Kuća, dizajn, popravak, dekor. Dvorište i vrt. Uradi sam

1. Dostupnost i krivotvorina

Zadaci u kojima se koristi koncept ostvarivosti, dosta. Ovdje je jedan od nadimak. Grafikon može biti model neke organizacije u kojoj su ljudi predstavljeni vrhovima, a lukovi interpretiraju komunikacijske kanale. Pri razmatranju takav model moguće je postaviti pitanje da li informacije iz jedne osobe X mogu se prenijeti na drugu osobu x 7, tj. Postoji put koji dolazi s vrha X, na vrh X /. Ako taj put postoji, kažu da je vrh x, - ostvariv s vrha X ,. Moguće je biti zainteresirano za ostvarivost Vertex X, od vrhova X, samo na takvim stazama čija duljina ne prelazi unaprijed određenu vrijednost ili dužinu od čega je manji od najvećeg broja vrhova u koloni.

Dosega u grafikonu opisana je matricom postibiteljstva r \u003d || g, y ||, i J. =1,2,... p, Gdje p - broj vrhova grafikona, a svaki element je definiran na sljedeći način:

Gu- 1, ako je vrh x, postići iz X,

Gu \u003d. 0 inače.

Mnogi vrhovi r (x,) grafikon g, koji se može ostvariti iz dane verzije X "sastoji se od takvih elemenata X; Za koje (/, /) - element u matrici postignutosti je 1. Očito, svi dijagonalni elementi u matrici R su jednaki 1, budući da se svaki vrh obnavlja duljinom od 0. Od izravnog prikaza 1. reda g +1 (x,) je mnoštvo takvih vrhova. XJ koji se mogu postići iz X, koristeći puteve duljine 1, zatim set G (g (x,)) \u003d g x,) sastoji se od vrhova, ostvarive, korištenja duljine staza 2. Slično G P (x) je mnoštvo vrhova koji se mogu postići iz X, koristeći putove r.

Budući da svaki vrh grafikona, koji se može postići iz X "mora se postići pomoću staze (ili staze) duljinom od 0 ili 1 ili 2, ... ili r, onda se može prikazati skup vrhova, koji se može prikazati za vrh X "

Kao što vidimo, skup ostvarivih vrhova R (X,) je izravan prijelazni zatvarač vrhova x "tj. R (X,) \u003d T (X,). Prema tome, konstruirati matricu postibiteljstva, nalazimo ostvarive setove R (x,) za sve vrhove X, E X. Vjerujući g y - 1, ako x 7 e r (x,) i gu- 0 inače. Za graf prikazan na sl. 59,4, aliSetovi pristoja su sljedeći:

Sl. 59.4.

Matrica susjedstva (a), ostvarivost (R), krivotvorina (q) ima sljedeći oblik:

Matrica kontrole Q \u003d qij, ja, J \u003d 1,2,... p, Gdje p - Broj vrhova grafikona određuje se kako slijedi:

qij \u003d. 1, ako dođete do vrha x h qtj \u003d Oh inače.

Kontrolira se Q (x) Postoje mnogi takvi vrhovi koji iz bilo kojeg vrha ovog skupa možete ući u vrh X /. Slično izgradnji postići set R (x,) možete snimati izraz za Q (x):

Dakle, može se vidjeti da je Q (x,) ništa više od obrnutog prijelaznog zatvaranja vrhova x, tj. Q (X () \u003d T "(X,). Iz definicija se može vidjeti da je stupac X, matrica Q (u kojoj q t j \u003d 1, ako HU € q (x,), i c / y \u003d 0 Inače) podudara se s linijom X, matricom R, tj. Q \u003d R, gdje je R matrica, transponirana na matricu dostižnosti R.

Prethodno je prikazana matrica kontrole.

Treba napomenuti da budući da su svi elementi matrica R i Q jednaki 1 ili 0, svaki niz se može pohraniti u binarnom obliku, spremanje troškova računala. Matrice R i Q prikladne su za obradu na računalu, kao iu računalnim uvjetima glavne operacije su logičke operacije velike brzine.

2. Pronalaženje mnoštva vrhova uključenih na način ako trebate saznati o vrhovima grafikona koji su uključeni u ove staze, trebali biste se sjetiti definicija izravnih i obrnutih prijelaznih zatvaranja. Budući da je T + (X,) set vrhova u kojima postoje načini od vrha X "A T" (Y) - mnoštvo vrhova, od kojih postoje načini u X /, tada t (X,) n t (Xj) - Različite vrhove, od kojih svaki pripada barem jedan način, dolazi iz X, na Hu. Ti se vrhovi nazivaju bitni ili integralni u odnosu na dva terminalna vrha. xi Hu. Svi ostali vrhovi grafikona nazivaju se beznačajni ili pretjerani, jer njihovo uklanjanje ne utječe na putove od X / do HU.

Dakle, za grafikon na sl. 59.5 Pronalaženje vrhova uključenih u put, na primjer, od vrtsex X2 do Vertex X4, ona se svodi na pronalaženje t + (XG) \u003d (XG, XS, X4, X5, HB), T "(X4) \u003d ( XI, X2, X3, X4, X5) i njihovo raskrižje T + (XG) p T (X4) \u003d \u003d (X2, XS, X4, X5).

