Dom, dizajn, opravy, dekor. Yard a záhrada. Urob si sám

1. dosiahnuteľnosť a falšovanie

Úlohy, v ktorých sa používa koncept dosiahnuteľnosti, dosť veľa. Tu je jedna z prezývky. Graf môže byť vzorom niektorých organizácií, v ktorých sú ľudia zastúpení vrcholmi a oblúky interpretujú komunikačné kanály. Pri posudzovaní takéhoto modelu je možné položiť otázku, či informácie z jednej osoby x môžu byť odovzdané inej osobe X 7, t.j. Tam je cesta, ktorá pochádza z top x, do hornej časti x /. Ak táto cesta existuje, hovoria, že vrchol X, - dosiahnuteľný z hornej časti x,. Je možné mať záujem o dosiahnuteľnosť vrcholu X, z vrcholov X, len na takýchto cestách, ktorých dĺžky neprekračujú vopred určenú hodnotu alebo ktorej dĺžka je menšia ako najvyšší počet vrcholov v stĺpci.

Dosiahnuteľnosť v grafe je opísaná s dosiahnuteľnosťou MATRIX R \u003d || G, Y || i, J. =1,2,... p, Kde strhnúť - počet vrcholov grafu a každý prvok je definovaný takto: \\ t

Gu- 1, ak je vrch x, dosiahnuteľné z x,

Gu \u003d. Inak.

Mnohé vrcholy R (X,) Graf G, dosiahnuteľné z daného vrcholu X "pozostáva z takých prvkov x; Pre ktorý (/, /) - TH prvok v dosiahnuteľnosti Matrix je 1. Je zrejmé, že všetky diagonálne prvky v matrici R sú rovné 1, pretože každý vrchol sa obnovuje s dĺžkou 0. Od priameho zobrazenia 1. objednávky G +1 (X,) je množstvo takýchto vrcholov. XJ ktoré sú dosiahnuteľné od x, pomocou dráh dĺžky 1, potom sada g (g (x,)) \u003d g x,) pozostáva z vrcholov, dosiahnuteľných, s použitím dĺžky ciest 2. Podobne ako g P (x,) je množstvo vrcholov, ktoré sú dosiahnuteľné od X, pomocou ciest r.

Pretože akýkoľvek vrchol grafu, ktorý je dosiahnuteľný od X ", musí byť dosiahnuteľný pomocou dráhy (alebo ciest) s dĺžkou 0 alebo 1 alebo 2, ..., alebo ročník, Potom je možné reprezentovať súbor vrcholov, dosiahnuteľný pre vrchol X "

Ako vidíme, súbor dosiahnuteľných vrcholov r (x,) je priamym tranzitívnym uzavretím vrcholov x "t.j. R (x,) \u003d t (x,). V dôsledku toho na vytvorenie dosiahnuteľnosti matice nájdeme dosiahnuteľné sady r (x,) pre všetky vrcholy x, e x. Veriť g y - 1, ak x 7 e r (x,) a gu- Inak. Pre graf znázornený na obr. 59.4, aleSúpravy dotazní sú nasledovné:

Obr. 59.4.

Matrica susednosti (A), dosiahnuteľnosti (R), falšovanosť (Q) majú nasledujúci formulár:

Matica ovládania Q \u003d qIJ, I, J \u003d 1,2,... p, Kde strhnúť - Počet vrcholov grafu sa stanoví takto: \\ t

qIJ \u003d. 1, ak môžete dosiahnuť vrchol x h qtj \u003d Ito.

Kontrolný súbor Q (x,) Existuje mnoho takýchto vrcholov, ktoré z akéhokoľvek vrcholu tejto súpravy sa môžete dostať do top x /. Podobne ako konštrukcia dosiahnuteľného súboru R (X,) môžete nahrať výraz Q (x,):

Je teda vidieť, že Q (X,) nie je nič viac ako reverzné tranzitívne uzavretie vrcholov X, t.j. Q (x () \u003d t "(x,). Z definícií je možné vidieť, že kolóna X, matica Q (v ktorom q T J \u003d 1, ak HU € Q (X,) a c / y \u003d 0 Inak) sa zhoduje s čiarou X, maticou R, t.j. Q \u003d R, kde R je matrica, transponovaná na dosiahnuteľnosť Matrix R.

Predtým sa ukáže matrica ovládania.

Treba poznamenať, že keďže všetky prvky matríc R a Q sú rovné 1 alebo 0, každý reťazec môže byť uložený v binárnej forme, čo ušetrí náklady na počítače. Matrice R a Q sú vhodné na spracovanie na počítači, ako v výpočtových podmienkach sú hlavnou operáciou vysokorýchlostné logické operácie.

2. Vyhľadanie viacerých vrcholov zahrnutých do cesty, ak sa musíte dozvedieť o vrcholech grafu zahrnutému v týchto cestách, mali by ste si vyvolať definície priamych a reverzných tranzitívnych uzáverov. Vzhľadom k tomu, t + (x,) je súbor vrcholov, v ktorých existujú spôsoby od hornej časti x "A t" (y) - množstvo vrcholov, z ktorých existujú spôsoby v X /, potom T (X,) N T (Xj) - Rôzne vrcholy, z ktorých každý patrí aspoň jedným spôsobom, prichádzajúcim z X, na HU. Tieto vrcholy sa nazývajú nevyhnutné alebo integrálne vzhľadom na dve koncové vrcholy. Xa hu. Všetky ostatné vrcholy grafu sa nazývajú bezvýznamné, alebo nadmerné, pretože ich odstránenie nemá vplyv na cesty z X / na HU.

Takže pre graf na obr. 59.5 Nájdenie vrcholov zahrnuté do cesty, napríklad z vrcholu Vertex x2 do Vertex X4, to príde dole na nájdenie T + (XG) \u003d (XG, XS, X4, X5, HB), T "(x4) \u003d ( XI, X2, X3, X4, X5) a ich priesečník T + (XG) P T (X4) \u003d \u003d (x2, XS, X4, X 5).

