Jednodimenzionalne slučajne varijable
Koncept slučajne varijable. Diskretne i kontinuirane slučajne varijable. Funkcija raspodjele vjerojatnosti i njegovih svojstava. Gustoća raspodjele vjerojatnosti i njegovih svojstava. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli: matematičko očekivanje, disperzija i njihova svojstva, sekundarna kvadratna devijacija, mod i medijan; Primarni i središnji trenuci, asimetrija i višak.
Slučajanto se zove vrijednost koja traje kao rezultat testova ili drugog (ali u isto vrijeme samo jedan) moguća vrijednost, unaprijed poznato, prepoznatljivo ispitivanje na test i ovisno o slučajnim okolnostima. Za razliku od slučajnog događaja, što je kvalitativna karakteristika slučajnog testa rezultat, slučajna vrijednost karakterizira rezultat testa kvantitativno. Primjeri slučajne varijance mogu biti veličina prerađenog dijela, pogrešku mjerenja bilo kojeg parametra proizvoda ili okoliša. Među slučajnim varijablama s kojima se morate susresti u praksi, mogu se razlikovati dva glavna tipa: diskretne vrijednosti i kontinuirano.
Diskretna To se zove tako slučajna vrijednost koja traje konačan ili beskonačni skup broja vrijednosti. Na primjer, učestalost hitova za tri snimke; broj neispravnih proizvoda u stranci s komada; broj poziva koji ulaze u telefonsku razmjenu tijekom dana; broj kvarova elemenata uređaja u određenom vremenskom razdoblju kada se testira na pouzdanost; Broj snimaka do prvog udarca u meti, itd.
Stalan To se naziva tako slučajnom vrijednošću koja može poduzeti bilo koje vrijednosti od određenog konačnog ili beskonačnog intervala. Očito, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable beskonačno. Na primjer, pogreška u mjerenju raspona radara; Vrijeme bez problema bez problema mikrocirkut; Pogreška proizvodnje dijelova; Koncentracija soli u morskoj vodi itd.
Slučajne varijable su tipično označene slovima, itd. I njihove moguće vrijednosti - itd. Nije dovoljno za popis svih svojih mogućih vrijednosti za određivanje slučajne varijable. Također je potrebno znati koliko često se te ili druge vrijednosti mogu pojaviti kao rezultat testova pod istim uvjetima, tj. Potrebno je postaviti vjerojatnost njihovog izgleda. Kombinacija svih mogućih vrijednosti slučajne varijance i odgovarajućih vjerojatnostima je raspodjela slučajne varijance.
Zakon o distribuciji Slučajna varijabla naziva se korespondencija između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti. Slučajni iznos kaže da mu se obvezuje ovaj zakon distribucije. Zove se dvije slučajne varijable neovisanAko zakon o distribuciji jednog od njih ne ovisi o tome što su moguće vrijednosti dobile drugu vrijednost. Inače se nazivaju slučajne varijable ovisan, Zove se nekoliko slučajnih varijabli međusobno neovisniAko zakoni raspodjele bilo kojeg broja ne ovise o tome koji mogu prihvatiti moguće vrijednosti preostalih vrijednosti.
Zakon o raspodjeli slučajne varijable može se specificirati u obliku tablice, kao funkcija distribucije, u obliku distribucijske gustoće. Tablica koja sadrži moguće vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerojatnosti je najjednostavniji oblik zadatka Zakona o raspodjeli slučajne varijable:
Tabularna zadaća Zakona o distribuciji može se koristiti samo za diskretnu slučajnu varijablu s konačnim brojem mogućih vrijednosti. Tablični oblik zadatka zakona slučajne varijable je također brojni raspodjelu.
Za jasnoću, grafički prikazuje brojne distribucije. Uz grafičku sliku u pravokutnom koordinatnom sustavu duž abscisa osi, sve moguće vrijednosti slučajne varijance su taloženi, a prema redijskoj osi, odgovarajuće vjerojatnosti. Zatim izgradite točke i spojite ih ravnim rezovima. Nazivna se brojka distribucija poligona (Sl. 5). Treba pamtiti da se spoj ordinira vrši samo radi jasnoće, budući da su između i, i tako dalje. Slučajna vrijednost se ne može uzeti, stoga su vjerojatnosti njegovog izgleda u ovim intervalima nula.
Distribucijski poligon, poput niza distribucije, jedan je od oblika zadatka distribucijskog prava diskretne slučajne varijable. Oni mogu imati drugačiji oblik, ali svatko ima jednu zajedničku imovinu: zbroj ordinate o vrhovima poligona distribucije, koji je zbroj vjerojatnosti svih mogućih vrijednosti slučajne varijable, uvijek je jednaka jednoj. Ova nekretnina slijedi iz činjenice da su sve moguće vrijednosti slučajne varijance tvore potpunu skupinu nepotpunih događaja, čiji zbroj je jednak jednom.
Definicija, Slučajna varijabla naziva se numerička vrijednost, čija vrijednost ovisi o tome koji se osnovni ishod dogodio kao rezultat eksperimenta sa slučajnim ishodom. Skup svih vrijednosti koje slučajna vrijednost može primati nazivaju se mnoštvo mogućih vrijednosti ove slučajne varijable.
Slučajne varijable označavaju: X., Y 1., Z I.; ξ , η 1., μ I.i njihove moguće vrijednosti - x 3., y 1k., z ij..
Primjer, U iskustvu s jednokratnim lijevom sviranja kosti slučajne varijable je broj X. Kupljene naočale. Mnogo mogućih vrijednosti slučajne varijable X. Izgled
{x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x 6 \u003d 6}.
Imamo sljedeću usklađenost između osnovnih ishoda ω i slučajne vrijednosti X.:
To jest, svaki elementarni ishod ω I., i \u003d 1, ..., 6, stavite u red s brojem i..
Primjer, Kovanica je bačena do prvog izgleda "grba". U tom iskustvu možete unijeti, na primjer, takve slučajne varijable: X. - broj odljeva do prvog pojavljivanja "grba" s mnoštvom mogućih vrijednosti ( 1, 2, 3, … ) I. Yor - broj "brojeva", koji je pao na prvi izgled "grba", s mnogo mogućih vrijednosti {0, 1, 2, …} (to je jasno X \u003d y + 1). U tom iskustvu, prostor elementarnih ishoda Ω može se identificirati s mnogim
{G, cg, csg, ..., c ... cg, ...},
i elementarni ishod ( C ... tsg.) stavlja se u skladu s brojem m + 1. ili m.gdje m. - broj ponavljanja slova "C".
Definicija, Skalarna funkcija X (Ω)definirani u prostoru elementarnih ishoda, nazvali su slučajnu varijablu ako za bilo koji x∈ R. (Ω: x (ω)< x} To je događaj.
Da biste proučavali vjerojatnost probabilističkih svojstava slučajne varijable, morate znati pravilo koje vam omogućuje da pronađete vjerojatnost da će slučajna vrijednost imati vrijednost od podskup svojih vrijednosti. Svako takvo pravilo naziva se zakon distribucije vjerojatnosti ili nasumična varijabilna distribucija.
Opći zakon o distribuciji svojstven svim slučajnim vrijednostima je funkcija distribucije.
Definicija, Funkcija distribucije (vjerojatnost) Random varijabla X. Funkcija poziva F (x)čija vrijednost u točki x. Jednako vjerojatnost događaja (X.< x} , to jest, događaji koji se sastoje od onih i samo onih elementarnih ishoda ω za koji X (Ω)< x :
F (x) \u003d p (x< x} .
Obično se kaže da je vrijednost funkcije distribucije u točki x. Jednako vjerojatnost da je slučajna vrijednost X. će uzeti vrijednost manje x..
Teorema, Funkcija distribucije zadovoljava sljedeća svojstva:
Tipičan pogled na funkciju distribucije.
Definicija, Nasumična varijabla X. Nazovite diskretno ako mnoge moguće vrijednosti naravno ili broje.
Definicija, U blizini distribucije (vjerojatnost) diskretna slučajna varijabla X. Nazovite tablicu koja se sastoji od dvije retke: Sve moguće vrijednosti slučajne varijance navedene su u gornjem nizu i na nižoj vjerojatnosti p i \u003d p (x \u003d x i) Ta slučajna vrijednost će se te vrijednosti.
Da biste provjerili ispravnost tablice, preporučuje se zbroj vjerojatnosti. p I., Zahvaljujući aksiomu paljenja:
Za niz raspodjelu diskretne slučajne varijable, možete izgraditi svoju distribucijsku funkciju F (x), Neka biti X. - definiran svojim brojem distribucije, i x 1< x 2 < … < x n , Onda za sve x ≤ x 1 događaj (X.< x} Stoga je to nemoguće, po definiciji F (x) \u003d 0, Ako a x 1< x≤ x 2 , onda događaj (X.< x} sastoji se od onih i samo onih elementarnih ishoda za koje X (Ω) \u003d x 1, Stoga, F (x) \u003d p 1, Slično, za x 2< x ≤ x 3 događaj (X.< x} sastoji se od osnovnih ishoda ω za koje X (Ω) \u003d x 1ili X (ω) \u003d x 2, i.e (X.< x}={X=x 1 }+{X=x 2 } , Stoga, F (x) \u003d p 1 + p 2 itd Za x\u003e x n događaj (X.< x} Pouzdano tada F (x) \u003d 1.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable također se može analitički odrediti kao formula ili grafički. Na primjer, distribucija svira kosti opisana je formulom
P (x \u003d i) \u003d 1/6, i \u003d 1, 2, ..., 6.
Binomna distribucija. Diskretna slučajna varijabilnost X. Distribuirani prema binomni zakon, ako je potrebno vrijednosti 0, 1, 2, ... n. U skladu s distribucijom koju je odredila Bernoulli formula:
Ova distribucija nije ništa više od raspodjele broja uspjeha X. u n. Testovi prema Bernoulli shemu s vjerojatnošću uspjeha p. i neuspjeh q \u003d 1-p.
Poisson distribucija. Diskretna slučajna varijabilnost X. Distribuiran zakonom Poissona ako je potrebno onoliko ne-negativnih vrijednosti s vjerojatnostima
gdje λ > 0 - parametar distribucije poissona.
