Maja, projekteerimine, remont, sisustus. Õu ja aed. DIY

Võrrand

kus ortogonaalseid Descartes'i koordinaate nimetatakse Laplace'i võrrandiks. Selle vasakpoolset avaldist nimetatakse funktsiooni Laplacianiks ja reeglit, mille järgi avaldis moodustatakse, nimetatakse Laplace'i operaatoriks. Laplace'i operaatorit tähistatakse tavaliselt sümboliga, mille tulemusena saab võrrandi (1) kirjutada kujule

Mittehomogeenne võrrand

kus antud funktsiooni nimetatakse Poissoni võrrandiks.

Diferentsiaalavaldiste vorm Laplace'i ja Poissoni võrrandite vasakpoolsetes osades on kõigis ristkoordinaatides sama. Kõverajoonelistele koordinaatidele üleminekul see muutub ja ortogonaalsete kõverjooneliste koordinaatide puhul saab määrata eelmise peatüki § 7 seoseid kasutades. Eelkõige kasutades peatüki valemeid (54), (48) ja (49). XVIII leiame, et silindrilistes koordinaatides

sfäärilistes koordinaatides

Laplace'i ja Poissoni võrranditeni viivad arvukad soojusjuhtivuse teooria, elektrostaatika, hüdrodünaamika jm ülesanded.. Vaatleme näiteks mõne Laplace'i võrrandi ülesande formuleerimist.

1. Homogeense keha statsionaarse termilise oleku probleem. Oletame, et meil on mõned

välisruumist eraldatud homogeenne isotroopne keha, mille termiline olek ajas ei muutu. Tähistame V-ga ruumiosa, mille see hõivab, selle pinna ja punkti temperatuuriga

Tõestame, et keha mis tahes sisepunktis x täidab funktsioon Laplace'i võrrandit.

Selleks valime kehast teatud ala, mida piirab suvaliselt võetud pind ja arvestame soojushulgaga, mis ajaühikus läbib pinnaelemendi. Fourier' põhimõtte kohaselt on see proportsionaalne elemendi pindalaga ja normaaltuletis, kus tähistab väljapoole suunatud normaalse pinna suunda. Teisisõnu, see soojushulk võrdub tootega

Proportsionaalsuskoefitsienti nimetatakse keha sisemise soojusjuhtivuse koefitsiendiks.

Mõelge soojuse liikumisele kehas. Termodünaamikast on teada, et soojus liigub kõrgema temperatuuriga punktidest madalama temperatuuriga punktidesse. Seetõttu toimub negatiivse tuletise korral soojusvoog keha sisemisest osast, mis on piiratud pinnaga, selle pinna välispinnale. Kui näidatud tuletis on positiivne, kujutab soojuse levik vastupidist pilti.

See tähendab, et topeltintegraal

annab algebralise summa pinnast ajaühikus läbinud soojushulgast, kusjuures väljavoolavale soojusele omistatakse negatiivne ja sissetulevale soojusele positiivne märk.

Kui eeldada, et mõlemad soojusallikad ja selle neeldumispunktid keha sees puuduvad, peab integraal (5) olema null. Tõepoolest, kui see nii ei oleks, siis soojus koguneks või kaoks keha sees ja järelikult muutuks keha temperatuur aja jooksul, mis on vastuolus eeldusega, et keha termiline seisund ei muutu.

Seega peaks sel juhul toimuma järgmine võrdsus:

Kasutame Greeni valemit (7) Ch. XVIII:

ja pane see sisse

Seejärel, võttes arvesse, et integraal (5) on võrdne nulliga, leiame selle

Seega, arvestades domeeni meelevaldsust, järeldub sellest

st funktsioon rahuldab Laplace'i võrrandit.

Oletame nüüd, et teame temperatuuri jaotust keha pinnal ja tahame määrata keha mis tahes punkti temperatuuri.

Ilmselt lahendame selle ülesande, kui leiame Laplace'i võrrandile lahenduse, mis rahuldaks piirtingimust

kus tähistab temperatuuri pinna punktis x

2. Elektriliste masside tasakaalu probleem juhi pinnal. Vaatleme statsionaarset elektrostaatilist välja, mille ruumis tekitab mõni elektrilaengute süsteem. Kui laengud paiknevad punktides diskreetselt, siis väljapotentsiaal punktis x

kus on kaugus laengust punktini x. Kui laengud jaotuvad pidevalt mingil joonel või pinnal või ruumalas Y, väljendatakse väljapotentsiaali vastavalt ühe integraaliga:

kus on kaugus jooneelemendist (pind, ruumala) välja punktini, mille potentsiaal on u. Nendes valemites tähistavad suurused lineaarset, pind- või mahulaengu tihedust:

kus on joonelemendi L laeng (pind S, ruumala V). Üldjuhul on välja potentsiaal võrdne iga sellise laengujaotuse tüübi poolt eraldi tekitatud potentsiaalide summaga.