Úlohy, v ktorých sa používa koncept dosiahnuteľnosti, dosť veľa. Tu je jeden z nich. Graf môže byť vzorom niektorých organizácií, v ktorých sú ľudia zastúpení vrcholmi a oblúky interpretujú komunikačné kanály. Pri posudzovaní takéhoto modelu je možné položiť otázku, či informácie z jednej osoby x ja som odovzdaný inej osobe X J, t.j. Tam je cesta, ktorá pochádza z top x i na vrchol x j. Ak takáto cesta existuje, hovoria, že vrchol X J je siaha z horného x i. Je možné mať záujem o dosiahnuteľnosť Vertex XJ z top XI len na takýchto cestách, ktorých dĺžky neprekračujú vopred určenú hodnotu alebo ktorej dĺžka je menšia ako najväčší počet vrcholov v grafe atď. , Úlohy.

Dosiahnuteľnosť v grafe je opísaná na dosiahnuteľnosti Matrix R \u003d, I, J \u003d 1, 2, ... n, kde n je počet vrcholov grafu a každý prvok je definovaný takto:

r ij \u003d 1, ak je vrchol x J siaha od X I,

r IJ \u003d 0, inak.

Veľa vertoho R (x i) Graf G, dosiahnuteľný z daného vrcholu X I, pozostáva z takých prvkov x J, pre ktoré (i, j) - položka v matrix Achievesers rovná 1. Je zrejmé, že všetky diagonálne prvky v matrici R sú rovné 1, pretože každý vrchol sa dosiahne od seba dĺžku dĺžky 0. priamy displej 1. Objednať G +1 (X I) je množstvo takýchto vrcholov x J, ktoré sú dosiahnuteľné od X i používajúce dráhy dĺžky 1, potom sada G + (g +1 (x i)) \u003d g +2 (x I) Skladá sa z vrcholov dosiahnuteľných od X i s použitím dĺžky dĺžky 2. Podobne R + P (X I) je množstvo vrcholov, ktoré sú dosiahnuteľné od X i používajúce cesty p.

Pretože akýkoľvek vrchol grafu, ktorý sa dosahuje od X i, musí byť dosiahnuteľný pomocou dráhy (alebo ciest) dĺžky 0 alebo 1, alebo 2, ... alebo p, potom veľa vertohoDosiahnuteľné pre vertex X Môžem byť reprezentovaný ako

Ako vidíme, súbor dosiahnuteľných vrcholov r (x i) je priamym tranzitívne uzavretie Vrcholy X i, t.j. r (x i) \u003d t + (x i). V dôsledku toho na vytvorenie matice dosiahnuteľnosti nájdeme dosiahnuteľné sady r (x i) pre všetky vrcholy. Veriace r ij \u003d 1, ak a r ij \u003d 0 inak.

Pre graf znázornený na obr. 4.1, a mnoho opatrení sú nasledovné:

Matricová dosiahnuteľnosť Zdá sa, ako je znázornené na obr. 4.1, c. Matricová dosiahnuteľnosť Je možné konštruovať matricu susednosti (obr. 4.1, b), vytvorte nastavenú t + (x i) pre každý vrchol X i.

Matrica falšovania Q \u003d [q ij], i, J \u003d 1, 2, ... nkde n je počet vrcholov grafu, sa stanoví takto: \\ t

q ij \u003d 1, ak je vrchol x j dosiahnuť vrchlom X I,

q IJ \u003d 0, inak.

Počet dosiahnuteľnosti

Jednou z prvých otázok vyplývajúcich zo štúdie grafov je otázka existencie ciest medzi nastaveným vrcholom alebo všetkými pármi. Odpoveď na tento problém je pomerom dosiahnuteľnosti na vrcholech grafu G \u003d (v, e): Vertex W je dosiahnutá z vrcholu V, ak v \u003d W alebo v G je cesta z V do w. Inými slovami, pomer postoja je reflexívnym a tranzitívnym uzavretím vzťahu E. Pre neindelárske grafy, tento pomer je tiež symetricky a preto je pomer ekvivalencie na sade vrcholov V. v neistotenom grafe tried ekvivalencie s rešpektom K dosiahnutiu sa nazývajú pripojené komponenty. Pre orientované grafy by dosiahli dosiahnuteľnosť, vo všeobecnosti, by nemala byť symetrickým postojom. Symetric je vzájomná dosiahnuteľnosť.

Definícia 9.8. Graf G \u003d (V, E) sa nazývajú vzájomne dosiahnuteľné, ak G je cesta z V do W a dráhu od W v V.

Je zrejmé, že pomer vzájomnej dosiahnuteľnosti je reflexívny, symetrický a tranzitívny, a preto rovnocennosť na sade vrcholov grafu. Triedy ekvivalencie vzhľadom na vzájomnú dosiahnuteľnosť sa nazývajú silné pripojené komponenty alebo dvojité komponenty graf.

Zvážiť na začiatku otázky budovania prístupu dosiahnuteľnosti. Definujeme graf dosiahnutosti (zavolaný niekedy ako graf tranzitívneho okruhu), ktorých hrany zodpovedajú zdrojovému grafu.

Definícia 9.9. Nech G \u003d (v, e) byť orientovaný graf. Graf dosiahnuteľnosti G * \u003d (V, E *) pre G má rovnaký súbor vrcholov v a nasledujúcu sadu okrajov E * \u003d ((u, v) | V grafe G, vertex V je dosiahnuteľný z vertex u).

Príklad 9.3. Zvážte graf G z príkladu 9.2.

Obr. 9.2. Count G.

Potom môžete skontrolovať, či je graf dosiahnutosti G * pre G vyzerá takto (nové rebrá-slučky na každom z vrcholov 1-5 nie sú zobrazené):

Obr. 9.3. COUNTG G *

Ako môžem vytvoriť graf G * podľa G *? Jednou z metód je, že pre každý vrchol grafu G, na určenie sady vrchov, ktoré sú dosiahnuteľné z neho, postupne pridávanie vrcholov k nemu, dosiahnuteľné z neho s cestami dĺžky 0, 1, 2 atď.

