Ühemõõtmelised juhuslikud muutujad

Juhusliku muutuja mõiste. Diskreetsed ja pidevad juhuslikud muutujad. Tõenäosuse ja selle omaduste jaotuse funktsioon. Tõenäosuse jaotuse tihedus ja selle omadused. Juhuslike muutujate numbrilised omadused: matemaatilised ootused, dispersioon ja nende omadused, sekundaarne ruuthälve, mod ja mediaan; Esmased ja kesksed hetked, asümmeetria ja liigne.

1. Juhusliku muutuja mõiste.

Juhuslikseda nimetatakse väärtuseks, mis võtab testide või teise tulemuse tagajärjel (kuid samal ajal ainult üks) võimaliku väärtuse, eelnevalt tuntud teadaoleva, katsetamise katse ja sõltuvalt juhuslikest asjaoludest. Erinevalt juhuslikust sündmusest, mis on juhusliku testitulemuse kvalitatiivne omadus, iseloomustab kvantitatiivselt katse tulemus. Juhusliku dispersiooni näited võivad olla töödeldud osa suurus, toote või keskkonna parameetri mõõtmise viga. Seas juhuslike muutujatega, millega peate praktikas kohtuma, saab eristada kahte peamist tüüpi: diskreetsed väärtused ja pidev.

Diskreetne Seda nimetatakse selliseks juhuslikuks väärtuseks, mis võtab piiratud või lõpmatute väärtuste kogumi. Näiteks kolme pildi tabamuste sagedus; defektsete toodete arv tükkide parteis; telefonivahetusele sisenevate kõnede arv päeva jooksul; Seadme elementide ebaõnnestumiste arv teatud aja jooksul töökindluse katsetamiseks; Võhemärkide arv esimesele löögile sihtmärgile jne.

Pidev Seda nimetatakse selliseks juhuslikuks väärtuseks, mis võib võtta mingeid väärtusi teatud piiratud või lõpmatu intervalliga. Ilmselgelt on pideva juhusliku muutuja võimalike väärtuste arv lõputult. Näiteks viga radari vahemiku mõõtmisel; Mikrokõrvade vaba toimimise aeg; Osade valmistamise viga; Salt kontsentratsioon merevees jne.

Juhuslikud muutujad tähistatakse tavaliselt tähtedega jne ja nende võimalikud väärtused - jne. See ei ole piisav, et loetleda kõik võimalikud väärtused juhusliku muutuja täpsustamiseks. Samuti on vaja teada, kui tihti võivad need või muud väärtused samadel tingimustel katsete tulemusena ilmuda, st on vaja määrata nende välimuse tõenäosus. Kombindi kõigi juhusliku dispersiooni võimalike väärtuste kombinatsioon ja neile tõenäosused on juhusliku dispersiooni jaotus.

2. juhusliku muutuja jaotamise seadused.

Jaotusõigus Juhuslik muutuja nimetatakse igasuguse kirjavahetuse juhusliku muutuja võimalike väärtuste ja vastavate tõenäosuste vahel. Juhuslik summa ütleb, et see järgib seda jaotusõigust. Kaks juhuslikku muutujat nimetatakse sõltumatuKui ühe neist jaotusõiguse ei sõltu sellest, millised on võimalikud väärtused teise väärtuse saanud. Vastasel juhul kutsutakse juhuslikke muutujaid sõltuv. Mitmed juhuslikud muutujad nimetatakse vastastikku sõltumatuKui nende arvu jaotamise seadused ei sõltu ülejäänud väärtuste võimalike väärtuste aktsepteeritavatest väärtustest.

Juhusliku muutuja jaotusseadust saab määrata tabeli kujul jaotusfunktsioonina jaotustiheduse kujul. Label, mis sisaldab juhusliku muutuja võimalikud väärtused ja vastavad tõenäosused on juhusliku muutuja jaotuse seaduse õiguse lihtsam vorm:

Jaotusseaduse tabelit saab kasutada ainult diskreetse juhusliku muutuja jaoks, kellel on piiratud arv võimalike väärtuste arvuga. Label vorm ülesande õiguse juhusliku muutuja on ka mitmeid jaotus.

Selguse huvides esindavad mitmed jaotus graafiliselt. Graafilise pildiga ristkülikukujulise koordinaatsüsteemis piki Abscissa telje kõigist juhusliku variatsiooni võimalikud väärtused deponeeritakse ja vastavalt koordinaatteljele vastavad tõenäosused. Seejärel ehitage punktid ja ühendage need sirgete kärpete abil. Saadud arvu nimetatakse polügooni jaotus (Jn 5). Tuleb meeles pidada, et ordinite tipud ühend tehakse ainult selguse eesmärgil, kuna ja jne vahel ei saa võtta juhuslikku väärtust, mistõttu on nende välimuse tõenäosused null.

Jaotuspolügon, nagu mitme jaotumise arv, on diskreetse juhusliku muutuja jaotusõiguse ülesande üks ülesande vorme. Neil võib olla erinev vorm, kuid kõigil on üks ühine vara: jaotuspolügooni tippude koordinaadi summa, mis on kõigi juhuslike muutujate võimalike väärtuste tõenäosuste summa, mis on alati võrdne ühega. See vara tuleneb asjaolust, et kõik võimalikud juhusliku dispersiooni väärtused moodustavad täieliku mittetäielike sündmuste rühma, mille summa on võrdne ühega.

Määratlus. Juhuslikku muutuja nimetatakse numbriliseks väärtuseks, mille väärtus sõltub sellest, millist elementaarset tulemust tekkis juhusliku tulemuse katse tulemusena. Kõigi väärtuste kogum, mida juhuslikku väärtust saab vastu võtta, nimetatakse selle juhusliku muutuja võimalike väärtuste hulgast.

