Maja, disain, remont, sisekujundus. Õue ja aed. Tee seda ise

1. Lihtsustatavus ja võltsitud

Ülesanded, kus saavutusvõime kontseptsiooni kasutatakse üsna palju. Siin on üks hüüdnime. Graafik võib olla mõni organisatsiooni mudel, kus inimesed esindavad tipud ja kaared tõlgendavad sidekanaleid. Sellise mudeli kaalumisel on võimalik esitada küsimus, kas ühe inimese X-st teavet saab edastada teisele isikule X 7, s.o. Seal on tee, mis pärineb Top X, tippu x /. Kui see tee on olemas, ütlevad nad, et tipu x, - saavutatav X-st ,. \\ T Vertex X-i saavutatavust on võimalik huvitada tippudest X-st ainult sellistel teedel, mille pikkus ei ületa eelnevalt kindlaksmääratud väärtust ega pikkuse, mille pikkus on väiksem kui veerus suurim tippude arv.

Graafilise saavutatavuse saavutamine on kirjeldatud saavutatavuse maatriks R \u003d || g, y ||, i, J. =1,2,... p, Kus n - graafiku tippude arv ja iga element määratletakse järgmiselt:

Gu- 1, kui ülemine x, saavutatav X-st,

Gu \u003d. 0 Vastasel juhul.

Paljud tipud r (x,) graafik g, mis on saavutatud antud tipu X-st ", koosneb sellistest elementidest x; Sest selle jaoks (/, /) -element saavutatavat maatriksis on 1. Ilmselgelt, on kõik maatriks R diagonaalsed elemendid võrdsed 1, kuna iga tipu uuendatakse ennast pikkusega 0. Alates otsesest ekraanist 1. tellimuse G +1 (x,) on paljude selliste tippude hulgast. Xj mis on saavutatavad X-st, kasutades pikkus 1, siis komplekt G (g (x,)) \u003d g x,) koosneb tippudest, saavutatavatest, kasutades teede pikkust 2. Sarnaselt G-ga P (x,) on palju tipud, mis on saavutatavad X-st, kasutades teed r.

Kuna graafiku vertex, mis on saavutatav X-st ", peab olema saavutatav tee (või teede) abil, mille pikkus on 0 või 1 või 2, ... või riba, siis tippude komplekt, mis on saavutatav tip x "jaoks"

Nagu näeme, on saavutatavate tippude komplekt r (x,) on otsene transitiivne sulgemine tipud x "st. R (x,) \u003d t (x,). Järelikult leiame saavutusmaatriksi loomiseks saavutatavate komplektide r (x,) kõigi tippude x, e x jaoks. g y - 1, kui x 7 e r (x,) ja gu- 0 Vastasel juhul. Joonisel fig. 59.4, agaKomplektid saavutamised on järgmised:

Joonis fig. 59.4.

Külaosakonna maatriks a), saavutus (R), võltsitud (Q) maatriksil on järgmine vorm: \\ t

Kontrollimise maatriks q \u003d qij, i, J \u003d 1,2,... p, Kus n - graafiku tippude arv määratakse järgmiselt:

qij \u003d. 1, kui jõuate tippu x h qtj \u003d Teisiti.

Kontrolli all olev Q (x,) Seal on palju selliseid tippe, et selle komplekti mis tahes tipudest saad sattuda X /. Sarnaselt saavutatava komplekti R (x) ehitamisega saate väljendi salvestada Q (x,):

Seega võib näha, et q (x,) ei ole midagi enamat kui tagurpidi tippude vastupidine sulgemine x, s.t. Q (x () \u003d t "(x,). Mõistetest võib näha, et veerg X, maatriks q (kus q t j \u003d 1, kui HU q q (x,) ja c / y \u003d 0 Vastasel juhul langeb kokku liin X, maatriks R, s.t. Q \u003d R, kus R on maatriks, üle võtnud saavutusvõimele Matrix R.

Kontrollimise maatriks on eelnevalt näidatud.

Tuleb märkida, et kuna kõik elemendid maatriksid R ja q on võrdsed 1 või 0, iga string saab salvestada binaarse vormis, säästes arvutite maksumuse. Maatriksid R ja Q on arvutis töötlemiseks mugavad, nagu arvutuslikel tingimustel on põhitegevused suured loogilised toimingud.

2. Leidke mitmesuguste tippude leidmine, kui teil on vaja õppida nende radade graafiku tippude kohta, peate meenutama otseste ja pöördte transitiivsete sulgemiste määratlusi. Kuna T + (X,) on tippude komplekt, kus on olemas viis x "a t" ülaosas - mitu tippu, millest on olemas X /, siis t (x,) n t (XJ) - erinevaid tippude, millest igaüks kuulub vähemalt ühel viisil, tulevad X-st Hu-le. Neid tipud nimetatakse oluliseks või lahutamatuks kahe terminali tippu võrreldes. Xja Hu. Kõik teised graafiku tipud nimetatakse ebaoluliseks või liigseks, kuna nende eemaldamine ei mõjuta rida x / kuni hu.

Niisiis, joonisel fig. 59.5 Leidmine tippude kaasamise tee, näiteks Vertex X2 tipu x4, see langeb leida T + (XG) \u003d (XG, XS, X4, X5, HB), T "(X4) \u003d ( XI, X2, X3, X4, X5) ja nende ristmik T + (XG) p t (x4) \u003d (x2, xs, x4, x 5).

