Jednorozmerné náhodné premenné

Koncepcia náhodnej premennej. Diskrétne a nepretržité náhodné premenné. Funkcia distribúcie pravdepodobnosti a jej vlastností. Hustota distribúcie pravdepodobnosti a jej vlastnosti. Číselné charakteristiky náhodných premenných: matematické očakávania, disperzia a ich vlastnosti, sekundárna kvadratická odchýlka, mod a medián; Primárne a centrálne momenty, asymetria a nadbytok.

1. Koncepcia náhodnej premennej.

Náhodnýnazýva sa hodnota, ktorá berie v dôsledku testov alebo iných (ale zároveň len jedna) možná hodnota, predvež známe známe, meniace sa testovanie na skúšku a v závislosti od náhodných okolností. Na rozdiel od náhodnej udalosti, ktorá je kvalitatívnou vlastnosťou náhodného výsledku testu, náhodná hodnota charakterizuje výsledok testu kvantitatívne. Príklady náhodných rozptylov môže byť veľkosť spracovanej časti, chybu merania akéhokoľvek parametra produktu alebo prostredia. Medzi náhodné premenné, s ktorými sa musíte stretávať v praxi, možno rozlíšiť dva hlavné typy: diskrétne hodnoty a kontinuálne.

Diskrétny Nazýva sa takú náhodnú hodnotu, ktorá trvá konečné alebo nekonečné počítanie hodnôt. Napríklad frekvencia hitov pre tri snímky; počet chybných výrobkov na párty od kusov; Počet hovorov vstupujúcich na telefónnu výmenu počas dňa; počet porúch prvkov zariadenia na určité časové obdobie, keď sa testuje na spoľahlivosť; Počet záberov na prvý hit v cieli atď.

Nepretržitý Toto sa nazýva taká náhodná hodnota, ktorá môže prevziať akékoľvek hodnoty z určitého konečného alebo nekonečného intervalu. Je zrejmé, že počet možných hodnôt nepretržitej náhodnej premennej nekonečne. Napríklad chyba pri meraní rozsahu radaru; Čas bezproblémovej prevádzky mikroobvodu; Chyba výroby častí; Koncentrácia soli v morskej vode atď.

Náhodné premenné sú typicky označené písmenami, atď., A ich možné hodnoty -, atď. Nestačí zoznam všetkých možných hodnôt na určenie náhodnej premennej. Je tiež potrebné vedieť, ako často sa tieto alebo iné hodnoty môžu objaviť v dôsledku testov za rovnakých podmienok, t.j. Je potrebné stanoviť pravdepodobnosť ich vzhľadu. Kombinácia všetkých možných hodnôt náhodných rozptylov a zodpovedajúce pravdepodobnosti im je distribúcia náhodného rozptylu.

2. Zákony distribúcie náhodnej premennej.

Distribučný zákon Náhodná premenná sa nazýva akákoľvek korešpondencia medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a zodpovedajúcich pravdepodobností. Náhodná suma hovorí, že tento zákon rozdeľuje. Nazývajú sa dve náhodné premenné nezávislýAk Distribučný zákon jedného z nich nezávisí od toho, aké možné hodnoty dostali ďalšiu hodnotu. Inak sa nazývajú náhodné premenné závislý. Nazýva sa niekoľko náhodných premenných vzájomne nezávislýAk zákony distribúcie akéhokoľvek počtu z nich nezávisia, na ktorých sú prijaté možné hodnoty zostávajúcich hodnôt.

Distribučný zákon náhodnej premennej môže byť špecifikovaný vo forme tabuľky, ako distribučná funkcia vo forme hustoty distribúcie. Tabuľka obsahujúca možné hodnoty náhodnej premennej a zodpovedajúce pravdepodobnosti je najjednoduchšou formou úlohy zákona distribúcie náhodnej premennej:

Tamkočlánková úloha distribučného zákona možno použiť len pre diskrétnu náhodnú premennú s konečným počtom možných hodnôt. Formulár tabuľky úlohy advokátskej premennej je aj rad distribúcie.

Pre jasnosť predstavuje graficky množstvo distribúcie. S grafickým obrazom v obdĺžnikovom súradnicovom systéme pozdĺž osi osi abscissu sú všetky možné hodnoty náhodného rozptylu uložené, a podľa osi nadradu, zodpovedajúce pravdepodobnosti. Potom vytvorte body a pripojte ich s rovnými rezmi. Výsledný údaj sa nazýva distribúcia polygónov (Obr. 5). Treba pripomenúť, že ordinitová vrcholová zlúčenina sa vykonáva len na účely prehľadnosti, pretože medzi tak a a tak ďalej. Náhodná hodnota nie je možné užívať, preto pravdepodobnosť jeho vzhľadu v týchto intervaloch sú nula.

Distribučný polygón, ako je množstvo distribúcie, je jednou z foriem úlohy distribučného zákona diskrétnej náhodnej premennej. Môžu mať inú formu, ale každý má jeden spoločný majetok: súčet ordinácie vrcholov distribučného polygónu, ktorý je súčtom pravdepodobnosti všetkých možných hodnôt náhodných premenných, je vždy rovná jednej. Táto vlastnosť vyplýva zo skutočnosti, že všetky možné hodnoty náhodného rozptylu tvoria kompletnú skupinu neúplných udalostí, ktorých súčet sa rovná jednej.

Definícia. Náhodná premenná sa nazýva numerická hodnota, ktorej hodnota závisí od toho, ktorý základný výsledok nastal v dôsledku experimentu s náhodným výsledkom. Súprava všetkých hodnôt, ktoré môže náhodná hodnota dostávať, sa nazývajú množstvo možných hodnôt tejto náhodnej premennej.

Náhodné premenné označujú: X., Y1., Z I.; ξ , η 1., μ I.a ich možné hodnoty - x 3., y 1k., z ij..