Juhuslikud muutujad näitavad: X., Y 1., Z I.; ξ , η 1., μ I. I.ja nende võimalikud väärtused - x 3., y 1k., z Ij..

Näide. Kogemus ühekordne valatud mängib luud juhusliku muutuja on number X. Ostetud prillid. Paljud juhusliku muutuja võimalikud väärtused X. Tal on välimus

{x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x 6 \u003d 6}.

Meil on elementaarsete tulemuste vastavus järgmine ω ja juhuslikud väärtused X.:

See on iga elementaarne tulemus ω I., i \u003d 1, ..., 6, pange numbriga kooskõlas i..

Näide. Münt visatakse üles kuni "vapp" esimene välimus. Selles kogemuses saate sisestada näiteks selliseid juhuslikke muutujaid: X. - "Valava vappide" esimene välimus, millel on palju võimalikud väärtused (\\ t 1, 2, 3, … ) I. Y. - arvu "numbrid", mis langes esimesele ilmumise "vapp", paljude võimalike väärtuste {0, 1, 2, …} (See on selge, et X \u003d y + 1). Selles kogemuses, elementaarsete tulemuste ruum Ω saab tuvastada paljude

{G, CG, CSG, ..., c ... cg, ...},

ja elementaarne tulemus ( C ... TSG.) on kooskõlas numbriga m + 1. või m.kus m. - kirja korduste arv "C".

Määratlus. Scalaari funktsioon X (ω)määratletud elementaarsete tulemuste ruumis, mida nimetatakse juhuslikuks muutujaks, kui iga x∈ R. (Ω: x (ω)< x} See on sündmus.

Juhusliku muutuva jaotusfunktsioon

Uurida juhusliku muutuja probabilistlikke omadusi, peate teadma reeglit, mis võimaldab teil leida tõenäosust, et juhuslik väärtus võtab väärtuse alamhulga väärtuse. Igasugust sellist reeglit nimetatakse tõenäosuse jaotamise või juhusliku muutuva jaotuse seaduseks.

Kõikide juhuslike väärtuste üldise jaotusseaduse on jaotusfunktsioon.

Määratlus. Jaotusfunktsioon (tõenäosus) juhuslik muutuja X. Kõnefunktsioon F (x)Kelle väärtus punktis x. Võrdselt sündmuse tõenäosus (X.< x} See tähendab, et need, mis koosnevad nendest ja ainult need elementaarsed tulemused ω mille jaoks X (ω)< x :

F (x) \u003d p (x< x} .

Tavaliselt öeldakse, et jaotusfunktsiooni väärtus punktis x. Võrdselt tõenäosus, et juhuslik väärtus X. võtab väärtuse vähem x..

Teoreem. Jaotusfunktsioon vastab järgmistele omadustele:

Jaotusfunktsiooni tüüpiline vaade.

Diskreetsed juhuslikud muutujad

Määratlus. Juhuslik muutuja X. Kõne diskreetne, kui paljud võimalikud väärtused muidugi või loendatavad.

Määratlus. Levitamise lähedal (tõenäosus) diskreetne juhuslik muutuja X. Helistage tabelile, mis koosneb kahest readist: kõik juhusliku dispersiooni võimalikud väärtused on loetletud ülemisse stringiga ja alumise tõenäosusega p i \u003d p \\ (x \u003d x i \\ t See juhuslik väärtus võtab need väärtused.

Tabeli õigsuse kontrollimiseks on soovitatav tõenäosuste kokku võtta. p I.. Süüteklaasi tõttu:

Mitme jaotuse diskreetne juhuslik muutuja, saate ehitada oma jaotusfunktsiooni F (x). Las olla X. - määratletud tema jaotuse arv ja x 1< x 2 < … < x n . Siis kõik x ≤ x 1 sündmus (X.< x} Seetõttu on võimatu määratluse järgi võimatu F (x) \u003d 0. Kui a x 1< x≤ x 2 , siis sündmus (X.< x} koosneb nendest ja ainult nendest elementaarsetest tulemustest X (ω) \u003d x 1. Seega, F (x) \u003d p 1. Samamoodi x 2< x ≤ x 3 sündmus (X.< x} koosneb elementaarsetest tulemustest ω Sest kas X (ω) \u003d x 1ka X (ω) \u003d x 2, s.e (X.< x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Seega, F (x) \u003d p 1 + p 2 jne. Jaoks x\u003e x n sündmus (X.< x} usaldusväärselt siis F (x) \u003d 1.

Eraldi juhusliku muutuja jaotusseadust saab samuti täpsustada analüütiliselt valemi või graafiliselt. Näiteks kirjeldatakse mänguluu jaotust valemiga

P (x \u003d i) \u003d 1/6, i \u003d 1, 2, ..., 6.

Mõned diskreetsed juhuslikud muutujad

Binomiaalne jaotus. Diskreetne juhuslik varieeruvus X. Jaotatud binomiõiguse kohaselt, kui see võtab väärtusi 0, 1, 2, ... n. Vastavalt Bernoulli valemiga määratud levitamisele:

See levitamine ei ole midagi enamat kui edu jaotus X. sisse n. Testid vastavalt Bernoulli skeemile edu tõenäosusega p. ja ebaõnnestumine q \u003d 1-P.

Poissoni jaotus. Diskreetne juhuslik varieeruvus X. Jaotas Poissoni seadusega, kui see võtab võimalusega mitte-negatiivseid väärtusi

kus λ > 0 - Poissoni jaotusparameeter.

Poissoni levitamist nimetatakse ka haruldaste sündmuste seaduslikuks, kuna see avaldab alati, kui toodetakse suurt arvu katseid, millest igaüks on väike tõenäosus, "haruldased" sündmused toimuvad.