Zadaci u kojima se koristi koncept ostvarivosti, dosta. Ovdje je jedan od njih. Grafikon može biti model neke organizacije u kojoj su ljudi predstavljeni vrhovima, a lukovi interpretiraju komunikacijske kanale. Pri razmatranju takav model moguće je postaviti pitanje da li informacije iz jedne osobe x se prenosi na drugu osobu x, tj. Postoji put koji dolazi od vrha x i na vrh X j. Ako takav put postoji, kažu da je vrh X j doseže s vrha x i. Moguće je biti zainteresirano za ostvarivost Vertex XJ s vrha XI samo na takvim stazama, čiji duljine ne prelaze unaprijed određenu vrijednost ili duljinu od kojih je manja od najvećeg broja vrhova u grafikonu, itd. , Zadaci.

Dobitnost u grafikonu opisana je brzinom matrice R \u003d, i, J \u003d 1, 2, ... n, gdje je n broj vrhova grafikona, a svaki element je definiran na sljedeći način:

r ij \u003d 1, ako je Vertex X j dopire do x i,

r ij \u003d 0, inače.

Mnogi verthos R (x i) grafikon g, ostvariv iz danog vrha x i, sastoji se od takvih elemenata X, za koji (i, j). matrice jednak 1. Očito je da su svi dijagonalni elementi u matrici r jednako 1, budući da je svaki vrh postignut od sebe duljine duljine 0. Od tada izravni prikaz 1. red g +1 (x i) je veći broj takvih vrhova x, koji se mogu postići iz X i koristeći puteve duljine 1, zatim set G + (g +1 (x i)) \u003d g +2 (x i) Sastoji se od vrhova koji se mogu postići iz X i koristeći duljinu duljine 2. Slično tome, R + P (X I) je pluralitelji vrhova koji se mogu postići iz X i koristeći staze str.

Budući da je bilo koji vrh grafikona, koji se postiže od x i, mora se postići pomoću staze (ili staze) duljine 0 ili 1, ili 2, ... ili P, tada mnogi verthospostići za Vertex X mogu biti predstavljen kao

Kao što vidimo, skup ostvarivih vrhova r (x i) je izravan tranzitivno zatvaranje Vrhovi X I, tj. R (X I) \u003d T + (X I). Prema tome, za izgradnju matrice za postizanje, nalazimo ostvarive setove r (x i) za sve vrhove. Vjerujući r ij \u003d 1 ako i r ij \u003d 0 inače.

Za graf prikazan na sl. 4.1, i mnogi dosegnuti su kako slijedi:

Postizanje matrice Čini se kao prikazano na Sl. 4.1, c. Postizanje matrice Moguće je konstruirati matricu susjedstva (sl. 4.1, b), formirajući set t + (x i) za svaki vrh X i.

Matrica krivotvorenja Q \u003d [Q ij], ja, J \u003d 1, 2, ... nGdje je n broj vrhova grafikona određen na sljedeći način:

q ij \u003d 1, ako se vrh x J može postići vrhom X i,

q ij \u003d 0, inače.

Prebrojavanje

Jedno od prvih pitanja koja proizlazi iz proučavanja grafikona je pitanje postojanja putova između postavljenih vrhova ili svih parova. Odgovor na ovaj problem je omjer dostižnosti na vrhovima grafikona G \u003d (v, e): Vertex W dopire se iz Vertexa V Ako je V \u003d W ili G je put od V do W. Drugim riječima, omjer odnosa je refleksivan i prijelazno zatvaranje odnosa E. Za neriješene grafikone, ovaj omjer je također simetrično i stoga je omjer ekvivalencije na setu vrhova V. u nesinteriranom grafu klase ekvivalencije s poštovanjem do postignuća nazivaju se povezane komponente. Za orijentirane grafikone, postići, općenito govoreći, ne bi trebao biti simetrični stav. Simetrična je međusobna postibilnost.

Definicija 9.8. Vrhovi V i W orijentirani grafikon G \u003d (V, E) nazivaju se međusobno postići ako je G put od V do W i put od W u V.

Jasno je da je omjer međusobne postignuće refleksivan, simetrični i prijelazni te, dakle, ekvivalentnost na setu vrhova grafikona. Klase ekvivalencije u odnosu na međusobnu dostibilnost nazivaju se jake spojene komponente ili dvostruke komponente grafikon.

Razmotrite na početku pitanje izgradnje stava dostižnosti. Definiramo graf postibivosti (pozvan ponekad kao graf prijelaznog kruga), čiji rubovi odgovaraju izvornom grafu.

Definicija 9.9. Neka g \u003d (v, e) bude orijentirani graf. Graf dostižnosti G * \u003d (V, E *) za G ima isti skup vrhova V i sljedeći skup rubova E * \u003d ((U, v) | U grafikonu G, Vertex V je ostvariv od vrh u).

Primjer 9.3. Razmotrite grafikon G iz Primjera 9.2.

Sl. 9.2. Grof G.

Tada možete provjeriti da se graf nemoguće g * za g izgleda ova (nova rebra-petlja na svakom od vrhova 1-5 nisu prikazani):

Sl. 9.3. Grof g *

Kako mogu izgraditi grafikon g * by g *? Jedna metoda je da za svaki vrh grafikona g, kako bi se odredio skup vrhova koji se mogu ostvariti, sekvencijalno dodavanje vrhova na njega, postići od njega s putovima duljine 0, 1, 2, itd.

Pogledat ćemo drugu metodu koja se temelji na korištenju susjedne matrice G grafičkog g i boolean operacije. Neka se skup vrhova v \u003d (v 1, ..., v n). Tada matrica a g je boolean matrica veličine n × n.

