD, Osim toga, smanjio se izravno Mn. Permikular Ak i BL., Tada je lako vidjeti to δ Akm. = ∆CDM. i δ. BLN. = ∆CDN. Kao pravokutni trokuti, koji su jednaki odgovarajućim par zabava i kutova za pare.
Stoga metoda rezanja ovog trokuta i naknadnih pomicanja komada. To je, nacrtat ćemo rezove po segmentima Mn. i CD, Nakon toga, stavite trokute CDM. i CDN. umjesto trokuta Akm. i BLN. Prema tome, kao što je prikazano na Sl. 2. Imamo pravokutnik AKLB.Baš kao što je potrebno u zadatku.
Imajte na umu da ova metoda neće raditi ako je jedan od uglova Taksi. ili Cba. - glupo. To je zbog činjenice da je u ovom slučaju visine CD ne leži u trokutu Cmn., Ali to nije previše zastrašujuće: ako provedete srednju liniju paralelno najdulje strane izvornog trokuta, tada ćemo smanjiti trokut koji će smanjiti visinu glupog kuta, i to će definitivno ležati unutar trokuta.
b) neka dati pravokutnik ABCD.čije asges OGLAS i Ab jednak a. i b. Prema tome, i a. > b., Onda je kvadrat trga koji želimo doći na kraj treba biti jednak ab, Prema tome, duljina strane kvadrata je √ abŠto je manje od OGLASali više od Ab.
Izgradimo kvadrat Apqr.jednaka željenom, tako da je točka B. leži na rez AP.i pokažite R. - na rez OGLAS, Neka biti Pd. Segmenti prijelaza PRIJE KRISTA. i QR Na točkama M. i N. odnosno. Onda je lako vidjeti taj trokuti Pbm., Pad i NRD. kao i osim toga Bp. = (√ab – b.) I. Rd. = (a. – √ab). To znači
Prema tome, δ. Pbm. = ∆NRD. Na dvije strane i kut između njih. Također odavde lako je povući jednakost Pq. = Mc. i NQ. = CDTako, δ Pqn. = ∆MCD. Također na dvije strane i kut između njih.
Od svih gore navedenih razmišljanja slijedi način rezanja. To je, najprije odgodimo sa strane OGLAS i PRIJE KRISTA. Segmenti Ar i Cm., čije su duljine jednake. ab (o tome kako izgraditi segmente obrasca √ abZa zadatak "Pravi poligoni" - umetnite u odjeljak "Odluka"). Zatim se vraćamo okomito na segment OGLAS U točki R., Sada samo izrezati trokute MCD. i NRD. I prebacivanje ih kao što je prikazano na Sl. 3.
Imajte na umu da će se ova metoda koristiti, potrebno je poduzeti točku M. Ispalo se u segmentu Bk. (inače ne cijeli trokut NRD.spojen unutar pravokutnika ABCD.). Koje je potrebno
Ako se to stanje ne izvodi, prvo morate učiniti da je ovaj pravokutnik širi i manje dugo. Da biste to učinili, dovoljno je smanjiti na pola i pomicati dijelove kao što je prikazano na Sl. 4. Jasno je da će nakon tog rada omjera glavne strane na manji smanjiti četiri puta. Dakle, trošite joj dosta vremena, na kraju dobivamo pravokutnik, na koji rezanje s rižom. 3.
c) Razmotrite dva kvadratna podataka ABCD. i Dpqr., pričvršćujući ih jedni drugima tako da se sijeku na strani CD manji kvadrat i imao je ukupni vrh D., Pretpostavljamo to Pd. = a. i Ab = b., štoviše, kao što smo već primijetili, a. > b., Zatim strana Dr veći kvadrat može se smatrati takvom točkom M., što Gospodin = Ab, Prema Teoremu Pitagore.
Neka izravno prolazi kroz točke B. i P: Paralelno izravno Mq. i Bm. Prema tome, presjeći se na točki N., Zatim četverokutni Bmqn. je paralelogram, a budući da je sve stranke jednake, onda je to romb. Ali ... Bam = ∆Mrtq. Prema trima stranke, odakle slijedi (s obzirom na to da kutovi Bam i Mrtq. ravno) to. Na ovaj način, Bmqn. - kvadrat. I budući da je njezino područje jednako ( a. 2 + b. 2), onda je to trg koji trebamo dobiti.