Ülesanded, kus saavutusvõime kontseptsiooni kasutatakse üsna palju. Siin on üks neist. Graafik võib olla mõni organisatsiooni mudel, kus inimesed esindavad tipud ja kaared tõlgendavad sidekanaleid. Sellise mudeli kaalumisel on võimalik esitada küsimus, kas teave ühelt inimeselt x i edastatakse teisele isikule x J, s.o Seal on tee, mis pärineb X-st X-st üles. Kui selline tee on olemas, ütlevad nad, et tippu x j jõuab tippu x i. On võimalik olla huvitatud SEVEREX XJ-st tipptasemel XI-st ainult sellistel teedel, mille pikkused ei ületa ettemääratud väärtust või mille pikkus on väiksem kui graafikus suurim tippude arv jne . Ülesanded.

Saavutus graafik on kirjeldanud jõudlus maatriks R \u003d, I, J \u003d 1, 2, ... N, kus n on tippude arv graafiku ja iga element on määratletud järgmiselt:

r IJ \u003d 1, kui tipud x j on jõuab x i,

r ij \u003d 0, vastasel juhul.

Paljud Verthos R (x i) Graaf G, mis on saavutatav teatud tipu x i, koosneb sellistest elementidest X J, mille jaoks (i, j) matrixi saavutused võrdne 1. On selge, et kõik diagonaalsed elemendid maatriks R on võrdsed 1, kuna iga tipu saavutatakse iseenesest pikkus 0. Alates sellest ajast otsene ekraan 1. Telli G +1 (X i) on paljude selliste tippude x J, mis on saavutatavad X-st pikkuse rada 1, seejärel seadistatud G + (g +1 (x i)) \u003d g +2 (x i) See koosneb vertikest, mis on saavutatavad X-st, kasutades pikkuse pikkust 2. Samamoodi on R + P (x i) mitmed tipud, mis on saavutatavad X-st, kasutades teed p.

Kuna graafiku vertex, mis on saavutatud X-st, peab olema saavutatav pikkus 0 või 1 või 2 või 2, ... või p, siis paljud VerthosVertex X-i jaoks saavutatavat saavutatavust võib esindada

Nagu me näeme, on saavutatavate tippude kogum r (x i) otsene transitiivne sulgemine X I tipud, st r (x i) \u003d t + (x i). Sellest tulenevalt leiame saavutusmaatriksi loomiseks kõikide tippude jaoks saavutatavad seatud r (x i). Uskudes r ij \u003d 1, kui ja r ij \u003d 0 teisiti.

Joonisel fig. 4.1 ja paljud jõusad on järgmised:

Maatriks saavutus Tundub, nagu on näidatud joonisel fig. 4.1, c. Maatriks saavutus Külaseaduse maatriksit on võimalik ehitada (joonis 4.1, B), moodustades iga tipu x i jaoks komplekt t + (x i).

Võltsitud maatriks Q \u003d [Q iJ], i, j \u003d 1, 2, ... nkus n on graafiku tippude arv määratakse järgmiselt:

q IJ \u003d 1, kui X J tippu saab saavutada tipu x i,

q IJ \u003d 0, vastasel juhul.

Loota saavutus

Üks esimesi küsimusi tulenevad uuring graafikud on küsimus olemasolu teede vahel tipud või kõik paari. Vastus sellele probleemile on selle reageerimise suhe graafi g \u003d (V, E) tippude suhe: Vertex W on jõuab Vertex V-st, kui V \u003d W või G on tee V-st W. Teisisõnu on suhtumissuhe refleksiivne ja transitiivne sulgemine seoses seoses E. häireteta graafikute puhul, see suhe on ka sümmeetriliselt ja seetõttu on see vastavussuhe vastu tippu V. vastavuses klassides Saavutust nimetatakse ühendatud komponentideks. Orienteeritud graafikute puhul ei tohiks üldiselt sümmeetriline suhtumine üldiselt sümmeetriline. Sümmeetriline on vastastikune saavutus.

Määratlus 9.8. Vertices V ja W orienteeritud graaf G \u003d (V, E) nimetatakse vastastikku saavutatavaks, kui G on tee V-st W-i teele ja W-teele V-st.

On selge, et vastastikuse saavutuse suhe on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne ning seetõttu samaväärsus graafiku tippude kogumi kohta. Samaväärsuse klassid vastastikuse saavutatava suhtes nimetatakse tugevateks ühendatud komponentideks või topeltkomponendid graafik.

Mõtle alguses küsimus hoone suhtumise saavutamise. Me määratleme graafiku saavutuse (nimetatakse mõnikord graafiku transitiiv ahela) servad, mis vastavad allika graafikule.

Määratlus 9.9. Olgu G \u003d (V, E) orienteeritud graafik. Saavutuse graafik G * \u003d (V, E *) jaoks on G-ga samad tipud V ja järgmised servad E * \u003d (((U, V), on graafik g, Vertex V on saavutatav Vertex u).

Näide 9.3. Mõtle näites 9.2.

Joonis fig. 9.2. Count G.

Siis saate kontrollida, et graafik saavutus g * g näeb välja selline (uus ribs-ahela iga tipu 1-5 ei ole näidatud):

Joonis fig. 9.3. Loe g *

Kuidas ma ehitada g * g * g *? Üks meetod on see, et iga graafi G tipu puhul, et määrata ta sellest saavutatavate tippude komplekt, lisades sellele tippude järjestikku, saavutataks sellest pikkus 0, 1, 2 jne.

Me vaatame mõnda muud meetodit, mis põhineb külgneva maatriksi kasutamisel g graafi G ja Boole'i \u200b\u200boperatsioonide kasutamisel. Olgu tipud V \u003d (V 1, ..., VN) komplekt. Siis maatriks A G on boole maatriks suurus n × n.

