Ruudude erinevus
Tuletame ruutude $a^2-b^2$ erinevuse valemi.
Selleks pidage meeles järgmist reeglit:
Kui avaldisele lisada suvaline monoom ja lahutada sama monoom, saame õige identiteedi.
Liidame oma avaldisele ja lahutame sellest monomial $ab$:
Kokku saame:
See tähendab, et kahe monomi ruutude vahe on võrdne nende erinevuse ja nende summa korrutisega.
Näide 1
Väljendage $(4x)^2-y^2$ korrutisena
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]
Tuletame kuubikute summa $a^3+b^3$ valemi.
Võtame sulgudest välja tavalised tegurid:
Võtame sulgudest välja $\left(a+b\right)$:
Kokku saame:
See tähendab, et kahe monomi kuubikute summa on võrdne nende summa korrutisega mittetäielik ruut nende erinevused.
Näide 2
Ekspress tootena $(8x)^3+y^3$
Selle väljendi saab ümber kirjutada järgmisel kujul:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Kasutades ruutude erinevuse valemit, saame:
\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]
Tuletame kuubikute $a^3-b^3$ erinevuse valemi.
Selleks kasutame ülaltoodud reeglit.
Lisame oma avaldisele ja lahutame sellest monooomid $a^2b\ ja\ (ab)^2$:
Võtame sulgudest välja tavalised tegurid:
Võtame sulgudest välja $\left(a-b\right)$:
Kokku saame:
See tähendab, et kahe monomi kuubikute vahe on võrdne nende erinevuse korrutisega nende summa mittetäieliku ruuduga.
Näide 3
Väljendage $(8x)^3-y^3$ korrutisena
Selle väljendi saab ümber kirjutada järgmisel kujul:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Kasutades ruutude erinevuse valemit, saame:
\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]
Näide 4
Korrutada.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Otsus:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Ruudude erinevuse valemit rakendades saame:
\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]
Kirjutame selle väljendi kujul:
Rakendame kuubikute kuubikute valemit:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Kirjutame selle väljendi kujul:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
Rakendame kuubikute kuubikute valemit:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\parem)\]
Eelmistes tundides vaatlesime kahte võimalust polünoomi faktoriseerimiseks: ühisteguri võtmist sulgudest välja ja rühmitamismeetodit.
Selles õppetükis vaatleme teist võimalust polünoomi faktoriseerimiseks lühendatud korrutusvalemeid kasutades.
Soovitame iga valemi kirjutada vähemalt 12 korda. Parema meeldejätmise huvides kirjutage kõik lühendatud korrutusvalemid enda jaoks väikesele petulehele.
Tuletage meelde, milline näeb välja kuubikute erinevuse valem.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Kuubikute erinevuse valemit ei ole väga lihtne meelde jätta, seega soovitame selle meeldejätmiseks kasutada spetsiaalset viisi.
Oluline on mõista, et ka igasugune lühendatud korrutusvalem töötab tagakülg.
(a–b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3Kaaluge näidet. Kuubikute vahe on vaja faktoriseerida.
Pange tähele, et "27a 3" on "(3a) 3", mis tähendab, et kuubikute erinevuse valemi jaoks kasutame "a" asemel "3a".
Kasutame kuubikute erinevuse valemit. "A 3" asemel on meil "27a 3" ja "b 3" asemel, nagu valemis, on "b 3".
Vaatleme teist näidet. Polünoomide korrutis on vaja teisendada kuubikute erinevuseks, kasutades lühendatud korrutamisvalemit.
Pange tähele, et polünoomide "(x − 1) (x 2 + x + 1)" korrutis meenutab kuubikute erinevuse valemi paremat poolt "", ainult "a" asemel on "x", ja "b" koht on "1» .
"(x − 1)(x 2 + x + 1)" jaoks kasutame kuubikute erinevuse valemit vastupidises suunas.
Vaatleme raskemat näidet. See on vajalik polünoomide korrutise lihtsustamiseks.
Kui võrrelda "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" kuubikute erinevuse valemi parema poolega
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, siis saame aru, et esimeses sulus oleva "a" asemel on "y 2" ja "b" asemel "1".
Vähendatud korrutamise valemeid või reegleid kasutatakse aritmeetikas ja täpsemalt algebras, et kiirendada suurte algebraavaldiste arvutamist. Valemid ise on tuletatud algebra olemasolevatest reeglitest mitme polünoomi korrutamiseks.
Nende valemite kasutamine pakub üsna kiiret lahendust erinevatele matemaatika ülesandeid ja aitab ka väljendeid lihtsustada. Algebraliste teisenduste reeglid lubavad teha mõningaid manipulatsioone avaldistega, mille järel saad avaldise võrdsuse vasakul poolel, mis on paremal pool või teisendada võrrandi paremat poolt (avaldise saamiseks vasak pool pärast võrdusmärki).
Mäluga lühendatud korrutamiseks kasutatavaid valemeid on mugav teada, kuna neid kasutatakse sageli ülesannete ja võrrandite lahendamisel. Selle loendi peamised valemid ja nende nimed on loetletud allpool.
summa ruut
Summa ruudu arvutamiseks tuleb leida summa, mis koosneb esimese liikme ruudust, esimese ja teise liikme kahekordsest korrutisest ning teise liikme ruudust. Avaldise kujul kirjutatakse see reegel järgmiselt: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Vahe ruut
Vahe ruudu arvutamiseks peate arvutama summa, mis koosneb esimese arvu ruudust, esimese arvu kahekordsest korrutisest teisega (võetud vastupidise märgiga) ja teise numbri ruudust. Avaldise kujul näeb see reegel välja järgmine: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².