U nastavku da biste sačuvali sličnost s običnim operacijama nad matricama, koristit ćemo "aritmetičke" oznake za boolean operacije: kroz + označavamo disjunkciju i kroz · - zajedno.

Označiti e n jednu matricu veličine n × n. Staviti , Neka naš postupak za izgradnju G * na temelju sljedeće izjave.

Lema 9.2. Dopustiti biti. Zatim

Dokaz Provodimo indukciju od strane k.

Osnova.Za k \u003d 0 i k \u003d 1, izjava je istinita po definiciji i.

Stupanj indukcije.Neka lema vrijedi za k. Pokazujemo da ostaje samo za K + 1. Po definiciji, imamo:

Pretpostavimo da je u grafikonu G iz V i u V J, postoji put duljine K + 1. Razmotrite najkraće ovih putova. Ako je njezina duljina k, onda pretpostavkom indukcije A_ (IJ) ^ ((k)) \u003d 1. Osim toga, JJ (1) \u003d 1. Stoga, IJ (K) JJ (1) \u003d 1 i IJ (K + 1) \u003d 1. Ako je duljina najkraćeg puta od V i u V u V je jednaka K + 1, onda neka V r - njegov posljednji-strujni vrh. Zatim, od V i u v r, postoji put duljine k i na pretpostavku indukcije A IR (k) \u003d 1. Od (v r, v) e, onda A_ (RJ) ^ ((1)) \u003d 1. Stoga, IR (K) RJ (1) \u003d 1 i IJ (K + 1) \u003d 1.

Natrag, ako je IJ (K + 1) \u003d 1, zatim barem za jedan R, izraz IR (K) RJ (1) u količini je jednak 1. ako je r \u003d j, onda ij (k) \u003d 1 i induktivnom pretpostavkom u G, postoji put od VI u VJ dužini k. Ako R2, zatim IR (K) \u003d 1 i RJ (1) \u003d 1. To znači da je u g postoji način od v i u v duljini k i rub (v r, v j) E. Kombinirajući ih, dobivamo put od V i u v J. K + 1.

Iz leme 9.1 i 9.2 dobivamo izravno

Posljedica 1. Neka g \u003d (v, e) bude orijentirani graf s n vrhovima, a g * je njegov graf nemoguće. Zatim a_ (g *) \u003d. Dokaz. Iz Lemme 5.1, slijedi da ako je G put od u u v u, onda također ima jednostavan način od u u V duljini n-1. I u Lema 5.2, svi takvi putovi prikazani su u matrici.

Prema tome, postupak za konstruiranje matrice susjedstva G * grafikona dostupnosti za G je reduciran na konstrukciju matrice u stupanj N-1. Napravit ćemo neke komentare pojednostaviti ovaj postupak.

gdje je k najmanji broj tako da 2 k n.

ovaj R je detektiran, da je IR \u003d 1 i RJ \u003d 1, zatim cijeli iznos IJ (2) \u003d 1. Stoga se ne može razmotriti ostatak komponenti.

Primjer 9.3. Razmotrite kao primjer izračun broja broja broja broja G * za brojanje G sl.9.2., U ovom slučaju

Budući da G ima 6 vrhova, tada. Izračunajte ovu matricu:

i (posljednja jednakost nije teško provjeriti). Na ovaj način,

Kao što možete vidjeti, ova matrica stvarno postavlja grafikon na kojem je predstavljen sl.9.3..

Međusobna postibilnost, komponente jakog povezivanja i baze grafikona

Po analogiji s grafikonom postizanja definiramo graf jakog postignuća.

Definicija 9.10. Neka g \u003d (v, e) bude orijentirani graf. Grafikon jakih ostvarivosti G * * \u003d (v, e * *) za G ima isti skup vrhova V i sljedećih skupova e * * \u003d ((u, v) | u grafikonu g vertine v i u međusobno se mogu postići).

Prema matrici grafa dostibilnosti, lako je izgraditi matricu kore snažnog postizanja. Doista, iz definicija ostvarivosti i snažne dostižnosti odmah slijedi, onda za sve parove (i, j), 1 i, JN, vrijednost elementa je 1 tada i samo ako obje elemente AG * (I, J) i AG * (J, i) jednak 1, tj.

U matrici se komponente snažne povezivanja grafikona mogu odabrati kako slijedi.

Položaj u k 1 komponenti V 1 i sve takve vrhove v J, da A_ (g _ * ^ *) (1, J) \u003d 1.

Neka komponente K 1, ..., K i i V K su već izgrađeni - ovo je vrh s minimalnim brojem koji još nije pao u komponente. Zatim stavite vrtlog V K u komponentu K_ (I + 1) i sve takve vrhove v J,

da A_ (g _ * ^ *) (k, J) \u003d 1.

Ponavljamo korak (2) dok se svi vrhovi distribuiraju komponentama.

U našem primjeru za grafikon G na slika 2 Na matrici dobivamo sljedeću matricu grafikona teške dostižnosti

Koristeći gore opisani postupak, smatramo da su vrhovi grafikona g podijeljeni u 4 komponente jake povezivanja: K1 \u003d (V1, V2, V3), K 2 \u003d (V 4), K 3 \u003d (V5), K 4 \u003d (V6). Na setu, komponente jakog povezivanja također definiraju stav dostibilnosti.