Vastavalt Poissoni seadusele, mis on jaotatud näiteks telefonivahetuse ajal saadud kõnede arv; teatud piirkonnas langevate meteoriidide arv; Aine radioaktiivse lagunemise purustatud osakeste arv.

Geomeetriline jaotus. Mõtle Bernoulli skeemi uuesti. Las olla X. - testide arv, mis tuleb läbi viia enne esimese edu ilmumist. Siis X. - diskreetne juhuslik väärtus, väärtuste 0, 1, 2, ..., n., ... Me määratleme sündmuse tõenäosuse (X \u003d n).

• X \u003d 0.Kui edukas on edukas esimeses testis, seetõttu P (x \u003d 0) \u003d p.
• X \u003d 1.Kui esimeses testis on rike ja teine \u200b\u200bedukus, siis P (x \u003d 1) \u003d qp.
• X \u003d 2.Kui kahes esimeses testis - ebaõnnestumine ja kolmandal - edukus, siis P (x \u003d 2) \u003d q 2 p.
• Jätkates menetlust, me saame P (x \u003d i) \u003d q i p, i \u003d 0, 1, 2, ...

  Sellise mitme jaotusega juhusliku muutuja nimetatakse levitamiseks vastavalt geomeetrilisele õigusele.

Juhuslikud muutujad.

Matemaatikas väärtus - See on objektide ja nähtuste erinevate kvantitatiivsete omaduste ühine nimi. Pikkus, pindala, temperatuur, rõhk jne - erinevate koguste näited.

Väärtus, mis võtab erinevaid Helistatakse juhuslike asjaolude mõju all numbrilisi väärtusi juhuslik muutuja. Juhuslike muutujate näited: 1) arsti sissepääsu vastuvõtmiseks ootavate patsientide arv, 2) inimeste siseorganite täpsed mõõtmed jne.

Eristage diskreetseid ja pidevaid juhuslikke muutujaid.

Juhuslikku väärtust nimetatakse diskreetseksKui see võtab ainult teatud dateeritud üksteisest, mida saab paigaldada ja loetletud.

Näited:

1) õpilaste arv publiku - saab olla ainult täiesti positiivne number:

0,1,2,3,4….. 20…..

2) näitaja, mis ilmub ülemisele näole mängimise luu viskamisel - võib võtta ainult täisarvu väärtusi 1 kuni 6.

3) Suhteline sagedus sihtmärgiks 10 kaadris - selle tähendus:

0; 0,1; 0,2; 0,3 ….. 1

4) Samal ajal esinevate sündmuste arv: impulsi kiirus, kiirabi kõnede arv tunnis, toimingute arv kuu jooksul surmaga lõppenud tulemus jne.

Juhuslikku väärtust nimetatakse pidevaksKui ta saab võtta igasugune Väärtused teatud ajavahemiku jooksul, mis mõnikord on järsult väljendunud piire ja ei ole teada, leitakse, et juhusliku muutuja väärtused asuvad intervalliga (- ¥; ¥). Lisage näiteks temperatuur, rõhk, mass ja inimeste kasv, vere kujundatud verelihade suurus, vere pH jne.

Juhusliku muutuja mõiste mängib otsustav roll tõenäosuste praeguses teoorias, mis on välja töötanud spetsiaalsed tehnikaid üleminekuks juhuslikest sündmustest juhuslikest väärtustest.

Kui juhuslik väärtus sõltub ajast, siis saame rääkida juhuslikust protsessist.

3.1. Diskreetne juhuslik muutuja

Et anda diskreetse juhusliku muutuja täieliku iseloomuliku, peate täpsustama kõik võimalikud väärtused ja nende tõenäosused.

Diskreetse juhusliku muutuja ja nende tõenäosuste võimalike väärtuste vastavus nimetatakse selle suuruse jaotuse seadus.

Kirjeldage juhusliku muutuja X-i võimalikke väärtusi läbi XI ja neile vastavad tõenäosused PI * kaudu. Siis saab diskreetse juhusliku muutuja transiidi kolmel viisil seada: tabeli, graafika või valemi kujul.

1. Tabel, mida nimetatakse jaotuse lähedalkõik võimalikud väärtused diskreetse juhusliku muutuja on loetletud ja vastavad nende väärtuste tõenäosus p (x):

Tabel 3.1.

H.

Sel juhul peaks kõigi PI tõenäosuse summa olema võrdne ühega ( seisund on normaliseerimine):

pi \u003d p1 + p2 + ... + pn \u003d

2. Graafiliselt - tavapärase nimega purustatud joone kujul polügooni jaotus(Jn3.1). Siin on paigutatud horisontaalteljel mööda kõiki juhusliku muutuja XI võimalikke väärtusi ja piki vertikaalset telge - PI vastavad tõenäosused.

3. Analüütiliselt - kujul valemiga: näiteks kui sihtmärgi sisestamise tõenäosus ühes pildil on võrdne r,siis tõenäosus Misacharering ühel Shot Q \u003d 1 - P, A. Leping Desta 1 Time n. Kaadrid on antud valem: P (n) \u003d QN-1 × P,

3.2. Pideva juhusliku muutuja jaotamise seadus. Tõenäosuse jaotuse tihedus.

Pidevate juhuslike muutujate puhul on ülaltoodud vormides levinud jaotusõiguse rakendamine võimatu, kuna pidev väärtus on lugematuid ("loendamatu") palju võimalikud väärtused, mis on täiesti mõnda intervalli täitmist. Seetõttu ei saa ehitada tabelit, milles kõik selle võimalikud väärtused oleksid loetletud või polügooni jaotuse ehitamiseks. Lisaks on iga konkreetse väärtuse tõenäosus väga väike (lähedal 0). Samal ajal on pideva juhusliku muutuja võimalike väärtuste erinevad piirkonnad (intervallid) tavaliselt tõenäoliselt võrdselt tõenäoliselt. Seega on olemas teatud jaotusõigus, kuigi mitte endises mõttes.