Budeme sa pozrieť na inú metódu založenú na použití susednejosti matricu A G grafu G a booleovských operácií. Nechajte sadu vrcholov v \u003d (v 1, ..., v n). Potom matrica A G je booleovou maticou veľkosti n × n.

Na zachovanie podobnosti s bežnými operáciami nad matricami budeme používať "aritmetické" označenia pre booleovské operácie: cez + sme označili disjunkciu a prostredníctvom · - spojenie.

Označujú s jednou maticou veľkosti n × n. Dať . Nechajte náš postup vybudovať G * na základe nasledujúceho vyhlásenia.

Lemma 9.2. Byť. Potom

Dôkaz Vykonávame indukciu K.

Základ.Pre k \u003d 0 a k \u003d 1, vyhlásenie je pravdivé podľa definície a.

Indukčný krok.Nech je lemma platná pre k. Ukážeme, že zostáva len pre K + 1. Podľa definície máme:

Predpokladajme, že v grafe G z v I vo V J, je tu cesta dĺžky K + 1. Zvážte najkratšie z týchto ciest. Ak je jeho dĺžka K, potom predpokladom indukcie A_ (IJ) ^ ((K)) \u003d 1. Okrem toho, JJ (1) \u003d 1. Preto, ij (k) jj (1) \u003d 1 a ij (K + 1) \u003d 1. Ak je dĺžka najkratšej cesty z v i vo v j rovná k + 1, potom nechajte v r - jeho posledný -EX-aktuálny vrchol. Potom, z v i vo v r, je tu cesta k dĺžke K a na predpokladu indukcie A IR (K) \u003d 1. Vzhľadom k tomu, (v r, v j) e, potom A_ (RJ) ^ ((1)) \u003d 1. Preto iR (k) rj (1) \u003d 1 a ij (K + 1) \u003d 1.

Ak je IJ (K + 1) \u003d 1, potom aspoň na jeden R, termín A IR (K) RJ (1) v množstve sa rovná 1. Ak je R \u003d J, potom IJ (K) \u003d 1 a indukčným predpokladom v G, je cesta z VI vo VJ dĺžke k. Ak r j, potom IR (K) \u003d 1 a RJ (1) \u003d 1. To znamená, že v G tam je cesta z v I v d dĺžka k a okraj (v r, v j) E. kombinácia ich, získavame cestu z v i vo v j. K + 1.

Od Lemma 9.1 a 9.2 dostaneme priamo

Corollary 1. Nech g \u003d (v, e) byť orientovaný graf s N vrcholmi a G * je jeho graf dosiahnutosti. Potom A_ (G *) \u003d. Dôkazov. Z LEMMA 5.1, z toho vyplýva, že ak g je cesta od u v u, potom má tiež jednoduchý spôsob u v d dĺžke n-1. A v LEMMA 5.2 sú všetky takéto cesty prezentované v matrici.

Postup na výstavbu matrice susedstva A G * z grafu dosažnosti pre G sa teda zníži na konštrukciu matrice do stupňa N-1. Urobíme nejaké pripomienky na zjednodušenie tohto postupu.

kde k je najmenšie číslo také, že 2 k n.

toto R sa deteguje, že ir \u003d 1 a RJ \u003d 1, potom celá suma IJ (2) \u003d 1. Preto nie je možné zvážiť zvyšok komponentov.

Príklad 9.3. Zvážte ako príklad výpočtu počtu počtu matice A G * pre počítanie G Prezentované na obr. 9.2.. V tomto prípade

Pretože G má 6 vrcholov. Vypočítajte túto maticu:

a (posledná rovnosť nie je ťažké kontrolovať). Touto cestou,

Ako vidíte, táto matica skutočne nastaví graf reprezentovaný obr. 9.3..

Vzájomná dosiahnuteľnosť, komponenty silnej pripojenie a základňa grafu

Analogicky s grafom dosiahnuteľnosti definujeme graf silného dosiahnutia.

Definícia 9.10. Nech G \u003d (v, e) byť orientovaný graf. Graf silnej dosiahnuteľnosti G * \u003d (v, e * *) pre G má rovnaký súbor vrcholov V a nasledujúce sady e * * \u003d ((u, v) | v grafe g Vertine V a U sú vzájomne dosiahnuteľné).

Podľa matice grafu dosiahnuteľnosti je ľahké postaviť matricu kôru silného dosiahnutia. V skutočnosti, z definícií dosiahnutosti a silnú dosiahnuteľnosť okamžite nasleduje, potom pre všetky páry (I, J), 1 I, JN, hodnota prvku je 1 a len vtedy, ak sú prvky AG * (I, J) a AG * (J, i) rovné 1, t.j.

V matrici je možné zvoliť zložky silnej pripojenie grafu G nasledovne.

Poloha v komponente K 1 V 1 a všetkým takýmto vrcholom v J, že A_ (G _ * ^ *) (1, J) \u003d 1.

Nech sú komponenty K 1, ..., k i a v k sú už konštruované - to je top s minimálnym číslom, ktorý ešte nespadol do komponentov. Potom vložte vrchol V K do komponentu K_ (I + 1) a všetky takéto vrcholy v J,

Že A_ (g _ * ^ *) (k, j) \u003d 1.

Opakujeme krok (2), kým nie sú všetky vrcholy distribuované komponentmi.

V našom príklade pre graf G ON obr.2 Na matrici dostaneme nasledujúcu matricu grafu ťažkej dospelosti

Použitím vyššie opísaného postupu zistíme, že vrcholy grafu G sú rozdelené do 4 zložiek silného pripojenia: K 1 \u003d (V1, V 2, V 3), K2 \u003d (v 4), K 3 \u003d (v 5), K4 \u003d (v 6). Na súpravu sú zložky silnej konektivity tiež definovať postoj dosiahnuteľnosti.