Príklad. V zážitkoch s jednorazovým odliatím hracej kosti náhodnej premennej je číslo X. Zakúpené okuliare. Mnoho možných hodnôt náhodnej premennej X. Má vzhľad

{x 1 \u003d 1, X 2 \u003d 2, ..., X 6 \u003d 6}.

Máme nasledovné súlad medzi základnými výsledkami ω a náhodné hodnoty X.:

To znamená každý základný výsledok Ω I., i \u003d 1, ..., 6, dať do riadku s číslom i..

Príklad. Minca je vyhodená až do prvého vzhľadu "erbov". V tejto skúsenosti môžete zadať napríklad takéto náhodné premenné: X. - počet odliatkov na prvý vzhľad "erbov" s množstvom možných hodnôt ( 1, 2, 3, … ) I. Y. - počet "čísel", ktoré padli na prvý vzhľad "erbov" s mnohými možnými hodnotami {0, 1, 2, …} (Je to jasné, že X \u003d y + 1). V tejto skúsenosti, priestor základných výsledkov Ω možno identifikovať s mnohými

{G, CG, CSG, ..., C ... CG, ...},

a elementárny výsledok ( C ... TSG.) je umiestnený v súlade s číslom m + 1. alebo m.kde m. - počet opakovaní písmena "C".

Definícia. Skalárna funkcia X (Ω)definované v priestore elementárnych výsledkov, nazývaných náhodnú premennú, ak pre všetky x∈ R. (Ω: X (Ω)< x} Je to udalosť.

Funkcia náhodného variabilného distribúcie

Ak chcete študovať pravdepodobnostné vlastnosti náhodnej premennej, musíte poznať pravidlo, ktoré vám umožní nájsť pravdepodobnosť, že náhodná hodnota bude mať hodnotu z podmnožiny jeho hodnôt. Akékoľvek takéto pravidlo sa nazýva zákon o rozdelení pravdepodobnosti alebo náhodné premenlivej distribúcie.

Všeobecné Distribučné právo spojené vo všetkých náhodných hodnotách je distribučná funkcia.

Definícia. Distribučná funkcia (pravdepodobnosť) Náhodná premenná X. Funkcia hovoru F (x)ktorej hodnota v bode x. Rovnako pravdepodobnosť udalosti (X.< x} , to znamená, že udalosti pozostávajúce z tých a len tie elementárne výsledky ω pre ktoré X (Ω)< x :

F (x) \u003d p (x< x} .

Zvyčajne sa hovorí, že hodnota distribučnej funkcie v bode x. Rovnomerne pravdepodobnosť, že náhodná hodnota X. bude mať hodnotu menej x..

Teorem. Distribučná funkcia spĺňa tieto vlastnosti:

Typický pohľad na distribučnú funkciu.

Diskrétne náhodné premenné

Definícia. Náhodná premenná X. Zavolajte na diskrétne, ak je to možné možné hodnoty alebo počítateľné.

Definícia. V blízkosti distribúcie (pravdepodobnosť) Diskrétna náhodná premenná X. Zavolajte tabuľku pozostávajúcej z dvoch riadkov: Všetky možné hodnoty náhodných rozptylov sú uvedené v hornom reťazci a v nižšej pravdepodobnosti p \u003d p (x \u003d x i \\) Táto náhodná hodnota bude mať tieto hodnoty.

Na overenie správnosti tabuľky sa odporúča zhrnúť pravdepodobnosť. p I.. Na základe axiómu zapaľovania:

Pre niekoľko distribúcie diskrétnej náhodnej premennej môžete vytvoriť svoju distribučnú funkciu F (x). Byť X. - definované jeho počtom distribúcie a x 1< x 2 < … < x n . Potom pre všetkých x ≤ x 1 udalosť (X.< x} Je preto nemožné podľa definície F (x) \u003d 0. Ak x 1< x≤ x 2 , potom udalosť (X.< x} pozostáva z tých a iba tie elementárne výsledky, pre ktoré X (ω) \u003d x 1. Teda, F (x) \u003d p 1. Podobne x 2< x ≤ x 3 udalosť (X.< x} pozostáva z základných výsledkov ω pre ktoré buď X (ω) \u003d x 1buď X (Ω) \u003d x 2, t.j (X.< x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Teda, F (x) \u003d p 1 + p2 atď. Pre x\u003e x n udalosť (X.< x} potom F (x) \u003d 1.

Distribučný zákon distribučnej náhodnej premennej môže byť tiež špecifikovaný analyticky ako vzorec alebo graficky. Napríklad distribúcia hracej kosti je opísaná vzorcom

P (x \u003d i) \u003d 1/6, i \u003d 1, 2, ..., 6.

Niektoré diskrétne náhodné premenné

Binomiálna distribúcia. Diskrétna náhodná variabilita X. Distribuované podľa binomického zákona, ak to berie hodnoty 0, 1, 2, ... n. V súlade s distribúciou špecifikovanou Bernoulli vzorom:

Toto rozdelenie nie je nič viac ako distribúcia počtu úspechov X. v n. Testy podľa systému Bernoulli s pravdepodobnosťou úspechu p. \\ t a neúspech q \u003d 1-P.

Poisson distribúcia. Diskrétna náhodná variabilita X. Distribuované zákonom Poisson, ak trvá toľko negatívnych hodnôt s pravdepodobnosťmi

kde λ > 0 - parameter distribúcie Poisson.

Distribúcia Poisson sa tiež nazýva zákon vzácnych udalostí, pretože sa vždy prejavuje, kde sa vyrába veľký počet testov, v každom z nich, s malou pravdepodobnosťou nastane "vzácne" udalosti.

V súlade so zákonom Poisson, distribuovaný, napríklad počet hovorov prijatých počas dňa na telefónnej výmene; počet meteoritov, ktoré patria v určitej oblasti; Počet zlomených častíc v rádioaktívnom rozpade látky.