Kako bi se nastavio smanjiti, ostaje primijetiti da Δ Bam = ∆Mrtq. = ∆Bcn. = ∆NPQ., Nakon toga, što treba učiniti postaje očito: potrebno je smanjiti trokute Bam i Mrtq. I prebacivanje ih kao što je prikazano na Sl. pet.
Usporavanje ponuđenih zadataka, čitatelj, sasvim je moguće, razmišlja o takvom pitanju: i kada se jedan poligon može izrezati s ravnim linijama do konačnog broja takvih dijelova, od kojih se razvija drugi poligon? Lagano razmišljanje, to će shvatiti da je barem potrebno da je područje tih poligona jednaki. Dakle, pitanje se pretvara u sljedeće: je li istina da ako dva poligona imaju istu površinu, onda se jedan od njih može izrezati na komade, od kojih se drugi razvija (ovo svojstvo dvaju poligona naziva se ekvivalent)? Ispada da je to istina, a to nam govori teorem Boyii-Gervina, dokazano 1930-ih XIX stoljeća. Točnije, njegova se teksta čini.
Boiii-Guerin Teorem. Dva poligona arometrična ako i samo ako su ekvivalentni.
Ideja dokaza o ovom prekrasnom rezultatu je kako slijedi. Prvo, nećemo dokazati odobrenje teorema, ali činjenica da je svaki od dva podataka jednak poligonima može se izrezati na komade iz kojih je kvadrat istog područja presavijen. Da biste to učinili, prvo razbijamo svaku od poligona na trokutima (takva se particija zove tričarka). A onda će se svaki trokut pretvoriti u kvadrat (na primjer, uz pomoć postupka opisanog u stavcima A) i b) ovog zadatka). Ostaje da se presavije iz velikog broja malih kvadrata jedan veliki - možemo to učiniti zahvaljujući točki b).
Slično pitanje za polihedru jedno je od poznatih problema Davida Hilberta (trećeg), podvrgnuti im u izvješću na Međunarodnom kongresu matematike u Parizu 1900. godine. Značajno je da se odgovor na njega ispostavilo da je negativan. Već s obzirom na dva takva jednostavna polihedra, kao kocka i ispravan tetrahedron, pokazuje da se nitko od njih ne ispostavi da se izreže u konačni broj dijelova tako da je drugi različit. A to nije slučajno - jednostavno ne postoji.
Odluka trećeg problema Hilberta dobila je jedan od njegovih studenata - max den - već 1901. godine. Den je pronašla invarijantnu vrijednost koja se nije promijenila prilikom rezanja polihedra na komade i sklopivši od njih nove figure. Međutim, ta je vrijednost bila drugačija za neke poliedra (posebno, kuba i ispravan tetrahedron). Potonja okolnost izričito ukazuje na činjenicu da ta polihedra nisu ekvivalentni.
Zadatak 1: Pravokutnik, čije se strane izražavaju cijeli brojevi mogu se rezati na likovima oblika (strana stanice na slici jednaka je jednom). Dokazati da se može rezati na 1 × 5 pravokutnika.
(D. ~ Karpov)
Odluka: Područje ovog pravokutnika podijeljeno je s fokusom na područje navedene figure, to jest, do 5. Područje pravokutnika jednak je proizvodu duljina strana. Budući da su duljine stranaka cijeli brojevi, a 5 - jednostavan broj, onda je duljina jedne od stranaka trebala biti podijeljena s 5. Podijelimo ovu stranu i suprotnu duljinu 5, a ostale dvije strane - na duljini duljine 1, zatim spojite odgovarajuće točke na suprotnim stranama ravnim linijama. Zadatak 2: Odlučite u sustavu stvarnih brojeva jednadžbi(A. ~ Khrabrov)
Odluka: Odgovor: Sustav ima jedno rješenje: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d 0. Nakon što je presavijena dva jednadžba sustava, dobivamo jednadžbu 8a² + 9b² + 7c² + 4d² \u003d 16AB + 8CD iz nejednakosti 2Ab ≤ a² + b² i 2CD ≤ C² + D² bi trebao biti da je desna strana ove jednadžbe ne više odlijevo, a jednakost se može postići samo ako je B \u003d 0, c \u003d 0, a \u003d b i c \u003d d. To znači da je jedino moguće rješenje ovog sustava a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d 0.Druga opcija je riješena na sličan način.