Mõtle pideva juhusliku summa x, mille võimalikud väärtused on täielikult täidetud mõne intervalliga (A, B) *. Seadus tõenäosuse jaotamine Selline väärtus peaks võimaldama leida oma väärtuste tõenäosust mis tahes ajavahemikuks (x1, x2), mis asub sees (A, B *) (joonis 3.2.)

Seda tõenäosust tähistatakse P (x1<Х< х2), или Р(х1 £ Х £ х2).

Mõtle kõigepealt väga väike intervall X-st (X + DX) väärtused (vt joonis.3.2) DR-i väike tõenäosus, mida juhuslik väärtus võtab selle väikese intervalliga (X, X + DX), on proportsionaalne väärtus Selle DX-intervalliga: dr ~ DX või proportsionaalsuse f suhte tutvustamine, mis ise võib sõltuda X-st, saame:

dr \u003d f (x) × DX. (3.2)

USA funktsiooniga f (x) kutsus Tõenäosus jaotustihedus Juhuslik muutuja X või lühike tõenäosuse tihedus (jaotustihedus). Võrrandit (3.2) saab vaadelda diferentsiaalvõrrandina ja siis löömise tõenäosusega. Intervalli auastmed (x1, x2) on võrdne:

P (x1< Х < х2) = f (x) dX. (3.3)

Graafiliselt see tõenäosus p (x1< Х < х2) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой f (x) ja sirge x \u003d x1 ja x \u003d X2 (vt joonis.3.3), mis tuleneb konkreetse integraali geomeetrilisest tähendusest (3.3). Kõver f (x) Seda nimetatakse jaotuskõver.

Alates (3.3) võib näha, et kui funktsioon on teada f (x), See muudab integratsiooni piirid, leiad tõenäosuse mis tahes ajavahemike järel. Seetõttu on see seadistusfunktsioon f (x) Täielikult määrab pideva juhusliku muutujate jaotusseaduse.

Tõenäosuse jaotuse tiheduse jaoks tuleb läbi viia F (x) seisund on normaliseeriminenagu:

f (x)dx = 1, (3.4)

kui on teada, et kõik X väärtused asuvad intervalliga (A, B) või kujul:

f (x) dx \u003d 1, (3.5)

kui väärtuste intervalli piirid ei ole teada. Tõenäosustiheduse (3.4) või (3.5) normaliseerimise tingimused on juhusliku muutuja x väärtuste tagajärg usaldusväärselt Asuvad (A, B) või (- ¥, + ¥). Alates (3.4) ja (3.5) järeldub, et joonisel piiratud jaotuskõvera ja abscissa telje ala on alati võrdne 1-ga.

Lõigetes 3.1 ja 3.2 sätestatud tulemused näitavad, et diskreetsete või pidevate juhuslike väärtuste täielik omadus annab nende jaotuse seadustele.

Paljudes praktiliselt olulistes olukordades on siiski nn numbrilised omadused Juhuslikud muutujad, mille peamine eesmärk on väljendada surutud kujul nende jaotuse kõige olulisemaid omadusi. On oluline, et need parameetrid oleksid konkreetsed (konstantsed) väärtusedmida saab hinnata katsetes saadud andmete abil. Need hinnangud tegelevad nn kirjeldava statistikaga.

Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika puhul on siin üsna palju erinevaid omadusi, siin kaalume kõige sagedamini kasutatavaid. Ainult nende osade puhul on valemid, mille jaoks nende väärtused arvutatakse, muudel juhtudel lahkuvad arvutused arvutist.

3.3.1. Olukorra omadused: Matemaatiline ootamine, mood, mediaan.

See tähendab, et nad iseloomustavad juhusliku muutuja positsiooni numbrilisel teljel, s.o näitavad mõned selle olulised väärtused, mis iseloomustavad teiste väärtuste jaotust. Nende hulgas mängib M (x) matemaatiline ootus olulist rolli.

aga). Matemaatiline ootus M (x) Juhuslik muutuja on selle keskmise aritmeetilise probabilistlik analoog.

Diskreetse juhusliku muutuja jaoks arvutatakse see valemiga:

M (x) \u003d x1r1 + x2p2 + ... + xnrn \u003d \u003d, (3.6)

ja pideva juhusliku muutuja puhul määratakse M (x) valemite järgi:

M (x) \u003d või m (x) \u003d (3.7)

kui F (x) on tõenäosustihedus, dp \u003d f (x) DX - tõenäosuste element (PI analoog) väikese DX-intervalli (DX) jaoks.

Näide.Arvutage keskmise väärtuse pideva juhusliku muutuja, millel on ühtlane jaotus segmendi (A, B).

Otsus: Ühtlase jaotuse korral on intervalli (A, B) tõenäosus tihedus konstantne, st f (x) \u003d FO \u003d CONST ja väljaspool (A, B) on null ja normaliseerimisjärgus (4.3) leiame Väärtus F0:

F0 \u003d F0 × x | \u003d (b-a) f0, kust

M (x) \u003d | \u003d \u003d \u003d (a + b).

Seega langeb m (x) matemaatiline ootus intervalli (A, B) keskele, mis määratakse kindlaks, st \u003d m (x) \u003d.

B). Fashion Mo (x) diskreetne juhuslik muutujakutsus seda kõige tõenäolisem väärtus(Joonis 3.4, a) ja pidev - väärtus H.milles tihedus tõenäosus maksimaalne (Joonis 3.4, B).

sisse). Teine seisukoht iseloomulik - mediaan (Mina.) Juhuslik muutuja jaotus.