Distribucija Poissona također se naziva zakon rijetkih događaja, jer se uvijek manifestira gdje se proizvode veliki broj testova, u svakom od kojih, s malom vjerojatnošću, događaju se "rijetki" događaji.
U skladu sa zakonom Poissona, distribuira, na primjer, broj poziva primljenih tijekom dana na telefonskoj razmjeni; broj meteorita koji padaju u određenom području; Broj slomljenih čestica u radioaktivnom propadanju tvari.
Geometrijska distribucija. Razmislite o Bernoulli shemu ponovno. Neka biti X. - Broj testova koji se moraju obaviti prije prvog uspjeha. Zatim X. - diskretna slučajna vrijednost, uzimanje vrijednosti 0, 1, 2, ..., n., ... definiramo vjerojatnost događaja (X \u003d n).
Slučajna varijabla s takvim nizom raspodjele naziva se podijeljeno prema geometrijskom zakonu.
Slučajne varijable.
U matematici vrijednost - Ovo je uobičajeno ime različitih kvantitativnih karakteristika objekata i pojava. Duljina, površina, temperatura, tlak itd. - Primjeri različitih količina.
Vrijednost koja uzima razne Numeričke vrijednosti pod utjecajem slučajnih okolnosti nazivaju se nasumična varijabla, Primjeri slučajnih varijabli: 1) Broj pacijenata koji čekaju ulazak od liječnika, 2) točne dimenzije unutarnjih organa ljudi, itd.
Razlikovati diskretne i kontinuirane slučajne varijable.
Slučajna vrijednost naziva se diskretnaAko je potrebno samo određene od drugih, koje se mogu instalirati i navesti.
Primjeri:
1) Broj studenata u publici - može biti samo cijeli pozitivan broj:
0,1,2,3,4….. 20…..
2) Slika koja se pojavljuje na gornjoj lici prilikom bacanja igranja kosti - može uzeti samo cijele vrijednosti od 1 do 6.
3) Relativna učestalost utipljenja na 10 snimaka - njegova značenja:
0; 0,1; 0,2; 0,3 ….. 1
4) Broj događaja koji se pojavljuju u istom vremenskim intervalima: brzina pulsa, broj hitne pomoći po satu, broj operacija mjesečno s fatalnim ishodom, itd.
Slučajna vrijednost se naziva kontinuiranoako može uzeti bilo koji Vrijednosti unutar određenog intervala, koje ponekad imaju oštro izražene granice, a nisu poznate, smatraju se da vrijednosti slučajne varijable leže u intervalu (- ¥; ¥) .. za kontinuirane slučajne vrijednosti Uključite, na primjer, temperaturu, tlak, težinu i rast ljudi, veličine krvnih krvnih krvnih elemenata, pH krvi, itd.
Koncept slučajne varijable igra odlučujuću ulogu u trenutnoj teoriji vjerojatnosti, koji je razvio posebne tehnike za prijelaz iz slučajnih događaja do slučajnih vrijednosti.
Ako slučajna vrijednost ovisi o vremenu, onda možemo govoriti o slučajnom procesu.
3.1. Diskretna slučajna varijabla
Da biste dobili potpunu karakteristiku diskretne slučajne varijable, morate odrediti sve moguće vrijednosti i njihove vjerojatnosti.
Korespondencija između mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable i njihove vjerojatnosti naziva se zakon distribucije ove veličine.
Označite moguće vrijednosti slučajne varijable x kroz Xi, i vjerojatnosti koje odgovaraju njima kroz PI *. Tada se tranzit diskretne slučajne varijable može postaviti na tri načina: u obliku tablice, grafike ili formule.
1. Stol, koji se zove u blizini distribucije,sve moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable navedene su i odgovaraju tim vrijednostima vjerojatnosti P (x):
Tablica 3.1.
U ovom slučaju, zbroj svih PI vjerojatnosti treba biti jednak jednom ( stanje je normalizacija):
pI \u003d P1 + P2 + ... + Pn \u003d
2. Grafički - u obliku slomljene linije koja je uobičajena nazvana distribucija poligona(Sl.3.1). Ovdje su duž horizontalne osi, sve moguće vrijednosti slučajne varijable Xi su položene, a uz okomitu os - odgovarajuće vjerojatnosti PI.
3. Analitički - u obliku formule: na primjer, ako je vjerojatnost ulaska u cilj na jednom metru jednaka r,tada vjerojatnost miskariranja na jednom metak q \u003d 1 - p, A. Ugovor o ramenu 1 vrijeme n. Snimci se daju formulom: p (n) \u003d qn-1 × p,
Za kontinuirane slučajne varijable nemoguće je primijeniti zakon o distribuciji u gore navedenim oblicima, budući da kontinuirana vrijednost ima bezbroj ("nebrojeno") mnoge moguće vrijednosti, potpuno popunjavajući neki interval. Stoga, napraviti tablicu u kojoj bi se popisale sve njegove moguće vrijednosti, ili za izgradnju raspodjele poligona ne može se graditi. Osim toga, vjerojatnost bilo koje pojedine vrijednosti je vrlo mala (blizu 0). U isto vrijeme, različita područja (intervala) mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable obično su jednako vjerojatne. Dakle, postoji određeni zakon o distribuciji, iako ne u bivšem smislu.
Razmotrite kontinuirani slučajni iznos X, čije su moguće vrijednosti u potpunosti ispunjene nekim intervalom (a, b) *. Zakon distribucija vjerojatnosti Takva vrijednost treba omogućiti da pronađe vjerojatnost njegovih vrijednosti u bilo koji određeni interval (X1, X2), ležeći unutar (a, b *) (Sl.3.2.)
Ta je vjerojatnost označena pomoću P (x1<Х< х2), или Р(х1 £ Х £ х2).
Razmotriti prvo vrlo mali interval Vrijednosti iz X do (X + DX) (vidi sliku.3.2.) Nisku vjerojatnost dr. Da je slučajna vrijednost će potrajati određenu vrijednost iz ovog malog intervala (X, X + DX), bit će proporcionalna vrijednost ovog DX intervala: Dr. DX, ili, uvođenje omjera proporcionalnosti F, koji mogu ovisiti o X, dobivamo:
dr \u003d f (x) × DX. (3.2)
Uvedena američka funkcija f (x) nazvan Gustoća distribucije vjerojatnosti Slučajna varijabla X ili, ukratko, gustoća vjerojatnosti (gustoća distribucije). Jednadžba (3.2) može se promatrati kao diferencijalna jednadžba, a zatim vjerojatnost udarca. Redovi intervala (X1, X2) jednaki su:
P (x1< Х < х2) = f (x) dx. (3.3)
Grafički ova vjerojatnost p (x1< Х < х2) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой f (x) i ravno x \u003d X1 i X \u003d X2 (vidi sliku.3.3), koji slijedi iz geometrijskog značenja određenog integralnog (3.3). Zavoj f (x)
To se zove krivulja raspodjele.
Od (3.3) može se vidjeti da ako je poznata funkcija f (x), To mijenja granice integracije, možete pronaći vjerojatnost za bilo koje intervale. Dakle, to je funkcija postavljanja f (x) Potpuno određuje zakon o distribuciji za kontinuirane slučajne varijable.
Za gustoću vjerojatnosti distribucije F (x) mora se izvesti stanje je normalizacijakao:
f (x)dx = 1, (3.4)
ako je poznato da sve vrijednosti x leže u intervalu (a, b) ili u obliku:
f (x) DX \u003d 1, (3.5)
ako su granice intervala za vrijednosti X nisu poznate. Uvjeti za normalizaciju gustoće vjerojatnosti (3.4) ili (3.5) posljedica su vrijednosti slučajne varijable x pouzdano Leže unutar (a, b) ili (- ¥, + ¥). Iz (3.4) i (3.5) slijedi to područje slike, ograničenu krivulju raspodjele i Abscisa os, uvijek je jednaka 1.
3.3. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli.Rezultati navedeni u stavcima 3.1 i 3.2. Pokazuju da je puna karakteristika diskretnih ili kontinuiranih slučajnih vrijednosti daje zakone njihove distribucije.
Međutim, u mnogim praktično značajnim situacijama su takozvane Numeričke karakteristike Slučajne varijable, čija je glavna svrha izraziti u komprimiranom obliku najvažnije značajke njihove distribucije. Važno je da su ti parametri specifične (konstantne) vrijednostikoji se mogu vrednovati pomoću podataka dobivenih u eksperimentima. Te se procjene bave takozvanim "opisnim statistikama".
U teoriji vjerojatnosti i matematičke statistike, postoji dosta različitih karakteristika, ovdje se razmatramo najčešće korištene. Samo za to su formule za koje se izračunavaju njihove vrijednosti, u drugim slučajevima, izračuni će napustiti računalo.
3.3.1. Karakteristike situacije: Matematičko čekanje, moda, medijan.
On karakteriziraju položaj slučajne varijable na numeričkoj osi, tj. Navedite neke njegove važne vrijednosti koje karakteriziraju raspodjelu drugih vrijednosti. Među njima, matematičko očekivanje M (X) igra ključnu ulogu.
ali). Matematički očekivanje M (x) Slučajna varijabla je probabilistički analog o prosječnoj aritmetici.
Za diskretnu slučajnu varijablu izračunava se formulom:
M (x) \u003d X1R1 + X2P2 + ... + XNRN \u003d \u003d, (3.6)
iu slučaju kontinuirane slučajne varijable M (X) se određuju formulama:
M (x) \u003d ili m (x) \u003d (3.7)
gdje je F (x) je gustoća vjerojatnosti, DP \u003d F (x) DX - element vjerojatnosti (PI analog) za mali DX interval (DX).
Primjer.Izračunajte prosječnu vrijednost kontinuirane slučajne varijable s jedinstvenom raspodjelom na segmentu (a, b).
Odluka: Uz jedinstvenu distribuciju, gustoća vjerojatnosti u intervalu (a, b) je konstantna, tj. F (X) \u003d FO \u003d Const, i izvan (a, b) je nula, a iz normalizacijskog stanja (4.3) naći ćemo Vrijednost F0:
F0 \u003d f0 × x | \u003d (b-a) f0, odakle
M (x) \u003d 
| \u003d \u003d (A + B).
Dakle, matematičko očekivanje M (X) podudara se sa sredinom intervala (a, b), koji je određen, tj. \u003d M (X) \u003d.