Oletame, et ruumi lõplik piirkond V on hõivatud juhtiva keskkonnaga - juhiga, s.o vahendiga, milles laengud saavad vabalt liikuda, ja ülejäänud ruum on dielektrik, st keskkond, milles liigub tasu on võimatu.

Statsionaarses olekus on väljapotentsiaal piirkonna V kõigis punktides, sealhulgas selle piiril, ühesugune, kuna vastasel juhul toimuks elektrilaengute liikumine, mis püüab potentsiaali võrdsustada, ja väli muutuks. Sellest on otseselt ilmne, et piirkonnas V rahuldab väljapotentsiaal u Laplace'i võrrandit:

Juhi sees tuleb erinevate märkide laengud vastastikku neutraliseerida. Tegelikult liiguvad mis tahes märgi ülemäärased laengud, mis jäävad juhi sisse tõrjumise toimel sarnaste laengute vahel, kuni need kõik on juhi piiril ja on sellel korralikult jaotunud. Järelikult paiknevad üleliigsed laengud statsionaarse oleku saavutamisel juhi piiril lõpmata õhukese elektrikihina.

Selle kihi potentsiaali punktis väljendab integraal:

kus on kaugus juhi pinna muutuvast punktist punktini x.

Kui punkt x asub väljaspool juhti, siis funktsioon y rahuldab Laplace'i võrrandit. Tõepoolest,

Seetõttu rahuldab valemiga (12) defineeritud potentsiaal u ka Laplace'i võrrandit. Selle väite tõestamiseks piisab integraali (12) parameetri diferentseerimise reegli rakendamisest, mida meil on õigus teha, kuna vastavalt

Kui eeldada, et punkt x asub väljaspool pinda, siis avaldises (12) olev integrand ei lähe kuhugi lõpmatusse.

Niisiis, igas punktis x, mis asub väljaspool juhti, vastab potentsiaal ja ka Laplace'i võrrand.

Pöördume nüüd dielektrikuga täidetud ruumi lõpmatult kaugetes punktides ja juhi pinnal toimuvate asjaolude selgitamise juurde.

Nagu allpool selgub, kaob integraal (12) lõpmatult kaugetes punktides (koos selle esimest järku osatuletistega) ja pealegi selliselt, et korrutised

jäävad piirituks, kui kaugus punktist x alguspunktini suureneb lõpmatuseni. Juhti pinnal toimuvate asjaolude osas tõestatakse, et potentsiaal ja jääb piiratud ja pidevaks, kui punkt x läbib juhi pinda. Vastupidi, potentsiaali normaalsed tuletised läbivad isegi sellise ülemineku korral lõpliku katkestuse ja seda katkestust iseloomustab võrdsus

kus väljendi piirväärtused

kui punkt x läheneb punktile vastavalt sise- ja välisnormaali pidi punktini

Kasutame võrrandit (13), et sõnastada nn elektrostaatiline probleem: leida antud juhi pinnal pidevalt jaotunud elektrikihi tihedus, kui viimane on elektrilises tasakaaluseisundis.

Oletame, et antud dirigendi jaoks on selline seisund saabunud. Siis vastavalt ülaltoodud selgitustele on juhi sees olev potentsiaal konstantne väärtus ja seetõttu toimub võrdsus

Sellest võrdsusest ja valemist (13) järeldub, et

st kihi soovitud tihedus leitakse, kui määrata selle kihi potentsiaal punktides, mis asuvad väljaspool juhti.

See teooria ei olnud kirjutatud matemaatiliste sümbolitega ja seetõttu ei suutnud see näidata kvantitatiivset seost üksikute osakeste külgetõmbe ja lõpptulemuse vahel. Leslie teooriat revideeris hiljem Laplacia matemaatilisi meetodeid kasutades James Ivory 1819. aastal avaldatud Encyclopaedia Britannica 4. väljaande lisas "Fluids, Elevation of" kapillaartegevust käsitlevas artiklis.

Jungi ja Laplace'i teooriad.