Zadatak 3: U ABCD Rombe na stranama AB i BC, respektivno, uzete točke E i F, kao što je CF / BF \u003d BF \u003d BE \u003d 1994. Pokazalo se da je de \u003d df. Pronađite kut EDF-a.
Iz stanja problema (u obje opcije) slijedi da je \u003d usp. Odgodit ću na ab strani AK, jednako je. ADK i CDF trokuti jednaki su dvije strane i kut (ad \u003d CD, AK \u003d CF, ∠ DAK \u003d ∠ DCF). Dakle, DK \u003d DF \u003d de, to jest, DKE trokut je izazov. Posebno, kutovi DKE i DEK su jednaki kada se temelji. Prema tome, ADK i BDE trokuti su jednaki (na dvije strane i kut: AK \u003d BE, DK \u003d DE, ∠ DKA \u003d ∠ DEB). Stoga je ad \u003d BD, tj. ABD trokut je jednakostraničan. Prema tome, ∠ loše \u003d 60, ∠ abc \u003d 120.
(A. ~ Khrabrov)
Odluka: Neka momčad i pobijediti tim B u utakmici s takvim pravilima (možda, osiguravajući njegovu pobjedu prije rasporeda). To znači da s bilo kojim ishodom preostalih (izazivanja) kazne, rezultat tima bi bio veći od B. Timovi zamisliti da su timovi nastavili provaliti kaznu nakon završetka utakmice i udarila sve preostale kazne i tim i nije ništa postigao još loptu i tim nikada ne bi više propustio. U isto vrijeme, ukupan broj postignutih golova i još uvijek će biti veći od onih postignutih b (to je upravo ono što riječi "Panchcheir pobjeda" znači). Koliko može biti više? Samo na 1 ili na 2. Doista, ako je razlika bila više od dvije, pobjeda tima bi bila neizbježna i ranije, prije razbijanja posljednje ploče kazne.Zatim napominjemo da se s nastavkom utakmice na vratima došla je točno polovica svih udaraca. Dakle, i od svih 129 pari šokova na vratima dobio je točno pola, to jest, točno 129. Ovih 129 golova podijeljeno je između A i B tako da je na 1 ili još 2. Ovo jedinstveno određuje broj golova koje je postiglo tim A - 65.
Zadatak 5: Odlučite jednadžbu u prirodnim brojevima:(D. ~ Karpov)
Odluka: Ova jednadžba ima jedno rješenje: x \u003d 2, y \u003d 1, z \u003d 2 (u obje opcije). Činjenica da je rješenje slijedi iz općeg identiteta A² + (2A + 1) \u003d (A + 1) ² ², koristi se u prvoj izvedbi na \u003d 105, au drugom - na \u003d 201,Nema drugih rješenja, jer ako je Z\u003e 2, tada je desna strana jednadžbe podijeljena na 8, a lijevo - ne, budući da 105 x može dati samo ostatak 1, i 211 y biti 0 samo - samo ostaci 1 i 3. ostaje da se primjećuju, da na Z \u003d 1 otopinama također nije, i na Z \u003d 2, vrijednosti Y \u003d 1 i X \u003d 2 su jedinstveno definirane.