Mediaan Karusnahk)juhuslik dispersioon nimetas selle väärtuseks H.Mis jagab kõik jaotus kaheks samaväärseks osaks. Teisisõnu juhusliku muutuja jaoks võrdselt ilmselt Väärtusi võtma vähem mind (x) või rohkem mind (x): P (x< Ме) = Р(Х > I) \u003d.

Seetõttu saab mediaan arvutada võrrandi põhjal:

(3.8)

Graafiliselt mediaan on juhusliku muutuja väärtus, mille ordinaat on jagatud ala, piiratud jaotuskõvera poole (S1 \u003d S2) (joonis 3.4, B). See iseloomulik tavaliselt kasutab ainult Pideva juhusliku muutuja jaoks, kuigi seda saab määrata ametlikult diskreetse x jaoks.

Kui m (x), mo (x) ja mina (x) langevad kokku, siis kutsutakse juhusliku dispersiooni jaotust sümmeetrilinemuidu - asümmeetriline.

Hajumise omadused - dispersioon ja standardhälve (sekundaarne ruuthälve).

DispersioonD. (X.) juhusliku muutuja X on defineeritud kui matemaatiline ootus ruuduhälbe juhusliku X oma matemaatilise ootuse m (x):

D (x) \u003d m2, (3.9)

või d (x) \u003d m (x2) - a)

Seetõttu diskreetnejuhusliku mõõtme arvutatakse valemite järgi:

D (x) \u003d [xi - m (x)] 2 PI või d (x) \u003d XI2 pi -

ja pideva suurusega, mis on jaotatud intervalliga (A, B):

a intervallile (-∞, ∞):

D (x) \u003d 2 f (x) DX või d (x) \u003d x2 f (x) DX -

Dispersioon iseloomustab keskmine hajumine, juhusliku muutuja X väärtuste hajutamine oma matemaatilise ootuse suhtes. Sõna "dispersioon" ise tähendab "hajumist".

Kuid dispersioon D (x) on juhusliku muutuja ruudu mõõtme, mis on hajumise hindamisel väga ebamugav füüsiliste, bioloogiliste, meditsiiniliste jne rakenduste hindamisel. Seetõttu kasutab tavaliselt teist parameetrit, mille mõõde langeb kokku X. mõõtmega keskel numterratiivne hälve juhusliku muutuja x, mis tähistatakse s. (X):

s. (X) \u003d (3.13)

Niisiis, matemaatiline ootus, mood, mediaan, dispersioon ja sekundaarne ruuthälve on kõige tarbijatud Juhuslike muutujate jaotuste numbrilised omadused, millest igaüks väljendab selle jaotuse mõningaid iseloomulikke omadusi.

3.4. Tavaline juhuslike muutujate jaotusõigus

Tavaline jaotusõigus(Gauss'i seadus) mängib tõenäosuse teoorias väga olulist rolli. Esiteks on see kõige levinum praktikas pidevate juhuslike muutujate jaotuse seadus. Teiseks, see on piir Seadus, selles mõttes, et teatavatel tingimustel lähenevad muudel jaotusseadustes.

Tavaline seadus Jaotust iseloomustab järgmise valemi tõenäosustihedusega:

, (3.13)

Siin x - juhusliku muutuja x praegused väärtused x ja m (x) ja s. - selle matemaatilise ootuse ja standardhälbe, mis määrab täielikult kindlaks funktsioon f (x). Seega, kui juhuslik sort jaotub tavapärase seaduse järgi, piisab ainult kahest numbrilist parameetrit: m (x) ja s.Täielikult teada selle jaotuse seaduse (3.13).Funktsioonide ajakava (3.13) kutsus normaalne kõver jaotamine (Gauss kõver). Sellel on sümmeetriline välimus võrreldes ordinate x \u003d m (x) suhtes. Maksimaalne tõenäosuse tihedus, mis on võrdne "vastab" x \u003d m (x) matemaatilise ootuse ja f (x) tõenäosuse tiheduseks, väheneb see järk-järgult nulli järk-järgult (joonis. X) (3.13) ei muuda normaalse kõvera vormi, vaid viib ainult selle nihutamiseni Abscissa teljel. M (X) väärtust nimetatakse ka hajumise keskuseks ja RMS kõrvalekalle s. iseloomustab laius jaotuskõvera (vt joonis.3.6).

Suurendades s. Kõvera maksimaalne järjekord väheneb ja kõver ise muutub tavalisemaks, venitades piki Abscissa telje, samas kui väheneb s.kõver on koostatud samal ajal tihendamisel külgedest (joonis 6).

Loomulikult on M (X) ja S väärtuste puhul normaalse kõvera ja X-telje piirduv pindala võrdub 1 (normaliseerumise seisund):

f (x) dx \u003d 1 või f (x) dx \u003d

Tavaline jaotus on sümmeetriliselt, mistõttu m (x) \u003d mo (x) \u003d mina (x).

Tõenäosus sisestada väärtused juhusliku muutuja intervallile (X1, X2), st P (x1< Х< x2) равна

P (x1.< Х < x2) = . (3.15)

Praktikas probleem leida tõenäosuse tõenäosuse väärtus tavaliselt jaotatud juhusliku muutuja intervallis, sümmeetriline võrreldes M (X). Eelkõige kaaluge järgmist, olulist ülesannet rakendatud arvesse. Ma edasi lükata M (X) paremale ja vasakule segmentidele, mis on võrdsed S, 2S ja 3S-iga (joonis 7) ja kaaluma X-i sisenemise tõenäosuse arvutamise tulemust vastavates intervallides:

P (m (x) - s. < Х < М(Х) + s.) = 0,6827 = 68,27%. (3.16)

P (m (x) - 2s< Х < М(Х) + 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (3.17)

P (m (x) - 3s< Х < М(Х) + 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (3.18)

Alates (3.18), järeldub, et normaalse jaotatud juhusliku muutuja väärtused parameetritega M (x) ja s tõenäosusega p \u003d 99,73% valetab intervalli m (x) ± 3s, muidu peaaegu kõik võimalikud väärtused Sellest juhuslikust juhuslikult kuuluvad selle intervalli. Väärtused. See meetod juhusliku dispersiooni võimalike väärtuste hindamise meetod on tuntud kui "kolme sigmi reegel".

