Jednorozměrné náhodné proměnné

Koncept náhodné proměnné. Diskrétní a nepřetržité náhodné proměnné. Funkce distribuce pravděpodobnosti a jeho vlastností. Hustota rozdělení pravděpodobnosti a jeho vlastností. Číselné charakteristiky náhodných proměnných: matematické očekávání, disperze a jejich vlastnosti, sekundární kvadratická odchylka, mod a medián; Primární a centrální momenty, asymetrie a přebytek.

1. Koncept náhodné proměnné.

Náhodnýto se nazývá hodnota, která trvá v důsledku testů nebo jiného (ale zároveň pouze jednu) možnou hodnotu, známý známý, měnící se testování zkoušky a v závislosti na náhodných podmínkách. Na rozdíl od náhodné události, která je kvalitativní charakteristika náhodného výsledku testu, náhodná hodnota charakterizuje výsledek testu kvantitativně. Příklady náhodného rozptylu může být velikost zpracované části, chyba měření jakéhokoliv parametru produktu nebo prostředí. Mezi náhodnými proměnnými, se kterými se musíte setkat v praxi, lze rozlišovat dva hlavní typy: diskrétní hodnoty a nepřetržité.

Oddělený To se nazývá taková náhodná hodnota, která má konečný nebo nekonečný počítací sadu hodnot. Například frekvence hitů pro tři snímky; počet vadných výrobků ve straně z kusů; Počet volání vstupujících do telefonní ústředny během dne; Počet poruch prvků zařízení po určitou dobu, kdy je testován pro spolehlivost; Počet snímků k prvnímu hitovi v cíli atd.

Nepřetržitý To se nazývá takovou náhodnou hodnotu, která může mít jakékoli hodnoty z určitého konečného nebo nekonečného intervalu. Je zřejmé, že počet možných hodnot kontinuální náhodné proměnné nekonečně. Například chyba při měření rozsahu radaru; čas bezproblémového provozu mikroobvodu; Chyba výroby dílů; Koncentrace soli v mořské vodě atd.

Náhodné proměnné jsou typicky označeny písmeny atd., A jejich možnými hodnotami - atd. Nestačí uvést všechny možné hodnoty pro určení náhodné proměnné. Je také nutné vědět, jak často se tyto nebo jiné hodnoty mohou vypadat v důsledku testů za stejných podmínek, tj. Je nutné stanovit pravděpodobnost jejich vzhledu. Kombinace všech možných hodnot náhodného rozptylu a odpovídajícími tomu je pravděpodobnost, je rozdělení náhodného rozptylu.

2. Zákony distribuce náhodných proměnných.

Distribuční právo Náhodná proměnná se nazývá libovolná korespondence mezi možnými hodnotami náhodné proměnné a odpovídajícími pravděpodobností. Náhodné množství říká, že tento zákon distribuuje. Jsou volány dvě náhodné proměnné nezávislýPokud distribuční právo jednoho z nich nezávisí na tom, jaké možné hodnoty obdržely jinou hodnotu. Jinak se nazývají náhodné proměnné závislý. Jmenuje se několik náhodných proměnných vzájemně nezávisléPokud zákony distribuce libovolného čísla nezávisí, na které jsou přijaty možné hodnoty zbývajících hodnot.

Distribuční právo náhodné proměnné může být specifikováno ve formě tabulky jako distribuční funkce ve formě distribuční hustoty. Tabulka obsahující možné hodnoty náhodné proměnné a odpovídající pravděpodobnosti je nejjednodušší formou úkolu práva distribuce náhodné proměnné:

Tabulární úkol distribučního práva lze použít pouze pro diskrétní náhodnou proměnnou s konečným počtem možných hodnot. Tabulka tvorba úkolu náhodné proměnné je také řadou distribuce.

Pro přehlednost představuje řada distribucí graficky. S grafickým obrazem v obdélníkovém souřadném systému podél osy abscisy jsou uloženy všechny možné hodnoty náhodného rozptylu, a podle osy ordinátu odpovídající pravděpodobnosti. Pak budujte body a připojte je s rovnými řezy. Výsledný obrázek se nazývá polygon distribuce (Obr. 5). Je třeba mít na paměti, že sloučenina ordinite vrcholy je vyrobena pouze pro účely jasnosti, protože mezi a a tak dále. Náhodná hodnota nemůže být přijata, proto pravděpodobnost jeho vzhledu v těchto intervalech jsou nulové.

Distribuční polygon, jako je řada distribuce, je jedním z forem úkolu distribučního práva diskrétní náhodné proměnné. Mohou mít jinou formu, ale každý má jeden společný majetek: součet ordinátu vrcholů distribučního polygonu, což je součet pravděpodobností všech možností všech možností náhodné proměnné, je vždy rovnající se jednoho. Tato vlastnost vyplývá ze skutečnosti, že všechny možné hodnoty náhodného rozptylu tvoří kompletní skupinu neúplných událostí, jejichž součet se rovná jednomu.

Definice. Náhodná proměnná se nazývá numerická hodnota, z nichž hodnota závisí na tom, který základního výstupu došlo v důsledku experimentu s náhodným výsledkem. Sada všech hodnot, které lze přijímat náhodnou hodnotu, se nazývají mnoho možných hodnot této náhodné proměnné.

Náhodné proměnné označují: X., Y 1., Z I.; ξ , η 1., μ I.a jejich možné hodnoty - x 3., y 1k., z IJ..