B). Modni mo (x) diskretna slučajna varijablanazvao ga najvjerojatnije vrijednost(Sl.3.4, a), i stalan - Vrijednost H.u kojem gustoća vjerojatnost maksimum (Sl.3.4, b).
u). Još jedna značajka pozicije - srednji (Mi.) Random promjenjiva distribucija.
Srednji Krzno)slučajna varijacija nazvana je njegova vrijednost H.koji dijeli sva raspodjela u dva ekvivalentna dijela. Drugim riječima za slučajnu varijablu jednako vjerojatno Uzeti vrijednosti manje ja (x) ili više mene (x): P (x< Ме) = Р(Х > I) \u003d.
Stoga se medijan može izračunati iz jednadžbe:
(3.8)
Grafički medijan je vrijednost slučajne varijable čija je ordinata podijeljena područje, ograničena krivulja raspodjele, u pola (S1 \u003d S2) (Sl.3.4, b). Ova karakteristika obično koristi samo Za kontinuirane slučajne varijable, iako se može formalno odrediti za diskretni X.
Ako se m (x), mo (x) i ja (x) podudaraju, tada se zove raspodjela slučajne varijance simetričan, inače - asimetrični.
Raspršivanje karakteristike - disperzija i standardna devijacija (sekundarna kvadratna devijacija).
DisperzijaD. (X.) slučajna varijabla x definira se kao matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajnih X iz matematičkog očekivanja m (x):
D (x) \u003d m2, (3.9)
ili d (x) \u003d m (x2) - a)
Dakle za diskretnarandom dimenzija izračunava se formulama:
D (X) \u003d [XI - M (x)] 2 pi, ili d (X) \u003d XI2 pi -
i za kontinuiranu veličinu, distribuira se u intervalu (a, b):
a za interval (-∞, ∞):
D (X) \u003d 2 F (x) DX ili D (X) \u003d X2F (X) DX -
Disperzija karakterizira prosječno raspršenje, raspršenje vrijednosti slučajne varijable X u odnosu na matematičko očekivanje. Riječ "disperzija" sama znači "raspršenje".
Ali disperzija d (x) ima dimenziju kvadrata slučajne varijable, koja je vrlo nezgodna pri ocjenjivanju raspršivanja u fizičkim, biološkim, medicinskim itd. Stoga, obično koriste drugi parametar, čija se dimenzija podudara s dimenzijom X. Ovo srednji kvadratni odstupanje slučajna varijabla x, koja je označena s. (X):
s. (X) \u003d (3.13)
Dakle, matematičko očekivanje, moda, medijan, disperzija i sekundarno kvadratno odstupanje su najzahtjevnije Numeričke karakteristike raspodjele slučajnih varijabli, od kojih svaka, kao što je prikazano, izražava neku karakteristično svojstvo ove distribucije.
3.4. Normalni zakon distribucije slučajnih varijabli
Normalni zakon o distribuciji(Gaussov zakon) igra iznimno važnu ulogu u teoriji vjerojatnosti. Prvo, to je najčešće u praksi zakon distribucije kontinuiranih slučajnih varijabli. Drugo, to je ograničiti Zakon, u smislu da se, pod određenim uvjetima, drugi zakoni o distribuciji približavaju se.
Normalan zakon Distribucija karakterizira sljedeća formula za gustoću vjerojatnosti:
, (3.13)
Ovdje x - trenutne vrijednosti slučajne varijable x i m (x) i s. - Njegova matematička očekivanja i standardna devijacija koja u potpunosti određuju funkciju F (x). Dakle, ako je slučajna sorta raspodijeljena u skladu s normalnim zakonom, dovoljno je znati samo dva brojčana parametra: m (x) i s.Potpuno znati zakon o njegovoj distribuciji (3.13).Raspored funkcija (3.13) normalna krivulja distribucija (Gauss krivulja). Ima simetrični izgled u odnosu na ordinaciju x \u003d m (x). Maksimalna gustoća vjerojatnosti jednaka "odgovara matematičkom očekivanju" X \u003d m (X), a kako gustoća vjerojatnosti F (X) uklanja iz njega, smanjuje se, postupno približavajući se nuli (sl. Vrijednost M ( x) u (3.13) ne mijenja oblik normalne krivulje, već vodi samo na svoj pomak duž osi apscisa. Vrijednost m (X) također se naziva i raspršivački centar i RMS odstupanje s. karakterizira širinu krivulje raspodjele (vidi sliku.3.6).
S povećanjem s. Maksimalni redoslijed krivulje se smanjuje, a sama krivulja postaje češća, protežući se duž osi apscisa, dok je s smanjenjem s.krivulja je sastavljena dok istovremeno komprimira sa strane (sl. 6).
Naravno, za bilo koje vrijednosti M (x) i S, površine ograničeno normalnom krivuljom i osi X ostaje jednaka 1 (normalizacijskom stanju):
f (X) DX \u003d 1 ili F (x) DX \u003d
Normalna distribucija je simetrično, stoga m (x) \u003d mo (x) \u003d me (X).
Vjerojatnost unosa vrijednosti slučajne varijable u interval (X1, X2), tj. P (X1< Х< x2) равна
P (x1.< Х < x2) = 
. (3.15)
U praksi, problem pronalaženja vjerojatnosti vrijednosti normalno raspoređene slučajne varijable u intervalu, simetrični u odnosu na M (X). Konkretno, razmotrite sljedeće, važan zadatak u primijenjenom odnosu. Odgodit ću s m (x) na desne i lijeve segmente jednake S, 2S i 3S (sl. 7) i razmotriti rezultat izračuna vjerojatnosti unosa X u odgovarajućim intervalima:
P (m (x) - s. < Х < М(Х) + s.) = 0,6827 = 68,27%. (3.16)
P (m (x) - 2s< Х < М(Х) + 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (3.17)
P (m (x) - 3s< Х < М(Х) + 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (3.18)
Iz (3.18) slijedi da su vrijednosti normalne raspoređene slučajne varijable s parametrima M (x) i s s vjerojatnošću p \u003d 99,73% leže u intervalu m (x) ± 3s, inače gotovo sve moguće vrijednosti Ovog slučajnog pada u ovaj interval. Vrijednosti. Ova metoda procjene raspona mogućih vrijednosti slučajne varijance je poznata kao "pravilo od tri SIGM".
Primjer.Poznato je da je pH krvi krvi normalna distribuirana vrijednost s prosječnom vrijednošću (matematičko očekivanje) 7.4 i standardno odstupanje od 0,2. Odredite raspon mogućih vrijednosti ovog parametra.
Odluka:Da bismo odgovorili na ovo pitanje, koristimo "pravilo tri SIGM". Uz vjerojatnost jednake 99,73%, može se tvrditi da je raspon pH vrijednosti za osobu 7,4 ± 3 · 0,2, odnosno 6,8 ÷ 8.
* Ako su točne vrijednosti graničnih granica nepoznate, razmatra se interval (- ¥, + ¥).
Učenici, diplomirani studenti, mladi znanstvenici koji koriste bazu znanja u studijima i radu bit će vam vrlo zahvalni.
Objavio http://www.llbest.ru/
Diskretne slučajne varijable
Neka se obavlja neki test, što je rezultat koji je jedan od nepotpunih slučajnih događaja (broj događaja ili naravno ili snimljenih, to jest, događaji mogu biti numerirani). Svaki ishod se stavlja u skladu s nekim važećim brojem, to jest, valjana funkcija X s vrijednostima navedena je na skupu slučajnih događaja. Ova se značajka x zove diskretna slučajan vrijednost (Izraz "diskretan" se koristi jer su vrijednosti slučajne varijance pojedinačne brojeve, za razliku od kontinuiranih funkcija). Budući da se vrijednosti slučajnih varijabli mijenjaju ovisno o slučajnim događajima, glavni interes predstavlja vjerojatnosti s kojima slučajna vrijednost ima različite numeričke vrijednosti. Zakon distribucije slučajne varijable je odnos koji uspostavlja odnos između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti. Zakon o distribuciji može imati različite oblike. Za diskretnu slučajnu varijablu, zakon o distribuciji je ukupnost parova brojeva (), gdje - moguće vrijednosti slučajne varijable i vjerojatnosti s kojima je potrebno te vrijednosti je :. Gdje.
Parovi se mogu smatrati bodovima u nekom koordinatnom sustavu. Spajanjem tih točaka s ravnim linijama dobivamo grafičku sliku Zakona o distribuciji - distribuciji poligona. Najčešće se zakon distribucije diskretne slučajne varijable bilježi u obliku tablice u kojoj su napravljeni parovi.
Primjer. COIN je dodan dvaput. Napravite raspodjelu zakona broja "grba" u ovom testu.
Odluka. Slučajni X je broj emisija "grb" u ovom testu. Očito, X može uzeti jedan od tri značenja: 0, 1, 2. Vjerojatnost izglede "grba" na jednom bacanju novčića jednaka je p \u003d 0,5, a gubitak "Rush" q \u003d 1 - p \u003d 0,5. Vjerojatnosti s kojima se nasumična vrijednost popisuje uvrštene vrijednosti će pronaći Bernoulli formulu:
Zakon distribucije slučajne varijable X napiši u obliku raspodjele tablice
Kontrolirati:
Neki zakoni distribucije diskretnih slučajnih varijabli, koji se često pojavljuju u rješavanju različitih zadataka, dobila su posebna imena: geometrijska distribucija, hipergeometrijska distribucija, binomna distribucija, pozornost poisson i drugi.