Geometrické rozdelenie. Znova zvážte schému Bernoulli. Byť X. - počet testov, ktoré sa musia vykonať pred prvým úspechom. Potom X. - diskrétna náhodná hodnota, hodnoty 0, 1, 2, ..., n., ... definujeme pravdepodobnosť udalosti (X \u003d n).

• X \u003d 0.Ak bude úspešný úspešný v prvom teste, preto P (x \u003d 0) \u003d p.
• X \u003d 1.Ak existuje zlyhanie v prvom teste, a v druhom úspechu, potom P (x \u003d 1) \u003d qp.
• X \u003d 2.Ak sa v prvých dvoch testoch - zlyhanie av treťom úspechu, potom P (x \u003d 2) \u003d q 2 p.
• Pokračujúci postup, dostaneme P (x \u003d i) \u003d q i p, i \u003d 0, 1, 2, ...

  Náhodná premenná s takýmto množstvom distribúcie sa nazýva distribuovaná podľa geometrického zákona.

Náhodné premenné.

V matematike hodnota - Toto je spoločný názov rôznych kvantitatívnych charakteristík objektov a javov. Dĺžka, plocha, teplota, tlak atď. - Príklady rôznych množstiev.

Hodnota, ktorá berie rôzne Numerické hodnoty pod vplyvom náhodných okolností sa nazývajú náhodná premenná. Príklady náhodných premenných: 1) Počet pacientov, ktorí čakajú na prijatie lekára, 2) presné rozmery vnútorných orgánov ľudí atď.

Rozlišovať diskrétne a nepretržité náhodné premenné.

Náhodná hodnota sa nazýva diskrétnaAk to trvá len niektoré z nich, ktoré môžu byť inštalované a uvedené.

Príklady:

1) Počet študentov v publiku - môže byť len celé kladné číslo:

0,1,2,3,4….. 20…..

2) Obrázok, ktorý sa objaví na hornej strane pri hádzaní hracej kosti - môže mať iba celočíselné hodnoty od 1 do 6.

3) Relatívna frekvencia dostať sa do cieľa 10 záberov - jeho významy:

0; 0,1; 0,2; 0,3 ….. 1

4) Počet udalostí vyskytujúcich sa v rovnakých časových intervaloch: pulzná sadzba, počet sanitiek za hodinu, počet operácií mesačne s fatálnym výsledkom atď.

Náhodná hodnota sa nazýva kontinuálneAk môže mať akýkoľvek Hodnoty v určitom intervale, ktoré niekedy ostro výrazné hranice, a nie sú známe, sa domnievajú, že hodnoty náhodnej premennej ležia v intervale (- ¥; ¥) .. Pre nepretržité náhodné hodnoty Zahŕňajú napríklad teplotu, tlak, hmotnosť a rast ľudí, veľkosť krvných prvkov v tvare krvi, pH krvi atď.

Koncepcia náhodnej premennej zohráva rozhodujúcu úlohu v súčasnej teórii pravdepodobnosti, ktorá vyvinula špeciálne techniky pre prechod z náhodných udalostí na náhodné hodnoty.

Ak náhodná hodnota závisí od času, potom môžeme hovoriť o náhodnom procese.

3.1. Diskrétna náhodná premenná

Ak chcete poskytnúť úplnú charakteristiku diskrétnej náhodnej premennej, musíte zadať všetky možné hodnoty a ich pravdepodobnosti.

Korešpondencia medzi možnými hodnotami diskrétnej náhodnej premennej a ich pravdepodobnosti sa nazýva zákon distribúcie tohto rozsahu.

Označujú možné hodnoty náhodnej premennej X cez XI a pravdepodobnosť, ktoré im zodpovedajú PI *. Potom môže byť tranzit oddelenej náhodnej premennej nastaviť tromi spôsobmi: vo forme tabuľky, grafiky alebo vzorec.

1. Stôl, ktorá sa volá v blízkosti distribúcie,všetky možné hodnoty diskrétnej náhodnej premennej sú uvedené a zodpovedajúce týmto hodnotám pravdepodobnosti P (X):

Tabuľka 3.1.

H.

V tomto prípade by sa mala rovnať súčet všetkých pravdepodobností PI podmienka je normalizácia):

pi \u003d p1 + p2 + ... + pn \u003d

2. Graficky - vo forme prerušovanej čiary, ktorá je zvyčajná distribúcia polygónov(Obr.3.1). Tu, pozdĺž horizontálnej osi, všetky možné hodnoty náhodných variabilných XI sú položené a pozdĺž vertikálnej osi - zodpovedajúce pravdepodobnosti PI.

3. Analyticky - vo forme vzorca: napríklad, ak je pravdepodobnosť vstupu do cieľa na jednom zábere rovná r,potom pravdepodobnosť zneužitia pri jednom výstrele Q \u003d 1 - P, A. Zmluva o porážke 1 Čas n. Zábery sú uvedené vzorcom: p (n) \u003d qn-1 × p,

3.2. Zákon distribúcie nepretržitej náhodnej premennej. Hustota rozdelenia pravdepodobnosti.

Pre nepretržité náhodné premenné nie je možné aplikovať distribučný zákon vo vyššie uvedených formách, pretože nepretržitá hodnota má nespočetné ("nespočetné") mnohé možné hodnoty, úplne naplní určitý interval. Preto, aby sa tabuľka, v ktorej by boli uvedené všetky jeho možné hodnoty, alebo na vytvorenie distribúcie polygónu nemožno vybudovať. Okrem toho je pravdepodobnosť akejkoľvek konkrétnej hodnoty veľmi malá (blízko 0). Zároveň sú zvyčajne rovnako pravdepodobné rôzne oblasti (intervaly) možných hodnôt nepretržitej náhodnej premennej. Existuje teda určitý distribučný zákon, aj keď nie v bývalom zmysle.