1804. aastal põhjendas Thomas Young kapillaarnähtuste teooriat pindpinevuse põhimõttel. Samuti jälgis ta tahke pinna niisutamisnurga (kontaktnurga) püsivust vedelikuga ja leidis kvantitatiivse seose kontaktnurga ja vastavate liideste piiride pindpinevuste koefitsientidega. Tasakaalus ei tohiks kontaktjoon liikuda piki tahke aine pinda, mis tähendab, et ta ütles

kus sSV, sSL, sLV on faasidevaheliste piiride pindpinevuste koefitsiendid vastavalt tahke – gaas (aur), tahke – vedel, vedel – gaas, q – kontaktnurk. Seda suhet tuntakse nüüd Youngi valemina. See töö aga ei avaldanud niisugust mõju teaduse sellesuunalisele arengule, mis ilmus paar kuud hiljem Laplace’i artiklis (Pierre Simon Laplace). See näib olevat tingitud sellest, et Jung vältis matemaatilise tähistuse kasutamist, kuid püüdis kõike kirjeldada verbaalselt, mistõttu tundub tema töö segane ja ebaselge. Sellest hoolimata peetakse teda tänapäeval üheks kapillaarsuse kvantitatiivse teooria rajajaks.

Kohesiooni- ja adhesiooninähtused, auru kondenseerumine vedelikuks, tahkete ainete märgumine vedelike toimel ja paljud muud lihtsad aineomadused – kõik viitasid gravitatsioonist mitu korda tugevamate külgetõmbejõudude olemasolule, mis toimivad vaid väga väikestel vahemaadel. molekulide vahel. Nagu Laplace ütles, on ainus tingimus, mis vaadeldavatest nähtustest tuleneb ja neile jõududele peale surutakse, see, et need on "mõistlikul kaugusel märkamatud".

Tõrjuvad jõud tekitasid rohkem probleeme. Nende olemasolu ei saanud eitada – nad peavad tasakaalustama tõmbejõude ja takistama aine täielikku hävimist, kuid nende olemus oli täiesti ebaselge. Küsimuse muutsid keeruliseks järgmised kaks ekslikku arvamust. Esiteks arvati sageli, et kuumus on mõjuv tõukejõud (reeglina on kaloriteooria pooldajate arvamus), kuna (see oli argument), kui vedelik esmalt paisub ja seejärel kuumutamisel keeb, nii et molekulid eralduvad palju suuremate vahemaade tagant kui tahkes kehas. Teine väärarusaam tekkis Newtonini tagasi jõudnud arusaamast, et gaasi vaadeldav rõhk on tingitud molekulide vahelisest staatilisest tõukejõust, mitte nende kokkupõrkest anuma seintega, nagu Daniel Bernoulli asjatult väitis.

Selle taustal oli loomulik, et esimesed katsed seletada kapillaarsust ehk üldiselt vedelike sidusust lähtusid mateeria staatilistest aspektidest. Mehaanika oli hästi mõistetav teoreetiline teadusharu; termodünaamika ja kineetiline teooria olid veel tulevikus. Mehaanilistes kaalutlustes oli võtmeks suurte, kuid lühikese ulatusega atraktiivsuse jõudude oletus. Puhkeseisundis olevad vedelikud (kas kapillaartorus või väljaspool seda) on ilmselgelt tasakaalus ja seetõttu peavad need tõmbejõud olema tasakaalustatud tõukejõududega. Kuna nende kohta võis rääkida veelgi vähem kui tõmbejõudude kohta, läksid nad sageli vaikides mööda ja Rayleighi sõnade kohaselt "jäeti tõmbejõududele ette mõeldamatu enda tasakaalustamise trikk". Laplace lahendas selle probleemi esimesena rahuldavalt, uskudes, et tõukejõud (nagu ta oletas termilised) saab asendada siserõhuga, mis kokkusurumatus vedelikus mõjub kõikjal. (See oletus põhjustab 19. sajandi kirjutistes kohati mitmetähenduslikkust selle kohta, mida täpselt tähendab "rõhk vedelikus".) Siin on Laplace'i siserõhu arvutus. (See järeldus on lähemal Maxwelli ja Rayleighi järeldustele. Järelduse annab.)

See peab tasakaalustama vedeliku kohesioonijõude ja Laplace tuvastas selle jõuga pindalaühiku kohta, mis takistab lõpmatu vedeliku keha eraldumist kaheks kaugelt eraldatavaks poollõpmatuks kehaks, mida piiravad tasased pinnad. Allolev tuletis on lähemal Maxwelli ja Rayleighi omadele kui Laplace'i algkujule, kuid argumendis pole olulist erinevust.