Näide.On teada, et vere pH on normaalne jaotatud väärtus keskmise väärtusega (matemaatiline ootus) 7.4 ja standardhälve 0,2. Määrake selle parameetri võimalike väärtuste vahemik.

Otsus:Sellele küsimusele vastamiseks kasutame "kolme SIGMi reegel". Tõenäosusega võrdub 99,73% -ga, võib väita, et inimese pH väärtuste hulk on 7,4 ± 3 ± 0,2, st 6,8 × 8.

* Kui intervallipiiride täpsed väärtused ei ole teada, kaalutakse intervalli (- ¥, + ¥).

Saada oma hea töö teadmistebaasis on lihtne. Kasutage allolevat vormi

Õpilased, kraadiõppurid, noored teadlased, kes kasutavad oma õpingute teadmistebaasi ja töötavad, on teile väga tänulikud.

Postitas http://www.allebe.ru/

Diskreetsed juhuslikud muutujad

Olgu mõni test läbi viia, mille tulemus on üks mittetäielike juhuslike sündmuste (sündmuste arv või loomulikult või loendatult, st sündmusi saab nummerdada). Iga tulemus pannakse vastavalt mõnele kehtivale numbrile, st kehtiva funktsiooni X väärtustega on määratud juhuslike sündmuste kogumile. Seda funktsiooni x nimetatakse diskreetne juhuslik väärtus (Termin "diskreetne" kasutatakse sellepärast, et juhusliku dispersiooni väärtused on individuaalsed numbrid, erinevalt pidevatest funktsioonidest). Kuna juhuslike muutujate väärtused muutuvad sõltuvalt juhuslikest sündmustest, siis peamine huvi kujutab endast tõenäosusi, millega juhuslik väärtus võtab erinevaid numbrilisi väärtusi. Juhusliku muutuja jaotamise seadus on suhe, mis loob suhted juhusliku muutuja ja vastavate tõenäosuste võimalike väärtuste vahel. Jaotuskirja võib olla erinevad vormid. Diskreetse juhusliku muutuja jaoks on jaotusõigus koguarvude kogum (), kus - juhusliku muutuja võimalikud väärtused ja tõenäosused, millega ta neid väärtusi võtab: Kus.

Paaride võib pidada mõnede koordinaatide süsteemi punktideks. Nende punktide ühendamisega sirgjoonega saame levitamise seaduse graafilise pildi - polügooni jaotus. Kõige sagedamini kajastatakse diskreetse juhusliku muutuja jaotuse seadus tabeli kujul, kus paarid on valmistatud.

Näide. Münt lisati kaks korda. Looge selle katse "vappide" arvu seaduse jaotus.

Otsus. Random X on selles testis heitkoguste arv "vapp". Ilmselgelt X võib võtta ühe kolme tähendusega: 0, 1, 2. tõenäosus välimuse "vapp" ühe viskamine mündi on võrdne p \u003d 0,5 ja kaotus "kiirustada" q \u003d 1 - p \u003d 0,5. Tõenäosulisus, millega Bernoulli valem on loetletud väärtused, leiavad Bernoulli valemiga:

Seadus jaotamise juhusliku muutuja X Kirjutage kujul jaotuslaud

Kontroll:

Mõned seadused jaotus diskreetseid juhuslikke muutujaid, mis esinevad sageli erinevate ülesannete lahendamisel, sai erinimesid: geomeetriline jaotus, hüpergeomeetriline jaotus, binomiaalne jaotus, Poissoni jaotus ja teised.

Diskreetse juhusliku muutuja jaotus võib täpsustada jaotusfunktsiooni f (x) abil, mis on võrdne tõenäosusega, et juhuslik väärtus x võtab väärtusi intervallile ???? x?: F (x) \u003d P (x

F (x) funktsioon f (x) on määratletud kogu kehtivale teljele ja sellel on järgmised omadused:

üks)? ? F (x)? üks;

2) f (x) - mitte-vähenev funktsioon;

3) f (??) \u003d 0, f (+?) \u003d 1;

4) f (b) - f (a) \u003d p (a? X< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69

2 =(2-2.3) 2 =0.09

2 =(5-2.3) 2 =7.29

Kirjutame ruuduhälbe seaduse jaotuse:

Lahendus: leiame M (X) matemaatilise ootuse:

M (x) \u003d 2 * 0,1 + 3 * 0,6 + 5 * 0,3 \u003d 3,5

Wew tegude jaotus juhuslikult x 2

Me leiame matemaatilise ootuse m (x 2):

M (x 2) \u003d 4 x 0,1 + 9 * 0,6 + 25 * 0,3 \u003d 13,5

Soovitud dispersioon d (x) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3.5) 2 \u003d 1,05

Dispersiooni omadused

1. konstantse väärtuse dispersioon nulliga: D (C) \u003d 0

2. konstantse kordaja saab teha dispersioonmärgi jaoks, söödes seda ruutu. D (CX) \u003d C2D (x)

3. Sõltumatute juhuslike muutujate summa dispersioon on võrdne nende väärtuste dispersioonide kogusega. D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d d (x 1) + d (x 2) + ... + d (x n)

4. Binoomijaotuse dispersioon on võrdne katse tõenäosuse tõenäosusega katsete arvu saamisega ühes testis D (x) \u003d NPQ.