U niminaciji tutora u matematici i učiteljima raznih izbornih i krugova, nudi se izbor zabavnih i razvoja geometrijskih problema za rezanje. Svrha korištenja takvih zadataka za korištenje takvih zadataka u svojim razredima ne samo da zanimaju učenika u zanimljivim i učinkovitim kombinacijama stanica i brojki, već i da se formira osjećaj linija, kutova i oblika. Zadatak se uglavnom orijentira na djecu od 4-6 razreda, iako njegova uporaba nije isključena čak ni sa srednjoškolskim studentima. Vježbe zahtijevaju učenike s visokim i uređajem koncentracije i dobro su prikladne za razvoj i obuku vizualne memorije. Preporuča se za matematičke tutore koji se bave pripremom studenata u uvodne ispite u matematičkim školama i razredima koji čine posebne zahtjeve za razinu neovisnog razmišljanja i kreativnih sposobnosti djeteta. Razina zadataka odgovara razini uvodnog olimpijada u Lyceum "drugoj školi" (druga matematička škola), Muški Mehmat MSU, Kurchatov škola, itd.
Napomena Tutor u matematici:
U nekim rješenjima za zadatke koje možete vidjeti kako biste kliknuli na odgovarajući pokazivač, specificirano je samo jedan od mogućih uzoraka rezanja. Potpuno priznajem da možete dobiti neku drugu vjernu kombinaciju - ne morate se bojati toga. Pažljivo provjerite rješenje sapuna i ako zadovoljava stanje, zatim hrabro preuzme sljedeći zadatak.
1) Pokušajte smanjiti brojku od 3 jednake na slici na slici:
: Male brojke su vrlo slične slovom t
2) izrezati sada ova brojka na 4 jednaka u obliku dijela:
Savjet matematike: Lako je pogoditi da će se male brojke sastojati od 3 ćelija, a tri osobe nisu toliko. Postoje samo dvije vrste: kutak i 1 × 3 pravokutnik.
3) Izrežite ovu brojku na 5 jednaku u obliku dijelova:
Pronađite broj stanica iz koje se svaka takva slika sastoji. Ove brojke su slične slovom G.
4) A sada morate smanjiti lik deset stanica do 4 nejednak Prijatelja pravokutnika (ili kvadratnog).
Indikacija učitelja iz matematike: Označite neki pravokutnik, a zatim u preostalim stanicama, pokušajte unijeti još tri. Ako ne radi, promijenite prvi pravokutnik i pokušajte ponovno.
5) Zadatak je kompliciran: brojka treba smanjiti na 4 drugačiji u obliku brojke (ne nužno na pravokutnicima).
Savjet matematike: Prvo izvlačite sve vrste brojki različitih oblika (bit će više od četiri) i ponovite metodu integriteta varijanti kao u prethodnom zadatku.
:
6) Izrežite ovu brojku na 5 brojki četiriju stanica različitih oblika, tako da je samo jedna zelena stanica obojena u svakoj od njih.
Savjet Tutor u matematici: Pokušajte početi izrezati s gornjeg ruba ove figure i odmah ćete razumjeti kako postupiti.
:
7) na temelju prethodnog zadatka. Pronađite koliko brojki imaju različite oblike koji se sastoje od četiri stanice? Brojke se mogu uvrnuti, rotirati, ali ne možete podići šiljak (s njegove površine) na kojem leži. To jest, dvije gornje brojke neće se smatrati jednakim, jer se ne mogu dobiti jedan od drugog okretanjem.
Savjet Tutor u matematici: Ispitajte rješenje prethodnog zadatka i pokušajte zamisliti različite pozicije tih brojki kada se okrenete. Lako je pogoditi da će odgovor u našoj zadaći biti broj 5 ili više. (Zapravo, čak i više od šest). Ukupno, postoji 7 vrsta opisanih slika.
8) Izrežite kvadrat od 16 stanica za 4 jednak u obliku dijela tako da je u svakom od četiri dijela postojala točno jedna zelena stanica.
Savjet matematike: Oblik malih figura nije kvadrat, a ne pravokutnik, a čak ni kut od četiri stanice. Dakle, koje su brojke pokušati smanjiti?
9) Slika na slici, izrezati na dva dijela na takav način da se kvadrat može presaviti iz dobivenih dijelova.
Matematky Tutor Tutor: Ukupno, na slici od 16 stanica - to znači da će trg biti veličina 4 × 4. I nekako trebate ispuniti prozor u sredini. Kako to učiniti? Možda neki pomak? Zato što je duljina pravokutnika jednaka neparnim stanicama, rezanje se mora provesti vertikalnim rezom, ali slomljenom linijom. Tako da se gornji dio odsječe s jedne strane iz srednjih stanica, a donji na drugoj.