Vaatleme kahte rangelt lamedate pindadega poollõpmatut vedelat keha, mis on eraldatud tühise tihedusega auru vahekihiga (paksusega l) (joonis 1), ja mõlemas eraldame mahuelemendi. Esimene asub ülakehas kõrgusel r alakeha tasasest pinnast; selle maht on dxdydz. Teine on alakehas ja sellel on maht , kus polaarkoordinaatide alguspunkt langeb kokku esimese elementaarmahu asukohaga. Olgu f(s) jõud, mis toimib kahe vahemaaga s eraldatud molekuli vahel, ja d selle toimeraadius. Kuna see on alati ligitõmbav jõud, oleme seda teinud

Kui r on mõlema keha molekulide arvu tihedus, siis on kahe ruumalaelemendi vastasmõjujõu vertikaalkomponent võrdne

Ülaltoodud järeldus põhineb kaudsel eeldusel, et molekulid on ühtlaselt jaotunud tihedusega r, s.o. vedelikul ei ole jõudude vahemikuga d vastava mõõtmete skaalal märgatavat struktuuri. Ilma selle eelduseta oleks võimatu kirjutada avaldisi (2) ja (3) nii lihtsal kujul, kuid oleks vaja välja selgitada, kuidas molekuli olemasolu esimeses mahuelemendis mõjutab molekuli esinemise tõenäosust. molekul teises.

Kapillaaris oleva vedeliku pinnale mõjub pindpinevusjõud, mis on anuma seinaga külgneva pinnakihi molekulidele mõjuvate jõudude resultant, vedelike niisutamisel on see suunatud väljapoole (üles) ja mittemärguvate vedelike puhul - sissepoole (alla). Nende jõudude toimel omandab vedeliku pind veresoone seina lähedal kõverjoonelise (kõvera) kuju, mida nimetatakse meniskiks. Meniski on nõgus, kui vedelik anumat niisutab sein (joonis 8, a) ja kumer, kui see ei niisuta (joonis 8, b).

Valemi tuletamine (valikuline). Pindpinevuskoefitsiendi määramisega saab määrata rõhku sfäärilise tilga sees vedelikud või rõhk sees gaasimull vedelikus.

Kui a R on rõhk sfäärilise vedelikutilga või gaasimulli sees, σ on vedeliku pindpinevus, r on kuuli raadius, siis raadiuse suurendamiseks r pall Δ r (r1 =r + Δ r ) (joonis 9 a) või suurendage selle pindala S kuni Δ S on vaja kulutada tööd, mis on võrdne pinnaenergia juurdekasvuga: Δ W = Δ AGA = σ Δ S , kus palli pindala (meenuta kooli geomeetria kursusest) on võrdne S = 4π r2 .

Siis Δ AGA = σ Δ S = σ = σ ,

mis tähendab: Δ AGA = 4πσ [(r + Δ r) 2 - r 2 ] .

Summa ruut on teatavasti (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , siis:

Δ AGA = 4πσ [(r + Δ r) 2 - r 2 ] = 4πσ [(r 2 + 2r ּΔ r + (Δ r) 2) - r 2] = 4πσ ּ [r 2 + 2r ּΔ r +

(Δ r) 2 - r 2] = 4πσ [ 2r ּΔ r + (Δ r) 2 ] = 4πσ [ 2r ּΔ r + (Δ r) 2 ]

Kuna (Δ r) 2 << 2r ּΔ r , terminit sisaldav (Δ r) 2 võib tähelepanuta jätta. Seetõttu kasutame töö muutmiseks: Δ AGA = σ ּ 8 π r ּΔ r .

Teisest küljest on gaasi kulutatud töö konstantsel temperatuuril võrdne: Δ AGA = R Δ V , kus kuuli ruumala muutus funktsiooni erinevusena on võrdne .

Siis Δ AGA = R Δ V = R ּ 4 π r2 ּΔ r . Võrdsustades mõlemad avaldised, saame:

Δ AGA = σ ּ 8 π r ּΔ r = R ּ 4 π r2 ּΔ r .

Selle tulemusena saame: σ ּ 2 = R ּ r , mida saab teisendada järgmiselt: .

Seda valemit nimetatakse Laplace'i valemiks täiendava rõhu jaoks kõvera vedelikupinna all.

Laplace'i valem see kõlab järgmiselt: pindpinevusjõudude toimel tekkiv lisarõhk vedeliku kõvera pinna all on otseselt võrdeline pindpinevusteguriga σ , pöördvõrdeline raadiusega r vedeliku tilgad või gaasimull vedelikus ja on suunatud nõgusa poole (kõveruskeskme poole).

Pange tähele, et kuna rõhk on pöördvõrdeline vedeliku tilga või gaasimulli raadiusega vedelikus , mida suurem on rõhk, seda väiksem on sfäärilise languse raadius.

Laplace’i valem kehtib ka kapillaarnähtuste puhul.