Distribucija diskretne slučajne varijable može se odrediti korištenjem funkcije distribucije F (x), koja je jednaka vjerojatnosti da će slučajna vrijednost x uzeti vrijednosti na intervalu ???? x?: F (x) \u003d P (x Funkcija F (x) je definirana na cijeloj valjanoj osi i ima sljedeća svojstva: jedan) ? ? F (x)? jedan; 2) f (x) - ne-smanjuje funkcija; 3) f (?) \u003d 0, f (+?) \u003d 1; 4) f (b) - f (a) \u003d p (a? X< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69 2 =(2-2.3) 2 =0.09 2 =(5-2.3) 2 =7.29 Napisat ćemo zakonsku distribuciju kvadratnih odstupanja: Rješenje: Naći ćemo matematičko očekivanje M (x): M (x) \u003d 2 x 0,1 + 3x 0,6 + 5 * 0,3 \u003d 3.5 WEW DISTRIBUCIJA ACT Random X 2 Naći ćemo matematičko očekivanje m (x 2): M (X2) \u003d 4 x 0,1 + 9 * 0,6 + 25 * 0,3 \u003d 13,5 Željena disperzija d (X) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 13.3- (3.5) 2 \u003d 1.05 Svojstva disperzije 1. Disperzija konstantne vrijednosti s nulom: D (c) \u003d 0 2. Stalni multiplikator može se napraviti za disperzijski znak, jesti u kvadrat. D (CX) \u003d C2D (X) 3. Disperzija zbroja neovisnih slučajnih varijabli jednaka je količini disperzija tih vrijednosti. D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d d (x 1) + d (x 2) + ... + D (X N) 4. Disperzija binomne distribucije jednaka je proizvodu broja testova po vjerojatnosti pojavljivanja i krivnje događaja u jednom testu D (X) \u003d NPQ. Procijeniti raspršenje mogućih vrijednosti slučajne varijable oko svoje prosječne vrijednosti, osim disperzije, također se poslužuju neke druge karakteristike. To uključuje prosječnu kvadratnu devijaciju. Definicija. Prosječna kvadratna odstupanja slučajne varijable X naziva se kvadratni korijen iz disperzije: Primjer 8. slučajna vrijednost X postavljena je zakonom distribucije Pronađite srednje kvadratno odstupanje od (x) Rješenje: Pronađite matematičko očekivanje X: M (x) \u003d 2 x 0,1 + 3 x 0,4 + 10 * 0,5 \u003d 6.4 Nalazimo matematičko očekivanje X 2: M (x 2) \u003d 2 x 0,1 + 3 2 x 0,4 + 10 2 * 0,5 \u003d 54 Pronađite disperziju: D (X) \u003d m (x 2) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 54-6,4 2 \u003d 13.04 Druga prosječna kvadratna devijacija (x) \u003d vd (x) \u003d v13.04? 3.61 Teorema. Prosječna kvadratna odstupanja iznosa konačnog broja međusobno neovisnih slučajnih varijabli jednako je kvadratna korijena od zbroja kvadrata prosječnih kvadratnih odstupanja tih količina: Slučajne varijable Koncept slučajne varijable je glavni u teoriji vjerojatnosti i njegovih primjena. Slučajne vrijednosti, na primjer, broj bodova u jednom bacanju svira kosti, broj opasnih atoma radija u vremenskom razdoblju, broj poziva na telefonsku postaju za određeno vremensko razdoblje, odstupanje od nominalni dio dijela s pravilno uspostavljenim procesom i tako dalje. Na ovaj način, slučajan
vrijednost Poziva se varijabilna vrijednost koja, kao rezultat eksperimenta, može primiti jednu ili drugu numeričku vrijednost. U budućnosti ćemo pogledati dvije vrste slučajnih varijabli - diskretnih i kontinuiranih. 1. Diskretne slučajne varijable Razmotrite slučajnu varijablu *, čije su moguće vrijednosti formiraju konačni ili beskonačni slijed brojeva x.1
,
x.2
,
.
..,
x.n.,
.
..
.
Neka funkcija navedu p (x)čija vrijednost u svakoj točki x \u003d X.i.(i \u003d 1,2,.
..)
Jednako vjerojatnost da će vrijednost potrajati x.i..
Tako se naziva slučajna vrijednost diskretna
(povremeni), Funkcija p (x) nazvan zakon
distribucija
vjerojatnost
slučajan
vrijednostili kratko zakon
distribucija, Ova je značajka definirana na točkama slijeda. x.1
,
x.2
,
.
..,
x.n.,
.
..
.
Budući da u svakom od testova, slučajna vrijednost uvijek uzima bilo koju vrijednost iz područja njegove promjene, Primjer1.
Slučajna vrijednost - broj točaka koje padaju po jednom bacanju svira kosti. Moguće vrijednosti - brojevi 1, 2, 3, 4, 5 i 6. U ovom slučaju, vjerojatnost da će bilo koja od ovih vrijednosti uzeti, jedan i isti i jednak 1/6. Što će zakon distribucije? ( Odluka) Primjer2.
Neka slučajna vrijednost - broj događaja A. s jednim testom i P (a) \u003d p, Mnoge moguće vrijednosti sastoje se od 2 broja 0 i 1: =0
Ako je događaj A. nije se dogodilo i =1
Ako je događaj A. dogodilo. Na ovaj način, Pretpostavimo da se proizvodi n. Neovisni testovi, kao rezultat svakog od kojih se može pojaviti ili ne pojačati A., Neka vjerojatnost događaja A. svaki put kada je test jednak p. A. za n. Neovisni testovi. Područje promjena sastoji se od svih cijelih brojeva 0
prije n. uključivo. Zakon o distribuciji vjerojatnosti p (m)određeno Bernoulli formulom (13 "): Zakon o raspodjeli vjerojatnosti prema Bernoulli formuli se često naziva binomnikao P.n.(m)predstavlja m.-D član razgradnje binoma. Neka slučajna vrijednost može uzeti bilo koju cijelu ne-negativnu vrijednost i gdje je neka pozitivna konstanta. U ovom slučaju, kažu da je slučajna sorta raspoređena zakon
Poisson, Imajte na umu da kada k \u003d 0. treba staviti 0!=1
. Kao što znamo, na velikim vrijednostima broja n. Nezavisni testovi vjerojatnosti P.n.(m) Uvredljiv m. Jednom događaji A. Prikladnije je pronaći Bernoulli formulu, ali prema laplace formuli [vidi formula (15)]. Međutim, potonji daje velike pogreške na niskoj vjerojatnosti r Izgled događaja ALI U jednom testu. U tom slučaju, brojati vjerojatnost P.n.(m) To je prikladno koristiti Poissonu formulu u kojoj staviti. Formula Poissona može se dobiti kao ekstremni slučaj Bernoulli formule s neograničenim povećanjem broja testova. n. I sa željom za nultom vjerojatnošću. Primjer3.
Stranka dijelova stigla je u biljku u iznosu od 1000 komada. Vjerojatnost da će detalj biti neispravan, jednak 0,001. Koja je vjerojatnost da će doći do 5 neispravnih dolazaka? ( Odluka) Distribucija Poissona često se nalazi u drugim zadacima. Dakle, na primjer, ako je telefonski u prosjeku u jednom satu N. poziva, kako možete pokazati, vjerojatnost P (k) da će za jednu minutu ona dobiti k. Poziva, izražena formulom Poissona, ako je stavljena. Ako su moguće vrijednosti slučajne varijance formiraju konačnu sekvencu x.1
,
x.2
,
.
..,
x.n., Zakon o raspodjeli vjerojatnosti slučajne varijance je naveden u obliku sljedeće tablice u kojoj Vrijednost Vjerojatnost p (xi) Ova tablica se zove u blizini
distribucija nasumična varijabla. Živo funkcionira p (x) Možete prikazati u obliku grafikona. Da biste to učinili, uzmite pravokutni koordinatni sustav u ravnini. Prema horizontalnoj osi, odgodit ćemo moguće vrijednosti slučajne varijable i duž vertikalne osi - vrijednosti funkcije. Raspored funkcije p (x) opisuje na sl. 2. Ako spojite točke ovog grafikona s pravocktivnim segmentima, tada se navodi slika poligon
distribucija. Primjer4.
Neka događaj ALI - izgled jedne točke prilikom bacanja kosti; P (a) \u003d 1/6, Razmotrite slučajni iznos - broj događaja ALI S deset bacanja kosti. Vrijednosti funkcije p (x) (Zakon o distribuciji) prikazani su u sljedećoj tablici: Vrijednost Vjerojatnost p (xi) Vjerojatnost p (X.i.)
Izračunate Bernoulli formulom n \u003d 10., Za x\u003e 6. Oni su praktički jednaki nuli. Grafikon funkcije P (x) prikazan je na Sl. 3. Funkcija raspodjele slučajne varijance vjerojatnosti i njegovih svojstava Razmotrite funkciju F (x)definirano na cijeloj numeričkoj osi kako slijedi: za svaki h. vrijednost F (x) Jednako vjerojatnost da će diskretna slučajna vrijednost imati vrijednost manje h., tj. Ova se značajka zove funkcija
distribucija
vjerojatnostili kratko funkcija
distribucija. Primjer1.
Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable dane u Primjeru 1, stavak 1. ( Odluka) Primjer2.
Pronađite funkciju raspodjele slučajne varijable dane u Primjeru 2, stavak 1. ( Odluka) Poznavanje funkcije distribucije F (x)Lako je pronaći vjerojatnost da slučajna vrijednost zadovoljava nejednakosti. Razmotrite događaj, koji je da će slučajna vrijednost imati vrijednost manje. Ovaj događaj se razgrađuje u iznosu od dva nedosljednih događaja: 1) slučajna vrijednost uzima vrijednosti manje, tj. ; 2) Slučajna vrijednost zahtijeva vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakosti. Pomoću aksioma dodavanja, dobiti Ali definiranjem funkcije distribucije F (x) [cm. Formula (18)] Imamo nastojeći Na ovaj način, vjerojatnost
pogoditi
diskretna
slučajan
vrijednost
u
interval
jednak
prirast
funkcije
distribucija
na
to je
interval. Smatratiodržavanjesvojstvafunkcijedistribucija. 1 °. Funkcija
distribucija
je
nezakonito. Zapravo, neka< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что 2 °. Vrijednost
funkcije
distribucija
zadovoljiti
nejednakosti . Ova nekretnina slijedi iz činjenice da F (x) Određena kao vjerojatnost [cm. formula (18)]. Jasno je da * i. 3 °. Vjerojatnost
ići,
što
diskretna
slučajan
vrijednost
vick
jedan
od
moguć
vrijednost
x.i.,
jednak
srušiti
funkcije
distribucija
u
točka
x.i.. Doista, neka x.i. - vrijednost koju je primila diskretna slučajna varijabla i. Vjerujući u formulu (19), dobivamo U granici, umjesto vjerojatnosti dolazne slučajne varijable u intervalu, dobivamo vjerojatnost da će vrijednost preuzeti ovu vrijednost. x.i.: S druge strane, dobivamo, tj. Granica funkcije F (x) Pravo, jer. Prema tome, u granici formule (20) će se oni. vrijednost p (X.i.)