Definicija 9.11. Neka K i K "bude komponente jake povezanosti grafikona G. komponenta K ostvariv Komponente K ^ \\ t, ako je k \u003d k "ili postoje takva dva vrha U K i V K" da u je postići iz v. K. strogo postićiK ^ \\ t, ako k k "i k se može ostvariti od k". Komponenta k se zove minimalan Ako nije strogo ostvariv iz bilo koje komponente.

Budući da su svi vrhovi u jednoj komponenti međusobno postići, nije teško razumjeti da je odnos ostvarivosti i stroge ostvarivosti na komponentama ne ovisi o odabiru vrhova U K i V K.

Iz definicije lako se prikazuje sljedeća karakteristika stroge postignuće.

Lema 9.3. Odnos stroge postignuće je omjer djelomičnog poretka, tj. To je antirefleksijski, antisimetrično i tranzitivno.

Ovaj odnos može biti predstavljen kao orijentirani graf, čiji su vrhovi komponenti, a rub (k ", K) znači da je K strogo postići iz K". Na sl. 9.4. Ovaj grafikon prikazan je u komponenti za grafikon G.

Sl. 9.4.

U tom slučaju postoji jedna minimalna komponenta K 2.

U mnogim primjenama, orijentirani grafikon je mreža distribucije nekih resursa: proizvod, proizvod, informacije itd. U takvim slučajevima, zadatak pronalaženja minimalnog broja takvih točaka (vrhova) se javlja, od kojih se ovaj resurs može dostaviti na bilo koju točku mreže.

Definicija 9.12. Neka g \u003d (v, e) bude orijentirani graf. Podskup od vrhova w v pozvao danoAko se bilo koji vrh grafikona može postići iz vrhova W. Podskup vrhova W V naziva se graf grafikona, ako se stvara, ali ne vlastiti podskup ne stvara.

Sljedeći teorem vam omogućuje da učinkovito pronađete sve osnove grafikona.

Teorem 9.1. Neka g \u003d (v, e) bude orijentirani graf. Podskup vrhova W V je baza G ako i samo kada sadrži na jednom vrhuncu od svake minimalne komponente jakog povezivanja g i ne sadrži nikakve druge vrhove.

Dokaz Napomena Prvo napišite da je svaki vrh grafikona postignut od vrha koja pripada nekoj minimalnoj komponenti. Stoga, množi broj vrhova W koji sadrži jedan vrh od svake minimalne komponente se stvara i pri uklanjanju od njega, bilo koji vrh prestaje biti takav, budući da vrhovi iz odgovarajuće minimalne komponente postaju nedostižni. Stoga je W baza.

Natrag, ako je W baza, dužan je uključiti barem jedan vrh od svake minimalne komponente, inače su vrhovi takve minimalne komponente biti nedostupni. Ne može sadržavati druge vrhove, jer se svaki od njih može ostvariti od već uključenih vrhova.

Iz ove teorema, sljedeći postupak za izgradnju jednog ili nabrajanja svih baza broja G.

Nađi sve komponente jake povezanosti G.

Odredite narudžbu za njih i dodijelite minimalne komponente u odnosu na ovu narudžbu.

Za generiranje jedne ili sve grafičke baze, odabirom na jednom vrhom od svake minimalne komponente.

Primjer 9.5. Definiramo sve osnove orijentiranog grafa g prikazanog u sl.9.5..

Sl. 9.5. Grof G.

U prvoj fazi nalazimo komponente jakog povezivanja G:

U drugoj fazi gradimo grafikon strogih ostvarivosti na tim komponentama.

Sl. 9.6. Broj atribucija odnosa na komponentama G

Odredite minimalne komponente: K 2 \u003d (B), K4 \u003d (D, E, F) i K7 \u003d (R).

Konačno, navodimo sve četiri baze g: b 1 \u003d (b, d, R), b2 \u003d (b, e, R), b3 \u003d (B, F, R) i B1 \u003d (B, G, r ).

Zadatke

Zadatak 9.1. Dokazati da je zbroj stupnjeva svih vrhova proizvoljnog orijentiranog broja.

Ovaj zadatak ima popularno tumačenje: dokazati da je ukupan broj rukovanja koji su razmijenili ljude koji su došli na zabavu uvijek su.

Zadatak 9.2. Navedite sve relativne ne-orijentirane grafove koji nemaju više od četiri vrha.

Zadatak 9.3. Dokazati da ne orijentirani spojeni graf ostaje spojen nakon uklanjanja neke ruba. Ovaj rub pripada nekom ciklusu.

Zadatak 9.4. Dokazati da ne orijentirani grafikon s n vrhovima

sadrži najmanje n-1 rebara

ako postoji više rebara N-1, ima barem najmanje jedan ciklus.

Zadatak 9.5. Dokazati da u bilo kojoj skupini od 6 ljudi postoje tri para prijatelja ili tri pari stranaca.

Zadatak 9.6. Dokazati da je neočekivani grafikon g \u003d (v, e) spojen ↔ za svaku particiju v \u003d v 1 v 2 s ne-praznim V 1 i V2, postoji rub povezivanje V1 s v2.

Zadatak 9.7. Dokazati da ako postoje točno dva vrha neparnog stupnja u grafikonu orijentiranog u UN-Ore, tada su povezani.

Zadatak 9.8. Neka g \u003d (v, e) biti ne-orijentirani graf c | e |< |V|-1. Докажите, что тогда G несвязный граф.