Pindpinevusjõudude toimel on vedeliku pinnakiht kõver, moodustades meniski ja avaldab välise suhtes täiendavat survet Δ. R . Kapillaaris on välisrõhk atmosfäärirõhk (meie kohal asuva atmosfäärisamba hüdrostaatiline rõhk), mis tuleneb gravitatsioonist ja võrdub 760 mm Hg merepinnal. või 1,0135 10 5 Pa.

Kumera pinna tekkiv pindpinevusjõud on suunatud nõgususe poole (kõveruskeskme poole). Sfäärilise pinna puhul, mille kõverusraadius on r , lisarõhk vastavalt Laplace'i valemile: .

Hea niisutamise korral moodustub nõgus menisk. Laplace'i lisarõhu jõud on suunatud vedelikust väljapoole, st. üles.

Täiendav Laplace'i rõhk toimib atmosfäärirõhu vastu, vähendades seda, põhjustades vedeliku tõusu kapillaaris.

Vedelik tõuseb kapillaaris kuni lisarõhuni Δ lk (Laplace'i rõhk), mis on tingitud pindpinevusjõududest ja on suunatud ülespoole (meniski ringi keskpunkti poole), ei ole hüdrostaatilise (kaalu) rõhuga tasakaalustatud p hüdrost = ρ gh mõjub allapoole (Δ p = p hüdrost ).

Kuid meniski raadius on võrdne kapillaari raadiusega ( R = r) ainult täieliku niisutamisega, kui Θ = 0 0 . Kõigil muudel juhtudel ei ole meniski raadiust eksperimentaalselt lihtne leida, seega väljendame r läbi R on kapillaari raadius. Jooniselt fig. 9b näitab, et .

Seega, võttes arvesse Laplace'i seadust, saame võrdsuse: , kust tõuseb vedeliku kõrgus kapillaaris (*), st. oleneb vedeliku omadustest ja kapillaari materjalist, samuti selle raadiusest.

Halva märgumise korral (mittemärgumine) cosΘ< 0 ja valem (*) näitab vedeliku langetamise kõrgust kapillaaris.

Sama valem võimaldab määrata vedeliku pindpinevust kapillaaris oleva vedeliku tõusu kõrguse ning vedeliku meniski ja anuma seinte vahelise kontaktnurga väärtuse järgi ( kapillaarmeetod ):

.

Täieliku niisutamise korral (nurk Θ = 0 °, mis tähendab cosΘ = 1 ) ja täielik mittemärgumine (nurk Θ = 180° , mis tähendab cos Θ = -1 ) valem on palju lihtsam.

Pindpinevusteguri määramiseks on ka teisi meetodeid σ : a) tilkade eraldamise meetod, b) rõnga ja raami eraldamise meetodid, c) õhumullide eraldamise meetod (Rebinder). Neid arutatakse allpool.

KÕRGETE TEMPERATUURIDE SOOJUSFÜÜSIKA, 2010, 48. köide, nr 2, lk. 193-197

AINE TERMOFÜÜSIKALISED OMADUSED

UDK 532.6:004.932

TÄIUSTATUD SIDDLE Drop MEETOD VEDELIKIDE PINNAPINGE MÄÄRAMISEKS

L. B. direktor, V. M. Zaichenko ja I. L. Maikov

Moskva Venemaa Teaduste Akadeemia Kõrgete Temperatuuride Ühine Instituut Vastu võetud 25. mail 2009

Töötati välja täiustatud tehnika vedeliku tilga meridionaalse lõigu kujutiste töötlemiseks, mis on saadud vedeliku pindpinevuse määramise istumisvaba tilga meetodi rakendamisel. See tehnika võimaldab tilga digitaalse kujutise skaneerimist, Young-Laplace'i võrrandi numbrilist lahendust, samuti pindpinevuse, märgumisnurga ja tilkade mahu arvutamist.

SISSEJUHATUS

Sessiilset (rippuvat) või statsionaarset kukkumismeetodit peetakse kõige usaldusväärsemaks staatiliseks meetodiks metallisulamite, soolade, polümeeride ja muude vedelike pindpinevuste uurimiseks.

Staatilised meetodid põhinevad Young-Laplace'i diferentsiaalvõrrandi lahendamisel. Selle võrrandi ligikaudsed lahendused on leidnud paljud autorid ning levinuim viis pindpinevuskoefitsiendi määramiseks põhineb Bashforthi ja Adamsi tabelite kasutamisel. Olemasolevad empiirilised sõltuvused on sisuliselt nende tabelite ligikaudsed näitajad. Selliste meetodite puuduseks on madal täpsus, samuti tilga suurusega seotud piirangud. Tilga geomeetrilised parameetrid määratakse selle fotokujutise mõõtmise teel mõõtemikroskoobi abil. Mõõtmisprotsess on üsna töömahukas ja selle tulemused sisaldavad vaatleja individuaalsete omadustega seotud viga.