Definícia 9.11. Nech je K a K "komponenty silného spojenia grafu G. COMPONENT K dosiahnuť Komponenty K ^ prime, ak k \u003d k "alebo sú také dva vrcholy u k a v k", že u je dosiahnuteľný z v. K. prísne dosiahnuteľnéK K "a K je dosiahnuteľný z K". Zložka K je nazývaná minimálny Ak nie je striktne dosiahnuteľný z akejkoľvek zložky.

Vzhľadom k tomu, všetky vrcholy v jednej zložke sú vzájomne dosiahnuteľné, nie je ťažké pochopiť, že vzťah dosiahnuteľnosti a prísnej dosiahnuteľnosti na komponentoch nezávisí od výberu vrcholov U K a V K.

Z definície sa ľahko zobrazí nasledovná charakteristika prísnej dosiahnuteľnosti.

Lemma 9.3. Pomer prísnej dosiahnuteľnosti je pomer čiastočného poriadku, t.j. Je to antireflexne, antisymmetricky a tranzitívne.

Tento vzťah môže byť reprezentovaný ako orientovaný graf, ktorého vrcholy sú komponenty a okraj (K ", k) znamená, že k je prísne dosiahnuteľné z K". Na obr. 9.4. Tento graf sa zobrazuje v komponente pre graf G.

Obr. 9.4.

V tomto prípade existuje jedna minimálna zložka K2.

V mnohých aplikáciách je orientovaný graf sieťou distribúcie niektorých zdrojov: produkt, produkt, informácie, atď. V takýchto prípadoch sa vyskytne úloha nájsť minimálny počet takýchto bodov (vrcholy), z ktorých môže byť tento zdroj doručený do akéhokoľvek bodu siete.

Definícia 9.12. Nech G \u003d (v, e) byť orientovaný graf. Podskupina vrcholov W V danýAk je možné dosiahnuť akýkoľvek vrchol grafu z vrcholov W. Podskupina vrcholov W V sa nazýva graf grafu, ak sa vytvára, ale nie jeho vlastná podmnožina nevytvára.

Nasledujúca veta vám umožňuje efektívne nájsť všetky základy grafu.

Veta 9.1. Nech G \u003d (v, e) byť orientovaný graf. Podskupina vrcholov W V je základňa G, ak obsahuje len v jednom vrchole z každej minimálnej zložky silnej konektivity G a neobsahuje žiadne iné vrcholy.

Dôkaz V prvom rade sa najprv dosiahne každý vrchol grafu z vrcholu patriaceho do určitej minimálnej zložky. Preto množstvo vrcholov w obsahujúcich jeden vrchol z každej minimálnej zložky generuje a pri odstraňovaní z nej, akýkoľvek vrchol prestane byť taký, pretože vrcholy z zodpovedajúcej minimálnej zložky sa stávajú nedosiahnuteľným. Preto je W základňa.

Späť, ak W je základňa, je povinná zahrnúť aspoň jeden vrchol z každej minimálnej zložky, inak vertice takejto minimálnej zložky nebude k dispozícii. Nemôže obsahovať žiadne iné vrcholy, pretože každý z nich je dosiahnuteľný z už zahrnutých vrcholov.

Z tejto teorem, nasledujúci postup na výstavbu jedného alebo výpočtu všetkých základov grófa G.

Nájsť všetky komponenty silného spojenia G.

Určite objednávku na ne a prideľte minimálne komponenty vzhľadom na túto objednávku.

Na generovanie jednej alebo všetkých grafických základov, výber na jednom vrchole z každej minimálnej zložky.

Príklad 9.5. Definujeme všetky základy orientovaného grafu G zobrazenému obr. 9.5..

Obr. 9.5. Count G.

V prvej fáze nájdeme komponenty silnej konektivity G:

V druhej fáze vybudujeme graf prísnej dosiahnuteľnosti na týchto komponentoch.

Obr. 9.6. Prispôsobenie vzťahu k komponentom G

Určite minimálne zložky: K2 \u003d (b), K4 \u003d (D, E, F, G) a K 7 \u003d (R).

Nakoniec sa uvádzame všetky štyri bázy G: B1 \u003d (B, D, R), B2 \u003d (B, E, R), B3 \u003d (B, F, R) a B1 \u003d (B, G, R ).

Úlohy

Úloha 9.1. Dokážte, že súčet stupňov všetkých vrcholov ľubovoľného orientovaného počtu je dokonca.

Táto úloha má populárnu interpretáciu: dokázať, že celkový počet handshake, ktorí si vymenili ľudí, ktorí prišli na párty, vždy dokonca.

Úloha 9.2. Zoznam všetkých ne-relatívnych ne-orientovaných grafov, ktoré nemajú viac ako štyri vrcholy.

Úloha 9.3. Dokážte, že po odstránení nejakej hrany ↔ tento okraj patrí do určitého cyklu, zostáva neregistrovaný pripojený graf.

Úloha 9.4. Dokážte, že non-orientovaný pripojený graf s N vrcholmi

obsahuje aspoň n-1 rebrá

ak existuje viac rebier N-1, má aspoň jeden cyklus.

Úloha 9.5. Dokážte, že v akejkoľvek skupine 6 ľudí sú tri páry priateľov alebo tri páry cudzincov.

Úloha 9.6. Dokážte, že ne-orientovaný graf G \u003d (v, e) je pripojený ↔ pre každý oddiel v \u003d v 1 v 2 s neštandardným v 1 a v 2, je k dispozícii okrajové pripojenie V1 s V2.

Úloha 9.7. Dokážte, že ak existujú presne dve vrcholy nepárnej stupňa v ne-ružovom grafe orientovaným, potom sú spojené.

Úloha 9.8. Nech g \u003d (v, e) byť ne-orientovaný graf c | e |< |V|-1. Докажите, что тогда G несвязный граф.