Zadatak 9.9. Dokazati da u spojenom ne-orijentiranom stupcu, svaka dva jednostavna maksimalna duljina staze imaju ukupni vrh.

Zadatak 9.10. Neka ne orijentirani graf bez petlja g \u003d (v, e) ima k komponentu povezivanja. Dokazati to onda

Zadatak 9.11. Odrediti što je graf postibice za

grafikon s n vrhovima i praznim skupom rubova;

grafikon s n vrhovima: v \u003d (v 1, ..., v n), čiji rebra čine ciklus:

Zadatak 9.12. Izračunajte matricu grafikona primatelja za grafikon

i izgradite odgovarajući grafikon u vježbi koji odgovara njemu. Pronađi sve grofa G.

Zadatak 9.13. Graditi za navedeno sl. 9.7 Orijentirani grafikon g 1 \u003d (v, e) matrice pazuha G1, matrica incidencije B g1 i popisa susjeda. Izračunajte matricu ostvarivosti G1 * i konstruiraju odgovarajući graf nemoguće g 1 *.

Sl. 9.7.

UN-orijentirana i orijentirana stabla

Drveće su jedna od najzanimljivijih klasa grafova koji se koriste za predstavljanje različitih vrsta hijerahičkih struktura.

Definicija 10.1. Ne-orijentirani grafikon naziva se drvo, ako je povezan i u njemu nema ciklusa.

Definicija 10.2. Orijentirani grafikon g \u003d (v, e) naziva se (orijentirano) od drva, ako

Na sl. 10.1. Prikazani su primjeri ne-orijentiranog stabla g 1 i orijentiranog stabla g 2. Imajte na umu da je stablo G2 dobiveno iz G1 odabirom vrhom C kao korijen i orijentacija svih rebara u smjeru "iz korijena".

Sl. 10.1. UN-orijentirana i uvedena stabla

Ovo nije slučajno. Dokažite sebi sljedeću izjavu o povezanosti između UN-Orey-orijentiranih i orijentiranih stabala.

Lema 10.1. Ako u bilo kojem ne-orijentiranom stablu g \u003d (v, e) odaberite proizvoljni vrh V V v kao korijen i orijentira sva rebra u smjeru "iz korijena", tj. Da bi se V početak svih incidenata toga, vrhove, uz V - početak svih incidenta još orijentiranih rubova, itd, što je rezultiralo kao rezultat orijentiranog grafikona G "bit će orijentirano drvo ,

UN-orijentirana i orijentirana stabla imaju mnogo ekvivalentnih karakteristika.

Teorem 10.1.Neka g \u003d (v, e) biti neriješen graf. Tada su sljedeći uvjeti ekvivalentni.

G je drvo.

Za sva dva vrha u g, postoji jedan put koji ih povezuje.

G spojena, ali pri uklanjanju iz E, bilo koji rub prestaje biti spojen.

G spojen i | e | \u003d | V | -jedan.

G aciklička i | e | \u003d | V | -jedan.

G aciklička, ali dodavanje bilo kojeg ruba E generira ciklus.

Dokaz (1) (2): Ako su u G, neka dva vrha bila povezana s dva načina, bilo bi očito da će G imati ciklus. Ali to je u suprotnosti s definicijom stabla u (1).

(2) (3): ako je G je spojen, ali pri uklanjanju neke ruba (U, v) e ne gubi veze, onda između U i V postoji put koji ne sadrži ovaj rub. Ali onda u g postoje najmanje dvije staze koje povezuju U i V, koji proturječi stanje (2).

(3) (4): daje se čitatelj (vidi zadatak 9.4).

(4) (5): Ako G sadrži ciklus i povezan je, onda prilikom uklanjanja bilo kojeg ruba iz ciklusa, povezivost se ne smije razbiti, ali rebra će ostati | e | \u003d v -2, i prema zadatku 9.4 (a) U spojenom stupcu mora postojati najmanje v -1 rebra. Rezultirajuća kontradikcija pokazuje da ciklusi u g nisu i zadovoljni (5).

(5) (6): Pretpostavimo da dodavanje ruba (U, v) ne dovodi do pojave ciklusa. Zatim u g vrhovima u i v su u različitim komponentama povezivanja. Od | e | \u003d v -1, zatim u jednoj od ovih komponenti, pustite ga (v 1, e 1), broj rebara i broj vrhova podudaraju: | e 1 | \u003d | V 1 | Ali onda je u njemu ciklus (vidi problem 9.4 (b)), koji je u suprotnosti s aciklonom G.

(6) (1): Ako g nije bio spojen, onda bi postojala dva vrha u i V iz različitih spojenih komponenti. Zatim dodavanje ruba (U, v) do E nije rezultirajući ciklus, koji je proturječi (6). Prema tome, G je spojen i stablo.

Za orijentirana stabla često je prikladno koristiti sljedeću induktivnu definiciju.

Definicija 10.3. Definiramo indukcijsku klasu orijentiranih grafova, nazvanih drveća. U isto vrijeme, za svaku od njih definiramo dodijeljeni vrh - korijen.

Sl. 10.2. ilustrira ovu definiciju.

Sl. 10.2. Induktivna definicija orijentiranih stabala

Teorem 10.2. Definicije orijentiranih stabala 10.2 i 10.3 su ekvivalentne.

DokazNeka grafikon g \u003d (v, e) biti zadovoljan uvjetima definicije 10.2. Pokažimo indukciju po broju vrhova | v | što.