Käesoleva töö eesmärgiks on luua kiire tarkvarapakett, mis võimaldab töödelda tilga digitaalset kujutist ja läbi viia optimeerimisprotseduur vedeliku pindpinevuskoefitsiendi määramiseks nii istumismeetodil kui ka tilkamise meetodil. irdumine (rippuv tilk). Metoodika põhineb töös esitatud Young-Laplace'i võrrandi numbrilise integreerimise ideoloogial.

PIKKKUJUTISE TÖÖTLEMISE MEETOD

Algteave on graafiline fail standardse punkti kujul

mate BitMaP (BMP), mis sisaldab pilti tilga meridionaalsest osast. Pildil on must-valge palett hallskaalaga valgest mustani (kuueteistkümnendsüsteemis 000000 kuni FFFFFF) RGB-värvides (joonis 1).

Pildi täpse piiri määramine on omaette ülesanne. On üsna keerukaid algoritme, mis põhinevad tasemekomplekti funktsiooni meetodil ja nõuavad hüperboolset tüüpi osadiferentsiaalvõrrandite lahendamist. Selles artiklis kasutame numbriliste arvutuste lihtsustamiseks allpool kirjeldatud lihtsat algoritmi ja hindame selle täpsust.

Töötlemise esimeses etapis teisendatakse hall pilt mustvalgeks ühevärviliseks järgmiselt. Keskmine värviväärtus valitakse värvipaletist (kuueteistkümnendsüsteemis vastab see värvile 888888). Edasine töötlemine on

Riis. 1. Pilt tilgast substraadil (BMP-vorming).

pildi skannimine iga piksli jaoks. Kõik pikslid, mille värviväärtus on väiksem kui piirväärtus, muudavad oma väärtuse valgeks ja piiriväärtusest suuremad väärtused muutuvad mustaks, mille tulemusena valge ja musta värvi piir ning vastavalt ka pildi kontuuripunktide koordinaadid. on määratud (joonis 2).

Piirvärvi valimine pildi hallist mustvalgeks teisendamisel toob tulemusesse teatud vea, mida illustreerib standardi (kalibreeritud teraskuuli) suhtelise ruumala sõltuvuskõver piirdevärvi valikust (joon. . 3).

Täispaleti viienda osa valimisel (paleti värvid 666666 kuni LLLLA kuueteistkümnendsüsteemis vastavad joonisel 3 värvidele vahemikus 1 kuni 4) on suhteline viga mahu määramisel 0,2%. Paleti värv 888888 (täieliku paleti keskmine) vastab väärtusele 3 x-teljel ja suhtelisele mahule 1.

Suhteline maht 1,0010

värvieralduspiir

Riis. 3. Standardi suhtelise mahu sõltuvus piirdevärvi valikust.

PILKKU PILDI TÖÖTLEMISE NUMBRIKUTSE

Substraadil lebava tilga kuju (joonis 4) rahuldab Young-Laplace'i võrrandit

(l + Y "2) 3/2 Y (1 + Y

kapillaarkonstant; st - co -

pindpinevustegur; H on kukkumise kõrgus; [x, y(x)] - languse meridionaalse lõigu piiri koordinaadid (vt joonis 4); R0 on kõverusraadius tilga ülaosas; Ap on vedeliku ja ümbritseva gaasi tiheduse erinevus.

Võrrandi (1) arvlahenduse jaoks teostame selle parameetriseerimise x = x(1),

Siin on I kõvera kaare pikkus languse tipust punktini, mille koordinaadid on x(1), y(1). Seejärel kirjutatakse vormile Young-Laplace'i võrrand parameetrilisel kujul

v a y Ro n - x + x + _2_

A y Roy algtingimustega x(0) = H, y(0) = 0, x(0) = 0, y(0) = -1.

Riis. 4. Istuva tilga meridionaalne ristlõige.

täiustatud istuva kukkumise meetod

Kahe teist järku diferentsiaalvõrrandi süsteemi (2) saab esitada nelja esimest järku võrrandi süsteemina

u = -v + ä + 2

" H - x , ü , 2 v = ü |-2--1---1--

algtingimustega x(0) = H, y(0) = 0,

ja (0)=0, v(0)=-1.