Allpool säilitada sarnasus tavapäraste operatsioonidega maatriksid, kasutame Boole'i \u200b\u200boperatsioonide jaoks "aritmeetilisi" nimetusi: + me tähistame disjunction ja · - koos.

Tähistage E N-i ühe suuruse maatriks n × n. Välja panema . Olgu meie protseduur G * ehitamiseks järgmise avalduse alusel.

Lemma 9.2. Las olla . Siis

Tõendid Me teostame induktsiooni K.

Alus.K \u003d 0 ja K \u003d 1 jaoks on avaldus õige määratlus ja.

Induktsioonietapp.Laske Lemma kehtib k jaoks. Näitame, et see jääb ainult K + 1 jaoks. Määratluse järgi on meil:

Oletame, et Graafis g versus V I in V J, on tee pikkus k + 1. Kaaluge nende radade lühimast. Kui selle pikkus K, siis eeldusega induktsiooni a_ (ij) ^ ((k)) \u003d 1. Lisaks on JJ (1) \u003d 1. Seetõttu on IJ (k) JJ (1) \u003d 1 ja IJ (K + 1) \u003d 1. Kui V i lühima tee pikkus V j on võrdne K + 1-ga, siis lase V R - viimane -Ex-praegune tipp. Siis, V i in V R, on tee pikkus K ja eeldusel, et induktsiooni IR (K) \u003d 1. Kuna (V R, V J) E, siis A_ (RJ) ^ ((1)) \u003d 1. Seetõttu on IR (k) RJ (1) \u003d 1 ja IJ (K + 1) \u003d 1.

Tagasi, kui IJ (K + 1) \u003d 1, siis vähemalt ühe R puhul, termin IR (k) RJ (1) summa on võrdne 1. Kui see on R \u003d J, siis IJ (K) \u003d 1 ja induktiivsuse eeldusega G-ga on VI-st tee VJ Pikkus k. Kui R J, siis IR (K) \u003d 1 ja RJ (1) \u003d 1. See tähendab, et G-is on V i Pikkus K ja EDGE V i Pikkus (v R, V j) E. Nende kombineerimine, me saame tee V i in v j. K + 1.

Alates Lemma 9.1 ja 9.2 saame otse

Järeldus 1. Olgu G \u003d (V, E) olla orienteeritud graafik n tipitega ja G * on selle saavutuse graafik. Siis a_ (g *) \u003d. Tõendid. Lemma 5.1 järeldub, et kui G on tee U in v u, siis on ka lihtne viis u in v pikkus n-1. Ja Lemmas 5.2, kõik sellised teed on esitatud maatriksis.

Seega vähendatakse G-i G * G * G * maatriksi ehitamise korda G * jaoks maatriksi konstrueerimiseni N-1 tasemeni. Me teeme selle protseduuri lihtsustamiseks mõned märkused.

kus k on väikseim number nii, et 2 k n.

see r tuvastatakse, et IR \u003d 1 ja RJ \u003d 1, siis kogu summa IJ (2) \u003d 1. Seetõttu ülejäänud osad ei saa kaaluda.

Näide 9.3. Kaaluge loendamise loendi arvutamise näitena arvutamisel A G * loeteumi G * jaoks joonis9.2.. Sel juhul

Kuna G on 6 tippu, siis. Arvutage see maatriks:

ja (viimast võrdsust ei ole raske kontrollida). Sellel viisil,

Nagu näete, määrab see maatriks tõesti graafiku esindatud joonis9.3..

Vastastikune saavutus, tugeva ühenduvuse komponendid ja graafiku alus

Analoogia saavutamise graafikuga määratleme tugeva saavutuse graafiku.

Määratlus 9.10. Olgu G \u003d (V, E) orienteeritud graafik. Graafik tugeva saavutuse G * * \u003d (V, E * *) puhul on G-ga samad tipud V ja järgmised E * * \u003d ((U, V) komplekti | In vertine V ja U graafi g on vastastikku saavutatavad).

Saavutuse graafiku maatriksi järgi on lihtne ehitada tugeva saavutamise kooriku maatriks. Tõepoolest, saavutusvõime ja tugeva saavutuse määratlustest koheselt järgnevad kõik paarid (I, J), 1 i, JN, elemendi väärtus on 1 siis ja ainult siis, kui mõlemad elemendid AG * (I, J) ja AG * (J, I) võrdne 1, st.

Maatriksis võib graafi G tugeva ühenduvuse komponente valida järgmiselt.

Asend K 1 komponendis V 1 ja kõik sellised tipud V J, et a_ (g _ * ^ *) (1, j) \u003d 1.

Olgu komponendid K1, ..., K I ja V K on juba ehitatud - see on ülemine number, mis ei ole osadesse veel langenud. Seejärel pange tipu V K K_ (I + 1) komponendi ja kõik sellised tipud v j,

see a_ (g _ * ^ *) (K, J) \u003d 1.

Me kordame sammu (2), kuni kõik tipud jaotavad komponentide kaupa.

Meie näites graafi g kohta joonis.2 Maatriksis saame tõsise saavutuse graafiku järgmine maatriks

Kasutades ülalkirjeldatud protseduuri, leiame, et graafi G tipud on jagatud nelja tugeva ühenduvuse komponendiks: K1 \u003d (V1, V2, V3), \\ K2 \u003d (V 4), \\ k 3 \u003d (V5), \\ k 4 \u003d (V 6). Komplektis määratlevad tugeva ühenduvuse komponendid ka suhtumise suhtumise.

