a) Lõika meelevaldne kolmnurk mitmeks tükiks, et neist saaks ristküliku välja voltida.
b) Lõika meelevaldne ristkülik mitmeks tükiks, et neist saaks ruudu välja voltida.
c) Lõika kaks suvalist ruutu mitmeks tükiks, et neist saaks ühe suure ruudu välja voltida.
b) Kõigepealt tee suvalisest ristkülikust ristkülik, suurema ja väiksema külje suhe ei ületa nelja.
c) Kasuta Pythagorase teoreemi.
a) Joonistage kõrgus või keskmine joon.
b) Asetage ruudule, mida soovite teha, ristkülik ja joonistage "diagonaal".
c) Kinnitage ruudud üksteise külge, suurema ruudu küljel mõõtke väiksema ruudu pikkusega võrdne lõik, seejärel ühendage see iga ruudu "vastaste" tippudega (vt joonis 1).
a) Olgu antud suvaline kolmnurk ABC... Joonistame keskmise joone MN paralleelselt küljega AB, ja saadud kolmnurgas CMN alandage kõrgust CD... Lisaks laskume sirgjoonele MN perpendikulaarid AK ja BL... Siis on hästi näha, et ∆ AKM = ∆CDM ja ∆ BLN = ∆CDN täisnurksete kolmnurkadena, milles vastav külgede paar ja nurgapaar on võrdsed.
Sellest ka meetod etteantud kolmnurga lõikamiseks ja seejärel tükkide ümberpaigutamiseks. Nimelt teeme lõikeid mööda segmente MN ja CD... Pärast seda nihutame kolmnurki CDM ja CDN kolmnurkade asemel AKM ja BLN vastavalt, nagu on näidatud joonisel fig. 2. Saime ristküliku AKLB nagu ülesandes nõutud.
Pange tähele, et see meetod ei tööta, kui üks nurkadest TAKSO või CBA- nüri. See on tingitud asjaolust, et antud juhul kõrgus CD ei asu kolmnurga sees CMN... Kuid see pole liiga hirmutav: kui tõmbame keskjoone paralleelselt algse kolmnurga pikima küljega, siis vähendame äralõigatud kolmnurgas kõrgust nürinurgast ja see asub tingimata kolmnurga sees.
b) Olgu antud ristkülik ABCD kelle küljed AD ja AB on võrdsed a ja b vastavalt ja a > b... Siis peaks ruudu pindala, mille tahame lõpuks saada, olema võrdne ab... Seetõttu on ruudu külje pikkus √ ab mis on väiksem kui AD aga rohkem kui AB.
Ehitame väljaku APQR, võrdne otsitavaga, nii et punkt B lama segmendil AP ja punkt R- segmendil AD... Lase PD lõikub lõikudega eKr ja QR punktides M ja N vastavalt. Siis on lihtne näha, et kolmnurgad PBM, PAD ja NRD on sarnased ja pealegi BP = (√ab – b) ja RD = (a – √ab). Tähendab,
Seetõttu ∆ PBM = ∆NRD mõlemal küljel ja nendevahelises nurgas. Siit on ka võrdsusi lihtne tuletada PQ = MC ja NQ = CD, ja sellest ka ∆ PQN = ∆MCD ka mõlemal küljel ja nendevahelises nurgas.
Lõikamismeetod tuleneb kõigist ülaltoodud arutlustest. Täpselt, kõigepealt paneme külgedele kõrvale AD ja eKr segmendid AR ja CM mille pikkused on võrdsed √ ab(kuidas konstrueerida vormi √ segmente ab, vaadake ülesannet "Tavalised hulknurgad" - külgriba jaotises "Lahendus"). Järgmisena taastame lõigu risti AD punktis R... Nüüd jääb üle vaid kolmnurgad ära lõigata MCD ja NRD ja paigutage need ümber, nagu on näidatud joonisel fig. 3.
Pange tähele, et selle meetodi kasutamiseks on vajalik, et punkt M sattus segmendi sisse BK(muidu mitte terve kolmnurk NRD sisaldub ristkülikus ABCD). See tähendab, et see on vajalik
Kui see tingimus ei ole täidetud, peate kõigepealt selle ristküliku laiemaks ja lühemaks muutma. Selleks piisab, kui lõigata see pooleks ja teisaldada tükid, nagu näidatud joonisel fig. 4. Selge see, et peale sellist toimingut väheneb suurema ja väiksema külje suhe neli korda. Seega, tehes seda piisavalt palju kordi, saame lõpuks ristküliku, mille külge lõigatakse jooniselt fig. 3.
c) Vaatleme kahte etteantud ruutu ABCD ja DPQR kinnitades need üksteise külge nii, et need ristuvad küljel CD väiksem ruut ja sellel oli ühine tipp D... Me eeldame seda PD = a ja AB = b ja nagu me juba märkisime, a > b... Siis küljelt DR suurem ruut, võite sellist punkti kaaluda M, mida härra = AB... Pythagorase teoreemi järgi.