Et hinnata juhusliku muutuja võimalike väärtuste hajumist selle keskmise väärtuse ümber, lisaks dispersioonile, mõned muud omadused pakutakse ka mõningaid muid omadusi. Nende hulka kuuluvad keskmine neljaratta kõrvalekalle.

Määratlus. Juhusliku varieeruva X-i keskmist ruutkõrju nimetatakse dispersioonist ruutjuure:

Näide 8. Juhusliku väärtuse X määrab jaotusõiguse seadusega

Leia keskmise ruutkõrguse (x)

Lahendus: Leia matemaatiline ootus x:

M (x) \u003d 2 * 0,1 + 3 * 0,4 + 10 * 0,5 \u003d 6.4

Me leiame matemaatilise ootuse x 2:

M (x 2) \u003d 2 2 x 0,1 + 3 2 * 0,4 + 10 2 * 0,5 \u003d 54

Leia dispersioon:

D (x) \u003d m (x 2) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 54-6,4 2 \u003d 13,04

Teine keskmine neljakeskkonna kõrvalekalle

(X) \u003d VD (x) \u003d V13.04? 3.61

Teoreem. Vastastikku sõltumatute juhuslike muutujate lõpliku arvu kvartalisi kõrvalekalle on võrdselt ruudukujuline juur nende koguste keskmiste ruutkõnede ruutude summast:

Juhuslikud muutujad

Juhusliku muutuja mõiste on tõenäosuse teoorias peamine mõiste ja selle rakenduste teoorias. Näiteks juhuslikud väärtused on paigutusluu ühe visamise punktide arv, ohtlike raadiumi aatomite arv aja jooksul, telefonikõnede arv teatud aja jooksul, kõrvalekalded Osa nominaalne osa nõuetekohaselt kehtestatud protsessiga ja nii edasi.

Sellel viisil, juhuslik väärtus Muutuva väärtuse nimetatakse, mis eksperimendi tulemusena saab ühe või teise numbrilise väärtuse.

Tulevikus vaatame kahte tüüpi juhuslikke muutujaid - diskreetne ja pidev.

1. Diskreetsed juhuslikud muutujad

Mõtle juhusliku muutuja *, võimalikud väärtused moodustavad piiratud või lõpmatu numbrite järjestuse x.1 , x.2 , . .., x.n., . .. . Olgu funktsioon määrata p (x)Kelle väärtus igas punktis x \u003d x.i.(I \u003d 1,2,. ..) Võrdselt tõenäosus, et väärtus väärtustab väärtust x.i..

Sellist juhuslikku väärtust nimetatakse diskreetne (katkendlik). Ülesanne p (x) kutsus seadus jaotamine tagajärg juhuslik väärtusedvõi lühidalt seadus jaotamine. See funktsioon on määratletud järjestuse punktides. x.1 , x.2 , . .., x.n., . .. . Kuna igas katses on juhuslik väärtus selle muutuse piirkonnast alati väärtust,

Näide1. Juhuslik väärtus - punktide arv langeb ühe viskamine mängib luu. Võimalikud väärtused - numbrid 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Sel juhul tõenäosus, et mõni neist väärtustest võtavad üks ja sama ja võrdne 1/6. Milline on jaotusõigus? ( Otsus)

Näide2. Laske juhuslikul väärtusel - sündmuste arv A. ühe testiga ja P (a) \u003d p. Paljud võimalikud väärtused koosnevad kahest numbrist 0 ja 1: =0 Kui sündmus A. ei juhtunud ja =1 Kui sündmus A. toimunud. Sellel viisil,

Oletame, et toodetakse n. Sõltumatud testid, mille tulemusena võivad tekkida või mitte tõhustada või mitte A.. Lase sündmuse tõenäosust A. Iga kord, kui test on võrdne p. A. jaoks n. Sõltumatud testid. Muutuste pindala koosneb kõikidest täisarvudest 0 enne n. kaasa arvatud. Tõenäosusjaotuse seadus p (m)määratud Bernoulli valemiga (13 "):

Tõenäosusjaotuse seadust Bernoulli valemiga vastavalt nimetatakse sageli binomiaalne, nagu P.n.(m)esindab m.-D Binoma lagunemise liige.

Lase juhuslik väärtus võtta mis tahes täisarvu negatiivse väärtuse ja

kus on positiivne konstantne. Sellisel juhul ütlevad nad, et juhuslik sort on jaotatud seadus Poisson, Pange tähele, et millal k \u003d 0. tuleks panna 0!=1 .

Nagu me teame, suurte väärtuste arvu n. Sõltumatu tõenäosuse testid P.n.(m) Solvav m. Kui sündmused A. See on mugavam leida mitte Bernoulli valemiga, vaid vastavalt Laplace'i valemile [vt valem (15)]. Viimane annab siiski suured vigu madala tõenäosusega riba Sündmuste välimus AGA Ühes testis. Sel juhul loendada tõenäosus P.n.(m) On mugav kasutada Poissoni valemit, kus panna.

Poissoni valemit saab Bernoulli valemi äärmise juhtumina katsetuste arvu piiramatu suurenemise tõttu piiramatu suurenemisega. n. Ja soov null tõenäosusega.

Näide3. Partei osapool saabus taim summas 1000 tk. Tõenäosus, et detail on detailne, võrdne 0,001. Milline on tõenäosus, et saabumise seas on 5 defektset viga? ( Otsus)

Poissoni levikut leidub sageli teistes ülesannetes. Niisiis, näiteks kui telefon on keskmiselt ühe tunni jooksul N. Kõned, kuidas saate näidata, tõenäosust P (k) et üks minut ta saab k. Kõned, väljendatuna Poissoni valemiga, kui pannakse.