Zvážte nepretržité náhodné množstvo x, ktorých možné hodnoty sú úplne naplnené určitým intervalom (A, B) *. Právo distribúcia pravdepodobnosti Takáto hodnota by mala umožniť nájsť pravdepodobnosť jeho hodnôt do akéhokoľvek daného intervalu (x1, x2), ležiace vo vnútri (A, B *) (obr.3.2).

Táto pravdepodobnosť je označená p (x1<Х< х2), или Р(х1 £ Х £ х2).

Zvážiť veľmi malý interval Hodnoty od X do (X + DX) (pozri obr. 3.2.) Nízka pravdepodobnosť DR, ktorú náhodná hodnota bude mať nejakú hodnotu z tohto malého intervalu (X, X + DX), bude proporcionálna hodnota Z tohto DX intervalu: DR ~ DX, alebo, zavedenie pomeru proporcionality F, ktorý môže závisieť od X, dostaneme:

dR \u003d F (X) × DX. (3.2)

Zavedená americkou funkciou f (x) zavolaný Hustota distribúcie pravdepodobnosti Náhodné variabilné X alebo, krátke, hustota pravdepodobnosti (hustota distribúcie). Rovnica (3.2) možno považovať za diferenciálnu rovnicu a potom pravdepodobnosť biť. Hodnoce intervalu (X1, X2) sa rovná:

P (x1< Х < х2) = f (x) dx. (3.3)

Graficky táto pravdepodobnosť p (x1< Х < х2) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой f (x) a rovno x \u003d x1 a x \u003d x2 (pozri obr.3.3), ktorý nasleduje z geometrického významu špecifického integrálu (3.3). Krivka f (x) To sa nazýva distribučná krivka.

Od (3.3) je možné vidieť, že ak je funkcia známa f (x), To mení limity integrácie, môžete nájsť pravdepodobnosť pre všetky intervaly. Preto je nastavenie f (x) Plne určuje distribučný zákon pre nepretržité náhodné premenné.

Pre hustotu distribúcie pravdepodobnosti f (x) sa musí vykonať podmienka je normalizáciaako:

f (x)dx = 1, (3.4)

ak je známe, že všetky hodnoty x ležia v intervale (A, B), alebo vo forme:

f (x) dx \u003d 1, (3.5)

ak sú hranice intervalu pre hodnoty x neznáme. Podmienky normalizácie hustoty pravdepodobnosti (3.4) alebo (3.5) sú dôsledkom hodnôt náhodných variabilných x spoľahlivo Ležiace v rámci (A, B) alebo (- ¥, + ¥). Z (3.4) a (3.5) to vyplýva oblasť obrázku, obmedzenej distribučnej krivky a osi osi Abscissa, sa vždy rovná 1.

Výsledky uvedené v odsekoch 3.1 a 3.2 ukazujú, že úplná charakteristika diskrétnych alebo nepretržitých náhodných hodnôt poskytuje zákony ich distribúcie.

V mnohých prakticky významných situáciách je však tzv. Numerické charakteristiky Náhodné premenné, hlavným účelom je vyjadrenie v stlačenej forme najznámejších vlastností ich distribúcie. Je dôležité, aby boli tieto parametre Špecifické (konštantné) hodnotyktoré môžu byť vyhodnotené použitím údajov získanými v experimentoch. Tieto odhady sa zaoberajú takzvanými "opisnými štatistikami".

V teórii pravdepodobnosti a matematických štatistík existuje dosť rôznych charakteristík, tu uvažujeme najčastejšie používané. Len pre časť z nich sú vzorce, pre ktoré sú ich hodnoty vypočítané, v iných prípadoch, výpočty opustia počítač.

3.3.1. Charakteristiky situácie: Matematické čakanie, móda, medián.

Vyznačujú sa postavením náhodnej premennej na číselnej osi, t.j. uveďte niektoré z jeho dôležitých hodnôt, ktoré charakterizujú distribúciu iných hodnôt. Medzi nimi zohráva rozhodujúcu úlohu matematické očakávania M (X).

ale). Matematický očakávanie M (x) Náhodná premenná je pravdepodobnostným analógom jeho priemernej aritmetiky.

Pre diskrétnu náhodnú premennú sa vypočíta podľa vzorca:

M (x) \u003d x1r1 + x2p2 + ... + xNRN \u003d \u003d, (3.6)

a v prípade nepretržitého náhodného variabilného m (x) sú určené vzorcami:

M (x) \u003d alebo m (x) \u003d (3.7)

tam, kde f (x) je pravdepodobnostná hustota, DP \u003d F (x) DX - pravdepodobnostný prvok (PI analógový) pre malý DX interval (DX).

Príklad.Vypočítajte priemernú hodnotu nepretržitej náhodnej premennej, ktorá má jednotnú distribúciu na segmente (A, B).

Rozhodnutie: S rovnomernou distribúciou je hustota pravdepodobnosti v intervale (A, B) konštantná, tj f (x) \u003d FO \u003d CONST, a vonku (A, B) je nulová, a z normalizačného stavu (4.3) nájdeme Hodnota F0:

F0 \u003d F0 × X | \u003d (b-a) f0, odkiaľ

M (x) \u003d | \u003d \u003d (A + B).

Matematické očakávania m (x) sa teda zhoduje so stredom intervalu (A, B), ktorý je určený, t.j. \u003d m (x) \u003d.

B). Móda mo (x) diskrétna náhodná premennánazval najpravdepodobnejšia hodnota(Obr.3.4, A) a nepretržitý - hodnota H.v ktorom hustota pravdepodobnosť maximálny (Obr.3.4, B).

v). Ďalšia postavená charakteristika - medián (Ja.) Náhodná premenná distribúcia.