Úloha 9.9. Dokážte, že v pripojenom ne-orientovanom stĺpci majú akékoľvek dve jednoduché cesty maximálnej dĺžky celkový vrchol.

Úloha 9.10. Nechajte neriešenoduchý graf bez slučiek G \u003d (V, E) má komponent K pripojenia. Dokážte to potom

Úloha 9.11. Určiť, čo je graf dosiahnutosti

graf s N vrcholmi a prázdnou sadou okrajov;

graf s názvnymi hodnotami: v \u003d (v 1, ..., v n), ktorých rebrá tvoria cyklus:

Úloha 9.12. Vypočítajte matricu grafu štúdia pre graf

a vybudovať zodpovedajúci graf zbornosti zodpovedajúcim. Nájdite všetky počítače G.

Úloha 9.13. Vybudovať pre zadané obr. 9.7 Orientovaný graf G1 \u003d (V, E) jeho armpit maticu A G1, incidencia matricu B G1 a priľahlých zoznamov. Vypočítajte dosiahnuteľnosť Matrix A G1 * a vytvorte príslušný graf dosiahnutosti G 1 *.

Obr. 9.7.

OSN orientované a orientované stromy

Stromy sú jednou z najzaujímavejších tried grafov, ktoré sa používajú na reprezentáciu iného druhu hierahických štruktúr.

Definícia 10.1. Ne-orientovaný graf sa nazýva drevo, ak je pripojený a nie sú žiadne cykly v ňom.

Definícia 10.2. Orientovaný graf G \u003d (v, e) sa nazýva (orientovaný) drevom, ak

Na obr. 10.1. Zobrazia sa príklady ne-orientovaného stromu G1 a orientovaného stromu G2. Všimnite si, že strom G2 sa získa z G1 výberom vrcholu C ako koreň a orientáciu všetkých rebier v smere "z koreňa".

Obr. 10.1. OSN orientované a toktené stromy

Nie je to náhodou. Dokážte sa na nasledujúcom vyhlásení o spojení medzi ne-ružovými a orientovanými stromami.

Lemma 10.1. Ak sa v akomkoľvek ne-orientovanom strome g \u003d (v, e) zvoľte ľubovoľný vertex v v ako koreň a orient všetky rebrá v smere "z koreňa", t.j. Ak chcete, aby sa v roku všetkých incidentov, vrcholy, susediace s V - začiatkom všetkého incidentu, ktoré ešte nie sú orientované hrany, atď., Výsledkom je výsledok orientovaného grafu G "bude orientovaný strom .

OSN orientované a orientované stromy majú mnoho rovnocenných charakteristík.

Veta 10.1.Nech g \u003d (v, e) byť ne-orientovaný graf. Potom sú nasledujúce podmienky ekvivalentné.

G je strom.

Pre akékoľvek dve vrcholy v G, je jedna cesta, ktorá ich spája.

G pripojené, ale pri odstraňovaní z E, akúkoľvek hranu prestane byť pripojená.

G pripojené a | e | \u003d | V | -Onný.

G acyklické a | e | \u003d | V | -Onný.

G acyklické, ale pridávanie akéhokoľvek okraja na e generuje cyklus.

Dôkaz (1) (2): Ak boli v G, niektoré dve vrcholy boli spojené s dvoma spôsobmi, bolo by zrejmé, že g by mal cyklus. To je však v rozpore s definíciou stromu v (1).

(2) (3): ak je G, ale pri odstraňovaní nejakého okraja (U, V) E nestratí pripojenia, potom medzi U a V je cesta, ktorá neobsahuje tento okraj. Ale potom v g existujú aspoň dve cesty spájajúce U a V, ktoré sú v rozpore s podmienkou (2).

(3) (4): Čitateľ je uvedený (pozri úlohu 9.4).

(4) (5): Ak G obsahuje cyklus a je pripojený, potom pri odstraňovaní akéhokoľvek okraja z cyklu, konektivita by nemala byť rozbitá, ale rebrá zostanú | E | \u003d V -2, a podľa úlohy 9.4 (A) V pripojenom stĺpci musí byť aspoň v -1 rebrá. Výsledný rozpor vyplýva, že cykly v g nie sú a spĺňajú (5).

(5) (6): Predpokladajme, že pridanie okraja (U, V) na E neviedlo k vzniku cyklu. Potom v G vrchole U a V sú v rôznych zložkách konektivity. Vzhľadom k tomu, že e | \u003d v -1, potom v jednej z týchto komponentov, nechať ho (v 1, e 1), počet rebier a počet vrcholov sa zhoduje: | E 1 | \u003d | v 1 |. Ale potom je v ňom cyklus (pozri problém 9.4 b)), ktorý je v rozpore s acyklickým G.

(6) (1): Ak g nebol pripojený, potom by boli dve vrcholy U a V z rôznych pripojených komponentov. Potom pridávanie okraja (U, V) až E nie je výsledný cyklus, ktorý je v rozpore (6). V dôsledku toho je g a je strom.

Pre orientované stromy je často vhodné použiť nasledujúcu indukčnú definíciu.

Definícia 10.3. Definujeme indukčnú triedu orientovaných grafov, nazývaných stromy. Zároveň pre každého z nich definujeme pridelený vrchol - koreň.

Obr. 10.2. ilustruje túto definíciu.

Obr. 10.2. Indukčná definícia orientovaných stromov

Veta 10.2. Definície orientovaných stromov 10.2 a 10.3 sú ekvivalentné.

DôkazNech je graf G \u003d (v, e) spokojný s podmienkami definície 10.2. Ukážme indukciu podľa počtu vrcholov | V | Čo.

IF | V | \u003d 1, potom jediný vertex v V je podľa vlastnosti (1) koreňa stromu, t.j. V tomto grafe nie sú žiadne hrany: E \u003d. Potom.