Määratlus 9.11. Olgu K ja K "graafi G. komponendi tugeva seotuse komponendid saavutatav Komponendid K ^ Prime, kui K \u003d K "või on olemas kaks tippu U K ja V K", et u on saavutatav v. K. rangelt saavutatavK ^ \\ Prime, kui K K "ja K on saavutatav k". Komponent K nimetatakse minimaalne Kui see ei ole rangelt saavutatav mis tahes komponendist.

Kuna kõik ühe komponendi tipud on vastastikku saavutatavad, ei ole raske mõista, et saavutussuhe ja komponentide range saavutuse suhe ei sõltu tippude valimisest U K ja V K valikust.

Määratlemisest on kergesti kuvatud range saavutuse järgmine omadus.

Lemma 9.3. Range saavutuse suhe on osalise korra suhe, st. See on antieflestiliselt, antisümmeetriliselt ja transitiiv.

Seda suhet saab esindada orienteeritud graafikuna, mille tipud on komponendid ja serv (K ", K) tähendab, et K on K-st rangelt saavutatav. Kohta joonis fig. 9.4. See graafik kuvatakse graafi G. komponendis.

Joonis fig. 9.4.

Sellisel juhul on olemas üks komponent K 2.

Paljudes rakendustes on orienteeritud graafik mõnede ressursside jaotusvõrk: toode, toode, teave jne. Sellistel juhtudel on tekkinud ülesanne leida minimaalne arv selliseid punkte (tipud), millest see ressurss saab tarnida mis tahes punktile võrgu.

Määratlus 9.12. Olgu G \u003d (V, E) orienteeritud graafik. Ümbrus tipud W V nimetatakse antudKui mõni graafi tiper on võimalik saavutada tipud W. Ümbrus tipud W V nimetatakse graafiku graafikuks, kui see genereeritakse, kuid mitte oma alamhulk ei tekita.

Järgnev Teoreem võimaldab teil tõhusalt leida kõik graafiku alused.

Teoreem 9.1. Olgu G \u003d (V, E) orienteeritud graafik. Tippide W V alamhulk on aluseks G kui ja ainult siis, kui see sisaldab ühe tipu iga tugeva ühenduvuse miinimumkomponendi G ja ei sisalda ühtegi muud tippu.

Tõendid Pange tähele, et iga graafiku tipu on saavutatud mõne minimaalse komponendile kuuluva tipu alt. Seetõttu on igast minimaalsest komponendist ühe tipu sisaldava tööpiigid tekitanud ja selle eemaldamisel ei lakka kõik tipud olema sellised, kuna vastava minimaalse komponendi tipud muutuvad kättesaamatuks. Seetõttu on W aluse.

Tagasi, kui W on alus, on kohustatud sisaldama igast miinimumkomponendist vähemalt ühte tippu, vastasel juhul ei ole saadaval sellise minimaalse komponendi tipud. Ei saa sisaldada muid tippe, kuna igaüks neist on saavutatav juba lisatud tipud.

Sellest teoreemist järgmist protseduuri konstrueerimiseks ühe või loendamise kõigi aluste G.

Leia kõik tugeva seotuse komponendid G.

Määrake nende tellimus ja eraldada minimaalsed komponendid selle järjekorra suhtes.

Ühe või kogu graafiku aluse loomiseks, valides ühe tipu iga minimaalse komponendiga.

Näide 9.5. Me määratleme kõik orienteeritud graafi G alused joonis 9,5..

Joonis fig. 9.5. Count G.

Esimeses etapis leiame tugeva ühenduvuse komponendid g:

Teises etapis ehitame nende komponentide range saavutuse graafiku.

Joonis fig. 9.6. Count Suhted Omistamine komponentidel G

Määrake minimaalsed komponendid: K2 \u003d (b), K4 \u003d (d, E, F, G) ja K7 \u003d (R).

Lõpuks loeme kõik neli alust G: B1 \u003d (b, d, r), b2 \u003d (b, e, r), b3 \u003d (b, f, r) ja b1 \u003d (b, g, r ).

Ülesanded

Ülesanne 9.1. Tõesta, et summa kraadi kõik tipud suvalise orienteeritud arvu on isegi.

See ülesanne on populaarne tõlgendus: tõestada, et koguarv käepigistus, kes vahetasid inimesi, kes tulid partei on alati isegi.

Ülesanne 9.2. Loetlege kõik mitte-suhtelised ne-orienteeritud graafikud, millel ei ole rohkem kui neli tippu.

Ülesanne 9.3. Toesta, et mitte-orienteeritud ühendatud graafik jääb ühendatud pärast selle serva eemaldamist ↔ See serv kuulub mõnele tsüklile.

Ülesanne 9.4. Toesta, et mitte-orienteeritud ühendatud graafik n tippudega

sisaldab vähemalt N-1 ribi

kui N-1 ribid on rohkem, on sellel vähemalt üks tsükkel.

Ülesanne 9.5. Toesta, et mis tahes grupis 6 inimest on kolm paari sõpru või kolm paari võõrad.

Ülesanne 9.6. Toesta, et mitte-orienteeritud graaf G \u003d (V, E) on ühendatud iga partitsiooni V \u003d V1 V2 puhul mitte-tühja V 1 ja V2 puhul, on V1-ga serva V1-ga.

Ülesanne 9.7. Toesta, et kui Un-Ore orienteeritud graafikus on täpselt kaks veider kraadi tippu, siis need on ühendatud.

Ülesanne 9.8. Olgu G \u003d (V, E) NE-orienteeritud graafik C | e |< |V|-1. Докажите, что тогда G несвязный граф.