Medián Kožušiny)náhodná odchýlka nazvaná jeho hodnotu H.ktorá rozdeľuje všetky distribúcie do dvoch ekvivalentných častí. Inými slovami pre náhodnú premennú rovnako pravdepodobne Hodnoty menej ma (x) alebo viac mňa (x): P (x< Ме) = Р(Х > I) \u003d.

Medián preto môže byť vypočítaný z rovnice:

(3.8)

Graficky medián je hodnota náhodnej premennej, ktorej ordinácia je rozdelená oblasť, obmedzená distribučná krivka, v polovici (S1 \u003d S2) (obr.3.4, B). Táto charakteristika zvyčajne používa len Pre nepretržité náhodné premenné, hoci sa môže stanoviť formálne pre diskrétne x.

Ak m (x), mo (x) a me (x) zhodujú, potom sa nazýva distribúcia náhodného rozptylu symetrický, inak - asymetrický.

Charakteristika rozptylu - Disperzia a štandardná odchýlka (sekundárna kvadratická odchýlka).

DisperziaD. (X.) náhodná premenná x je definovaná ako matematické očakávania štvorcovej odchýlky náhodného x z matematických očakávaní m (x):

D (x) \u003d m 2, (3.9)

alebo d (x) \u003d m (x2) - a)

Preto diskrétnynáhodný rozmer sa vypočíta podľa vzorcov:

D (x) \u003d [XI - m (x)] 2 pi, alebo d (x) \u003d XI2 PI -

a pre kontinuálnu veľkosť, distribuovaný v intervale (A, B):

a pre interval (-∞, ∞):

D (x) \u003d 2 f (x) dx alebo d (x) \u003d x2 f (x) dx -

Disperzia charakterizuje priemerný rozptyl, rozptyl hodnôt náhodných variabilných X v porovnaní s jeho matematické očakávania. Samotné slovo "disperzia" znamená "rozptyl".

Ale disperzia D (X) má rozmer štvorca náhodnej premennej, ktorý je veľmi nepohodlný pri hodnotení rozptylu fyzických, biologických, lekárskych, atď. Preto zvyčajne používajú ďalší parameter, ktorých rozmer, ktorý sa zhoduje s rozmerom X. stredná kvadratická odchýlka náhodná premenná x, ktorá je označená s. (X):

s. (X) \u003d (3.13)

Tak, matematické očakávania, móda, medián, disperzia a sekundárna kvadratická odchýlka sú najvhodnejšie Číselné charakteristiky distribúcií náhodných premenných, z ktorých každý, ako je znázornené, vyjadruje určitú charakteristickú vlastnosť tejto distribúcie.

3.4. Normálny zákon distribúcie náhodných premenných

Normálneho distribučného zákona(Gaussov zákon) hrá mimoriadne dôležitú úlohu v teórii pravdepodobnosti. Po prvé, toto je najčastejšie v praxi zákon o distribúcii nepretržitých náhodných premenných. Po druhé, to je limit Zákon, v tom zmysle, že za určitých podmienok sa blížia iné distribučné zákony.

Normálny zákon Distribúcia je charakterizovaná nasledujúcim vzorcom pre hustotu pravdepodobnosti:

, (3.13)

Tu X - aktuálne hodnoty náhodnej premennej X a m (x) a s. - jeho matematické očakávania a štandardná odchýlka, ktorá plne určí funkciu f (x). Ak je teda náhodná odroda distribuovaná podľa normálneho zákona, stačí vedieť len dve číselné parametre: m (x) a s.Úplne poznať zákon jeho distribúcie (3.13).Funkčný plán (3.13) volal normálna krivka rozdelenie (Gaussová krivka). Má symetrický vzhľad vzhľadom na ordináciu x \u003d m (x). Maximálna hustota pravdepodobnosti rovná "zodpovedá matematickému očakávaniu" x \u003d m (x), a ako hustota pravdepodobnosti f (x) od neho odstraňuje, znižuje sa, postupne sa blíži nulová (obr. Zmeniť hodnotu M ( x) V (3.13) nemení formu normálnej krivky, ale vedie len k posunu pozdĺž osi osi. Hodnota m (x) sa tiež nazýva rozptylové centrum a odchýlka RMS s. charakterizuje šírku distribučnej krivky (pozri obr.3.6).

S rastúcim s. Maximálny poriadok krivky sa znižuje a samotná krivka sa stáva bežnejším, natiahnutím pozdĺž osi osi, zatiaľ čo s poklesom s.krivka je vypracovaná a zároveň stláčaním zo strán (obr. 6).

Prirodzene, pre všetky hodnoty m (x) a s, plocha ohraničená normálnou krivkou a osou X zostáva rovná 1 (stavu normalizácie):

f (x) dx \u003d 1 alebo f (x) dx \u003d

Normálna distribúcia je symetricky, preto m (x) \u003d mo (x) \u003d ja (x).

Pravdepodobnosť zadania hodnôt náhodnej premennej do intervalu (X1, X2), t.j. p (x1< Х< x2) равна

P (x1.< Х < x2) = . (3.15)

V praxi problém nájsť pravdepodobnosť hodnôt normálne distribuovanej náhodnej premennej v intervale, symetrický vzhľadom na m (x). Najmä zvážte nasledovnú, dôležitú úlohu v aplikovanom ohľade. Budem odložiť z m (x) do pravých a ľavých segmentov rovných S, 2s a 3s (obr. 7) a zvážte výsledok výpočtu pravdepodobnosti vstupu X v príslušných intervaloch:

P (m (x) - s. < Х < М(Х) + s.) = 0,6827 = 68,27%. (3.16)

P (m (x) - 2s< Х < М(Х) + 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (3.17)

P (m (x) - 3s< Х < М(Х) + 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (3.18)

Z (3.18), z toho vyplýva, že hodnoty normálnej distribuovanej náhodnej premennej s parametrami M (x) a S s pravdepodobnosťou p \u003d 99,73% ležia v intervale m (x) ± 3s, inak takmer všetky možné hodnoty Tohto náhodného poklesu do tohto intervalu. Hodnoty. Tento spôsob odhadu rozsahu možných hodnôt náhodného rozptylu je známy ako "Pravidlo tri SIGM".