Predpokladajme, že každý graf s názvnymi hodnotami, ktoré spĺňajú definíciu 10.2 vstupuje. Nechajte graf g \u003d (v, e) c (n + 1) - vertex spĺňa podmienky definície 10.2. Podmienkou (1) je top-root R 0. Nech z R 0 vychádza k rebrá a vedú k vrcholom R 1, ..., R K (K 1). Označuje GI, (i \u003d 1, ..., k), graf, vrátane vrcholov v I \u003d (vv | v texte (dosiahnuteľné z) RI) a pripojenie svojich okrajov E I E. Je ľahké pochopiť že GI spĺňa podmienky definície podmienok 10.2. V skutočnosti, v R ja nevstúpi do rebier, t.j. Tento vrchol je koreň g i. V každom z ostatných vrcholov z VI vstupuje do jedného okraja ako v g. Ak v v i, potom sa dosahuje z koreňového r I na určenie grafu g i. AS | V I | n, potom indukčným predpokladom. Potom bol graf G získaný indukčným pravidlom (2) určenia 10.3 stromov G 1, ..., G K, a preto patrí do triedy.

⇐ Ak niektoré graf G \u003d (v, e) vstupuje do triedy, vykonávanie podmienok (1) - (3) definícií 10.2 je ľahké zriadiť indukciu podľa definície 10.2. Poskytujeme to čitateľovi ako cvičenie.

S orientovanými stromami bola pripojená bohatá terminológia, ktorá pochádzala z dvoch zdrojov: botaniky a rodinné vzťahy.

Koreň je jediný vrchol, v ktorom rebrá nezahŕňajú, listy sú vrcholy, z ktorých rebrá nevychádzajú. Cesta z koreňa v hárku sa nazýva vetva stromu. Výška stromu je maximum jeho vetvy. Hĺbka vrcholu je dĺžka dráhy z koreňa do tohto vrcholu. Pre vertex v V, podgrafy stromu t \u003d (v, e), ktorý obsahuje všetky vrcholy, ktoré sú dosiahnuteľné z V a pripojiť rebrá z E, formuláre podporované t V strom T s koreňom V (pozri úlohu 10.3). Výška Vertex V je výška stromu tv. Počet, ktorý je zväzom niekoľkých ne-cyklistických stromov, sa nazýva les.

Ak z vrcholu VETEX V vedie okraj na vrchol W, potom je vložený V otec w a w - syn.v (Nedávno sa v Assexuálnom páre termínov používa v literatúre angoy-hovoria: rodič je dieťa). Z definície stromu okamžite vyplýva, že každý vrchol okrem koreňa má jediný otec. Ak sa cesta vykonáva z vrcholu V, potom sa nazýva Accenter W a W je potomkom V. Vrcholy, ktoré majú spoločný otec bratia alebo sestry.

Zvýrazňujeme inú triedu grafov, zovšeobecňujúce orientované stromy - orientované acyklické. Na ďalšie zastúpenie booleovských funkcií sa použijú dva druhy takýchto označených grafov. Tieto grafy môžu mať niekoľko koreňov - vrcholy, ktoré neobsahujú rebrá, a niekoľko rebier môže vstúpiť do každého vrcholu, a nie jeden, podobne ako stromy.

Analogicky s grafom dosiahnuteľnosti definujeme graf silného dosiahnutia.

Definícia: Graf orientovaný na let. Graf silnej dospelosti
pre má veľa vrcholov a ďalšia časť Ryube
v Graf vershins a vzájomne dosiahnuteľné.

Podľa matice grafu dosiahnuteľnosti
jednoduché postavenie matice
počítať silnú dosiahnuteľnosť. Skutočne, z definícií dosiahnuteľnosti a silného dosiahnutia, okamžite nasleduje, potom pre všetky pary
,
Hodnota prvku
1, potom a len ak obidva prvky
a
rovná 1, t.j.

V matrici
Zvlášte komponenty silného pripojenia grafu nasledujúcim spôsobom:

Druhý krok opakujeme, kým nie sú všetky vrcholy distribuované komponentmi.

V našom príklade grafu príklad 14.1. v matrici
dostaneme ďalšiu maticu grafu silnej dospelosti

Použitie vyššie opísaného postupu, zistíme, že vrcholy grafu rozbité pri 4 zložkách silného pripojenia:
,
,
,
. Na súpravu sú zložky silnej konektivity tiež definovať postoj dosiahnuteľnosti.

Definícia: Byť
a
- Komponenty silnej pripojenie grafu . Komponent
dosiahnuteľnýz komponentov
, Ak
alebo existujú také dva vrcholy
a
, čo dosiahnuť .
prísne dosiahnuteľné
, Ak
a
dosiahnuť
. Komponent
nazýva sa minimálny, ak nie je prísne dosiahnuteľný z akejkoľvek zložky.

Keďže všetky vrcholy v jednej zložke sú vzájomne dosiahnuteľné, nie je ťažké pochopiť, že vzťah dosiahnuteľnosti a prísnej dosiahnuteľnosti na komponentoch nezávisí od výberu vrcholov
a
.

Z definície sa ľahko zobrazí nasledovná charakteristika prísnej dosiahnuteľnosti.

Lemma: Pomer prísnej dosiahnuteľnosti je pomer čiastočného poriadku, t.j. Je to antireflexne, antisymmetricky a tranzitívne.

Tento vzťah môže byť reprezentovaný ako orientovaný graf, ktorého vrcholy sú komponenty a okraj
znamená to
prísne dosiahnuteľné
. Graf komponentu pre graf z príkladu 14.1 je uvedený nižšie.

V tomto prípade existuje jeden minimálny komponent.
.

V mnohých aplikáciách je orientovaný graf sieťou distribúcie niektorých zdrojov: produkt, produkt, informácie, atď. V takýchto prípadoch sa vyskytne úloha nájsť minimálny počet takýchto bodov (vrcholy), z ktorých môže byť tento zdroj doručený do akéhokoľvek bodu siete.