Laske punkte läbivad jooned B ja K paralleelselt sirge MQ ja BM vastavalt ristuvad punktis N... Siis nelinurk BMQN on rööpkülik ja kuna selle kõik küljed on võrdsed, on see romb. Kuid ∆ BAM = ∆MRQ kolmest küljest, millest see järeldub (arvestades, et nurgad BAM ja MRQ sirgjooned), mis. Sellel viisil, BMQN- ruut. Ja kuna selle pindala on ( a 2 + b 2), siis see on täpselt see ruut, mille me peame saama.
Lõikamisega jätkamiseks tuleb veel märkida, et ∆ BAM = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ... Pärast seda selgub, mida tuleb teha: kolmnurgad on vaja ära lõigata. BAM ja MRQ ja paigutage need ümber, nagu on näidatud joonisel fig. 5.
Olles lahendanud pakutud ülesanded, mõtleb lugeja üsna tõenäoliselt järgmisele küsimusele: millal üldiselt saab ühe antud hulknurga sirgjoontega lõigata lõplikuks arvuks sellisteks tükkideks, millest koosneb teine antud hulknurk? Veidi järele mõeldes mõistab ta, et nende hulknurkade pindala peab olema vähemalt võrdne. Seega kujuneb algne küsimus järgmiseks: kas vastab tõele, et kui kahel hulknurgal on sama pindala, siis saab neist ühe tükkideks lõigata, millest teise liidetakse (seda kahe hulknurga omadust nimetatakse käärkongruentsiks) ? Selgub, et see on tõesti nii ja seda ütleb meile 30ndatel tõestatud Boyai-Gerwini teoreem. aasta XIX sajandil. Täpsemalt on selle sõnastus järgmine.
Boyai-Gerwini teoreem. Kaks hulknurka on võrdse suurusega siis ja ainult siis, kui nad on võrdselt kongruentsed.
Selle tähelepanuväärse tulemuse tõestuse idee on järgmine. Esiteks ei tõesta me mitte teoreemi enda väidet, vaid seda, et mõlemat antud võrdse suurusega hulknurka saab lõigata tükkideks, mis annavad kokku sama ala ruudu. Selleks jagame esmalt kõik hulknurgad kolmnurkadeks (sellist partitsiooni nimetatakse triangulatsioon). Ja siis muudame iga kolmnurga ruuduks (näiteks selle ülesande punktides a) ja b) kirjeldatud meetodil). Jääb üle suure hulga väikeste ruutude hulgast lisada üks suur - saame seda teha tänu punktile c).
Sarnane küsimus hulktahukate kohta on üks David Hilberti (kolmas) kuulsatest probleemidest, mille ta esitas 1900. aastal Pariisis II rahvusvahelisel matemaatikute kongressil peetud loengus. Iseloomulikult osutus vastus eitavaks. Kahe sellise kõige lihtsama hulktahuka käsitlemine kuubi ja korrapärase tetraeedrina näitab, et kumbagi neist ei saa lõigata lõplikuks arvuks osadeks, nii et teine neist koosneb. Ja see pole juhuslik - sellist lõikamist lihtsalt ei eksisteeri.
Hilberti kolmanda ülesande lahenduse sai üks tema õpilane - Max Dehn - juba 1901. aastal. Dehn avastas muutumatu suuruse, mis ei muutunud, kui hulktahukaid tükkideks lõigata ja neist uusi kujundeid lisada. Kuid see väärtus osutus mõne polüeedri (eriti kuubiku ja tavalise tetraeedri) puhul erinevaks. Viimane asjaolu viitab selgelt asjaolule, et need hulktahukad ei ole käärkongruentsed.
1. eesmärk: Ristküliku, mille küljed on väljendatud täisarvudes, saab lõigata kujuga kujunditeks (joonisel oleva lahtri külg võrdub ühega). Tõesta, et seda saab lõigata 1 × 5 ristkülikuteks.