Tavaliste diferentsiaalvõrrandite süsteemi (3) integreerimiseks kasutati jäikade diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks numbrilist meetodit - automaatse sammuvalikuga lineaarset mitmeastmelist meetodit, mis realiseeriti DIFSUB-algoritmis.

Sessiilse kukkumise meetodil (tilkade eraldamine) saadud andmete töötlemisel lahendatakse kapillaarkonstandi a2, kukkumiskõrguse H ja selle kõverusraadiuse R määramise pöördülesanne horisontaallõike ringi raadiuse sõltuvuse abil. selle lõigu kaugusest aluspinnast.

Vaatleme funktsionaalset funktsiooni, mis esindab katsepunktide arvutatud kõverast kõrvalekallete ruudu summat

L \u003d K - X;) 2 + (Ye1 - Y,) 2),

kus (xe, ye) on katsepunktide koordinaadid, (x, y) on arvutatud punktide koordinaadid.

Arvutatud punktid (x;, y() on parameetrite a1 = a2, a2 ​​= H, a3 = R0 funktsioonid:

xi - xi(t, a1 a2, a3),

yt - y,(h, ai, a2, a3). Laiendame (5) Taylori seerias läheduses

ki (a1, a2, a3)

xt = x (t , a°, a°, a°) + dXi Aa1 + dXt Aa2 + dXi Aa3,

yl = y,(ti, ai1, a°, a°) + ^ Aai + Aa2 + Aay

Funktsionaalsuse miinimumi (4) leidmiseks peavad tingimused olema täidetud

Asendades (4) arvuga (6) ja diferentseerides, saab võrrandisüsteemi (7) kirjutada järgmiselt.

Xei - xi - dx - Aai - dx - Aa2 - dx - Aa3)) +

+ | yei - y, -du Aai -f* Aa2 -f* Aa3))

oa1 oa2 oa3 jda1_

xei - x, - ^Dv1 -O*!.da2 -§xlAa3- +

yei-y, -yy. Jah, - Da1 - ja Daz -

da1 da2 da3)da2j

dx. 5x- 5x- 15x-xei - xi --LD^ --LDa2 --LDaz - +

yei- yt -dR Da1 -M Da2 -^U- Da3 -

dxt dxt + dyt dyt = 1 dak da, dak da,

I| (xei-xi)f + (yei - y, fi|, V da, da, 1

I I dxL dx± + dy_ dyj_

t dak da, dak da,

k = 1| i = 1k2k2.

I| (xei-x,)f* + (yei - Y,)f |,

I I dxj_ dxi + dy_ dy_

Dak da3 dak da3 k = 1V i = 1 k 3 k 3

I| (xei- x, + (yei - Y,) f

Võrrandisüsteemi (8) lahendamiseks on vajalik

dimo, et arvutada vormi osatuletised

(6) , kus I = 1-^, k = 1-3. Alates analüütilisest

sõltuvused (4) parameetritest a1 on teadmata, osatuletised on määratud numbriliselt.

Uued ak väärtused (kus k = 1-3) arvutatakse leitud Aak väärtuste abil valemi järgi

0 0,. ak = ak + Ak

LAHENDUSE ALGORITM

Võrrandisüsteemi (8) arvuliseks lahendamiseks on välja töötatud järgmine algoritm.

DIREKTOR jne.

Riis. Joon 5. Veepiisa kuju istuva tilga meetodil: 1 - katsepunktid; 2 - arvutamine optimeerimisprotseduuri abil.

1. Esialgse lähenduse (a0, a0, a0) seadmine eeldusel, et tilga kuju kirjeldab ligikaudselt ellips, mille poolteljed on võrdsed tilga kõrguse ja horisontaalse lõigu ringi maksimaalse raadiusega. .

2. Väikeste kõrvalekallete seadmine (Aab Aa2, Aa3).

3. Võrrandisüsteemi (3) lahendamine DIFSUB-algoritmi abil etteantud väärtuste jaoks (a0, a0, a0). 1. arvlahenduse saamine. Funktsionaalsete sõltuvuste xn ja yn määramine kuupsplainfunktsiooni SPLINE parameetrite arvutamise algoritmi abil.