Ülesanne 9.9. Toesta, et ühendatud mitte-orienteeritud veerus on kõik kaks lihtsat maksimaalset pikkuse radat kokku tippu.

Ülesanne 9.10. Olgu mitte-orienteeritud graafik ilma silmuseta g \u003d (V, E) on ühe ühenduvuse komponendi. Toesta, et siis

Ülesanne 9.11. Määrake, milline on saavutuse graafik

graafik n tippude ja tühja servade komplektiga;

graafik n tippudega: V \u003d (V 1, ..., V N), mille ribid moodustavad tsükli:

Ülesanne 9.12. Arvutage graafiku attactur-graafiku maatriks

ja ehitada vastav aksessurve graafik vastab sellele. Leia kõik Count G.

Ülesanne 9.13. Ehita määratud kohta joonis fig. 9.7 Orienteeritud graaf G1 \u003d (V, E) ARMPIT-maatriks A G1, esinemissageduse maatriks B G1 ja külgnevate nimekirjade puhul. Arvutage saavutuse maatriks A G1 * ja ehitage sobiv saavutus graafik G 1 *.

Joonis fig. 9.7.

Un-orienteeritud ja orienteeritud puud

Puud on üks kõige huvitavamaid graafikute klassid, mida kasutatakse erinevate hierahiliste struktuuride esindamiseks.

Määratlus 10.1. NE-orienteeritud graafikut nimetatakse puiduks, kui ta on ühendatud ja selles ei ole tsükleid.

Määratlus 10.2. Orienteeritud graafi G \u003d (V, E) nimetatakse puiduga (orienteeritud), kui

Kohta joonis fig. 10.1. Näiteid mitte-orienteeritud puu G 1 ja orienteeritud puu G2 on näidatud. Pange tähele, et puu G2 saadakse G1-st, valides tipu c kui kõigi ribide juure ja orientatsioon suunas "juurest".

Joonis fig. 10.1. Un-orienteeritud ja konditud puud

See ei ole juhuslikult. Tõesta ennast järgmine avaldus un-ore orienteeritud ja orienteeritud puude vahel.

LEMMA 10.1. Kui mis tahes mitteenimata puu G \u003d (V, E) vali suvalise tipu V V kui juure ja orienteeri kõik ribid suunas "juurest", st Et V selle intsidentide algus, V-versioonid, V - kõigi intsidentide algus, mis ei ole veel orienteeritud servad jne, on selle tulemusena orienteeritud graafi G "tulemusena orienteeritud puu .

Unile orienteeritud ja orienteeritud puudel on palju samaväärseid omadusi.

Teoreem 10.1.Olgu G \u003d (V, E) mitte-orienteeritud graafik. Siis on samaväärsed tingimused.

G on puu.

Iga kahe tippu G puhul on nende ühendamine ühe tee.

G ühendatud, kuid e eemaldamisel lõpetab iga serva ühendatud.

G Ühendatud ja | e | \u003d | V | -One.

G atsükliline ja | e | \u003d | V | -One.

G atsükliline, kuid mis tahes serva lisamine e tekitab tsükli.

Tõendid (1) (2): Kui G, ühendati mõned kaks tippu kahel viisil, oleks ilmselge, et G oleks tsükkel. Kuid see on vastuolus puidu määratlusega (1).

(2) (3): kui g on ühendatud, kuid mõne serva eemaldamisel (U, V) E ei kaota ühendusi, siis u ja v vahel on tee, mis ei sisalda seda serva. Aga siis G on vähemalt kaks teed ühendavad U ja V, mis on vastuolus tingimusega (2).

(3) (4): Lugeja on esitatud (vt ülesannet 9.4).

(4) (5): Kui g sisaldab tsükli ja on ühendatud, siis eemaldades iga serva tsükli, ühenduvus ei tohi katki, kuid ribid jäävad | E | \u003d V -2 ja vastavalt ülesandele 9.4 (a) ühendatud veerus peab olema vähemalt V -1 ribid. Saadud vastuolu näitab, et G tsüklid ei ole ja rahul (5).

(5) (6): Oletame, et serva lisamine (U, V) e ei põhjusta tsükli välimust. Seejärel on G tipud u ja v ühenduvuse erinevates komponentides. Kuna | E | \u003d V -1, siis ühes nendest komponentidest, lase tal (V 1, E 1) ribide arv ja tippude arv kokku: | E 1 | \u003d | V 1 |. Aga siis on tsükkel selles (vt probleem 9.4 (b)), mis on vastuolus atsycilisus G.

(6) (1): Kui G ei olnud ühendatud, siis oleks kaks tippu U ja V erinevatest ühendatud komponentidest. Seejärel lisamine serva (U, V) e ei ole saadud tsükkel, mis on vastuolus (6). Järelikult on G on ühendatud ja on puu.

Orienteeritud puude puhul on sageli mugav kasutada järgmist induktiivset määratlust.

Määratlus 10.3. Me määratleme orienteeritud graafikute induktsiooni klassi, mida nimetatakse puud. Samal ajal määratleme igaühe jaoks eraldatud tipp - juur.

Joonis fig. 10.2. illustreerib seda määratlust.

Joonis fig. 10.2. Orienteeritud puude induktiivse määratlus

Teoreem 10.2. Orienteeritud puude 10.2 ja 10.3 määratlused on samaväärsed.

TõendidLaske graafikul G \u003d (V, E) olla täidetud määratluse tingimustega 10.2. Näitame induktsiooni tippude arvu järgi v | Mida.