Ruudude erinevus
Kahe arvu ruudu erinevuse valem võrdub nende arvude summa ja nende erinevuse korrutisega. Avaldise kujul näeb see reegel välja järgmine: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).
summa kuup
Kahe liikme summa kuubi arvutamiseks peate arvutama summa, mis koosneb esimese liikme kuubist, esimese ja teise liikme ruudu kolmekordsest korrutisest, esimese liikme ja teise liikme kolmikkorrutisest ruudus ja teise liikme kuup. Avaldise kujul näeb see reegel välja järgmine: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Kuubikute summa
Valemi järgi võrdub see nende liikmete summa ja nende erinevuse mittetäieliku ruudu korrutisega. Avaldise kujul näeb see reegel välja järgmine: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).
Näide. On vaja arvutada kujundi maht, mis moodustub kahe kuubi lisamisel. Teada on vaid nende külgede suurused.
Kui külgede väärtused on väikesed, on arvutusi lihtne teha.
Kui külgede pikkused on väljendatud tülikate numbritega, on sel juhul lihtsam rakendada valemit "Kuupide summa", mis lihtsustab arvutusi oluliselt.
erinevuse kuubik
Kuubiku erinevuse avaldis kõlab järgmiselt: esimese liikme kolmanda astme summana kolmekordistatakse esimese liikme ruudu negatiivne korrutis teisega, kolmekordistatakse esimese liikme korrutis teise liikme ruuduga. , ja teise liikme negatiivne kuup. Matemaatilise avaldise kujul näeb erinevuse kuup välja järgmine: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Kuubikute erinevus
Kuubikute erinevuse valem erineb kuubikute summast vaid ühe märgi võrra. Seega on kuubikute erinevus valem, mis võrdub nende arvude erinevuse korrutisega summa mittetäieliku ruuduga. Kujul näeb kuubikute erinevus välja selline: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Näide. On vaja arvutada joonise maht, mis jääb alles pärast sinise kuubi ruumala lahutamist joonise mahust kollast värvi, mis on samuti kuubik. Teada on vaid väikese ja suure kuubi külje suurus.
Kui külgede väärtused on väikesed, on arvutused üsna lihtsad. Ja kui külgede pikkused on väljendatud märkimisväärsetes numbrites, siis tasub kasutada valemit pealkirjaga "Kuubikute erinevus" (või "Erinevuskuubik"), mis lihtsustab arvutusi oluliselt.
Lühendatud korrutusvalemid.
Lühendatud korrutamise valemite uurimine: summa ruut ja kahe avaldise erinevuse ruut; kahe avaldise ruutude erinevus; kahe avaldise summa ja vahe kuup; kahe avaldise kuubikute summad ja erinevused.
Lühendatud korrutusvalemite rakendamine näidete lahendamisel.
Avaldiste lihtsustamiseks, polünoomide faktoriseerimiseks ja polünoomide standardvormi viimiseks kasutatakse lühendatud korrutusvalemeid. Lühendatud korrutusvalemid, mida peate peast teadma.
Olgu a, b R. Seejärel:
1. Kahe avaldise summa ruut on esimese avaldise ruut pluss esimese avaldise kahekordne korrutis ja teine pluss teise avaldise ruut.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kahe avaldise erinevuse ruut on esimese avaldise ruut miinus esimese avaldise kahekordne korrutis ja teine pluss teise avaldise ruut.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Ruudude erinevus kaks avaldist on võrdne nende avaldiste erinevuse ja nende summa korrutisega.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. summa kuup kahest avaldisest on võrdne esimese avaldise kuubiga pluss kolm korda esimese avaldise ruut korda teine pluss kolm korda esimese avaldise korrutis teise avaldise kuubiga pluss teise avaldise kuup.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. erinevuse kuubik kahest avaldisest on võrdne esimese avaldise kuubiga miinus kolm korda esimese avaldise ruudu korrutis ja teise pluss kolm korda esimese avaldise ja teise avaldise ruudu korrutis, millest on lahutatud teise avaldise kuup.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kuubikute summa kaks avaldist võrdub esimese ja teise avaldise summa korrutisega nende avaldiste erinevuse mittetäieliku ruuduga.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kuubikute erinevus kahe avaldise väärtus on võrdne esimese ja teise avaldise erinevuse korrutisega nende avaldiste summa mittetäieliku ruuduga.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Lühendatud korrutusvalemite rakendamine näidete lahendamisel.
Näide 1
Arvutama
a) Kasutades kahe avaldise summa ruudu valemit, saame
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Kasutades kahe avaldise ruudu erinevuse valemit, saame
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Näide 2
Arvutama
Kasutades kahe avaldise ruutude erinevuse valemit, saame
Näide 3
Väljendi lihtsustamine
(x - y) 2 + (x + y) 2
Kasutame kahe avaldise summa ruudu ja kahe avaldise vahe ruudu valemeid
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Lühendatud korrutusvalemid ühes tabelis:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