Príklad.Je známe, že pH pH krvi je normálna distribuovaná hodnota s priemernou hodnotou (matematické očakávania) 7.4 a štandardnou odchýlkou \u200b\u200b0,2. Určite rozsah možných hodnôt tohto parametra.

Rozhodnutie:Ak chcete odpovedať na túto otázku, používame "pravidlo tri SIGM". S pravdepodobnosťou rovnajúca sa 99,73%, môže byť argumentovaná, že rozsah hodnôt pH pre osobu je 7,4 ± 3 · 0,2, to znamená 6,8 ÷ 8.

* Ak nie sú presné hodnoty hraníc intervalov neznáme, potom sa interval považuje za (- ¥, + ¥).

Pošlite svoju dobrú prácu v znalostnej báze je jednoduchá. Použite nižšie uvedený formulár

Študenti, absolventi študenti, mladí vedci, ktorí používajú vedomostnú základňu vo svojich štúdiách a práce, budú vám veľmi vďační.

pridané http://www.allbest.ru/

Diskrétne náhodné premenné

Nech sa vykonať nejaký test, výsledkom je jeden z neúplných náhodných udalostí (počet udalostí alebo samozrejme alebo počítacie, to znamená, udalosti môžu byť očíslované). Každý výsledok je vložený v súlade s niektorým platným číslom, to znamená, že platná funkcia x s hodnotami sú špecifikované na súbore náhodných udalostí. Táto funkcia X sa volá diskrétny náhodný hodnota (Termín "diskrétny" sa používa, pretože hodnoty náhodných rozptylov sú individuálne čísla, na rozdiel od kontinuálnych funkcií). Keďže hodnoty náhodných premenných sa menia v závislosti od náhodných udalostí, potom hlavný záujem predstavuje pravdepodobnosť, s ktorými náhodná hodnota trvá rôzne číselné hodnoty. Zákon distribúcie náhodnej premennej je vzťah, ktorý stanovuje vzťah medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a zodpovedajúcich pravdepodobností. Distribučný zákon môže mať rôzne formy. Pre diskrétnu náhodnú premennú je distribučný zákon komplexom párov počtu (), kde - možné hodnoty náhodnej premennej a pravdepodobnosti, s ktorými trvá tieto hodnoty, je :. Kde. \\ T

Páry môžu byť považované za body v určitom súradnicovom systéme. Pripojením týchto bodov s rovnými čiarami získavame grafický obraz Distribučného zákona - Distribúcia mnohouholníka. Najčastejšie je zákon distribúcie diskrétnej náhodnej premennej zaznamenaný vo forme tabuľky, v ktorej sa pripravujú páry.

Príklad. Minca sa dvakrát pridala. Vytvorte rozloženie zákona o počte "erbov" v tomto teste.

Rozhodnutia. Random X je počet emisií "erbov" v tomto teste. Samozrejme, X môže mať jeden z troch významov: 0, 1, 2. Pravdepodobnosť vzhľadu "srsti ramien" pri jednom hádzaní sa mince rovná p \u003d 0,5 a strata "Rush" Q \u003d 1 - p \u003d 0,5. Pravdepodobnosti, s ktorými náhodná hodnota vykazuje hodnoty, nájde Bernoulli Formula:

Zákon distribúcie náhodnej premennej X písať vo forme distribučnej tabuľky

Kontrola:

Niektoré zákony distribúcie diskrétnych náhodných premenných, často vyskytujúcich sa pri riešení rôznych úloh, dostali špeciálne mená: geometrické distribúcie, hypergeometrické distribúcie, binomické rozdelenie, poisson distribúcia a ďalšie.

Distribúcia diskrétnej náhodnej premennej môže byť špecifikovaná pomocou distribučnej funkcie F (x), ktorá sa rovná pravdepodobnosti, že náhodná hodnota X bude mať hodnoty na intervale ???? X?: F (x) \u003d P (x

Funkcia F (x) je definovaná na celej platnej osi a má nasledujúce vlastnosti:

jeden)? ? F (x)? jeden;

2) f (x) - nekriedkavá funkcia;

3) F (??) \u003d 0, F (+?) \u003d 1;

4) F (b) - f (a) \u003d p (a? X< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69

2 =(2-2.3) 2 =0.09

2 =(5-2.3) 2 =7.29

Budeme písať distribúciu práva štvorcovej odchýlky:

Riešenie: Nájdeme matematické očakávania m (x):

M (x) \u003d 2 * 0,1 + 3 * 0,6 + 5 * 0,3 \u003d 3,5

WEW ACT DISTRIBÚCIA RANDOM X 2

Nájdeme matematické očakávania m (x 2):

M (x 2) \u003d 4 * 0,1 + 9 * 0,6 + 25 * 0,3 \u003d 13,5

Požadovaná disperzia D (X) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05

Vlastnosti disperzie

1. Disperzia konštantnej hodnoty s nulou: D (C) \u003d 0

2. Konštantný multiplikátor môže byť vytvorený pre disperzné označenie, jesť ho na štvorcový. D (cx) \u003d c 2 d (x)

3. Disperzia súčtu nezávislých náhodných premenných sa rovná množstvu disperzií týchto hodnôt. D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d d (x 1) + d (x 2) + ... + d (x n)

4. Disperzia binomiálnej distribúcie sa rovná produktu počtu testov na pravdepodobnosti vzhľadu a chyby udalosti v jednom teste D (X) \u003d NPQ.