jednaka funkciji skoka ** x.i., Ova nekretnina je jasno ilustrirana na sl. 4 i riža. pet. Kontinuirane slučajne varijable Osim diskretnih slučajnih varijabli, moguće vrijednosti čije formiraju konačni ili beskonačni slijed brojeva koji ne ispunjavaju u potpunosti bez intervala, često postoje slučajne varijable, čije moguće vrijednosti čine neki interval. Primjer takve slučajne varijable može poslužiti kao odstupanje od nominalnog dijela dijela s pravilno uspostavljenim tehnološkim procesom. Ova vrsta, slučajne varijable ne mogu se dati pomoću Zakona o distribuciji vjerojatnosti p (x), Međutim, mogu se postaviti pomoću funkcije distribucije vjerojatnosti F (x), Ova je značajka definirana na isti način kao u slučaju diskretne slučajne varijable: Dakle, ovdje je funkcija F (x) Definirano na cijeloj numeričkoj osi i njegovoj vrijednosti u točki h. Jednako vjerojatnost da će slučajna vrijednost potrajati manje od h.. Formula (19) i svojstvima 1 ° i 2 ° vrijede za funkciju distribucije bilo koje slučajne varijable. Dokaz se provodi na sličan način na slučaju diskretne vrijednosti. Poziva se slučajna vrijednost stalanAko postoji ne-negativna kontinuirana funkcija * zadovoljavajuće za sve vrijednosti x. jednakost Funkcija se zove gustoća
distribucija
vjerojatnostili kratko gustoća
distribucija, Ako a x. 1
Na temelju geometrijskog značenja integralnog kao područja, može se reći da je vjerojatnost obavljanja nejednakosti jednaka području curvilinear trapeza s bazom
, ograničeno s vrha krivulje (sl. 6). Od tada, ali na temelju formule (22) Koristeći formulu (22), nalazimo kao integralni derivat u varijabilnoj gornji granici, računajući kontinuiranu gustoću distribucije **: Imajte na umu da je za kontinuiranu slučajnu varijablu, funkciju distribucije F (x) kontinuirano bilo gdje h.gdje je funkcija kontinuirana. Iz činjenice da F (x) Na tim točkama razlikovati. Na temelju formule (23), vjerujući x. 1
\u003d X., imati Zbog kontinuiteta funkcije F (x) Dobivamo to Stoga Na ovaj način, vjerojatnost
ići,
što
stalan
slučajan
vrijednost
limenka
prihvatiti
bilo tko
razdvojiti
vrijednost
x,
jednak
nula. Odavde slijedi da se događaji koji se sastoje u ispunjavanju svake od nejednakosti Imaju istu vjerojatnost, tj. U stvari, na primjer, Komentar. Kao što znamo je li događaj nemoguć, vjerojatnost njegovog pojavljivanja je nula. U klasičnoj definiciji vjerojatnosti, kada je broj ishoda ispitivanja, naravno, postoji i inverzna ponuda: ako je vjerojatnost događaja nula, događaj nije moguć, jer u ovom slučaju ne favorizira jedan od Ispitni ishodi. U slučaju kontinuirane slučajne varijable, broj mogućih vrijednosti njegovih vrijednosti je beskonačan. Vjerojatnost da će ta vrijednost poduzeti bilo koju vrijednost x. 1
Kao što smo vidjeli, nula je jednaka. Međutim, odavde ne slijedi da je ovaj događaj nemoguć, jer kao rezultat testa, slučajna vrijednost može, posebno, uzeti vrijednost x. 1
, Stoga, u slučaju kontinuirane slučajne varijable, ima smisla govoriti o vjerojatnosti slučajne varijance u intervalu, a ne o vjerojatnosti da će poduzeti određenu vrijednost. Na primjer, u proizvodnji valjka, nismo zainteresirani za vjerojatnost da će njegov promjer biti jednak nominalnom. Za nas, vjerojatnost da promjer valjka ne napušta polje upisa. Primjer. Gustoća raspodjele kontinuirane slučajne varijable je sljedeća: Funkcija grafikon prikazuje PA sl. 7. Odredite vjerojatnost da će slučajna vrijednost potrajati vrijednost koja zadovoljava nejednakosti. Pozovite funkciju distribucije dane slučajne varijable. ( Odluka) Sljedeće dvije točke posvećene su čestim razdionici kontinuiranih slučajnih varijabli - ujednačene i normalne distribucije. * Funkcija se naziva kofersiznom kontinuiranom na cijeloj numeričkoj osi, ako je na bilo kojem segmentu ili kontinuiranoj ili ima konačan broj GAP bodova I roda. ** Pravilo diferencijacije integrala s promjenjivim gornjim granicama, izvedenim u slučaju konačne donje granice, ostaje pošteno za integrale s beskonačnom donjem granicom. Doista, Od integralnog postoji trajna vrijednost. Slučajne varijable Pod slučajan vrijednosti razumjeti numeričke karakteristike slučajnih događaja. Drugim riječima, slučajne varijable su numerički rezultati eksperimenata čije vrijednosti koje su nemoguće (u ovom trenutku) unaprijed predvidjeti. Na primjer, sljedeće vrijednosti mogu se promatrati kao slučajno: 2. Postotak dječaka među djecom rođen u određenoj rodiljnoj bolnici za određeni dan. 3. Broj i područje mrlja na suncu vidljivi su u nekoj opservatoriju tijekom određenog dana. 4. Broj studenata koji su kasnili na ovo predavanje. 5. Tečaj dolar na burzi (recimo, na Miševi), iako to ne može biti tako "slučaj", kao što se čini da je nabitelj. 6. Broj kvarova opreme na određeni dan u određenom poduzeću. Slučajne varijable podijeljene su na diskretne i kontinuirane ovisno o tome što su mnoge moguće vrijednosti odgovarajuće karakteristike diskretne ili kontinuirane. Ova podjela je vrlo uvjetno, ali korisna pri odabiru odgovarajućih metoda istraživanja. Ako je broj mogućih vrijednosti slučajne varijable naravno ili usporediv s više prirodnih brojeva (tj. Može se preimenoviti), tada se slučajna vrijednost PDF-a stvorene s fineprint PDFFFAFtory probna verzija http: //www.fineprint .com se zove diskretna. Inače se naziva kontinuirano, iako bi se u stvari, bilo implicitno pretpostavljeno da zapravo kontinuirane slučajne varijable uzimaju svoje značenje u nekom jednostavnom numeričkom outback (segment, interval). Na primjer, diskretna će biti gore navedena slučajna varijabla na brojevima 4 i 6 i kontinuirano - pod brojevima 1 i 3 (površina mrlja). Ponekad se pomiješa slučajna vrijednost. Takav, na primjer, stopa dolar (ili neka druga valuta), koja zapravo uzima samo diskretni skup vrijednosti, ali se ispostavlja da je prikladno pretpostaviti da je skup njegovih vrijednosti "kontinuirano". Random varijable mogu se postaviti na različite načine. Diskretne slučajne varijable obično postavljaju zakon o distribuciji. Ovdje, svaka moguća vrijednost X1, X2, ... slučajna vrijednost X se uspoređuje vjerojatnost P1, P2, ... ove vrijednosti. Kao rezultat toga, formira se tablica koja se sastoji od dvije linije: To je zakon distribucije slučajne varijable. Kontinuirane slučajne varijable Zakon o distribuciji nije moguć, jer prema njegovoj definiciji, njihova se vrijednost ne može odreći i stoga je isključen zadatak u obliku tablice. Međutim, za kontinuirane slučajne varijable postoji još jedan način za zadatak (primjenjivo, usput, za diskretne vrijednosti) je funkcija distribucije: jednaka vjerojatnosti događaja da je slučajna vrijednost X će potrajati manje od navedenog broja X. Često, umjesto funkcije distribucije, prikladno je koristiti drugu funkciju - gustoću F (x) raspodjele slučajne vrijednosti X. Ponekad se ponekad naziva diferencijalna funkcija distribucije i f (x) u tome Terminologija se naziva integralna distribucija. Ove dvije funkcije međusobno se međusobno definiraju prema sljedećim formulama: Ako je slučajna varijabla diskretna, onda za to koncept distribucijske funkcije također ima smisla, u ovom slučaju graf distribucijske funkcije sastoji se od horizontalnih dijelova, od kojih je svaki nalazi iznad prethodne vrijednosti jednakim PI. Važni primjeri diskretnih vrijednosti su, na primjer, binomially distribuirane vrijednosti (Bernoulli distribucija), za koju je PDF stvoren s finePrint PDFFActory probna verzija http://www.fineprint.com n pk (1-p) n-k \u003d! ()! gdje je P vjerojatnost zasebnog događaja (ponekad se uobičajeno naziva "vjerojatnost uspjeha"). Tako je raspodijelio rezultate niza uzastopnih homogenih testova (Bernoulli krug). Granični slučaj binomilne distribucije (s povećanjem broja testova) je distribucija Poissona za koju pk \u003d? K / k! · Exp (-?) gdje?\u003e 0 neki pozitivan parametar. Najjednostavniji primjer kontinuirane raspodjele je jedinstvena raspodjela. Na segmentu je stalna distribucijska gustoća jednaka 1 / (B-a), a izvan ovog segmenta gustoća je 0. Iznimno važan primjer kontinuirane raspodjele je normalna distribucija. Je li definirano s dva parametra m i? (matematičko očekivanje i standardna devijacija - vidi dolje), njegova distribucija gustoća ima oblik: 1 EXP (- (X-M) 2/2? 