(D. ~ Karpov)
Lahendus: Selle ristküliku pindala jagatakse täielikult määratud joonise pindalaga, see tähendab 5-ga. Ristküliku pindala võrdub külgede pikkuste korrutisega. Kuna külgede pikkused on täisarvud ja 5 on algarv, peab ühe külje pikkus jaguma 5-ga. Jagage see külg ja vastaskülg segmentideks pikkusega 5 ja ülejäänud kaks külge segmentideks pikkusega 1, misjärel ühendame vastaskülgede vastavad punktid sirgjoontega. 2. eesmärk: Lahendage võrrandisüsteem reaalarvudes(A. ~ Hrabrov)
Lahendus: Vastus: süsteemil on unikaalne lahendus: a = b = c = d = 0. Süsteemi kaks võrrandit liites saame võrratuse 8a² + 9b² + 7c² + 4d² = 16ab + 8cd Võrratustest 2ab ≤ a² + b² ja 2cd ≤ c² + d², järeldub, et selle võrrandi parem pool ei ole suurem kui vasak ja võrdsust saab saavutada ainult siis, kui b = 0, c = 0, a = b ja c = d . Seega ainuke võimalik lahendus selle süsteemi väärtus on a = b = c = d = 0.Teine võimalus lahendatakse sarnaselt.
3. eesmärk: Rombis ABCD on punktid E ja F võetud vastavalt külgedele AB ja BC, nii et CF / BF = BE / AE = 1994. Selgus, et DE = DF. Leidke EDF-i nurk.
Ülesande tingimusest (mõlemas versioonis) järeldub, et BE = CF. Kõrvaldage segment AK, mis on võrdne BE-ga AB-poolel. Kolmnurgad ADK ja CDF on kahe külje ja nurga poolest võrdsed (AD = CD, AK = CF, ∠ DAK = ∠ DCF). Seega DK = DF = DE, see tähendab, et kolmnurk DKE on võrdhaarne. Eelkõige on selle põhjas olevad nurgad DKE ja DEK võrdsed. Seetõttu on kolmnurgad ADK ja BDE võrdsed (kahe külje ja nurga all: AK = BE, DK = DE, ∠ DKA = ∠ DEB). Seega AD = BD, see tähendab, et kolmnurk ABD on võrdkülgne. Seetõttu ∠ HALB = 60, ∠ ABC = 120.
(A. ~ Hrabrov)
Lahendus: Laske võistkonnal A võita nende reeglitega matšis meeskonda B (võib-olla kindlustage võit enne tähtaega). See tähendab, et järelejäänud (skoorimata) penaltite mis tahes mõeldava tulemuse korral oleks võistkonna A tulemus suurem kui võistkonnal B. Kujutage ette, et meeskonnad jätkasid penaltite löömist ka pärast mängu lõppu ja lõid kõik ülejäänud penaltid. , ja meeskond A ei löönud rohkem väravaid ning meeskond B ei löönud enam kordagi mööda. Sel juhul jääb A löödud väravate koguarv ikkagi suuremaks kui B löödud väravad (seda tähendavad sõnad "varajane võit"). Kui palju see veel olla võib? Ainult 1 või 2. Tõepoolest, kui vahe oleks suurem kui kaks, oleks A-meeskonna võit muutunud vältimatuks ka varem, enne viimase penaltipaari löömist.Lisaks märgime, et meie kaalutava kohtumise jätkumisel tabasid väravat täpselt pooled löökidest. Seega tabasid väravat kõigist 129 löögipaarist täpselt pooled ehk täpselt 129. Need 129 väravat on jagatud A ja B vahel nii, et A-l on 1 või 2 rohkem. See määrab üheselt meeskonna A löödud väravate arvu – 65.
Ülesanne 5: Lahendage võrrand naturaalarvudes:(D. ~ Karpov)
Lahendus: Sellel võrrandil on ainulaadne lahendus: x = 2, y = 1, z = 2 (mõlemas versioonis). Asjaolu, et see on lahendus, tuleneb üldisest identiteedist a² + (2a + 1) = (a + 1) ² \, mida esimeses variandis rakendati väärtusele a = 105 ja teises - a = 201.Muid lahendeid pole, sest kui z> 2, siis võrrandi parem pool jagub 8-ga ja vasak mitte, kuna 105 x võib anda 8-ga jagamisel ainult jäägi võrrandist. 1 ja 211 y - ainult 1 ja 3 jäägid. Tuleb märkida, et ka z = 1 korral pole lahendusi ning z = 2 puhul on väärtused y = 1 ja x = 2 üheselt määratud.