Ak chcete odhadnúť rozptyl možných hodnôt náhodnej premennej okolo svojej priemernej hodnoty, okrem disperzie, sa tiež podávajú niektoré ďalšie charakteristiky. Patrí medzi ne priemerná kvadratická odchýlka.

Definícia. Priemerná kvadratická odchýlka náhodného variabilného X sa nazýva odmocný koreň od disperzie:

PRÍKLAD 8. REGISTRÁCNÁ HODNOTA X je stanovená podľa distribúcie

Nájdite strednú kvadratickú odchýlku od (x)

Riešenie: Nájdite matematické očakávania X:

M (x) \u003d 2 * 0,1 + 3 * 0,4 + 10 * 0,5 \u003d 6.4

Nachádzame matematické očakávania x 2:

M (x 2) \u003d 2 2 * 0,1 + 3 2 * 0,4 + 10 2 * 0,5 \u003d 54

Nájdite disperziu:

D (x) \u003d m (x 2) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 54-6,4 2 \u003d 13,04

Druhá priemerná kvadratická odchýlka

(x) \u003d vd (x) \u003d v13.04? 3.61

Teorem. Priemerná kvadratická odchýlka množstva konečného počtu vzájomne nezávislých náhodných premenných je rovnako odmocnina zo súčtu štvorcov priemerných kvadratických odchýlok týchto množstiev:

Náhodné premenné

Koncepcia náhodnej premennej je hlavná v teórii pravdepodobnosti a jej aplikácií. Random Hodnoty sú napríklad počet bodov v jedinom hádzaní hracej kosti, počet nebezpečných atómov rádiolného počas určitého časového obdobia, počet hovorov na telefónnej stanici na určité časové obdobie, odchýlka od nominálna časť časti s riadne stanoveným procesom a tak ďalej.

Touto cestou, náhodný hodnota Nazýva sa variabilná hodnota, ktorá v dôsledku experimentu môže dostávať jednu alebo inú číselnú hodnotu.

V budúcnosti sa pozrieme na dva typy náhodných premenných - diskrétne a nepretržité.

1. Diskrétne náhodné premenné

Zvážte náhodnú premennú *, ktorých možné hodnoty tvoria konečnú alebo nekonečnú sekvenciu čísel x.1 , x.2 , . .., x.n., . .. . Nechajte funkciu špecifikovať p (x)Čí hodnota v každom bode x \u003d X.i.(I \u003d 1,2,. ..) Rovnako pravdepodobnosť, že hodnota bude mať hodnotu x.i..

Takáto náhodná hodnota sa nazýva diskrétny (prerušované). Funkcia p (x) zavolaný právo rozdelenie pravdepodobné náhodný hodnosťalebo krátko právo rozdelenie. Táto funkcia je definovaná v sekvenčných bodoch. x.1 , x.2 , . .., x.n., . .. . Vzhľadom k tomu, v každom z testov, náhodná hodnota vždy prevzala akúkoľvek hodnotu z oblasti jeho zmeny,

Príklad1. Random Hodnota - počet bodov, ktoré patria jedným hádzaním hracej kosti. Možné hodnoty - Čísla 1, 2, 3, 4, 5 a 6. V tomto prípade pravdepodobnosť, že ktorúkoľvek z týchto hodnôt bude mať jeden a rovnaký a rovný 1/6. Aký bude zákon distribúcie? ( Rozhodnutie)

Príklad2. Nechajte náhodnú hodnotu - počet udalostí A. s jedným testom a P (a) \u003d p. Mnohé možné hodnoty sa skladajú z 2 čísel 0 a 1: =0 Ak je udalosť A. sa nestalo a =1 Ak je udalosť A. došlo. Touto cestou,

Predpokladajme, že sa vyrába n. Nezávislé testy, v dôsledku toho, z ktorých každá sa môže vyskytnúť, alebo nie na zintenzívnenie A.. Nechať pravdepodobnosť udalosti A. Zakaždým, keď je test rovná p. \\ t A. pre n. Nezávislé testy. Oblasť zmeny pozostáva zo všetkých celých čísel 0 predtým n. inclusive. Zákon o rozdelení pravdepodobnosti pOPOLUDNIE)stanovené Bernoulli Formula (13 "):

Právo rozdelenia pravdepodobnosti podľa Bernoulliho vzoru je často nazývaný binomickýako P. \\ tn.m)predstavuje m.-D člen dekompozície binómu.

Nechať náhodnú hodnotu môže vykonať celú negatívnu hodnotu a

kde je nejaká pozitívna konštanta. V tomto prípade hovoria, že náhodná odroda je distribuovaná právo jed, Všimnite si, že keď k \u003d 0. by mal byť umiestnený 0!=1 .

Ako vieme, pri veľkých hodnotách čísla n. Nezávislé skúšky pravdepodobnosti P. \\ tn.m) Urážlivý m. Akonáhle udalosti A. Je vhodnejšie nájsť Bernoulli Formula, ale podľa Laplace Formula [pozri vzorec (15)]. Avšak, ten druhý dáva veľké chyby pri nízkej pravdepodobnosti ročník Vzhľad udalosti ALE V jednom teste. V tomto prípade spočítajte pravdepodobnosť P. \\ tn.m) Je vhodné použiť poissonový vzorec, v ktorom sa má dať.

Vzorec Poisson je možné získať ako extrémny prípad bernoulliho vzorca s neobmedzeným zvýšením počtu testov. n. A s túžbou po nulovej pravdepodobnosti.

Príklad3. Strana dielov prišla do závodu vo výške 1000 ks. Pravdepodobnosť, že detail bude chybný, rovný 0,001. Aká je pravdepodobnosť, že medzi príchodmi bude 5 chybných? ( Rozhodnutie)

Distribúcia Poisson sa často nachádza v iných úlohách. Tak napríklad, ak je telefón v priemere v jednej hodine dostane N. Hovory, ako môžete ukázať, pravdepodobnosť P (k) že jednu minútu dostane k. Hovory, vyjadrené vzorcom Poisson, ak je to dané.