2) Temeljna uloga normalne distribucije u teoriji vjerojatnosti je zbog činjenice da je zbog središnjeg graničnog teorema (CPT), zbroj velikog broja slučajnih varijabli, koji su nezavisno o tome (o konceptu neovisnosti slučajnih Varijable, pogledajte dolje) ili slabo ovisne, ispada da se približno raspoređuje u skladu s normalnim zakonom. Slijedi da slučajna vrijednost, čija je slučajnost uzrokovana nametanjem velikog broja neznatno ovisnih slučajnih čimbenika, može se smatrati približno kao što je normalno distribuirano (bez obzira na to kako su priče o svojim čimbenicima distribuirane). Drugim riječima, normalno distribucijski zakon je vrlo univerzalan. Postoji nekoliko numeričkih značajki koje su prikladne za uporabu pri proučavanju slučajnih varijabli. Među njima ćemo postaviti matematičko očekivanje jednak prosječnom vrijednošću slučajne varijable, disperzija D (x) \u003d m (X-M (x)) 2, jednaka matematičkom čekanju za kvadratnu devijaciju slučajne varijable od prosječne vrijednosti, i drugog, prikladnog u praksi, dodatna vrijednost (ista dimenzija kao početna slučajna vrijednost): kao stvar standardne devijacije. Pretpostavljamo (bez propisanog u budućnosti) da svi ispušteni integrali postoje (tj. Konvergiraju na cijeloj numeričkoj osi). Kao što je poznato, disperzija i standardna devijacija karakteriziraju stupanj raspršenja slučajne varijable oko svoje prosječne vrijednosti. Od PDF stvorenog s fineprint PDFFActory probna verzija http://www.fineprint.com je manje disperzija, što je blisko vrijednosti slučajne varijable oko svoje prosječne vrijednosti grupirane. Na primjer, matematičko očekivanje za distribuciju Poissona je jednaka?, Za jedinstvenu distribuciju, jednako je (A + B) / 2, a za normalnu distribuciju jednaka je m. Disperzija za distribuciju Poissona jednaka je?, Za jedinstvenu distribuciju (B-A) 2/12, a za normalnu raspodjelu je jednaka? 2. Koristit će se sljedeća svojstva matematičkog očekivanja i disperzije: 1. M (X + Y) \u003d M (x) + M (Y). 3. D (CX) \u003d C2D (X), gdje je C proizvoljno konstantni broj. 4. d (X + a) \u003d d (a) za proizvoljnu konstantnu (nesudnaku) vrijednost A. Slučajna vrijednost? \u003d U-MA se naziva centrirano. Od objekta 1, slijedi da m? \u003d M (U-MU) \u003d m (U) -m (u) \u003d 0, tj. Njegova prosječna vrijednost je 0 (njegovo ime je povezano). U isto vrijeme, zbog svojstava 4, imamo d (?) \u003d D (u). Također postoji koristan omjer koji je prikladan za korištenje u praksi za izračunavanje disperzije i povezanih s njezinim vrijednostima: 5. d (x) \u003d m (x2) -m (X) 2 Slučajne varijable X i Y nazivaju se neovisni ako postoje događaji i neovisne vrijednosti X i Y za proizvoljne vrijednosti X i y. Na primjer, neovisna će (očito ...) rezultate mjerenja napona u mrežnoj mreži i rast glavne energije poduzeća. No, moć ove električne mreže i plaća glavne energije u poduzećima više se ne može smatrati neovisnim. Ako su slučajne varijable X i Y neovisne, tada se pojavljuju sljedeća svojstva (koja se na proizvoljnim slučajnim varijablama ne mogu izvesti): 5. M (XY) \u003d M (x) m (Y). 6. D (X + Y) \u003d D (X) + D (Y). Osim pojedinačnih slučajnih varijabli x, y, ... sustavi slučajnih varijabli su proučavani. Na primjer, parna (X, y) slučajnih varijabli može se smatrati novom slučajnom vrijednošću, čije su vrijednosti dvodimenzionalni vektori. Slično tome, moguće je razmotriti sustave većeg broja slučajnih varijabli, nazvanih višedimenzionalnim slučajnim vrijednostima. Ova vrsta sustava vrijednosti također postavlja njihova distribucijska funkcija. Na primjer, za sustav dvije slučajne varijable, ova funkcija ima oblik F (x, y) \u003d p, to jest, jednak je vjerojatnosti da će se događaj zaključiti da će slučajna vrijednost X će uzeti vrijednost manju od navedenog broja X, a slučajna vrijednost Y je manji od zadanog broja Y. Ova funkcija se naziva i funkcija zajedničke raspodjele slučajnih varijabli X i Y. Također je moguće razmotriti prosječni vektor - prirodni analog matematičkog očekivanja, ali umjesto disperzije morate proučavati nekoliko numeričkih karakteristika, nazvanih trenutke drugog reda. To, prvo, dvije privatne disperzije DX i DY PDF stvorene s fineprint PDFFAKTORY probnim verzijom http://www.fineprint.com slučajne varijable X i Y, koji se smatraju odvojeno, i, drugo, covarijanac, detaljnije se razmatraju u nastavku. Ako su slučajne varijable x i y neovisne, onda F (x, y) \u003d fx (x) fy (y) Proizvod funkcija raspodjele slučajnih varijabli X i Y i stoga je proučavanje para neovisnih slučajnih varijabli u velikoj mjeri u potpunosti na studij X i Y odvojeno. Slučajne varijable Navedeno se smatralo pokusima čiji su rezultati slučajni događaji. Međutim, često se javlja potreba kvantificiranja rezultata eksperimenta u obliku određene količine, koji se naziva slučajna varijabla. Slučajna vrijednost je druga (nakon slučajnog događaja) glavni predmet proučavanja teorije vjerojatnosti i daje općenitiji način opisivanja iskustva sa slučajnim ishodom od skupa slučajnih događaja. S obzirom na eksperimente sa slučajnim ishodom, već smo se bavili slučajnim vrijednostima. Dakle, broj uspjeha u nizu testova primjer je slučajne varijable. Drugi primjeri slučajnih varijabli su: broj poziva na telefonskoj postaji po jedinici vremena; Vrijeme za sljedeći poziv; Broj čestica s datom energijom u sustavima čestica koje se razmatraju u statističkoj fizici; Prosječnu dnevnu temperaturu u ovom području, itd. Slučajna vrijednost karakterizira činjenica da je nemoguće točno predvidjeti njegovo značenje koje će prihvatiti, ali s druge strane, obično su poznate mnogo mogućih vrijednosti. Dakle, za broj uspjeha u nizu testova, to je skup, naravno, budući da broj uspjeha može poduzeti vrijednosti. Mnoge vrijednosti slučajne varijance mogu se podudarati s pravom poluslojom, kao u slučaju vremena čekanja, itd. Razmotrite primjere eksperimenata sa slučajnim ishodom, opisati koji se obično primjenjuju slučajni događaji i uvozimo ekvivalentni opis s dodjelom slučajne varijable. jedan). Neka rezultat iskustva bude događaj ili događaj. Tada se ovaj eksperiment može staviti u skladu sa slučajnom vrijednošću koja uzima dvije vrijednosti, na primjer i vjerojatnosti i i mjesto jednakosti: i. Dakle, iskustvo karakterizira dva ishoda IP vjerojatnosti i ili isto iskustvo karakterizira slučajna varijabla koja prima dvije vrijednosti i vjerojatnosti i. 2). Razmotrite iskustvo s bacanjem kosti. Ovdje, ishod iskustva može biti jedan od događaja gdje - gubitak lica s brojem. Vjerojatnost. Uvodimo ekvivalentni opis ovog iskustva sa slučajnom varijablom koja može poduzeti vrijednosti s vjerojatnostima. 3). Slijed neovisnih testova karakterizira potpuna skupina nepotpunih događaja, gdje je - događaj koji se sastoji od pojave uspjeha u nizu eksperimenata; Štoviše, vjerojatnost događaja određuje se formulom Bernuli, tj. Ovdje možete unijeti slučajnu varijablu - broj uspjeha koji uzima vrijednosti s vjerojatnostima. Dakle, slijed neovisnih testova karakteriziraju slučajni događaji sa svojim vjerojatnostima ili slučajnim varijablama s vjerojatnostima onoga što čini vrijednosti. četiri). Međutim, ne za bilo koje iskustvo sa slučajnim ishodom postoji takva jednostavna podudarnost između slučajne varijable i skupa slučajnih događaja. Na primjer, razmotrite eksperiment u kojem je točka nasumce u segmentu. Prirodno je uvesti slučajni iznos - koordinata na segmentu u kojem točka padne. Dakle, možemo govoriti o slučajnom događaju, gdje je broj. Međutim, vjerojatnost ovog događaja. Možete učiniti inače - izrezati u konačan broj ne-prolaznih segmenata i razmotriti slučajne događaje koji se sastoje u činjenici da slučajna vrijednost uzima vrijednosti iz intervala. Tada su vjerojatnosti konačne vrijednosti. Međutim, ova metoda ima značajan nedostatak, budući da su segmenti odabrani nasumično. Kako bi se uklonio ovaj nedostatak, razmotrite segmente vrste u kojima je varijabla. Tada je odgovarajuća vjerojatnost funkcija argumenta. To komplicira matematički opis slučajne raznolikosti, ali opis (29.1) postaje jedini, eliminira dvosmislenost segmenta segmenta. Za svaki od razmatranih primjera, lako je odrediti probabilistički prostor, gdje - prostor elementarnih događaja - - algebska događanja (podskupa), je vjerojatnost definirana za bilo koju. Na primjer, u posljednjem primjeru, - - algebru svih segmenata sadržanih u. Razmatrani primjeri dovode do sljedeće definicije slučajne varijable. Pustiti - probabilistički prostor. Slučajna vrijednost je nedvosmislena stvarna funkcija definirana za koju je skup elementarnih događaja oblika događaj (tj. Pripada) za svaki stvarni broj. Dakle, definicija zahtijeva da za svaki stvarni set, a to stanje osigurava da se utvrdi vjerojatnost događaja za svaki. Ovaj događaj je uobičajeno odrediti kraći unos. Funkcija distribucije vjerojatnosti Funkcija se naziva funkcija nasumične varijabilne vjerojatnosti. Funkcija se ponekad naziva kratko - distribucijska funkcija, kao i sastavni dio raspodjele vjerojatnosti slučajne varijable. Funkcija je potpuna karakteristika slučajne varijable, to jest, to je matematički opis svih svojstava slučajne varijable i detaljnije metode opisivanja tih svojstava ne postoji. Napominjemo sljedeću važnu značajku definicije (30.1). Često se funkcija različito određuje: Prema (30.1), funkcija je kontinuirano pravo. Ovo pitanje će se raspravljati u nastavku. Ako koristite definiciju (30.2), kontinuirano je s lijeve strane, što je posljedica uporabe stroge nejednakosti u odnosu (30.2). Funkcije (30.1) i (30.2) su ekvivalentni opisi slučajne varijance, budući da nije bitno ono određivanje korištenja i pri proučavanju teorijskih pitanja i rješavanju problema. Za izvjesnost, u budućnosti ćemo koristiti samo definiciju (30.1). Razmotrite primjer izgradnje grafike funkcije. Neka slučajna vrijednost uzme vrijednosti s vjerojatnostima i. Dakle, druge vrijednosti osim ove slučajne vrijednosti uzimaju s nultom vjerojatnost: za bilo koji. Ili kako kažu, druge vrijednosti osim slučajne raznolikosti ne mogu prihvatiti. Neka sigurno. Pronađite vrijednosti funkcije iz intervala: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). Na prvi interval, stoga funkcija distribucije. 