Ako | v | \u003d 1, onda je jedini vrh Ver V kod imovine (1) korijena stabla, tj. U ovom grafikonu nema rubova: e \u003d. Zatim.

Pretpostavimo da svaki grafikon s n vrhovima koji zadovoljavaju definiciju 10.2 ulazi. Neka grafikon g \u003d (v, e) C (N + 1) - vrtlog zadovoljava uvjete definicije 10.2. Po uvjetima (1) postoji vrhunski R 0. Dopustiti od r 0 izlazi iz K rebra i oni vode do vrhova R1, ..., R k (k 1). Označiti GI, (i \u003d 1, ..., k), grafikon, uključujući vrhove V i \u003d (vv | v Textit (ostvariv iz) ri) i povezivanje njihovih rubova e i E. Lako je razumjeti da GI zadovoljava uvjete definiranja uvjeta 10.2. Doista, u r ne ulazim u rebra, tj. Ovaj vrh je korijen g i. U svakom od ostalih vrhova iz V ulazim jedan u rubu kao u g. Ako je v i, onda se postiže iz korijena r i odrediti grafikon g i. Kao | v i | n, zatim induktivnom pretpostavkom. Zatim grafikon g je dobiven induktivnim pravilom (2) određivanja 10.3 stabala G1, ..., G K i stoga pripada razredu.

⇐ Ako neki grafikon G \u003d (v, e) ulaze u razred, onda je provedba uvjeta (1) - (3) definicija 10.2 je lako uspostaviti indukciju po definiciji 10.2. Pružamo to čitatelju kao vježbi.

S orijentiranim stablima povezana je bogata terminologija, koja je došla iz dva izvora: botanika i obiteljskih odnosa.

Korijen je jedini vrh u kojem rebra ne uključuju, lišće su vrhovi iz koje rebra ne izađu. Put iz korijena u listu naziva se grana stabla. Visina stabla je maksimum njezinih grana. Dubina vrha je duljina puta od korijena u ovaj vrh. Za Vertex v v, subgraph stabla t \u003d (v, e), koji uključuje sve vrhove koji se mogu postići iz V i spojiti rebra iz E, oblici podržani t v stablo t s korijenom V (vidi zadatak 10.3). Visina vrha V je visina T V stabla. Broj, koji je sindikat nekoliko stabala ne-ciklusa, zove se šuma.

Ako iz Vertexa V vodi rub do vrha w, onda se zove V otac w i w - sin.v (Nedavno, asseksualni par pojmova koristi se u književnosti govoreći: Roditelj je dijete). Od definicije stabla odmah slijedi da svaki vrh osim korijena ima samog oca. Ako se put provodi iz Vertex V, tada se V zove predak W, a W je potomak V. Nazvane su vrhovi koji imaju zajednički otac braća ili sestre.

Mi naglašavaju još jednu klasu grafova, generalizirajuća orijentirana stabla - orijentirana aciklička. Dvije vrste takvih označenih grafova koristit će se daljnje za prikaz boolean funkcija. Ovi grafikoni mogu imati nekoliko korijena - vrhove koji ne uključuju rebra, a nekoliko rebara može ući u svaki vrh, a ne jedan, poput stabala.

Po analogiji s grafikonom postizanja definiramo graf jakog postignuća.

Definicija: Orijentirani graf. Grafikon snažnog dostibilnosti
za ima mnogo vrhova i sljedeći puno Rybe
u grafu vershins i međusobno postići.

Prema matrici grafikona dostibilnosti
lako izgraditi matricu
računaju snažnu dostibilnost. Doista, iz definicija dostibilnosti i teške postignuća, odmah slijedi, zatim za sva paru
,
, Vrijednost elemenata
jednako 1 tada i samo ako su oba elementa
i
jednak 1, tj.

U matrici
Možete istaknuti komponente jake povezivanja grafikona na sljedeći način:

Ponavljamo drugi korak dok se ne distriraju sve vrhove.

U našem primjeru za grafikon primjer 14.1. u matrici
dobivamo sljedeću matricu graf jakog dostibilnosti

Koristeći gore opisani postupak, smatramo da su vrhovi grafikona smashed na 4 komponente jake povezivanja:
,
,
,
, Na setu, komponente jakog povezivanja također definiraju stav dostibilnosti.

Definicija: Neka biti
i
- Komponente jake povezanosti grafikona , Komponenta
postićiiz komponenti
, ako a
ili postoje takva dva vrha
i
, što ostvariv .
strogo postići
, ako a
i
ostvariv
, Komponenta
zove se minimalno ako nije strogo ostvariv s bilo koje komponente.

Budući da su svi vrhovi u jednoj komponenti međusobno postići, nije teško razumjeti da odnos ostvarivosti i stroge postići na komponente ne ovisi o odabiru vrhova
i
.

Iz definicije lako se prikazuje sljedeća karakteristika stroge postignuće.

Lemma: Odnos stroge postignuće je omjer djelomičnog poretka, tj. To je antirefleksijski, antisimetrično i tranzitivno.

Ovaj odnos može biti predstavljen kao orijentirani graf, čiji su vrhovi komponenti i rub
znači da
strogo postići
, Grafikon komponente za grafikon primjera 14.1 prikazan je u nastavku.

U tom slučaju postoji jedna minimalna komponenta.
.

U mnogim primjenama, orijentirani grafikon je mreža distribucije nekih resursa: proizvod, proizvod, informacije itd. U takvim slučajevima, zadatak pronalaženja minimalnog broja takvih točaka (vrhova) se javlja, od kojih se ovaj resurs može dostaviti na bilo koju točku mreže.