Kui | V | \u003d 1, siis ainus tippu V V on puu juure (1) poolt, st Selles graafikus ei ole servi: E \u003d. Siis.

Oletame, et iga g-graafik koos n tippudega, mis vastavad määratlusele 10.2. Laske graafik g \u003d (V, E) C (n + 1) -ther Vertex vastab määratluse tingimustele 10.2. Seisundi järgi (1) on top-root r 0. Olgu R0-st välja k ribid ja nad viivad tippude r 1, ..., R K (k 1). Tähistage GI-st (i \u003d 1, ..., k), graafik, sealhulgas tipud V I \u003d (VV | VV | V (saavutatav) Ri) ja nende servade ühendamine E I E. Seda on lihtne mõista See GI vastab tingimuste määratlemise tingimused 10.2. Tõepoolest, r ma ei sisesta ribid, st See tipp on juur G i. Igas teises tipus v i siseneb üks serv nagu g. Kui v v i, siis saavutatakse see root r i, et määrata graafi g i. AS | V I | n, siis induktiivse eeldusega. Seejärel saadi graafik G-i g 1 määramise 10.3 induktiivse reegli abil (2) grupi G1, ..., G K ja seega kuulub klassi.

⇐ Kui mõni graafik g \u003d (v, e) siseneb klassi, siis on mõistete (1) - (3) mõisteid (1) - (3) mõisteid 10.2 on lihtne luua induktsiooni määratlus 10.2. Pakume seda lugejale treeninguna.

Orienteeritud puudega on ühendatud rikkalik terminoloogia, mis tuli kahest allikast: botaanika ja perekonna suhted.

Root on ainus tipp, kus ribid ei sisalda, lehed on tipud, millest ribid ei tule välja. Tee-rootist tee nimetatakse puu haruks. Puu kõrgus on selle osade maksimaalne. Vertexi sügavus on selle teekonna pikkus selle tipu juurest. Vertex V V jaoks, puu T \u003d (V, E) alamgraafi, mis hõlmab kõiki V-st saavutatavatest topidest ja ühendage oma ribid E-st, toetasid Ruumi V (vt Ülesanne 10.3). Vertex V kõrgus on t v puu kõrgus. Count, mis on mitmete mittetsükli puude liit, nimetatakse metsaks.

Kui Vertex V viib serva vertex W, siis V nimetatakse isa w ja w - poeg.v. Puu defineerimisest järeldub see kohe, et iga tipu peab olema üks isa. Kui tee viidi läbi Vertex V, siis V nimetatakse esivanemaks W ja W on descendant V. Tipud, kellel on ühine isa vennad või õed.

Me tõstame esile teise klassi graafikute klassi, üldine orienteeritud puud - orienteeritud atsüklilised. Boole'i \u200b\u200bfunktsioonide esinduse edasiseks kasutamiseks kasutatakse kahte sellise märgistatud graafikuid. Nendel graafikutel võib olla mitmeid juure - tipud, mis ei sisalda ribisid ja mitmed ribid võivad siseneda iga tipu ja mitte üks, nagu puud.

Analoogia saavutamise graafikuga määratleme tugeva saavutuse graafiku.

Määratlus: Osile orienteeritud graafik. Tugeva saavutuse graafik
jaoks on palju tippude ja järgmine ryube
grafis vershiins ja vastastikku saavutatav.

Vastavalt graafiku maatriksile
lihtne ehitada maatriks
loendage tugevat saavutust. Tõepoolest, saavutusvõime ja tõsise saavutamise määratlustest järgneb see kohe, seejärel kõigi auru jaoks
,
, Elementide väärtus
võrdne 1 siis ja ainult siis, kui mõlemad elemendid
ja
võrdne 1, st

Maatriksis
Graafiku tugeva ühenduvuse komponentide abil saate esile tõsta järgmisel viisil:

Me kordame teist sammu, kuni kõik tipud jaotavad komponentide kaupa.

Meie graafiku näites näide 14.1. maatriksis
me saame tugeva saavutuse graafiku järgmise maatriksi

Eespool kirjeldatud protseduuri abil leiame, et graafiku tipud smash 4 komponendi tugeva ühenduvus:
,
,
,
. Komplektis määratlevad tugeva ühenduvuse komponendid ka suhtumise suhtumise.

Määratlus: Las olla
ja
- graafiku tugeva ühenduvuse komponendid . Komponent
saavutatavkomponentidest
, kui a
või olemas kaks tippu
ja
, mida saavutatav .
rangelt saavutatav
, kui a
ja
saavutatav
. Komponent
seda nimetatakse minimaalseks, kui see ei ole mis tahes komponendist rangelt saavutatav.

Kuna kõik tipud ühes komponendis on vastastikku saavutatavad, ei ole raske mõista, et saavutussuhe ja komponentide range saavutus ei sõltu tippude valikust
ja
.

Määratlemisest on kergesti kuvatud range saavutuse järgmine omadus.

Lemma: Range saavutuse suhe on osalise korra suhe, st. See on antieflestiliselt, antisümmeetriliselt ja transitiiv.

Seda suhet saab esindada orienteeritud graafikuna, mille tipud on komponendid ja serv
tähendab seda
rangelt saavutatav
. Graafiku graafiku graafiku näite 14.1 on näidatud allpool.

Sel juhul on üks miinimumkomponent.
.

Paljudes rakendustes on orienteeritud graafik mõnede ressursside jaotusvõrk: toode, toode, teave jne. Sellistel juhtudel on tekkinud ülesanne leida minimaalne arv selliseid punkte (tipud), millest see ressurss saab tarnida mis tahes punktile võrgu.