2). Ako tada. Očito slučajan događaji su nedosljedni, dakle, formulom dodavanja vjerojatnosti. Pod uvjetom, događaj je nemoguć i, ali. Stoga. 3). Neka onda. Ovdje je prvi mandat, a drugi, budući da je događaj nemoguć. Tako, za bilo koje zadovoljavajuće stanje. četiri). Neka onda. pet). Ako tada. 6) Kada imamo. 7) ako, onda. Rezultati izračuna prikazani su na Sl. 30.1 Raspored funkcija. Na mjesničkim točkama označena je kontinuitet funkcije na desnoj strani. Glavna svojstva funkcije distribucije vjerojatnosti Razmotrite glavna svojstva funkcije distribucije, slijedeći izravno iz definicije: 1. Uvođamo oznaku:. Zatim slijedi iz definicije. Ovdje se izraz se smatra nemogućim događajem s nultom vjerojatnošću. 2. neka. Zatim slijedi iz definicije funkcije. Slučajni događaj je pouzdan i njegova vjerojatnost jednaka je jednom. 3. Vjerojatnost slučajnog događaja dosljednom je da slučajna vrijednost ima vrijednost iz intervala kada se utvrdi kroz funkciju sa sljedećom jednakošću Da biste dokazali ovu jednakost, razmotrite omjer. Događaji su nekonzistentni, stoga, prema formuli za dodavanje vjerojatnosti od (31.3) slijedi da se podudara s formulom (31.2), od i. 4. Funkcija je nekonzistentna. Za dokazivanje, razmislite. U isto vrijeme, jednakost je istina (31.2). Njegov lijevi dio, budući da vjerojatnost uzima vrijednosti iz intervala. Stoga je desna strana jednakosti (31.2) ne-negativna: ili. Ova jednakost je dobivena pod uvjetom, dakle, ne-smanjuje funkciju. 5. Funkcija je kontinuirana u svakoj točki, tj. gdje - bilo koji slijed teži desno, tj. i. Da biste dokazali, zamislite funkciju u obliku: Sada, na temelju aksioma odbrojnog aditivnosti, izraz vjerojatnosti u kovrčavim zagradama je tako na takav način da se kontinuitet desne funkcije dokaže. Dakle, svaka značajka distribucije vjerojatnosti ima svojstva 1-5. Inverzna izjava je istina: ako zadovoljava 1-5 uvjeta, može se smatrati funkcijom distribucije neke slučajne varijable. Diskretna funkcija razdjelne varijabilne varijabilne vjerojatnosti Slučajna vrijednost naziva se diskretna, ako je skup njegovih vrijednosti svakako ili brojljiv. Za potpuni probabilistički opis diskretne slučajne vrijednosti rezultirajuće vrijednosti, dovoljno je odrediti vjerojatnost da je slučajna vrijednost vrijednost. Ako se daju, onda se funkcija raspodjele vjerojatnosti diskretne slučajne varijable može predstavljati kao: Ovdje se zbravanje provodi u svim indeksima koje zadovoljavaju stanje. Funkcija raspodjele vjerojatnosti diskretne slučajne varijable ponekad je predstavljena kroz takozvanu funkciju jednog skoka. U tom slučaju, potrebno je obrazac ako slučajna vrijednost zauzima konačni skup vrijednosti, a gornja granica sažetka u (32.4) se napravi kao da je jednaka ako slučajna vrijednost zauzima skup vrijednosti. Primjer konstruiranja grafikona distribucijskih funkcija vjerojatnosti diskretne slučajne varijable razmatrana je u stavku 30. \\ t Gustoća distribucije vjerojatnosti Neka slučajna vrijednost ima različite funkcije diferencijalne vjerojatnosti, a zatim se funkcija naziva vjerojatnost distribucijska gustoća (ili gustoća vjerojatnosti) slučajne varijable, a slučajna vrijednost je kontinuirana slučajna vrijednost. Razmotrite glavna svojstva gustoće vjerojatnosti. Od definicije derivata slijedi jednakost: Prema svojstvima funkcije, odvija jednakost. Stoga (33.2) preuzima obrazac: Ovaj omjer objašnjava naziv funkcije. Doista, prema (33.3), funkcija je vjerojatnost po jedinici intervala u točki, od. Dakle, gustoća vjerojatnosti određena odnosom (33.3) je slična gustoći drugih vrijednosti poznatih u fizici, kao što je gustoća struje, gustoća tvari, gustoća punjenja, itd. 2. Budući da je to ne-small funkcija, njegov derivat je ne-negativna funkcija: 3. Od (33.1), od. Dakle, jednakost je u pravu 4. Jer, zatim iz odnosa (33.5) slijedi Jednakost, koja se naziva uvjet normalizacije. Njegov lijevi dio je vjerojatnost pouzdanog događaja. 5. Neka slijedi (33.1) Ovaj omjer je važan za primjene, budući da vam omogućuje izračunavanje vjerojatnosti kroz gustoću vjerojatnosti ili kroz funkciju distribucije vjerojatnosti. Ako stavimo, tada se omjer (33,6) slijedi iz (33,7). Na sl. 33.1 prikazuje primjere grafova funkcije distribucije i gustoće vjerojatnosti. Imajte na umu da gustoća distribucije vjerojatnosti može imati nekoliko maksimuma. Vrijednost argumenta u kojem se gustoća ima maksimum naziva se način raspodjele slučajne varijable. Ako gustoća ima više od jednog moda, onda se zove multimodalno. Gustoća distribucije diskretne slučajne vrijednosti distribucija diskretna gustoća vjerojatnosti Neka slučajna vrijednost uzme vrijednosti s vjerojatnostima. Tada je funkcija distribucije vjerojatnosti gdje je - funkcija jednog skoka. Moguće je odrediti gustoću vjerojatnosti slučajne varijable po svojoj distribucijskoj funkciji, prema jednakosti. Međutim, postoje matematičke poteškoće povezane s činjenicom da je funkcija jednog skoka, koji je uključen u (34.1), ima prazninu s prvom vrstom. Stoga, na točki nema izvedene funkcije. Kako bi se prevladala ova složenost, - uvedena je. Funkcija jednog skoka može se prikazati kroz -funkciju sa sljedećom jednakošću: Zatim se formalno derivat i gustoća vjerojatnosti diskretne slučajne varijable određuje se iz odnosa (34.1) kao derivatnu funkciju: Funkcija (34,4) ima sve svojstva gustoće vjerojatnosti. Razmotrite primjer. Neka diskretna slučajna vrijednost ima vrijednosti s vjerojatnostima i pustiti. Tada je vjerojatnost da će slučajna vrijednost imati vrijednost iz segmenta može se izračunati na temelju općih svojstava gustoće pomoću formule: Ovdje, od posebne točke - funkcija određena uvjetom je unutar područja integracije, a s jedinstvenom točkom izvan područja integracije. Na ovaj način. Za funkciju (34,4) se također izvodi stanje normalizacije: Imajte na umu da se u matematici, evidentiranje obrasca (34.4) smatra netočnim (netočnim), a snimanje (34.2) je točna. To je zbog činjenice da je --funkcija s nultim argumentom i kažu da ne postoji. S druge strane, u (34.2) -funkciji sadržan je pod integralom. U tom slučaju, desna strana (34.2) je konačna vrijednost za bilo koju, tj. Integral od -funkcije postoji. Unatoč tome u fizici, tehničar i druge primjene teorije vjerojatnosti, zastupljenost gustoće često se koristi u obliku (34.4), koji, prvo, omogućuje dobivanje istinskih rezultata, primjenjujući svojstva - funkcije, i drugo, ima očigledno fizičko tumačenje. Primjeri funkcija distribucije gustoća i vjerojatnosti 35.1.
Slučajna vrijednost se naziva ravnomjerno raspoređena na segmentu ako je gustoća distribucije vjerojatnosti gdje je broj određen iz uvjeta normalizacije: Zamjena (35.1) u (35.2) dovodi do jednakosti, što relativno izgleda:. Funkcija distribucije vjerojatnosti je ravnomjerno raspoređena slučajna varijabla može se naći po formuli (33.5), koja se određuje gustoćom: Na sl. 35.1 prikazuje grafikone funkcija i ravnomjerno raspoređene slučajne varijable. 35.2.
Slučajna vrijednost se zove normalna (ili Gaussov), ako je gustoća distribucije vjerojatnosti: gdje, - brojevi nazivaju funkcionalni parametri. Funkcija uzima maksimalnu vrijednost:. Parametar ima smisla za učinkovitu širinu. Osim ovog geometrijskog interpretacije parametara, imaju probabilističku interpretaciju, koja će se smatrati u sljedećem. Od (35.4) izraz funkcije distribucije vjerojatnosti gdje je Laplace funkcija. Na sl. 35.2 prikazuje grafikone funkcija i normalne slučajne varijance. Da se odnosi na činjenicu da se slučajna vrijednost ima normalnu raspodjelu s parametrima i često se koristi zapis. 35.3.
Slučajna vrijednost ima gustoću distribucije vjerojatnosti cauchy ako Ova gustoća odgovara funkciji distribucije 35.4.
Slučajna vrijednost se zove distribuirana prema eksponencijalnom pravu ako njegova vjerojatnost distribucijska gustoća ima oblik: Definiramo značajku distribucije vjerojatnosti. S (35.8) slijedi. Ako tada 35.5.
Raspodjela releja vjerojatnosti slučajne varijance određena je gustoćom tipa Ova gustoća odgovara funkciji distribucije vjerojatnosti s i jednakim. 35.6.