Definicija: Neka biti
- orijentirani graf. Podskup verkhina
nazvan danoAko iz vrhova
možete doći do bilo kojeg vrha grafikona. Podskup verkhina
baza grafikona naziva se ako stvara, ali nitko ne stvara vlastiti podskup.

Sljedeći teorem vam omogućuje da učinkovito pronađete sve osnove grafikona.

Teorema: Neka biti
- orijentirani graf. Podskup verkhina
je baza Tada i samo kada sadrži jedan vrh od svake minimalne komponente jake povezanosti I ne sadrži druge vrhove.

Dokaz: napomena Prvo napišite da je svaki vrh grafikona postignut od vrha koja pripada nekoj minimalnoj komponenti. Stoga, mnogi verthos
koji sadrže jedan vrh od svake minimalne komponente se stvara, a kada se uklanja iz njega, svaki vrh prestaje biti takav, budući da su vrhovi iz odgovarajuće minimalne komponente postaju nedostižne. stoga
je baza.

Natrag, ako
to je baza, dužna je uključiti barem jedan vrh od svake minimalne komponente, inače će vrhovi takve minimalne komponente biti nedostupne. Nema drugih vrhova
sadrži ne može, jer je svaki od njih ostvariv od već uključenih vrhova.

Ovaj teorem slijedi sljedeći postupak za izgradnju jednog ili nabrajanja svih baza grafikona. :

Primjer 14.3: Definiramo sve osnove orijentiranog grafa .

U prvoj fazi nalazimo komponente jake povezanosti :

U drugoj fazi gradimo grafikon strogih ostvarivosti na tim komponentama.

Odredite minimalne komponente:
,
i
.

Konačno, navedite sve četiri baze podataka :
,
,
i
.

Razmatraju pitanja ostvarivosti za orgrade i načine pronalaženja matrica postibilnosti i krivotvorenosti. Razmatra se matrična metoda pronalaženja broja staza između bilo kojeg vrhova grafikona, kao i na pronalaženju više vrhova uključenih na put između vrhova. Svrha predavanja: Dajte ideju o ostvarivosti i krivotvorine i načinima da ih pronađete

Dostupnost i krivotvorina

Zadaci u kojima se koristi koncept postignuće, vrlo malo.

Ovdje je jedan od njih. Grafikonmože postojati model neke organizacije u kojoj su ljudi predstavljeni vrhovima, a lukovi interpretiraju komunikacijske kanale. Pri razmatranju takav model moguće je postaviti pitanje da li informacije s jedne osobe se prenose na druge Litsuch J, tj. Postoji put koji dolazi od vrhova i na vrh j. Ako taj put postoji, kažu da su vrhovi J postićiiz Vertex I. Moguće je biti zainteresirano za ostvarivost Vertex J iz Vertex I samo na takvim stazama, čiji duljine ne prelaze unaprijed određenu vrijednost ili duljinu od čega je manji od najvećeg broja vrhova u koloni itd. , Zadaci.

Postignuće u grafikonu opisano je matricom postibiteljstva R \u003d, i, J \u003d 1, 2, ... n, gdje je broj vrhova grafikona, a svaki je element definiran na sljedeći način:

r ij \u003d 1, ako su vrhovi J su postići iz I,

r ij \u003d 0, inače.

Skup r (xi) vrhova r (xi) grafikona, koji se može postići iz danog Vertex I, sastoji se od takvih elemenata I, za koje (I, J) - element u matrici postignutosti je 1. Očito, Svi dijagonalni elementi u matriciranju 1, budući da se svaki vrh može ostvariti od sebe, duljina duljine je 0. Budući da je izravno mapiranje 1. narudžbe +1 (XI) veći broj takvih vrhova J, koji se mogu postići iz × i Putevi duljine 1, zatim set + (g +1 (Xi)) \u003d R + 2 (XI) sastoji se od vrhova, koji se može postići iz SSX i pomoću duljine duljine 2. Slično s + P (Xi) je pluralnost vrhovi koji se mogu postići od XI pomoću duljine.

Budući da je bilo koji vrh grafikona, koji se postiže od x i, treba postići pomoću puta (ili staze) duljine 0 ili 1, ili 2, ..., ORP, zatim veći broj vrhova koji se može postići za vrt biti predstavljeni kao

R (x i) \u003d (x i) g +1 (x i) g +2 (x i) ... g + p (x i).

Kao što možemo vidjeti, skup ostvarivih vrhova R (x i) je izravan prijelazni zatvarač vrhova IX I, tako da e.r (x i) \u003d t + (x i). Prema tome, za izgradnju matrice za postizanje, nalazimo ostvarive setove (X i) za sve vrhove I X. Predstavljanje, R ij \u003d 1, ako X R (X I), ij \u003d 0V, inače.

Sl. 4.1. Dostupnost u stupcu: -graph; B - matrica susjedstva; u - matricu ostvarivosti; G-matrica krivotvorenosti.