Ak sú možné hodnoty náhodného rozptylu tvoriť konečnú sekvenciu x.1 , x.2 , . .., x.n., zákon o rozdelení pravdepodobnosti náhodného rozptylu je špecifikovaný vo forme nasledujúcej tabuľky, v ktorej

Táto tabuľka sa volá v blízkosti rozdelenie náhodná premenná. Funkcia p (x) Môžete zobraziť vo forme grafu. Na to urobte pravouhlý súradnicový systém v rovine.

Podľa horizontálnej osi odložíme možné hodnoty náhodnej premennej a pozdĺž vertikálnej osi - hodnoty funkcií. Funkcia harmonogramu p (x) znázorňuje na obr. 2. Ak pripojíte body tohto grafu s priamočiarymi segmentmi, potom sa nazýva polygónový rozdelenie.

Príklad4. Nechajte udalosť ALE - vzhľad jedného bodu pri hádzaní hracej kosti; P (a) \u003d 1/6. Zvážte náhodnú sumu - počet udalostí ALE S desiatim hádzaním hracej kosti. Funkčné hodnoty p (x) (Distribučné právo) sú uvedené v nasledujúcej tabuľke:

Pravdepodobnosť p (X.i.) Vypočítané Bernoulli Formula n \u003d 10.. Pre x\u003e 6. Sú prakticky rovné nule. Graf funkcie p (x) je znázornený na obr. 3.

Funkcia distribúcie pravdepodobnosti náhodného rozptylu a jeho vlastností

Zvážte funkciu F (x)definované na celej číselnej osi nasledovne: Pre každého h. hodnota F (x) Rovnako pravdepodobnosť, že diskrétna náhodná hodnota bude mať hodnotu menej h., t.j.

Táto funkcia sa nazýva funkcia rozdelenie pravdepodobnéalebo krátko funkcia rozdelenie.

Príklad1. Nájdite funkciu distribúcie náhodnej premennej uvedenej v príklade 1, odsek 1. ( Rozhodnutie)

Príklad2. Nájdite funkciu distribúcie náhodnej premennej uvedenej v príklade 2, odsek 1. ( Rozhodnutie)

Poznanie distribučnej funkcie F (x)Je ľahké nájsť pravdepodobnosť, že náhodná hodnota spĺňa nerovnosti.

Zvážte udalosť, ktorá je, že náhodná hodnota bude mať hodnotu menej. Táto udalosť sa rozpadá vo výške dvoch nekonzistentných udalostí: 1) náhodná hodnota má menšie hodnoty, t.j. ; \\ T 2) náhodná hodnota má hodnoty, ktoré spĺňajú nerovnosti. Použitie Axiomu navyše

Ale definovaním distribučnej funkcie F (x) [cm. Vzorec (18)] Máme

vstrebák

Touto cestou, pravdepodobnosť hit diskrétny náhodný hodnosť v interval rovný prírastok funkcie rozdelenie na to je interval.

ZvážiťÚdržbavlastnosťfunkciedistribúcia.

1 °. Funkcia rozdelenie je nezákonné.

V skutočnosti< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что

2 °. Hodnosť funkcie rozdelenie uspokojiť nerovnosti .

Táto vlastnosť vyplýva zo skutočnosti, že F (x) Ako pravdepodobnosť [cm. vzorca (18)]. Je jasné, že * a.

3 °. Pravdepodobnosť Ísť, čo diskrétny náhodný hodnota vick jeden z možný hodnosť x.i., rovný skákať funkcie rozdelenie v bod x.i..

Skutočne, nechať x.i. - hodnota prijatá diskrétnou náhodnou premennou a. \\ T Veriť vo vzorci (19), dostaneme

V limite namiesto pravdepodobnosti prichádzajúcej náhodnej premennej do intervalu získavame pravdepodobnosť, že hodnota bude mať túto hodnotu. x.i.:

Na druhej strane dostaneme, t.j. Funkčný limit F (x) Právo, pretože. V dôsledku toho sa v limite vzorca (20) podnikne

tí. hodnota p (X.i.) rovná funkcii skoku ** x.i.. Táto vlastnosť je jasne znázornená na obr. 4 a ryže. päť.

Nepretržité náhodné premenné

Okrem diskrétnych náhodných premenných, možné hodnoty, z ktorých tvoria konečnú alebo nekonečnú sekvenciu čísel, ktoré nie sú úplne naplnené bez intervalu, sú často náhodné premenné, ktorých možné hodnoty tvoria určitý interval. Príklad takejto náhodnej premennej môže slúžiť ako odchýlka od nominálnej časti časti s riadne zavedeným technologickým procesom. Tento druh, náhodné premenné nemožno udeliť pomocou zákona o rozdelení pravdepodobnosti p (x). Môžu byť však nastavené pomocou funkcie rozdelenia pravdepodobnosti F (x). Táto funkcia je definovaná rovnakým spôsobom ako v prípade diskrétnej náhodnej premennej:

Takže tu je funkcia F (x) Definované na celej číselnej osi a jeho hodnotu v bode h. Rovnako pravdepodobnosť, že náhodná hodnota bude mať hodnotu nižšiu ako h..

Vzorec (19) a vlastnosti 1 ° a 2 ° sú platné pre distribučnú funkciu ľubovoľnej náhodnej premennej. Dôkaz sa vykonáva podobne ako prípad diskrétnej hodnoty.

Náhodná hodnota sa nazýva nepretržitýAk existuje negatívna spojovacia funkcia *, ktorá je uspokojujúca pre všetky hodnoty x. rovnosť

Funkcia sa nazýva hustota rozdelenie pravdepodobnéalebo krátko hustota rozdelenie. Ak x. 1 2 na základe vzorcov (20) a (22) máme