Määratlus: Las olla
- orienteeritud graafik. Verkhini alamhulk
kutsus antudKui tipud
saate jõuda graafiku tipptasemele. Verkhini alamhulk
graafi baasi nimetatakse, kui see genereeritakse, kuid keegi ei tekita oma alamhulga.

Järgnev Teoreem võimaldab teil tõhusalt leida kõik graafiku alused.

Teoreem: Las olla
- orienteeritud graafik. Verkhini alamhulk
on alus Siis ja ainult siis, kui see sisaldab ühte tippu iga tugeva seotuse minimaalsest komponendist Ja ei sisalda muid tipud.

Tõendid: pange tähele, et iga graafiku tipu on saavutatud mõne minimaalse komponendile kuuluva tipu alt. Seetõttu on paljud verthose
Sisaldab ühe tippu igast minimaalsest komponendist, ja selle eemaldamisel ei lakka kõik tipud selliseks, kuna vastava minimaalse komponendi tipud muutuvad kättesaamatuks. seetõttu
on alus.

Tagasi, kui
see on baas, see on kohustatud sisaldama vähemalt ühte tippu igast minimaalsest komponendist, vastasel juhul ei ole sellise minimaalse komponendi tipud saadaval. Muud tipud
sisaldada ei saa, sest igaüks neist on saavutatav juba juba lisatud tippudest.

See teoreem järgib järgmist graafiku aluste ühe või loendamise menetlust. :

Näide 14.3: Me määratleme kõik orienteeritud graafi alused .

Esimeses etapis leiame tugeva ühenduvuse komponendid :

Teises etapis ehitame nende komponentide range saavutuse graafiku.

Määrake minimaalsed komponendid:
,
ja
.

Lõpuks loetlege kõik neli andmebaasi :
,
,
ja
.

Pidage silmas võimalikke küsimusi orgravees ja võimalusi leida maatriksid saavutusvõime ja võltsitud. Matrixi meetod, et leida graafiku tipude vaheliste teede arvu, samuti leida palju tippu, mis sisalduvad tippude paari vahele. Loengu eesmärk: anda idee saavutus ja võltsitud ja viise nende leidmiseks

Võitlus ja võltsitud

Ülesanded, kus mõistet kasutatakse saavutus, üsna natuke.

Siin on üks neist. Graafikmõne organisatsiooni mudeli võib esineda, kus inimesi esindavad tipud ja kaared tõlgendavad sidekanaleid. Sellise mudeli kaalumisel on võimalik esitada küsimus, kas üks isikud, keda ma edastatasin teistele Litsuch J, see tähendab, et on olemas tee, mis pärineb tippu I topsi j. Kui see tee eksisteerib, ütlevad nad, et tipud j saavutatavvertex I. On võimalik olla huvitatud SEVEREXI SEAVUSELEVUSE VERTEX I Ainult sellistel teedel, mille pikkus ei ületa eelnevalt kindlaksmääratud väärtust ega pikkuse, mille pikkus on väiksem kui veerus suurim tippude arv jne . Ülesanded.

Graafiku saavutamist kirjeldatakse saavutusvõimega maatriks R \u003d, I, J \u003d 1, 2, ... N, kus graafiku tippude arv ja iga element on määratletud järgmiselt:

r IJ \u003d 1, kui tipud j on saavutatavad I,

r ij \u003d 0, vastasel juhul.

R (XI) tippude R (XI) komplekt, mida on saavutatud antud tipu I, koosneb sellistest elementidest I, mille jaoks (I, J) -he element saavutatavuse maatriks on 1. Ilmselgelt, Kõik diagonaalsed elemendid maatriksis 1, kuna iga tipu on saavutatav iseenesest, pikkus on 0. Kuna esimese tellimuse +1 (XI) otsene kaardistamine on paljude selliste tippude j, mis on saavutatavad × I abil pikkus 1, seejärel SET + (G +1 (XI)) \u003d R +2 (XI) koosneb tippudest, mis on saavutatav СX I, kasutades pikkuse pikkust 2. Sarnaselt + P (XI) on paljude tipud, mis on saavutatavad XI-st pikkusteed.

Kuna graafi vertex, mis on saavutatud X-st, tuleb saavutada pikkuste 0 või 1 või 2 või 2, ..., ORP-i tee (või teede) abil, siis paljude tippude jaoks, mida ma saan esindada

R (x i) \u003d (x i) g +1 (x i) g +2 (x i) ... g + p (x i).

Nagu näeme, on saavutatavate tippude kogum r (x i) otsene transitiivne sulgemine ix i ix i, nii nt (x i) \u003d t + (x i). Järelikult leiame saavutusmaatriksi loomiseks saavutatavad komplektid (x i) kõigi tippude i x jaoks. Esitlemine, r IJ \u003d 1, kui x r (x i), и IJ \u003d 0V, vastasel juhul.

Joonis fig. 4.1. Püüdlus veerus: A -graaf; B - Külaosakonna maatriks; In - saavutus maatriks; Võltsitud G-maatriks.

Joonisel fig. 4.1, a, saavutuste kogumon järgmised:

R (x 1) \u003d (x 1) (x 2, x 5) (x 2, x 4, x 5) (x 2, x 4, x 5) \u003d (x 1, x 2, x 4, x 5 ),

R (x 2) \u003d (x 2) (x 2, x 4) (x 2, x 4, x 5) (x 2, x 4, x 5) \u003d (x 2, x 4, x 5),

R (x 3) \u003d (x 3) (x 4) (x 5) (x 5) \u003d (x 3, x 4, x 5),

R (x 4) \u003d (x 4) (x 5) (x 5) \u003d (x 4, x 5),

R (x 5) \u003d (x 5) (x 5) \u003d (x 5),

R (x 6) \u003d (x 6) (x 3, x 7) (x 4, x 6, x 7) (x 4, x 5, x 6) \u003d (x 3, x 4, x 5, x 6, x 7),

R (x 7) \u003d (x 7) (x 4, x 6) (x 3, x 5, x 7) (x 4, x 5, x 6) \u003d (x 3, x 4, x 5, x 6 , x 7).