Definícia: Byť
- orientovaný graf. Podskupina Verkhin
zavolaný danýAk z vrcholov
môžete dosiahnuť ľubovoľný vrchol grafu. Podskupina Verkhin
základňa grafu sa nazýva, ak je generovanie, ale nikto generuje svoju vlastnú podmnožinu.

Nasledujúca veta vám umožňuje efektívne nájsť všetky základy grafu.

Veta: Byť
- orientovaný graf. Podskupina Verkhin
je základňa Potom a len vtedy, keď obsahuje jeden vrchol z každej minimálnej zložky silného spojenia A neobsahuje žiadne iné vrcholy.

Dôkaz: v prvom rade sa najprv dosiahne každý vrchol grafu z vrcholu patriaceho do určitej minimálnej zložky. Preto mnoho verthos
Obsahujúci jeden vrchol z každej minimálnej zložky generuje a pri ich odstránení, akýkoľvek vrchol prestane byť taký, pretože vrcholy z zodpovedajúcej minimálnej zložky sa stávajú nedosiahnuteľným. teda
je základňa.

Späť, ak
je to základňa, je povinná zahrnúť aspoň jeden vrchol z každej minimálnej zložky, inak verzie takejto minimálnej zložky nebude k dispozícii. Žiadne iné vrcholy
obsahuje nemôže, pretože každý z nich je dosiahnuteľný z už zahrnutých vrcholov.

Táto veta nadväzuje na nasledujúci postup budovania jedného alebo výpočtu všetkých základov grafu. :

Príklad 14.3: Definujeme všetky základy orientovaného grafu .

V prvej fáze nájdeme komponenty silnej konektivity :

V druhej fáze vybudujeme graf prísnej dosiahnuteľnosti na týchto komponentoch.

Určite minimálne komponenty:
,
a
.

Nakoniec zoznam všetkých štyroch databáz :
,
,
a
.

Považujú za otázky dosiahnuteľnosti pre orgrabes a spôsoby, ako nájsť matice dosiahnutia a falšovania. Matica metóda nájdenia počtu ciest medzi akýmkoľvek vrcholom grafu sa považuje, ako aj nájsť množstvo vrcholov zahrnutých v ceste medzi páre píkom. Účel prednášky: Dajte predstavu o dosiahnuteľnosti a falšovaní a spôsoboch, ako ich nájsť

Dosiahnuteľnosť a falšovanie

Úlohy, v ktorých sa používa koncept Úspech, dosť trochu.

Tu je jeden z nich. Grafmôžu existovať model niektorých organizácií, v ktorých sú ľudia reprezentované vertikámi a ARCS interpretujú komunikačné kanály. Pri posudzovaní takéhoto modelu je možné položiť otázku, či informácie z jedného osôb, ktoré som prenášali na iné Litsuch J, to znamená, že je cesta, ktorá pochádza z vrcholu I na vrchol j. Ak existuje táto cesta, hovoria, že vrcholy j dosiahnuteľnýz vrcholu I. Je možné mať záujem o dosiahnuteľnosť vrcholu J z vrcholu I len na takýchto cestách, ktorých dĺžka neprekročia vopred určenú hodnotu alebo ktorej dĺžka je menšia ako najvyšší počet vrcholov v stĺpci atď. , Úlohy.

Úspešnosť v grafe je opísaná s dosiahnuteľnosťou Matrix R \u003d, I, J \u003d 1, 2, ... n, kde počet vrcholov grafu a každý prvok je definovaný nasledovne:

r ij \u003d 1, ak sú vrcholy J dosiahnuteľné od i,

r IJ \u003d 0, inak.

Sada R (XI) vrcholov R (XI) grafu, dosiahnuteľná z daného vrcholu I, pozostáva z takých prvkov I, pre ktorý (i, j) - prvok v dosiahnuteľnosti Matrix je 1. Samozrejme, Všetky uhLigonálne prvky v matriciach 1, pretože každý vrchol je dosiahnuteľný od seba, dĺžka dĺžky je 0. Keďže priame mapovanie prvého rádu +1 (XI) je množstvo takýchto vrcholov J, ktoré sú dosiahnuteľné z × I Cesty dĺžky 1, potom sad + (G +1 (XI)) \u003d R +2 (XI) pozostáva z vrcholov, dosiahnuteľných z сx i používajúce dĺžky dĺžky 2. Podobné ako + p (XI) je množstvo vrcholy, ktoré sú dosiahnuteľné z XI pomocou dĺžkových dráh.

Pretože akýkoľvek vrchol grafu, ktorý sa dosahuje od x I, by sa mal dosiahnuť pomocou dráhy (alebo ciest) dĺžky 0 alebo 1, alebo 2, ..., ORP, potom množstvo vrcholov dosiahnuteľné pre vrchol byť zastúpené ako

R (x i) \u003d (x i) g +1 (x i) g +2 (x i) ... g + p (x i).

Ako môžeme vidieť, súbor dosiahnuteľných vrcholov R (x i) je priamym tranzitívnym uzavretím vrcholov IX I, takže E.R (x I) \u003d T + (X I). V dôsledku toho na vytvorenie matice dosiahnuteľnosti nájdeme dosiahnuteľné sady (x i) pre všetky vrcholy I x. Prezentácia, R IJ \u003d 1, ak x R (x I), и ij \u003d 0V, inak.

Obr. 4.1. Dosiahnuteľnosť v stĺpci: a -graf; B - Matrica susednosti; Matrix dosiahnuteľnosti; G-matica falšovania.