Kui juhusliku dispersiooni võimalikud väärtused moodustavad lõpliku järjestuse x.1 , x.2 , . .., x.n., juhusliku variatsiooni tõenäosu jaotamise seadus täpsustatakse järgmise tabeli kujul, kus

Seda tabelit nimetatakse lähedal jaotamine juhuslik muutuja. Elavalt funktsioon p (x) Saate kujutada kujul graafiku. Selleks võtke tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatide süsteem.

Horisontaalse telje kohaselt lükkame edasi juhusliku muutuja võimalikud väärtused ja piki vertikaalteljel - funktsiooniväärtused. Ajakava funktsioon p (x) kujutab joonisel fig. 2. Kui ühendate selle graafiku punkte sirgjooneliste segmentidega, nimetatakse seda joonist hulknurk jaotamine.

Näide4. Sündmus AGA - ühe punkti välimus mängimise luu viskamisel; P (a) \u003d 1/6. Mõtle juhusliku summa - sündmuste arv AGA Kümme viskamine luud. Funktsiooniväärtused p (x) (jaotusseadust) on toodud järgmises tabelis:

Tõenäosus p (X.i.) Arvutatud Bernoulli valemiga n \u003d 10.. Jaoks x\u003e 6. Nad on praktiliselt võrdsed nulliga. Funktsiooni p (x) graafik on kujutatud joonisel fig. 3.

Tõenäosuse juhusliku dispersiooni ja selle omaduste jaotuse funktsioon

Mõtle funktsiooni F (x)määratletud kogu numbrilisel teljel järgmiselt: iga h. väärtus F (x) Võrdselt tõenäosus, et diskreetne juhuslik väärtus kulub väärtuse vähem h., s.t.

Seda funktsiooni nimetatakse Ülesanne jaotamine tagajärgvõi lühidalt Ülesanne jaotamine.

Näide1. Leia funktsioon jaotus juhusliku muutuja antud näites 1, lõige 1. ( Otsus)

Näide2. Leidke näites 2, punktis 1. esitatud juhusliku muutuja jaotuse funktsioon (\\ t Otsus)

Teades jaotusfunktsiooni F (x)See on lihtne leida tõenäosust, et juhuslik väärtus vastab ebavõrdsusele.

Mõelge sündmusele, mis on see, et juhuslik väärtus võtab väärtuse vähem. See sündmus laguneb kahe vastuolulise sündmuse koguses: 1) juhuslik väärtus võtab väärtusi väiksemaks, st. ; 2) Juhuslik väärtus võtab väärtusi, mis vastavad ebavõrdsusele. Axiomi kasutamine lisaks saada

Kuid jaotusfunktsiooni määratlemisel F (x) [cm. valem (18)]

püsivalt

Sellel viisil, tõenäosus hüüa diskreetne juhuslik väärtused sisse intervall võrdne suurenemine funktsioonid jaotamine kohta see on intervall.

Kaalumahooldusomadusedfunktsioonidjaotumine.

1 °. Ülesanne jaotamine on a ebaseaduslik.

Tegelikult lase< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что

2 °. Väärtused funktsioonid jaotamine rahuldama ebavõrdsus .

See vara tuleneb sellest, et F (x) Määratakse tõenäosuse [cm. Valem (18)]. On selge, et * ja.

3 °. Tõenäosus minema, mida diskreetne juhuslik väärtus vick üks kohta võimaldama väärtused x.i., võrdne vaskamp funktsioonid jaotamine sisse punkt x.i..

Tõepoolest, lase x.i. - väärtuse vastuvõetud diskreetse juhusliku muutuja ja. Uskudes valemis (19), saame

Piiris, selle asemel, et jõuda juhusliku muutuja sissetuleku tõenäosuse asemel, saame tõenäosuse, et väärtus seda väärtust võtab. x.i.:

Teisest küljest me saame, s.t. Funktsiooni piirang F (x) Õige, sest. Järelikult võtab valemi piires (20)

need. väärtus p (X.i.) võrdne hüpata funktsiooniga ** x.i.. See vara on selgelt illustreeritud joonisel fig. 4 ja riis. Viis.

Pidevad juhuslikud muutujad

Lisaks diskreetsetele juhuslikele muutujatele, mille võimalikud väärtused moodustavad piiratud või lõpmatu numbrite järjestuse, mis ei ole täieliku intervalliga täites, on sageli juhuslikke muutujaid, mille võimalikud väärtused moodustavad mõne intervalli. Sellise juhusliku muutuja näide võib olla kõrvalekalle osa nominaalsest osast nõuetekohaselt kehtestatud tehnoloogilise protsessiga. Selliseid juhuslikke muutujaid ei saa kasutada tõenäosuse jaotamise seaduse abil p (x). Siiski saab neid määrata tõenäosuse jaotamise funktsiooni abil F (x). See funktsioon on määratletud samamoodi nagu diskreetse juhusliku muutuja puhul:

Nii et siin on funktsioon F (x) Määratletud kogu numbrilisel teljel ja selle väärtus punktis h. Võrdselt tõenäosus, et juhuslik väärtus võtab väärtuse vähem kui h..

Valem (19) ja omadused 1 ° ja 2 ° kehtib iga juhusliku muutuja jaotusfunktsioonile. Tõend viiakse läbi sarnaselt diskreetse väärtuse puhul.

Helistatakse juhuslikku väärtust pidevKui on olemas mitte-negatiivne tükeldav pidev funktsioon * rahuldavad mis tahes väärtused x. võrdõiguslikkus

Funktsiooni nimetatakse tihedus jaotamine tagajärgvõi lühidalt tihedus jaotamine. Kui a x. 1 2 , valemite (20) ja (22) alusel oleme