Maatriks saavutus tundub, nagu on näidatud joonisel fig. 4.1, sisse. Maatriks saavutussaab ehitada purjetamine maatriks(Joonis 4.1, B), moodustades iga tipu i seadistu + (x i).

Võltsitud maatriks Q \u003d [Q IJ], I, J \u003d 1, 2, ... n, kus graafiku tippude arv on määratletud järgmiselt:

q IJ \u003d 1, kui tipud j jõuavad tippu i,

q IJ \u003d 0, vastasel juhul.

JuhtivabasETQ (X i) on selliste tippude komplekt, mis selle komplekti mis tahes tipudest on võimalik saavutada tipu i abil. Sarnaselt saavutatava setteri (X i) ehitamisega saate salvestada ekspressioonifinaali (x i):

Q (x i) \u003d (x i) m -1 (x i) g - 2 (x i) ... härra (x i).

Seega võib näha, et q (x i) ei ole midagi enamat kui tagurpidi tippude vastupidine sulgemine i, nii nt E.Q (x i) \u003d t - (x i). See on ilmne määratlustest, mida Matrixq XI veerg (milles Q IJ \u003d 1, kui XQ (xi), ANDQ IJ \u003d 0) langeb kokku I maatriksi stringiga, nii et ekv \u003d rt, kus t - maatriks, üle võetud maatriks saavutusR.

Võltsitud maatriksjoonisel fig. 4.1, g.

Tuleb märkida, et kuna kõik maatriksite elemendid on 1 või 0, saab iga stringi salvestada binaarses vormis, säästes arvuti mälukulusid. MatricesQuest töötlemiseks arvutis, sest alates arvutuslikust seisukohast peamised toimingud on kiire loogika operatsioone.

Kaasatud paljude tippude leidmine

Kui teil on vaja teada graafiku tippude kohta, mis sisalduvad nendes radades, siis tuleb meenutada otseste ja pöörduvate transitiivsete sulgemiste määratlusi. Kuna T + (XI) on paljude tippude arvu, kus on Vertex i, aadressil - (XJ) - paljude tippude puhul, millest on olemas CX J, TT + (XI) T - (XJ ) - mitmesugused tipud, millest igaüks kuulub vähemalt ühel viisil, läheb Frommy I kx j. Neid tippe nimetatakse oluliseks või lahutamatuks kahe terminaalse tipu suhtes IX J. Kõik teised graafiku tipud nimetatakse mitte-oluliseks või üleliigseks, kuna nende eemaldamine ei mõjuta OTX I KX J.

Joonis fig. 4.2. Orgrafi

Nii graafiku jaoks joonisel fig. 4.2 Leida tippude sisalduvate tippude, näiteks Vertex X2 tipu 4, vähendab leida + (x 2) \u003d (x 2, x 3, x 4, x 5, x 6),

T - (x 4) \u003d (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) ja nende sisemuctionST + (x 2) t - (x 4) \u003d (x 2, x 3, x 4, x Viis).

Matrixi meetod graafikute leidmisel

Külaosaja maatriks määrab täielikult graafiku struktuuri täielikult. Ehitas matemaatika reeglite kohaselt ruudukujulise külaliste maatriksi. Iga maatriks A 2 element määratakse valemiga

a (2) iK \u003d n j \u003d 1 a ij jk

Termin on valemis on võrdne 1-ga ja ainult siis, kui mõlemad numbrid ij i Jk on võrdsed 1-ga, vastasel juhul on see võrdne 0. Kuna pikkus pikkuse pikkus 2 Vertex i on olemas võrdsuse IJ \u003d JK \u003d 1 sobib j, siis (i -i, k-th) Matrixi element on võrdne pikkuste 2 radade arvuga, jõudes I V.

Tabel 4.1a näitab joonisel fig. 4.2. Küsimulaaduri maatriksi ehitamise tulemus ruudule A2 on toodud tabelis 4.1b.

Niisiis "1", mis seisab teise rea ristumiskohas ja neljas kolonn, räägib ühe 2 pikkuse olemasolust tippude vertex X 2-st 4-st. Tõepoolest, nagu me näeme transplantaatjoonisel fig. 4.2, on selline viis: a 6, a 5. "2" Matrixas 2 räägib kahe tee 2 olemasolust tipu 3 tippude 6: A 8, 4 i 10, A3.

Samamoodi on külgsuunalise maatriksini püstitatud kolmanda astmega 3 (tabel 4.1b), a (3) IK on võrdne pikkuse 3-radade arvuga, mis jõuab I kh k. Matrix 3 neljandast joonest võib näha, et 3 esinevad teed: üks 4 VX4-st (A 9, A 8, 5), üks 4-st

x5 (A 9, 10, 6) ja kaks rada 4 VX6 (A 9, 10, A3 ja A 9, A 8, A4). Maatriks 4 näitab teede 4 olemasolu (tabel 4,1g).

Seega, kui P IK on element maatriks P, on Toa P IK võrdne pikkuse teede (mitte tingimata orrachesi) arvuga, mis läheb FromX i KH K.