Příklad. Ve zkušenostech s jednorázovým odlitkem hrajícího kosti náhodné proměnné je číslo X. Zakoupené brýle. Mnoho možných hodnot náhodné proměnné X. Má vzhled

{x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x 6 \u003d 6}.

Máme následující dodržování základních výsledků ω a náhodné hodnoty X.:

To je každý základní výsledek ω I., i \u003d 1, ..., 6, vložte do souladu s číslem i. I..

Příklad. Mince je vyhozena do prvního vzhledu "erby". V této zkušenosti můžete zadat například takové náhodné proměnné: X. - počet odlitků k prvnímu vzhledu "erby" s množstvím možných hodnot ( 1, 2, 3, … ) I. Y. - počet "čísel", který spadl na první vzhled "erby" s mnoha možnými hodnotami {0, 1, 2, …} (To je jasné, že X \u003d y + 1). V této zkušenosti, prostor elementárních výsledků Ω lze identifikovat s mnoha

{G, CG, CSG, ..., C ... CG, ...},

a základní výsledek ( C ... TSG.) je vložen do souladu s číslem m + 1. nebo m.kde m. - počet opakování písmene "C".

Definice. Skalární funkce X (ω)definován v prostoru elementárních výsledků, nazývané náhodné proměnné, pokud pro všechny x∈ R. (Ω: x (ω)< x} Je to událost.

Funkce rozvodu náhodné proměnné

Studovat pravděpodobnostní vlastnosti náhodné proměnné, musíte znát pravidlo, které vám umožní najít pravděpodobnost, že náhodná hodnota bude mít hodnotu z podmnožiny svých hodnot. Jakékoli takové pravidlo se nazývá zákon o rozdělení pravděpodobnosti nebo distribuce náhodných proměnných.

Obecný distribuční právo inherentní ve všech náhodných hodnotách je distribuční funkce.

Definice. Distribuční funkce (pravděpodobnost) Náhodná proměnná X. Funkce volání F (x)Čí hodnota v místě x. Stejně tak pravděpodobnost události (X.< x} , to znamená, že události sestávající z těch a pouze ty základní výstupy ω pro který X (ω)< x :

F (x) \u003d p (x< x} .

Obvykle se říká, že hodnota distribuční funkce v místě x. Stejně pravděpodobná pravděpodobnost, že náhodná hodnota X. bude mít hodnotu méně x..

Teorém. Funkce distribuce splňuje následující vlastnosti:

Typický pohled na distribuční funkci.

Diskrétní náhodné proměnné

Definice. Náhodná proměnná X. Volejte diskrétní, pokud mnoho možných hodnot samozřejmě nebo počítatelné.

Definice. V blízkosti distribuce (pravděpodobnost) diskrétní náhodná proměnná X. Volání tabulky sestávající ze dvou řádků: Všechny možné hodnoty náhodného rozptylu jsou uvedeny v horním řetězci a v nižší pravděpodobnosti p i \u003d p (x \u003d x i) Tato náhodná hodnota bude trvat tyto hodnoty.

Chcete-li ověřit správnost tabulky, doporučuje se shrnout pravděpodobnost. p I.. Na základě axiomu zapalování:

Pro řadu distribuce diskrétní náhodné proměnné můžete postavit jeho distribuční funkci F (x). Nech být X. - definováno svým počtem distribuce a x 1.< x 2 < … < x n . Pak pro všechny x ≤ x 1 událost (X.< x} Je tedy nemožné, podle definice F (x) \u003d 0. Pokud x 1.< x≤ x 2 , pak událost (X.< x} sestává z těch a pouze těch základních výstupů, pro které X (ω) \u003d x 1. Proto, F (x) \u003d p 1. Stejně tak pro x 2.< x ≤ x 3 událost (X.< x} Skládá se z elementárních výsledků ω pro které X (ω) \u003d x 1buď X (ω) \u003d x 2, tj (X.< x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Proto, F (x) \u003d p 1 + p 2 atd. Pro x\u003e x n událost (X.< x} spolehlivě F (x) \u003d 1.

Distribuční právo diskrétní náhodné proměnné může být také specifikován analyticky jako vzorec nebo graficky. Například distribuce hrající kosti je popsána vzorcem

P (x \u003d i) \u003d 1/6, i \u003d 1, 2, ..., 6.

Některé diskrétní náhodné proměnné

Distribuce binomií. Diskrétní náhodná variabilita X. distribuován podle binomického práva, pokud trvá hodnoty 0, 1, 2, ... n. V souladu s distribucí specifikovanou Bernoulli Formuli:

Tato distribuce není nic jiného než distribuce počtu úspěchů X. v n. Testy podle schématu Bernoulli s pravděpodobností úspěchu p. a neúspěch q \u003d 1-P.

Poisson distribuce. Diskrétní náhodná variabilita X. Distribuován zákonem Poissonu, pokud trvá tolik nezáporných hodnot s pravděpodobností

kde λ > 0 - Poisson Distribution Parametr.

Distribuce Poissonu se také nazývá zákon o vzácných událostech, protože se vždy projevuje, kde se vyrábí velký počet testů, v každém z nich se vyskytuje malá pravděpodobnost "vzácných" událostí.

V souladu se zákonem Poissonu, distribuovaný, například počet hovorů přijatých během dne na telefonní ústředně; počet meteoritů padajících v určité oblasti; Počet zlomených částic v radioaktivního rozpadu látky.

Geometrické distribuce. Zvažte schéma Bernoulli. Nech být X. - počet testů, které musí být provedeny před prvním úspěchem. Pak X. - diskrétní náhodná hodnota, přičemž hodnoty 0, 1, 2, ..., n.... Definujeme pravděpodobnost události (X \u003d n).

• X \u003d 0.Pokud bude úspěšný v prvním testu P (x \u003d 0) \u003d p.
• X \u003d 1.Pokud je v prvním testu selhání, a ve druhém - úspěchu P (x \u003d 1) \u003d qp.
• X \u003d 2.Pokud v prvních dvou testů - selhání, a ve třetím - úspěch, pak P (x \u003d 2) \u003d q 2 p.
• Pokračování postupu, dostaneme P (x \u003d i) \u003d q i p, i \u003d 0, 1, 2, ...

  Náhodná proměnná s takovým množstvím distribuce se nazývá distribuovaná dle geometrického zákona.

Náhodné proměnné.

V matematice hodnota - Toto je společný název různých kvantitativních charakteristik objektů a jevů. Délka, plocha, teplota, tlak atd. - příklady různých množství.

Hodnotu, která má různé Numerické hodnoty pod vlivem náhodných okolností se nazývají náhodná proměnná. Příklady náhodných proměnných: 1) počet pacientů čekajících na přijetí od lékaře, 2) přesné rozměry vnitřních orgánů lidí, atd.

Rozlišovat diskrétní a nepřetržité náhodné proměnné.

Náhodná hodnota se nazývá diskrétníPokud to trvá pouze určité datované od sebe, které lze instalovat a uvedeny.

Příklady:

1) počet studentů v publiku - může být pouze celé kladné číslo:

0,1,2,3,4….. 20…..

2) Obrázek, který se objeví na horní stěně při házení hrací kosti - může trvat pouze celé číslo od 1 do 6.

3) Relativní frekvence dostat do cíle na 10 snímků - jeho významy:

0; 0,1; 0,2; 0,3 ….. 1

4) počet událostí, které se vyskytují ve stejných časových intervalech: pulsní frekvence, počet volání sanitky za hodinu, počet operací měsíčně s fatálním výsledkem atd.

Náhodná hodnota se nazývá nepřetržitáPokud si může vzít Žádný Hodnoty v určitém intervalu, které někdy mají ostře vyslovované hranice, a nejsou známy, jsou považovány za, že hodnoty náhodné proměnné leží v intervalu (- ¥; ¥) .. Pro nepřetržité náhodné hodnoty Zahrnují například teplotu, tlak, hmotnost a růst lidí, velikost krevních krevních prvků, pH krve atd.

Koncept náhodné proměnné hraje rozhodující roli v současné teorii pravděpodobností, která vyvinula speciální techniky pro přechod z náhodných událostí na náhodné hodnoty.

Pokud včasná hodnota závisí včas, pak můžeme hovořit o náhodném procesu.

3.1. Diskrétní náhodná proměnná

Chcete-li poskytnout kompletní charakteristiku diskrétní náhodné proměnné, musíte určit všechny možné hodnoty a jejich pravděpodobnosti.

Korespondence mezi možnými hodnotami diskrétní náhodné proměnné a jejich pravděpodobnosti se nazývá právo distribuce této velikosti.

Označte možné hodnoty náhodné proměnné X přes XI a pravděpodobnosti odpovídající jim přes PI *. Poté může být tranzit diskrétní náhodné proměnné nastaveny třemi způsoby: ve formě tabulky, grafiky nebo vzorce.

1. Stůl, který se nazývá v blízkosti distribuce,všechny možné hodnoty diskrétní náhodné proměnné jsou uvedeny a odpovídající těmto hodnotám pravděpodobnosti P (x):

Tabulka 3.1.

H.

V tomto případě by mělo být součet všech PI pravděpodobností roven ( podmínka je normalizace):

pi \u003d p1 + p2 + ... + pn \u003d

2. Graficky - ve formě rozbité čáry, která je obvyklá volaná polygon distribuce(Obr.3.1). Podél horizontální osy jsou umístěny všechny možné hodnoty náhodné proměnné XI a podél svislé osy - odpovídající pravděpodobnosti PI.

3. Analyticky - ve formě vzorce: například, pokud je pravděpodobnost vstupu do cíle na jednom výstřelu rovna r,pak pravděpodobnost nesprávného ukončení na jednom shot Q \u003d 1 - P, A. Smlouva o cílové porážce 1 čas n. Záběry jsou dány vzorcem: p (n) \u003d qn-1 × p,

3.2. Právo distribuce nepřetržité náhodné proměnné. Hustota rozdělení pravděpodobnosti.

Pro nepřetržité náhodné proměnné není možné aplikovat právo distribuce ve formulářích výše, protože nepřetržitá hodnota má nespočet ("nespočet") mnoho možných hodnot, zcela vyplněním nějakého intervalu. Proto, aby se tabulka, ve kterém by byly uvedeny všechny možné hodnoty, nebo vybudovat rozložení polygonu. Kromě toho je pravděpodobnost jakékoli konkrétní hodnoty velmi malá (téměř 0). Současně, různé oblasti (intervaly) možných hodnot kontinuální náhodné proměnné jsou obvykle stejně pravděpodobné. Existuje tedy určité distribuční právo, i když ne v bývalém smyslu.

Zvažte nepřetržité náhodné množství X, jejichž možné hodnoty jsou zcela naplněny nějakým intervalem (A, B) *. Zákon distribuce pravděpodobnosti Taková hodnota by měla umožnit nalézt pravděpodobnost jeho hodnot do daného intervalu (X1, X2), ležícího uvnitř (A, B *) (obr.3.2.)

Tato pravděpodobnost je označena p (x1<Х< х2), или Р(х1 £ Х £ х2).

Považovat za první velmi malý interval Hodnoty z X do (X + DX) (viz obr.3.2.) Nízká pravděpodobnost DR, že náhodná hodnota bude mít nějakou hodnotu z tohoto malého intervalu (X, X + DX), bude proporcionální hodnota tohoto intervalu DX: DR ~ DX, nebo zavedení poměru proporcionality f, který sám může záviset na X, dostaneme:

dr \u003d f (x) × dx. (3.2)

Zavedená funkce USA f (x) volala Distribuční hustota pravděpodobnosti Náhodná proměnná X nebo krátká hustota pravděpodobnosti (distribuční hustota). Rovnice (3.2) lze považovat za diferenciální rovnici a pak pravděpodobnost zasažení. Pořadí intervalu (X1, X2) se rovná:

P (x1.< Х < х2) = f (x) dx. (3.3)

Graficky tato pravděpodobnost P (X1< Х < х2) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой f (x) a rovné X \u003d X1 a X \u003d X2 (viz obr.3.3), který vyplývá z geometrického významu specifického integrálu (3.3). Křivka f (x) To se nazývá distribuční křivka.

Z (3.3) je vidět, že pokud je funkce známa f (x), To mění limity integrace, můžete najít pravděpodobnost pro všechny intervaly. Proto je to funkce nastavení f (x) Plně určuje distribuční právo pro nepřetržité náhodné proměnné.

Pro hustotu pravděpodobnosti distribuce f (x) musí být provedeno podmínka je normalizacetak jako:

f (x)dx. = 1, (3.4)

pokud je známo, že všechny hodnoty X leží v intervalu (A, B) nebo ve formě:

f (x) dx \u003d 1, (3.5)

pokud jsou hranice intervalu pro hodnoty X neznámé. Podmínky pro normalizaci hustoty pravděpodobnosti (3.4) nebo (3,5) jsou důsledkem hodnot náhodné proměnné x spolehlivě Leží uvnitř (a, b) nebo (- ¥, + ¥). Z (3.4) a (3.5) to vyplývá oblast obrázku, omezené distribuční křivky a osy abscisy, je vždy rovná 1.

Výsledky uvedené v odstavcích 3.1 a 3.2 ukazují, že plná charakteristika diskrétních nebo nepřetržitých náhodných hodnot dává zákonům jejich distribuce.

V mnoha prakticky významných situacích je však tzv. Numerické charakteristiky Náhodné proměnné, jejichž hlavním účelem je vyjádřit ve stlačené formě nejdůležitějším znakem jejich distribuce. Je důležité, aby tyto parametry byly specifické (konstantní) hodnotykteré lze vyhodnotit pomocí dat získaných v experimentech. Tyto odhady jsou zapojeny do tzv. "Deskriptivní statistiky".

V teorii pravděpodobnosti a matematické statistiky existuje velmi mnoho různých charakteristik, zde zvažujeme nejčastěji používán. Pouze pro část nich jsou vzorce, pro které jsou jejich hodnoty vypočteny v jiných případech, výpočty opustí počítač.

3.3.1. Charakteristiky situace: Matematické čekání, móda, medián.

To je charakterizují polohu náhodné proměnné na číselné ose, tj. Uveďte některé její důležité hodnoty, které charakterizují distribuci dalších hodnot. Mezi nimi hraje matematická očekávání m (x) klíčovou roli.

ale). Matematický očekávání M (x) Náhodná proměnná je pravděpodobnostní analog o jeho průměrné aritmetice.

Pro diskrétní náhodnou proměnnou se vypočítá vzorec:

M (x) \u003d x1r1 + x2p2 + ... + xnrn \u003d \u003d, (3.6)

a v případě nepřetržité náhodné proměnné M (X) jsou určeny vzorce:

M (x) \u003d nebo m (x) \u003d (3.7)

kde f (x) je hustota pravděpodobnosti, dp \u003d f (x) dx - pravděpodobnostní prvek (pi analog) pro malý interval DX (DX).

Příklad.Vypočítejte průměrnou hodnotu nepřetržité náhodné proměnné, která má jednotnou distribuci na segmentu (A, B).

Rozhodnutí: S jednotnou distribucí je hustota pravděpodobnosti na intervalu (A, B) konstantní, tj. F (X) \u003d FO \u003d CONST a vně (A, B) je nulová, az normalizačního stavu (4.3) najdeme Hodnota F0:

F0 \u003d F0 × x | \u003d (b-a) f0, odkud

M (x) \u003d | \u003d \u003d (A + B).

Matematické očekávání m (x) se tak shoduje se středem intervalu (A, B), který je stanoven, tj. \u003d M (x) \u003d.

B). Módní mo (x) diskrétní náhodná proměnnávolal to s největší pravděpodobností hodnota(Obr.3.4, a) a nepřetržitý - hodnota H.ve kterém hustota pravděpodobnost maximum (Obr.3.4, b).

v). Jiná charakteristika pozice - medián (Mě.) Distribuce náhodných proměnných.

Medián Srst)náhodná variance nazvaná jeho hodnota H.který rozděluje veškerou distribuci do dvou ekvivalentních dílů. Jinými slovy pro náhodnou proměnnou stejně pravděpodobně Vezměte hodnoty méně mě (x) nebo více mě (x): P (x< Ме) = Р(Х > I) \u003d.

Proto může být medián vypočítán z rovnice:

(3.8)

Graficky medián je hodnota náhodné proměnné, jejíž ordinace je rozdělena plocha, omezená rozvodná křivka, na polovinu (S1 \u003d S2) (obr.3.4, B). Tato vlastnost obvykle používá pouze Pro nepřetržité náhodné proměnné, i když to může být stanoveno formálně pro diskrétní x.

Pokud m (x), mo (x) a me (x) se shoduje, pak se nazývá distribuce náhodného rozptylu symetrický, v opačném případě - asymetrický.

Rozptylové charakteristiky - Disperze a standardní odchylka (sekundární kvadratická odchylka).

DisperzeD. (X.) náhodná proměnná X je definována jako matematické očekávání čtvercové odchylky náhodného X ze svého matematického očekávání m (x):

D (x) \u003d m 2, (3.9)

nebo d (x) \u003d m (x2) - a)

Proto pro oddělenýnáhodný rozměr vypočítává vzorce:

D (x) \u003d [xi - m (x)] 2 pi nebo d (x) \u003d xi2 pi -

a pro kontinuální velikost, distribuovanou v intervalu (A, B):

a Pro interval (-∞, ∞):

D (x) \u003d 2 f (x) dx nebo d (x) \u003d x2 f (x) dx -

Disperze charakterizuje průměrný rozptyl, rozptyl hodnoty náhodné proměnné x vzhledem ke svému matematickému očekávání. Samotné slovo "disperze" znamená "rozptyl".

Disperze D (X) má dimenzi čtverce náhodné proměnné, což je velmi nepohodlné při hodnocení rozptylu ve fyzikálním, biologickém, lékařském, atd. Proto obvykle používat jiný parametr, jejíž rozměr se shoduje s rozměrem X. To střední kvadratický odchylka náhodná proměnná x, která je označena s. (X):

s. (X) \u003d (3.13)

Takže, matematické očekávání, móda, medián, disperzní a sekundární kvadratická odchylka jsou nejvíce spotřebovaní Číselné charakteristiky distribucí náhodných proměnných, z nichž každá, jak je ukázáno, vyjadřuje určitou charakteristickou vlastnost této distribuce.

3.4. Normální právo distribuce náhodných proměnných

Normální distribuční právo(Gaussův zákon) hraje velmi důležitou roli v teorii pravděpodobností. Za prvé, to je nejčastější v praxi zákon distribuce nepřetržitých náhodných proměnných. Za druhé, to je omezit Zákon, v tom smyslu, že za určitých podmínek se blíží jiné distribuční zákony.

Normální právo Distribuce se vyznačuje tímto vzorcem pro hustotu pravděpodobnosti:

, (3.13)

Zde x - aktuální hodnoty náhodné proměnné x a m (x) a s. - Jeho matematické očekávání a standardní odchylka, která plně určí funkci f (x). Pokud je tedy náhodná odrůda distribuována podle normálního práva, stačí znát pouze dva číselné parametry: m (x) a s.Zcela znát zákon svého distribuce (3.13).Funkční plán (3.13) volal normální křivka distribuce (Gaussova křivka). Má symetrický vzhled vzhledem k ordinátu X \u003d m (x). Maximální hustota pravděpodobnosti rovnající se "odpovídá matematickému očekávání` x \u003d m (x) a jako hustota pravděpodobnosti f (x) od něj odstraňuje, se snižuje, postupně se blíží nule (obr. Změnit hodnotu m (obr. x) v (3.13) nemění formu normální křivky, ale vede pouze k posunu podél osy abscisy. Hodnota m (x) se také nazývá rozptylu a odchylka rms s. Charakterizuje šířku distribuční křivky (viz obr.3.6).

S rostoucím s. Maximální pořadí křivky se snižuje a křivka se stává běžnějším, protahováním podél osy abscisy, zatímco s poklesem s.křivka je vypracována při současném stlačení ze strany (obr. 6).

Samozřejmě, že pro všechny hodnoty m (X) a S, oblast ohraničená normální křivkou a osou X zůstává rovna 1 (normalizační stav):

f (x) dx \u003d 1 nebo f (x) dx \u003d

Normální distribuce je symetricky, a proto m (x) \u003d mo (x) \u003d me (x).

Pravděpodobnost zadávání hodnot náhodné proměnné do intervalu (X1, X2), tj. P (X1< Х< x2) равна

P (X1.< Х < x2) = . (3.15)

V praxi problém zjištění pravděpodobnosti hodnot normálně distribuované náhodné proměnné v intervalu, symetrický vzhledem k m (x). Zvažte zejména následující, důležitý úkol v aplikovaném ohledu. Budu odkládat od M (X) na pravé a levé segmenty rovné S, 2S a 3S (obr. 7) a zvážit výsledek výpočtu pravděpodobnosti vstupu X v odpovídajících intervalech:

P (m (x) - s. < Х < М(Х) + s.) = 0,6827 = 68,27%. (3.16)

P (m (x) - 2S< Х < М(Х) + 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (3.17)

P (m (x) - 3S< Х < М(Х) + 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (3.18)

Z (3.18) vyplývá, že hodnoty normální distribuované náhodné proměnné s parametry m (x) a S s pravděpodobností p \u003d 99,73% leží v intervalu m (x) ± 3S, jinak téměř všechny možné hodnoty Tohoto náhodného spadla do tohoto intervalu. Hodnoty. Tento způsob odhadování rozsahu možných hodnot náhodného rozptylu je známý jako "pravidlo tří SIGM".

Příklad.Je známo, že krevní pH krve je normální distribuovaná hodnota s průměrnou hodnotou (matematické očekávání) 7.4 a standardní odchylka 0,2. Určete rozsah možných hodnot tohoto parametru.

Rozhodnutí:Chcete-li odpovědět na tuto otázku, používáme "pravidlo tří Sigm". S pravděpodobností rovnající se 99,73%, lze argumentovat, že rozsah hodnot pH pro osobu je 7,4 ± 3 · 0,2, což je 6,8 ÷ 8.

* Jsou-li přesné hodnoty intervalových hranic neznámé, je interval zvažován (- ¥, + ¥).

Poslat svou dobrou práci ve znalostní bázi je jednoduchá. Použijte níže uvedený formulář

Studenti, absolventi studenti, mladí vědci, kteří používají znalostní základnu ve studiu a práce, budou vám velmi vděční.

Vysláno http://www.allbest.ru/

Diskrétní náhodné proměnné

Nechť je proveden nějaký test, jehož výsledek je jedním z neúplných náhodných událostí (počet událostí nebo samozřejmě nebo humoročně, tj. Události mohou být číslovány). Každý výsledek je vložen v souladu s některými platnými číslem, tj. Platná funkce x s hodnotami jsou určeny na sadě náhodných událostí. Tato funkce X se nazývá oddělený náhodný hodnota (Termín "diskrétní" se používá, protože hodnoty náhodného rozptylu jsou individuální čísla, na rozdíl od kontinuálních funkcí). Vzhledem k tomu, že hodnoty náhodných proměnných se mění v závislosti na náhodných událostech, pak hlavní zájem představuje pravděpodobnosti, s nimiž platí náhodná hodnota různé číselné hodnoty. Zákon o rozdělení náhodné proměnné je vztah, který stanoví vztah mezi možnými hodnotami náhodné proměnné a odpovídajícími pravděpodobností. Právo distribuce může mít různé formy. Pro diskrétní náhodnou proměnnou je distribuční právo celkem dvojic čísel (), kde - možné hodnoty náhodné proměnné a pravděpodobnosti, se kterými trvá tyto hodnoty, je :. Kde.

Páry lze považovat za body v nějakém souřadném systému. Spojením těchto bodů s přímkami dostaneme grafický obraz distribučního práva - rozložení polygonu. Nejčastěji se zákon distribuce diskrétní náhodné proměnné zaznamenává ve formě tabulky, ve které jsou páry vyrobeny.

Příklad. Mince byla přidána dvakrát. Vytvořte distribuci zákona počtu "erb" "v tomto testu.

Rozhodnutí. Náhodné X je počet emisí "erb" v tomto testu. Samozřejmě, X může trvat jeden ze tří významů: 0, 1, 2. Pravděpodobnost vzhledu "erby" v jednom házení mince se rovná p \u003d 0,5, a ztráta "spěchu" q \u003d 1 - p \u003d 0,5. Pravděpodobnosti, s nimiž platí náhodná hodnota uvedená hodnota, najde Bernoulli Formula:

Právo distribuce náhodné proměnné x psát ve formě distribuční tabulky

Řízení:

Některé zákony distribuce diskrétních náhodných proměnných, často se vyskytují při řešení různých úkolů, obdržely speciální názvy: geometrické distribuce, hypergeometrická distribuce, binomiální distribuce, distribuce poissonu a další.

Rozložení diskrétní náhodné proměnné lze specifikovat pomocí distribuční funkce F (x), která se rovná pravděpodobnosti, že náhodná hodnota X bude mít hodnoty v intervalu ????? x?: F (x) \u003d P (X.

Funkce F (x) je definována na celé platné ose a má následující vlastnosti:

jeden) ? ? F (x)? jeden;

2) f (x) - non-klesající funkce;

3) f (??) \u003d 0, f (+?) \u003d 1;

4) f (b) - f (a) \u003d p (a? X< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69

2 =(2-2.3) 2 =0.09

2 =(5-2.3) 2 =7.29

Píšeme distribuci zákona čtvercové odchylky:

Řešení: Najdeme matematické očekávání m (X):

M (x) \u003d 2 * 0,1 + 3 * 0,6 + 5 * 0,3 \u003d 3,5

Wew Act distribuce náhodné x 2

Najdeme matematické očekávání m (x 2):

M (x 2) \u003d 4 * 0,1 + 9 * 0,6 + 25 * 0,3 \u003d 13,5

Požadovaná disperze d (x) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05

Vlastnosti disperze

1. Disperze konstantní hodnoty s nulou: D (c) \u003d 0

2. Konstantní multiplikátor může být proveden pro disperzní znamení, jíst ho na čtverec. D (cx) \u003d c 2 d (x)

3. Disperze součtu nezávislých náhodných proměnných se rovná množství disperzí těchto hodnot. D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d d (x 1) + d (x 2) + ... + d (x n)

4. Disperze binomiální distribuce se rovná produktu počtu testů na pravděpodobnosti vzhledu a poruchy události v jednom testu D (X) \u003d NPQ.

Pro odhad rozptýlení možných hodnot náhodné proměnné kolem své průměrné hodnoty, kromě disperze se také podávají i další vlastnosti. Mezi ně patří průměrná kvadratická odchylka.

Definice. Průměrná kvadratická odchylka náhodné proměnné X se nazývá druhová odmocnina z disperze:

Příklad 8. Náhodná hodnota X je nastavena zákonem distribuce

Najít střední kvadratickou odchylku od (x)

Řešení: Najděte matematické očekávání X:

M (x) \u003d 2 * 0,1 + 3 * 0,4 + 10 * 0,5 \u003d 6,4

Najdeme matematické očekávání x 2:

M (x 2) \u003d 2 2 * 0,1 + 3 2 * 0,4 + 10 2 * 0,5 \u003d 54

Najít disperze:

D (x) \u003d m (x 2) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 54-6,4 2 \u003d 13.04

Druhá průměrná kvadratická odchylka

(x) \u003d Vd (x) \u003d v13.04? 3.61

Teorém. Průměrná kvadratická odchylka množství konečného počtu vzájemně nezávislých náhodných proměnných je stejně druhá odmocnina ze součtu čtverců průměrných kvadratických odchylek těchto veličin:

Náhodné proměnné

Koncept náhodné proměnné je hlavní v teorii pravděpodobnosti a jejích aplikací. Náhodné hodnoty jsou například počet bodů v jediném házení hrající kosti, počet nebezpečných atomů radia v době, počet hovorů na telefonní stanici po určitou dobu, odchylka od Jmenovitá část dílu s řádně zavedeným procesem a tak dále.

Takto, náhodný hodnota Variabilní hodnota se nazývá, což může v důsledku experimentu přijímat jednu nebo jinou číselnou hodnotu.

V budoucnu se podíváme na dva typy náhodných proměnných - diskrétních a nepřetržitých.

1. Diskrétní náhodné proměnné

Zvažte náhodnou proměnnou *, jejichž možné hodnoty tvoří konečnou nebo nekonečnou sekvenci čísel x.1 , x.2 , . .., x.n., . .. . Nechte funkci určit p (x)Čí hodnota v každém bodě x \u003d X.i. I.(i \u003d 1,2,. ..) Stejně tak pravděpodobnost, že hodnota bude mít hodnotu x.i. I..

Taková náhodná hodnota se nazývá oddělený (přerušovaný). Funkce p (x) volala zákon distribuce pravděpodobnost náhodný hodnotynebo stručně zákon distribuce. Tato funkce je definována v sekvenčních bodech. x.1 , x.2 , . .., x.n., . .. . Vzhledem k tomu, že v každém z testů je náhodná hodnota vždy přijata jakoukoliv hodnotu z oblasti jeho změny,

Příklad1. Náhodná hodnota - počet bodů padajících jediným házením hry. Možné hodnoty - čísla 1, 2, 3, 4, 5 a 6. v tomto případě pravděpodobnost, že některá z těchto hodnot bude trvat, jedna a stejná a rovna 1/6. Jaký bude zákon distribuce? ( Rozhodnutí)

Příklad2. Nenechte náhodnou hodnotu - počet událostí A. s jedním testem a P (a) \u003d p. Mnoho možných hodnot se skládá ze 2 čísel 0 a 1: =0 Je-li událost A. nestalo se a =1 Je-li událost A. došlo. Takto,

Předpokládejme, že se vyrábí n. Nezávislé testy, v důsledku každého z nich může dojít, nebo ne A.. Nechte pravděpodobnost události A. Pokaždé, když je test stejný p. A. pro n. Nezávislé testy. Oblast změny se skládá ze všech celých čísel 0 před n. inkluzivní. Právo distribuce pravděpodobnosti p (m)určeno Bernoulli Formuli (13 "):

Zákon o rozdělení pravděpodobnosti podle vzorce Bernoulli je často nazýván binomický, tak jako P.n.(m)představuje m.-D člen rozkladu binomu.

Nechť náhodná hodnota může mít jakoukoliv celočíselnou nezápornou hodnotu a

kde je nějaká pozitivní konstanta. V tomto případě říkají, že náhodná odrůda je distribuována zákon jed, Všimněte si, kdy k \u003d 0. by měl být put 0!=1 .

Jak víme, při velkých hodnotách čísla n. Nezávislé testy pravděpodobnosti P.n.(m) Urážlivý m. Jednou události A. Je vhodnější najít Bernoulli Formuli, ale podle Laplace Formule [viz vzorec (15)]. Latter však poskytuje velké chyby při nízké pravděpodobnosti r. Vzhled událostí ALE V jednom testu. V tomto případě počítat pravděpodobnost P.n.(m) Je vhodné použít POISSON vzorec, ve kterém je třeba dát.

Vzorec Poissonu lze získat jako extrémní případ Bernoulliho vzorce s neomezeným zvýšením počtu testů. n. A s touhou po nulové pravděpodobnosti.

Příklad3. Strana dílů dorazil do závodu ve výši 1000 ks. Pravděpodobnost, že detail bude vadný, rovný 0,001. Jaká je pravděpodobnost, že mezi příjezdy bude 5 vadných? ( Rozhodnutí)

Distribuce Poissonu se často nachází v jiných úkolech. Tak například, pokud je telefonista v průměru v jedné hodině přijímá N. volání, jak můžete ukázat, pravděpodobnost P (k) za jednu minutu dostane k. Volání, vyjádřená vzorcem poisson, pokud je uveden.

Pokud jsou možné hodnoty náhodného rozptylu finální sekvence x.1 , x.2 , . .., x.n.Zákon o rozdělení pravděpodobnosti náhodné rozptyl je specifikován ve formě následující tabulky, ve které

Tato tabulka se nazývá poblíž distribuce náhodná proměnná. Funkce p (x) Můžete zobrazit ve formě grafu. Chcete-li to udělat, vezměte si obdélníkový souřadnicový systém v letadle.

Podle horizontální osy odložíme možné hodnoty náhodné proměnné a podél svislé osy - hodnoty funkcí. Funkce plánu p (x) znázorňuje na Obr. 2. Pokud připojíte body tohoto grafu s přímými segmenty, pak se obrázek nazývá polygon distribuce.

Příklad4. Nechat událost ALE - vzhled jednoho bodu při házení hraní kosti; P (a) \u003d 1/6. Zvažte náhodnou částku - počet událostí ALE S deseti házením hry. Hodnoty funkcí p (x) (Distribuční právo) jsou uvedeny v následující tabulce:

Pravděpodobnost p (X.i. I.) Vypočteno Bernoulli Formuli n \u003d 10.. Pro x\u003e 6. Jsou prakticky rovny nule. Graf funkce p (x) je znázorněn na obr. 3.

Funkce rozdělení pravděpodobnosti náhodného rozptylu a jeho vlastností

Zvážit funkci F (x)definovány na celé numerické ose následujícím způsobem: Pro každého h. hodnota F (x) Stejně pravděpodobná pravděpodobnost, že diskrétní náhodná hodnota bude mít hodnotu méně h., tj.

Tato funkce se nazývá funkce distribuce pravděpodobnostnebo stručně funkce distribuce.

Příklad1. Najít funkci distribuce náhodné proměnné uvedené v příkladu 1, odstavec 1. ( Rozhodnutí)

Příklad2. Najít funkci rozložení náhodné proměnné uvedené v příkladu 2, odstavec 1. ( Rozhodnutí)

Znát distribuční funkci F (x)Je snadné nalézt pravděpodobnost, že náhodná hodnota splňuje nerovnosti.

Zvažte událost, což je, že náhodná hodnota bude mít hodnotu méně. Tato událost se rozpadá ve výši dvou nekonzistentních událostí: 1) Náhodná hodnota trvá hodnoty menší, tj. ; 2) Náhodná hodnota má hodnoty, které splňují nerovnosti. Použití axiomu navíc, dostat

Definováním distribuční funkce F (x) [cm. Vzorec (18)] Máme

znepokojivě

Takto, pravděpodobnost udeřil oddělený náhodný hodnoty v interval rovnat se přírůstek funkce distribuce na to je interval.

ZvážitÚdržbavlastnostifunkcerozdělení.

1 °. Funkce distribuce je protiprávní.

Ve skutečnosti nechte< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что

2 °. Hodnoty funkce distribuce uspokojit nerovnosti .

Tato vlastnost vyplývá ze skutečnosti, že F (x) Jako pravděpodobnost [cm. vzorec (18)]. Je jasné, že * a.

3 °. Pravděpodobnost jít, co oddělený náhodný hodnota vhick. jeden z možný hodnoty x.i. I., rovnat se skump. funkce distribuce v směřovat x.i. I..

Opravdu, Let x.i. I. - hodnota přijatá diskrétní náhodnou proměnnou a. \\ t Věřit ve vzorci (19), dostaneme

V limitu namísto pravděpodobnosti příchozí náhodné proměnné do intervalu získáváme pravděpodobnost, že hodnota tuto hodnotu přijme. x.i. I.:

Na druhou stranu dostaneme, tj. Limit funkce F (x) Vpravo, protože. V důsledku toho bude trvat v limitu vzorce (20)

ty. hodnota p (X.i. I.) rovna funkce skoku ** x.i. I.. Tato vlastnost je jasně znázorněna na OBR. 4 a rýže. Pět.

Nepřetržité náhodné proměnné

Kromě diskrétních náhodných proměnných lze možnými hodnotami, jejichž hodnoty tvoří konečnou nebo nekonečnou sekvenci čísel, které nejsou plně vyplňovány v žádném intervalu, jsou často náhodné proměnné, jejichž možné hodnoty tvoří nějaký interval. Příkladem takové náhodné proměnné může sloužit jako odchylka od jmenovité části dílu s řádně zavedeným technologickým procesem. Toto druhy, náhodné proměnné nemohou být poskytnuty pomocí práva distribuce pravděpodobnosti p (x). Mohou však být nastaveny pomocí funkce distribuce pravděpodobnosti F (x). Tato funkce je definována stejným způsobem jako v případě diskrétní náhodné proměnné:

Takže zde je funkce F (x) Definovány na celé numerické ose a jeho hodnotu v místě h. Stejně pravděpodobná pravděpodobnost, že náhodná hodnota bude mít hodnotu menší než h..

Vzorec (19) a vlastnosti 1 ° a 2 ° platí pro distribuční funkci jakékoli náhodné proměnné. Důkaz se provádí obdobně v případě diskrétní hodnoty.

Náhodná hodnota se nazývá nepřetržitýPokud existuje negativní po částečná funkce * uspokojující se pro všechny hodnoty x. rovnost

Funkce se nazývá hustota distribuce pravděpodobnostnebo stručně hustota distribuce. Pokud x. 1 2 , na základě vzorců (20) a (22) máme