Za graf prikazan na sl. 4.1, a, skup postićisu kako slijedi:

R (X1) \u003d (X1) (X2, X5) (X2, X4, X5) (X2, X4, X5) \u003d (X1, X2, X4, X5 ),

R (x 2) \u003d (X2) (X2, X4) (X2, X4, X5) (X2, X4, X5) \u003d (X2, X4, X5),

R (x 3) \u003d (X3) (X4) (X5) (X5) \u003d (X3, X4, X5),

R (x 4) \u003d (x 4) (x 5) (X5) \u003d (X4, X5),

R (x 5) \u003d (x 5) (X5) \u003d (X5),

R (x 6) \u003d (x 6) (X3, X7) (X4, X6) (X3, X5, X7) (X4, X5, X6) \u003d (X3, X) 4, x 5, x 6, x 7),

R (X7) \u003d (x 7) (X4, X6) (X3, X5, X7) (X4, X5, X6) \u003d (X3, X4, X5, X 6) , x 7).

Postizanje matrice Čini se kao prikazano na Sl. 4.1. Postizanje matricemože izgraditi matrica jedrenja(Sl. 4.1, b), formiranje set + (X I) za svaki vrh i.

Matrica krivotvorenja Q \u003d [Q ij], I, J \u003d 1, 2, ... n, gdje je broj vrhova grafikona, definiran je kako slijedi:

q ij \u003d 1, ako Vertex J može doseći Vertex I,

q ij \u003d 0, inače.

Bez kontrolesETQ (X I) je skup takvih vrhova, koji se iz bilo kojeg vrha ovog skupa može postići vrhom i. Slično izgradnji ostvarivog setr (x I), možete snimiti izraz FATQ (x I):

Q (x i) \u003d (x i) m -1 (x i) g - 2 (x i) ... mr (x i).

Dakle, može se vidjeti da je Q (x i) ništa više od obrnutog prijelaznog zatvaranja vrhova I, tako e.q (x i) \u003d t - (x i). Očito je iz definicija da je stupac Xi matrixq (u kojem QQ 1, ako XQ (XI), AndQ ij \u003d 0) se podudara s nizom i matrica, tako eq \u003d rt, gdje matrica, transponirana postizanje matriceR.

Matrica krivotvorenjaprikazano na Sl. 4.1, g.

Treba napomenuti da budući da su svi elementi matrica 1 ili 0, svaki niz može biti pohranjen u binarnom obliku, spremanje memorijskih troškova računala. MatriceQuests za obradu na računalu, jer s računalne točke gledišta, glavne operacije su logičke operacije velike brzine.

Pronalaženje mnoštva uključenih vrhova

Ako trebate saznati o vrhovima grafikona uključenim u ovim stazama, trebali biste se sjetiti definicija izravnih i inverznih prijelaznih zatvaranja. Budući da je T + (XI) veći broj vrhova u kojima postoje načini od vrha I, na - (XJ) - veći broj vrhova, od kojih postoje načini CX J, TT + (XI) t - (XJ) ) - razne vrhove, od kojih svaki pripada barem jedan način, ide iz IS I KX J. Ti se vrhovi nazivaju bitni ili integralni u odnosu na dva terminalna vrha IX J. Svi ostali vrhovi grafikona nazivaju se ne-bitne ili suvišne, jer njihovo uklanjanje ne utječe na putove OTX I KX J.

Sl. 4.2. Orgraf

Tako da za grafikon na sl. 4.2 Pronalaženje vrhova uključenih na stazu, na primjer, iz Vertex X 2 u Vertexu 4, smanjuje se za Find + (X2) \u003d (X2, X3, X 4, X 5, X 6),

T - (X4) \u003d (X1, X2, X3, X4, X 5) i njihov raskrižji + (X2) t - (X4) \u003d (X2, X3, X4, X) pet).

Matrix Metoda pronalaženja načina u grafikonima

Matrica susjedstva u potpunosti određuje strukturu grafikona. Podigla je matricu susjedstva na trgu u skladu s pravilima matematike. Svaki element matrice A 2 određuje se formulom

a (2) ik \u003d n j \u003d 1 IJ JK

Pojam u formuli jednak je 1 i samo ako su oba broja IJ I JK jednaki 1, inače je jednako 0. Budući da je postojanje duljine duljine 2 od vrha IJ postojala iz jednakosti IJ \u003d JK \u003d 1 odijela J, onda (i -i, K-th) element matrice 2 je jednak broju duljine 2, dosežeći iz I V.

Tablica 4.1A prikazuje matricu semacija grafikona prikazanog na Sl. 4.2. Rezultat konstrukcije susjedne matrice na kvadrat A2 prikazan je u tablici 4.1b.

Tako "1", stojeći na raskrižju druge linije i četvrtog stupca, govori o postojanju jednog puta od 2 duljine od vrhova x 2 do vrhova 4. Doista, kao što vidimo graftna sl. 4.2, postoji takav način: a 6, a 5. "2" u Matrixa 2 govori o postojanju dviju staza 2 od vrhova 3 do vrhova 6: A 8, 4 i 10, A 3.

Slično tome, za matricu susjedstva, podignuta u treći stupanj 3 (tablica 4.1b), A (3) IK jednak je broju duljine 3, dosežući fromx i k K. Od četvrtog linije matrice 3, može se vidjeti da staze 3 postoje: jedan od 4 VX 4 (a 9, a 8, a 5), \u200b\u200bjedan od 4 u

x 5 (9, A 10, A 6) i dva puta od 4 VX 6 (A 9, A 10, A 3 i 9, A 8, A 4). Matrica 4 prikazuje postojanje putova 4 (tablica 4.1g).

Dakle, ako je P, element matrice p, toa p ik jednak je broju staza (ne nužno ili jednostavna orrachesis) duljine, koja ide od i k K.