Matemaatika juhendajate ja erinevate valikainete ja ringide õpetajate arusaamises pakutakse valikut meelelahutuslikke ja arendavaid geomeetrilisi lõikeülesandeid. Selliste ülesannete kasutamise eesmärk juhendaja poolt oma tundides ei ole mitte ainult huvitada õpilast huvitavate ja tõhusate lahtrite ja kujundite kombinatsioonidega, vaid ka kujundada temas joonte, nurkade ja kujundite tunnetust. Ülesannete kogum on suunatud peamiselt 4.-6. klassi lastele, kuigi seda on võimalik kasutada isegi gümnaasiumiõpilastega. Harjutused nõuavad õpilastelt kõrget ja püsivat tähelepanu kontsentratsiooni ning on suurepärased visuaalse mälu arendamiseks ja treenimiseks. Soovitatav matemaatika juhendajatele, kes valmistavad õpilasi ette sisseastumiseksamiteks matemaatikakoolidesse ja klassidesse, kus on erinõuded lapse iseseisva mõtlemise ja loovuse tasemele. Ülesannete tase vastab „teise kooli“ lütseumi (teise matemaatikakooli), Moskva Riikliku Ülikooli väikese Mehmaatiku, Kurtšatovi kooli jne sisseastumisolümpiaadide tasemele.
Matemaatikaõpetaja märkus:
Mõnes probleemilahenduses, mida saate vaadata vastaval registril klõpsates, on näidatud ainult üks võimalikest lõikamise näidetest. Ma tunnistan täielikult, et võite jõuda mõne muu õige kombinatsiooniga – seda pole vaja karta. Kontrollige hoolikalt oma mõistuse lahendust ja kui see rahuldab tingimust, siis võtke julgelt vastu järgmine probleem.
1) Proovige lõigata joonisel näidatud joonis kolmeks võrdseks osaks:
: Väikesed kujundid on väga sarnased T-tähega
2) Nüüd lõigake see kuju neljaks võrdseks osaks:
Matemaatikaõpetaja näpunäide: On lihtne arvata, et väikesed kujundid koosnevad 3 lahtrist ja kolmest lahtrist koosnevaid kujundeid pole nii palju. Neid on ainult kahte tüüpi: nurk ja ristkülik 1 × 3.
3) Lõika see kuju 5 võrdseks osaks:
Leidke lahtrite arv, millest iga selline joonis koosneb. Need arvud on sarnased tähega G.
4) Ja nüüd peate kümnest lahtrist koosneva kujundi lõikama neljaks ebavõrdneüksteisega ristkülik (või ruut).
Matemaatikaõpetaja spetsifikatsioon: valige mõni ristkülik ja proovige ülejäänud lahtritesse kirjutada veel kolm. Kui see ei tööta, muutke esimest ristkülikut ja proovige uuesti.
5) Ülesanne muutub keerulisemaks: peate joonise 4-ks lõikama erineva kujuga kujukesed (mitte tingimata ristkülikud).
Matemaatikaõpetaja näpunäide: kõigepealt joonistage kõikvõimalikud kujundid eraldi erinevad kujud(neid on rohkem kui neli) ja korrake valikute loendamise meetodit nagu eelmises ülesandes.
:
6) Lõika see kujund viieks neljaks erineva kujuga lahtriks, nii et igas neist värvitakse ainult üks roheline lahter.
Matemaatikaõpetaja näpunäide: Proovi lõikamist alustada etteantud kujundi ülemisest servast ja saad kohe aru, kuidas edasi.
:
7) Eelmise ülesande põhjal. Leidke, mitu erineva kujuga kujundit, mis koosnevad täpselt neljast lahtrist, on seal? Figuuri saab väänata, pöörata, kuid te ei saa tõsta lauda (selle pinnalt), millel see asub. See tähendab, et kahte antud figuuri ei peeta võrdseks, kuna neid ei saa üksteisest treimise teel.
Matemaatikaõpetaja näpunäide: Uurige eelmise ülesande lahendust ja proovige ette kujutada nende kujundite erinevaid positsioone pööramisel. Pole raske arvata, et meie ülesande vastuseks on number 5 või rohkem. (Tegelikult isegi rohkem kui kuus). Kirjeldatud kujundeid on kokku 7 tüüpi.
8) Lõika 16 lahtrist koosnev ruut 4 võrdse kujuga tükiks nii, et iga nelja tüki sees oleks täpselt üks roheline lahter.
Matemaatikaõpetaja näpunäide: Väikeste kujundite välimus ei ole ruut või ristkülik ega isegi nelja lahtri nurk. Milliseid kujundeid peaksite proovima lõigata?
9) Lõika kujutatud kujund kaheks osaks, et saadud osad saaks ruuduks voltida.