Pre graf znázornený na obr. 4.1, A, súprava úspechovsú nasledujúce:

R (x 1) \u003d (x 1) (X2, X5) (X2, X4, X5) (X2, X4, X 5) \u003d (X 1, X2, X 4, X 5 ),

R (x 2) \u003d (x 2) (x 2, x 4) (x 2, x 4, x 5) (x 2, x 4, x 5) \u003d (x 2, x 4, x 5),

R (x 3) \u003d (x 3) (x 4) (x 5) (x 5) \u003d (x 3, x 4, x 5),

R (x 4) \u003d (x 4) (x 5) (x 5) \u003d (x 4, x 5),

R (x 5) \u003d (x 5) (x 5) \u003d (x 5),

R (x 6) \u003d (x 6) (x 3, x 7) (x 4, x 6) (x 3, x 5, x 7) (x 4, x 5, x 6) \u003d (x 3, x 4, X 5, X 6, X 7),

R (x 7) \u003d (x 7) (X4, X6) (X3, X5, X7) (X4, X5, X6) \u003d (x 3, X 4, X 5, X 6 , x 7).

Matricová dosiahnuteľnosť zdá sa, ako je znázornené na obr. 4.1, v. Matricová dosiahnuteľnosťmôže byť postavený matrica plachetnice(Obr. 4.1, b), vytvorenie SET + (X I) pre každý vrchol I.

Matrica falšovania Q \u003d [Q IJ], I, J \u003d 1, 2, ... n, kde počet vrcholov grafu, je definovaný takto:

q ij \u003d 1, ak Vertex J môže dosiahnuť vrchol I,

q IJ \u003d 0, inak.

BezvýznamnýsETQ (X I) je sada takýchto vrcholov, ktoré z akéhokoľvek vrcholu tejto súpravy možno dosiahnuť vrcholom i. Podobne ako konštrukcia dosiahnuteľného SETR (X I), môžete nahrať výraz forq (x i):

Q (x i) \u003d (x i) m -1 (x i) g - 2 (x i) ... MR (X I).

Je teda vidieť, že Q (x i) nie je nič viac ako reverzné tranzitívne uzavretie vrcholov I, takže ekq (x I) \u003d t - (x I). Z definícií je zrejmé, že stĺpec XI MATRIXQ (v ktorom Q IJ \u003d 1, ak XQ (XI), andq IJ \u003d 0) buď) sa zhoduje s reťazcom I matrix, takže EQ \u003d RT, kde je T - Matica, transponovaná matricová dosiahnuteľnosťR.

Matrica falšovaniaznázornené na obr. 4.1, g.

Treba poznamenať, že keďže všetky prvky matice sú 1 alebo 0, potom každý reťazec môže byť uložený v binárnej forme, ušetriť náklady na pamäť počítača. MatricsQuests na spracovanie na počítači, pretože z výpočtového hľadiska sú hlavné operácie vysokorýchlostné logické operácie.

Hľadanie množstva zahrnutých vrcholov

Ak sa musíte dozvedieť o vrcholech grafu, ktorý je súčasťou týchto ciest, mali by ste si vyvolať definície priamych a inverzných tranzitívnych uzáverov. Vzhľadom k tomu, t + (xi) je množstvo vrcholov, v ktorých existujú spôsoby z vrcholu I, at-(XJ) - množstvo vrcholov, z ktorých existujú spôsoby CX J, TT + (XI) T - (XJ ) - Rôzne vrcholy, z ktorých každý patrí aspoň jedným spôsobom, odkiaľ ide o KX J. Tieto vrcholy sa nazývajú nevyhnutné alebo neoddeliteľné vzhľadom na dve terminálové vrcholy IX J. Všetky ostatné vrcholy grafu sa nazývajú nepodstatné alebo nadbytočné, pretože ich odstránenie nemá vplyv na cesty OTX I KX J.

Obr. 4.2. Orgaf

Takže pre graf na obr. 4.2 Hľadanie vrcholov zahrnutých v dráhe, napríklad z vrcholu X2 vo vrchole 4, redukuje na vyhľadanie + (x 2) \u003d (x 2, x 3, x 4, x 5, x 6),

T - (x 4) \u003d (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) a ich priesečník + (x 2) t- (x 4) \u003d (x 2, x 3, x 4, x päť ).

MATRIX METÓDA Hľadanie ciest v grafoch

Matica susecnosti úplne určuje štruktúru grafu. Postavila maticu susedstva na námestí podľa pravidiel matematiky. Každý prvok matrice A2 je určený vzorcom

a (2) IK \u003d N J \u003d 1 A IJ A JK

Termín vo vzore sa rovná 1 a len ak sú obe čísla, ktoré i jk sa rovná 1, inak sa rovná 0. Keďže existencia dĺžky dĺžky 2 z vrcholu I existovala z rovnosti IJ \u003d JK \u003d 1 obleky J, potom (I -I, K-Th) Prvok matrice 2 sa rovná počtu dráh dĺžky 2, ktorý sa dosahuje z I V.

Tabuľka 4.1A zobrazuje matricu semiance grafu znázorneného na obr. 4.2. Výsledok konštrukcie priľahlej matrice do štvorca A 2 je uvedený v tabuľke 4.1b.

Takže "1", stojaci na križovatke druhého riadku a štvrtým stĺpci, hovorí o existencii jednej dráhy 2 dĺžky od vrcholu X2 na vrcholy 4. V skutočnosti, ako vidíme Štepna obr. 4.2, existuje taký spôsob: A 6, A 5. "2" v Matrixa 2 hovorí o existencii dvoch dráh 2 z vrcholu 3 na vrcholy 6: A 8, 4 I 10, A3.

Podobne, pre matricu susedstva, postavená do tretieho stupňa A 3 (tabuľka 4.1b), (3) IK rovná počtu dráh dĺžky 3, ktorý dosahuje zx I kh k. Zo štvrtej línie matrice 3 je možné vidieť, že cesty 3 existujú: jeden zo 4 VX 4 (A 9, 8, A 5), jeden zo 4 v

x5 (A 9, A 10, A 6) a dve cesty 4 VX 6 (A 9, A 10, A 3 a 9, A 8, A 4). Matrica 4 ukazuje existenciu ciest 4 (tabuľka 4.1g).

Ak je teda A P IK prvok matice P, ToA P IK sa rovná počtu ciest (nie nevyhnutne orcertov alebo jednoduchú orrachézu) dĺžky, ktorá ide zx I kh k.