10) Izrežite veličinu pravokutnika od 4 × 9 na dva dijela s takvim izračunom, tako da se kvadrat može presaviti kao rezultat njih.
Savjet matematike: Ukupno u pravokutniku 36 stanica. Stoga će trg biti 6 × 6. Dakle, planinska strana KA sastoji se od devet stanica, a zatim ih je potrebno odrezati. Kako će ovaj rez ići dalje?
11) Zaronik iz pet stanica prikazanih na slici je potrebno za rezanje (možete izrezati stanice) na takve dijelove iz koje se trg može presaviti.
Savjet matematike: Jasno je da, kao da ne režemo stanice na linije - neću dobiti kvadrat, jer su stanice samo 5. To je jedini zadatak u kojem je dopušteno rezati ne po stanicama, Međutim, oni će i dalje biti lijevo kao referentna točka. Na primjer, vrijedno je napomenuti da nekako trebamo ukloniti produbljivanje, koje imamo - naime, u unutarnjim kutovima našeg križa. Kako to učiniti? Na primjer, odrežite neke otkriće trokuta s vanjskih kutova križa ...
Uvodna riječ učitelja:
Mala povijesna referenca: mnogi znanstvenici iz antičkih vremena bili su zainteresirani za zadatke za rezanje. Rješenja mnogih jednostavnih zadataka pronađene su od strane starih Grka, Kineza, ali prva sustavna rasprava o ovoj temi spada u Peru Abul-Vefa. Geometri su se ozbiljno bavili rješavanjem zadataka za rezanje brojki na najmanji broj dijelova i naknadnu izgradnju druge figure na početku 20. stoljeća. Jedan od osnivača ovog dijela bio je poznati osnivač Henry E. Dyudeni zagonetke.
Danas ljubitelji puzzle vole rješavati probleme prije jer univerzalna metoda rješavanja takvih zadataka ne postoji, a svatko tko ih odvedu da odluče mogu u potpunosti pokazati svoje taljenje, intuiciju i sposobnost kreativnog mišljenja. (U razredu ćemo naznačiti samo jedan od mogućih primjera rezanja. Može se pretpostaviti da učenici mogu ispasti neku drugu ispravnu kombinaciju - nije potrebno bojati se).
Ova lekcija bi se trebala održati u obliku praktičnih razreda. Razbijte sudionike šalicu u skupine od 2-3 osobe. Svaka od skupina će biti unaprijed predviđena od strane nastavnika. Učenici imaju vladara (s podjelom), olovkom, škarama. Dopušteno je proizvesti sa škarama samo ravnim rezovima. Reći neku vrstu lika do komada, morate napraviti još jednu figuru iz istih dijelova.
Zadaci rezanja:
1). Pokušajte smanjiti brojku prikazanu na slici na 3 jednaka u obliku dijela:
Savjet: Male brojke su vrlo slične slovom T.
2). Temene ove brojke na 4 jednake u obliku dijela:
Savjet: Lako je pogoditi da će se male brojke sastojati od 3 ćelija, a tri osobe nisu toliko. Postoje samo dvije vrste: kutak i pravokutnik.
3). Podijelite oblik u dva identična dijela i preklopite šahovsku ploču s primljenih dijelova.
Savjet: Predložite za početak obavljanja zadatka iz drugog dijela, kako da biste dobili šahovnicu. Zapamtite koji oblik ima šahovsku ploču (kvadrat). Izračunajte postojeći broj stanica u širini. (Podsjetite da bi stanice trebale biti 8).
4). Pokušajte tri pokreta noža kako biste smanjili sir na osam jednakih komada.
Savjet: Pokušajte izrezati sir.
Zadaci za samo rješenja:
1). Izrežite kvadrat papira i učinite sljedeće:
· Izrezati na takve 4 dijela iz koje se mogu napraviti dva jednaka manja kvadrata.
· Rezati na pet dijelova - četiri isciebila trokuta i jedan kvadrat - i preklopiti ih tako da ispadne tri kvadrata.