Matemaatikaõpetaja näpunäide: Kokku on 16 lahtrit, mis tähendab, et ruudu suurus on 4 × 4. Ja kuidagi on vaja aken keskelt ära täita. Kuidas seda teha? Kas see võib olla mingi nihe? Seejärel, kuna ristküliku pikkus on võrdne paaritu lahtrite arvuga, tuleks lõikamine teha mitte vertikaalse lõikega, vaid mööda katkendlikku joont. Nii et keskmiste lahtrite ühelt küljelt lõigatakse ülemine osa ära ja teiselt poolt alumine osa.
10) Lõigake 4 × 9 ristkülik kaheks, et saaksite selle tulemusel lisada ruudu.
Matemaatikaõpetaja näpunäide: ristkülikus on 36 lahtrit. Seetõttu on ruut 6x6. Kuna pikk külg koosneb üheksast lahtrist, tuleb kolm neist ära lõigata. Kuidas see kärpe edasi läheb?
11) Joonisel kujutatud viiest lahtrist koosnev rist tuleb lõigata (saate lahtrid ise lõigata) osadeks, millest saaks ruudu voltida.
Matemaatikaõpetaja näpunäide: Selge on see, et hoolimata sellest, kuidas me lahtreid mööda jooni lõikame, me ruutu ei saa, kuna lahtreid on ainult 5. See on ainus probleem, mille puhul on lubatud lõigata mitte rakkudes... Siiski oleks hea need siiski teejuhiks jätta. Näiteks väärib märkimist, et me peame kuidagi eemaldama need sooned, mis meil on - nimelt sisse sisemised nurgad meie rist. Kuidas te seda teeksite? Näiteks lõigates ära mõned väljaulatuvad kolmnurgad risti välisnurkadest ...
Õpetaja sissejuhatav kõne:
Väike ajalooline märkus: paljudele teadlastele on iidsetest aegadest peale meeldinud ülesandeid lõigata. Paljudele lihtsatele lõikamisprobleemidele leidsid lahendused juba vanad kreeklased ja hiinlased, kuid esimene süstemaatiline traktaat sellel teemal kuulub Abul-Vefi sulest. Geomeetrid võtsid tõsiselt ülesannet lõigata kujundid võimalikult väikeseks arvuks tükkideks ja konstrueerida seejärel 20. sajandi alguses uus kujund. Kuulus pusle asutaja Henry E. Dudeny oli üks selle sektsiooni asutajatest.
Tänapäeval on puslesõpradele meeldinud lahendada lõikeprobleeme varemgi, sest selliste probleemide lahendamiseks pole universaalset meetodit ning igaüks, kes neid lahendada võtab, saab täielikult demonstreerida oma leidlikkust, intuitsiooni ja oskust loov mõtlemine... (Tunnis toome välja ainult ühe võimalikest lõikamisnäidetest. Võib eeldada, et õpilased saavad mõne muu õige kombinatsiooni - ärge kartke seda).
See tund peaks toimuma praktilise õppetunni vormis. Jagage ringis osalejad 2-3-liikmelistesse rühmadesse. Andke igale rühmale õpetaja poolt eelnevalt koostatud joonised. Õpilastel on joonlaud (jaotustega), pliiats, käärid. Kääridega on lubatud teha ainult sirgeid lõikeid. Pärast mõne kujundi osadeks lõikamist on vaja samadest osadest koostada teine kujund.
Lõikamisülesanded:
1). Proovige lõigata joonisel näidatud joonis kolmeks võrdseks osaks:
Vihje: väikesed kujundid on väga sarnased T-tähega.
2). Nüüd lõigake see kuju neljaks võrdseks osaks:
Vihje: on lihtne arvata, et väikesed kujundid koosnevad 3 lahtrist ja kolmest lahtrist koosnevaid kujundeid pole palju. Neid on ainult kahte tüüpi: nurk ja ristkülik.
3). Jagage kujund kaheks võrdseks osaks ja voldi saadud osadest malelaud kokku.
Vihje: Soovita alustada ülesannet teisest osast, kuidas saada malelaud. Tuletage meelde malelaua (ruudu) kuju. Loendage saadaolevate lahtrite arv pikkuses ja laiuses. (Tuleta meelde, et lahtrit peaks olema 8).
4). Proovige juust lõigata kolme noalöögiga kaheksaks võrdseks tükiks.
Vihje: proovige juustu pikuti lõigata.
Iseseisva lahenduse ülesanded:
1). Lõigake paberist välja ruut ja tehke järgmist.
· Lõika selliseks 4 osaks, millest saad teha kaks võrdset väiksemat ruutu.
· Lõika viieks tükiks – neljaks võrdhaarseks kolmnurgaks ja üheks ruuduks – ning murra need kokku kolmeks ruuduks.