4. Võrrandisüsteemi (3) lahendamine DIFSUB-algoritmi abil etteantud väärtuste jaoks (a0 + Aa1, a0, a0). 2. arvlahenduse saamine. Funktsionaalsete sõltuvuste xi2 ja yi2 määramine SPLINE algoritmi abil. Tuletiste arvutamine 1. ja 2. lahenduse abil

dx1 = Xg - xp dy1 = y2 - yn. da1 Aa1 da1 Aa1

5. Võrrandisüsteemi (3) lahendamine DIFSUB algoritmi abil antud (a0, a0 +

Aa2, a0). 3. arvlahenduse saamine. xi3 ja yi3 funktsionaalsete sõltuvuste määramine SPLINE algoritmi abil. Tuletiste arvutamine 1. ja 3. lahenduse abil

dX \u003d Xz - x / 1? g!± = Ya - Y/1. da2 Aa2 da2 Aa2

6. Võrrandisüsteemi (3) lahendamine kasutades

a3 + Aa3). 4. arvlahenduse saamine. xi4 ja yi4 funktsionaalsete sõltuvuste määramine SPLINE algoritmi abil. Tuletiste arvutamine 1. ja 4. lahenduse abil

dX/ \u003d X / 4 - Xj 1 düül \u003d Y / 4 - Y / 1.

7. Süsteemi (8) kordajate arvutamine ja selle lahendamine lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise algoritmi abil SOLVE . Kviitung (Aab Aa2, Aa3).

8. Uute parameetrite väärtuste arvutamine valemiga (9)

algoritm DIFSUB

Artikli edasiseks lugemiseks peate ostma täisteksti.

KAŠEZHEV A. Z., KUTUEV R. A., PONEŽEV M. Kh., SOZAEV V. A., KHASANOV A. I. - 2012

Võrrandit vaadeldakse ka kahe- ja ühemõõtmelises ruumis. Kahemõõtmelises ruumis kirjutatakse Laplace'i võrrand:

Samuti sisse n-mõõtmeline ruum. Sel juhul on summa võrdne nulliga n teine ​​tuletis.

• Märkus: kõik ülaltoodu kehtib Descartes'i koordinaatide kohta tasapinnalises ruumis (olenemata selle mõõtmetest). Teiste koordinaatide kasutamisel muutub Laplace'i operaatori esitus ja vastavalt muutub ka Laplace'i võrrandi kirje (vt näidet allpool). Neid võrrandeid nimetatakse ka Laplace'i võrrandiks, kuid terminoloogia ebaselguse kõrvaldamiseks lisatakse tavaliselt selgesõnaliselt koordinaatide süsteem (ja täieliku selguse soovi korral ka mõõtmed), näiteks: "kahemõõtmeline Laplace'i võrrand polaarkoordinaatides".

Laplace'i võrrandi muud vormid

1 r 2 ∂ ∂ r (r 2 ∂ f ∂ r) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ (sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 ⁡ θ ∂ \displaystyle (1 \üle r^(2))(\partial \over \partial r)\left(r^(2)(\partial f \over \partial r)\right)+(1 \over r^( 2)\sin \theta )(\partial \over \partial \theta )\left(\sin \theta (\partial f \over \partial \theta )\right)+(1 \over r^(2)\sin ^(2)\theta )(\partial ^(2)f \over \partial \varphi ^(2))=0)

Üksikud punktid r = 0, θ = 0, θ = π (\displaystyle r=0,\teeta =0,\teeta =\pi).

eriline punkt.

ainsuse punkt r = 0 (\displaystyle r=0).

Laplace'i võrrandi rakendamine

Laplace'i võrrand tekib paljudes mehaanika, soojusjuhtivuse, elektrostaatika ja hüdraulika füüsikalistes probleemides. Laplace'i operaatoril on suur tähtsus kvantfüüsikas, eriti Schrödingeri võrrandis.

Laplace'i võrrandi lahendused

Hoolimata asjaolust, et Laplace'i võrrand on matemaatilises füüsikas üks lihtsamaid, on selle lahendamine keeruline. Numbriline lahendus on eriti keeruline funktsioonide ebakorrapärasuse ja singulaarsuste olemasolu tõttu.

Ühine otsus

Ühemõõtmeline ruum

kus C 1 , C 2 (\displaystyle C_(1), C_(2)) on suvalised konstandid.

kahemõõtmeline ruum

Laplace'i võrrand kahemõõtmelises ruumis rahuldatakse analüütiliste funktsioonidega. Analüütilisi funktsioone käsitletakse kompleksmuutuja funktsioonide teoorias ja Laplace'i võrrandi lahendite klassi saab taandada kompleksmuutuja funktsiooniks.

Laplace'i võrrand kahe sõltumatu muutuja jaoks on sõnastatud järgmiselt

Analüütilised funktsioonid

Kui a z = x + iy ja

siis on Cauchy-Riemanni tingimused funktsiooni jaoks vajalikud ja piisavad f(z) oli analüütiline:

Analüütiliste funktsioonide nii reaalne kui ka imaginaarne osa rahuldavad Laplace'i võrrandit. Tingimusi eristades