Razmotrite primjere konstruiranja funkcije distribucije i gustoće diskretne slučajne varijable. Neka slučajna vrijednost je broj uspjeha u nizu neovisnih testova. Tada se slučajna vrijednost uzima vrijednosti, s vjerojatnošću koja je određena Bernoulli formulom: gdje, - vjerojatnosti uspjeha i neuspjeha u jednom iskustvu. Dakle, funkcija distribucije vjerojatnosti slučajne varijable ima oblik gdje - funkcija jednog skoka. Stoga gustoća distribucije: gdje - Delta funkcija. Pojedinačne slučajne varijable Osim diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, još uvijek postoje takozvane jedinstvene slučajne varijable. Ove slučajne varijable karakteriziraju činjenica da je njihova funkcija distribucije vjerojatnosti kontinuirana, ali točka rasta formira mnoštvo nulte mjere. Stvar rasta funkcije naziva se vrijednost njegovog argumenta tako da derivat. Tako, gotovo svugdje na području definiranja polja. Funkcija koja zadovoljava ovo stanje također se naziva jednina. Primjer funkcije jedinstvene distribucije je Cantor krivulja (slika 36.1), koja je izgrađena na sljedeći način. Uvješava kada i kada. Tada je interval podijeljen u tri jednaka dijela (segment) i vrijednost se određuje za unutarnji segment - kao poluseljenik određenih vrijednosti na najbližim segmentima na desnoj i lijevo. Trenutno je definirana funkcija, njegova vrijednost i za vrijednost. Semitum ovih vrijednosti jednak je i određuje vrijednost na unutarnjem segmentu. Segmenti se zatim razmatraju i svaki od njih je podijeljen u tri jednaka segmenta, a funkcija se određuje na unutarnjim segmentima kao pol kao najbliže desno i lijevo od navedenih vrijednosti funkcije. Tako, s funkcijom - kao pola brojeva i. Slično tome, funkcija je u intervalu. Funkcija se zatim određuje na intervalu na kojem itd. Slučajne varijable. Funkcija i gustoća raspodjele vjerojatnosti diskretna slučajna varijacija. Pojedinačne slučajne varijable. Matematičko očekivanje slučajne varijable. Chebyshev nejednakost. Trenutke, kumulantne i karakteristične funkcije. sažetak, dodano 03.12.2007 Koncepti teorije vjerojatnosti i matematičke statistike, korištenje njih u praksi. Određivanje slučajne varijable. Vrste i primjeri slučajnih varijabli. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Zakoni raspodjele kontinuirane slučajne varijable. sažetak, dodano 25.10.2015 Vjerojatnost dolaznih slučajnih varijabli u određenom intervalu. Izgradnja grafikona slučajne funkcije distribucije varijable. Određivanje vjerojatnosti da je problem koji je poduzeo proizvod zadovoljava standard. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. ispitivanje, dodano 01/24/2013 Diskretne slučajne varijable i distribuciju. Formula pune vjerojatnosti i Bayes formule. Opća svojstva matematičkog očekivanja. Disperzija slučajne varijable. Funkcija slučajne varijable. Klasična definicija vjerojatnosti. ispitivanje, dodano 12/13/2010 Funkcija raspodjele kontinuirane slučajne varijable. Matematička očekivanja kontinuirane slučajne varijable, distribucijske gustoće vjerojatnosti sustava. Kovarijator. Koeficijent korelacije. laboratorijski rad, dodao je 19.08.2002 Značajke funkcije distribucije kao najviše univerzalne karakteristike slučajne varijable. Opis svojih svojstava, njihova reprezentacija pomoću geometrijske interpretacije. Obrasce izračunavanja vjerojatnosti distribucije diskretne slučajne varijable. prezentacija, dodano 01.11.2013 Određivanje vjerojatnosti raznih događanja prema Bernoulli formuli. Izrada diskretne slučajne varijabilne distribucije, izračunavanje matematičkih očekivanja, disperzija i rikovodično odstupanje slučajne varijable, gustoće vjerojatnosti. ispitivanje, dodano 31.10.2013 Korištenje Bernoulli formule za pronalaženje vjerojatnosti porijekla događaja. Izgradnja diskretnog slučajnog varijabilnog graf. Matematičko očekivanje i svojstva cjelovite funkcije distribucije. Funkcija raspodjele kontinuirane slučajne varijable. ispitivanje, dodano 01/29/2014 Teorija vjerojatnosti i obrazaca masovnih slučajnih fenomena. Nejednakost i Chebyshev teorem. Numeričke karakteristike slučajne varijable. Distribucija i Fourier transformacija. Karakteristična funkcija Gaussove slučajne varijable. sažetak, dodano 01/24/2011 Izračun matematičkog očekivanja, disperzije, distribucijskih funkcija i riconductic devijacije slučajne varijable. Zakon distribucije slučajne varijable. Klasična definicija vjerojatnosti događaja. Pronalaženje gustoće distribucije. Poziva se slučajna vrijednost diskretna
ako je ukupnost svih njegovih mogućih vrijednosti konačan ili beskonačan, ali nužno računajući mnoge vrijednosti, tj. Takav skup, svi elementi mogu biti (barem teoretski) numerirani i ispuštaju u odgovarajuću sekvencu. Takve na gore navedene slučajne varijable navedene kao broj bodova koji padaju kada bacaju igru, broj posjetitelja u ljekarni tijekom dana, broj jabuka na stablu su diskretne slučajne vrijednosti. Najcjelovitije informacije o diskretnoj slučajnoj varijabilu daje zakon o distribuciji
Ova vrijednost - to je podudarnost između svih mogućih vrijednosti ove slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti. Diskretni slučajni zakon o distribuciji često se određuje u obliku tablice na dvije razine, u prvom redu od kojih su navedene sve moguće vrijednosti ove vrijednosti (u uzlaznom redoslijedu), te u drugoj vjerojatnosti sukladnosti u skladu s vjerojatnim vrijednostima: Budući da su sve moguće vrijednosti diskretne slučajne varijance puni sustav, iznos vjerojatnosti je jednak jednom ( uvjeti normalizacije): Primjer 4. Postoji deset studentskih skupina, odnosno, 12, 10, 8, 10, 9, 12, 8, 11.10 i 9 učenika. Napravite zakon distribucije slučajne vrijednosti X, definirane kao broj studenata u nasumično odabranoj skupini. Odluka.
Moguće vrijednosti slučajne varijable X (u uzlaznom redoslijedu) su 8, 9, 10, 11, 12. Vjerojatnost da će 8 učenika biti prilika da će 8 učenika biti u slučajan Slično tome, možete pronaći vjerojatnosti preostalih vrijednosti slučajne varijable X: Dakle, željeni zakon o distribuciji: Dozvole diskretne slučajne varijable mogu se također odrediti korištenjem formule koja omogućuje svaku moguću vrijednost te vrijednosti za određivanje odgovarajuće vjerojatnosti (na primjer, distribuciju Bernoullija, distribucije Poissona). Da biste opisali određene značajke diskretne slučajne varijable glavne numeričke karakteristike: Matematičko očekivanje, disperzija i prosječna kvadratna devijacija (standard). Matematičko očekivanje
M (x) (također oznaka "μ") diskretne slučajne varijable naziva se količina radova svake od svojih mogućih vrijednosti na odgovarajuće vjerojatnosti: Glavno značenje matematičkog očekivanja diskretne slučajne varijable je da je to značiti Ovu vrijednost. Drugim riječima, ako je određena količina testova proizvedena, na temelju rezultata koji se nalaze prosječna aritmetika svih promatranih vrijednosti diskretne slučajne varijable X, tada je ovaj aritmetički prosjek približno jednak (točnije, točnije, Više testova) Matematički čeka na danu slučajnu varijablu. Dajmo neka svojstva matematičkog očekivanja. 1. Matematičko očekivanje trajne vrijednosti jednaka je ovoj konstantnoj vrijednosti: M (c) \u003d s 2. Matematičko očekivanje rada stalnog multiplikatora na diskretni slučajni iznos jednak je proizvodu ovog stalnog faktora na matematičkom očekivanju ove slučajne varijable: M (kx) \u003d km (x) 3. Matematičko očekivanje zbroja dvaju slučajnih varijabli jednaka je zbroju matematičkih očekivanja tih količina: M (x + y) \u003d m (x) + m (y) 4. Matematička očekivanja rada neovisnih slučajnih varijabli jednaka je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja: M (x ±) \u003d m (x) · m (y) Odvojene vrijednosti diskretne slučajne varijable grupirane su u blizini matematičkog očekivanja kao središte. Kako bi se okarakterizirao stupanj raspršivanja mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable u odnosu na matematičko očekivanje, koncept je uveden disperzija diskretna slučajna varijanca. Disperzija D (X) (oznaka "Σ 2") diskretne slučajne varijable X naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja ove veličine iz matematičkog očekivanja: D (X) \u003d σ 2 \u003d m (X - μ) 2),(11) U praksi, disperzija je prikladnija za izračunavanje prema formuli D (x) \u003d σ 2 \u003d m (x 2) - μ2, (12) Navodimo osnovna svojstva disperzije. D (x) ≥0 D (KX) \u003d k 2 · d (X). U računalnim uvjetima, to je prikladnije ne disperzija, a druga mjera disperzije slučajne varijable X.koji se najčešće koristi - prosječna kvadratna devijacija(standardna devijacija ili jednostavno standard).
Srednja kvadratna devijacija Diskretna slučajna varijabla naziva se kvadratni korijen njegove disperzije: Praktičnost standardne devijacije je da ima dimenziju najsuncunse varijable X.Dok disperzija ima dimenziju koja predstavlja kvadrat dimenzije X. Kraj posla - Ova tema pripada odjeljku: Znanstveni metodički opravdanje teme .. Teorija vjerojatnosti proučava uzorke koji se manifestiraju pri proučavanju takvog. Mnogi slučajni događaji mogu se kvantificirati slučajne vrijednosti koje poduzimaju vrijednosti u .. Ako trebate dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što su tražili, preporučujemo korištenje traženja naše radne baze: Ako se taj materijal ispostavi da bude koristan za vas, možete ga spremiti na stranicu društvene mreže:
Slične dokumente
X.
x 1
x 2
…
x N.
P.
p 1.
p 2.
…
p n.
X.
P. 0,2
0,2
0,3
0,1
0,2
Elementi teorije vjerojatnosti
Ono što ćemo učiniti s dobivenim materijalom:
