Dům, design, opravy, dekor. Yard a zahrada. Udělej si sám

1. Dospělost a padělání

Úkoly, ve kterých se používá koncept dosažitelnosti, poměrně hodně. Zde je jeden z přezdívek. Graf může být model některých organizací, ve kterých jsou lidé reprezentován vrcholy, a oblouky interpretují komunikační kanály. Při uvažování o takovém modelu je možné zadat otázku, zda informace z jedné osoby X mohou být přenášeny do jiné osoby X 7, tj. K dispozici je cesta, která pochází z vrcholu X, na horní část X /. Pokud tato cesta existuje, říkají, že vrchol X, - dosažitelný z horní části X ,. Je možné mít zajímat o dosažitelnost vrcholu X, z vrcholů x, pouze na takových trámech, jejichž délka nepřekročí předem stanovenou hodnotu nebo délka, která je menší než nejvyšší počet vrcholů ve sloupci.

Dosažitelnost v grafu je popsána maticemi dosažitelnosti r \u003d || g, y ||, já, J. =1,2,... p, Kde p. - počet vrcholů grafu a každý prvek je definován následovně:

Gu- 1, pokud je nahoře x, dosažitelné z x,

Gu \u003d. 0 jinak.

Mnoho vrcholů R (X,) Graf G, dosažitelné z daného vrcholu X "se skládá z takových prvků X; Pro které (/, /) - th prvek v dosažitelném matrici je 1. Samozřejmě, všechny diagonální prvky v matrici R jsou rovny 1, protože každý vrchol se obnovuje o délce 0. Od přímého zobrazení 1. řádu G +1 (X,) je množství těchto vrcholů. Xj. které jsou dosažitelné z X, s použitím trasy délky 1, pak sada g (g (x,)) \u003d g x,) Skládá se z vrcholů, dosažitelných, pomocí dráhy délky 2. Podobně jako g P (x,) je množství vrcholů, které jsou dosažitelné z x, pomocí cest r.

Vzhledem k tomu, jakýkoliv vrchol grafu, který je dosažitelný od X ", musí být dosažitelná dráhu (nebo cesty) o délce 0 nebo 1, nebo 2, ... nebo r., pak sada vrcholů, dosažitelných pro horní x "může být reprezentována jako

Jak vidíme, sada dosažitelných vrcholů R (X,) je přímým tranzitivním uzávěrem vrcholů X "tj. R (x,) \u003d t (x,). V důsledku toho, aby se vytvořil matici dosažitelnost, najdeme dosažitelné množiny R (X,) pro všechny vrcholy X, E X. Věřící g y - 1, pokud x 7 e r (x,) a gu- 0 jinak. Pro graf znázorněný na Obr. 59.4, aleSoupravy úspěchů jsou následující:

Obr. 59.4.

Matice sousedství (A), dosažitelnost (R), padělání (Q) má následující formulář:

Kontrola matice Q \u003d qij, I, J \u003d 1,2,... p, Kde p. - počet vrcholů grafu je určen následovně:

qij \u003d. 1, pokud se dostanete na vrchol x h qtj \u003d Jinak.

Controlly Set. Q (x,) Existuje mnoho takových vrcholů, které z libovolného vrcholu této sady můžete dostat do vrcholu x /. Podobně jako konstrukce dosažitelné sady R (X,) můžete zaznamenat výraz pro Q (x,):

Je tedy vidět, že Q (X,) není nic jiného než reverzní tranzitivní uzavření vrcholů X, tj. Q (x () \u003d t "(x,). Z definic je možné vidět, že sloupec x, matrice q (ve kterém q t j \u003d 1, pokud HU € q (x,) a c / y \u003d 0 Jinak se shoduje s linkami X, matice r, tj. Q \u003d R, kde R je matrice, transponovaná do matice dosažitelnosti R.

Předtím se zobrazí matice řízení.

Je třeba poznamenat, že vzhledem k tomu, že všechny prvky matric R a Q jsou rovny 1 nebo 0, každý řetězec může být uložen v binární podobě, ušetřit náklady na počítače. Matice R a q jsou vhodné pro zpracování v počítači, jako v výpočtovém vyjádření jsou hlavní operace vysokorychlostní logické operace.

2. Nalezení množství vrcholů zahrnutých v cestě Pokud se musíte dozvědět o vrcholcích grafu zahrnutého v těchto cestách, měli byste vyvolat definice přímých a reverzních tranzitivních uzávěrů. Vzhledem k tomu, že t + (x,) je sada vrcholů, ve kterých existují způsoby z horní části x "A t" (y) - množství vrcholů, z nichž existují způsoby v x /, pak t (x,) n t (Xj) - Různé vrcholy, z nichž každá patří alespoň jedním způsobem, přichází z X, do Hu. Tyto vrcholy se nazývají nezbytné nebo integrální vzhledem ke dvěma terminálními vrcholy. Xa hu. Všechny ostatní vrcholy grafu se nazývají bezvýznamné nebo nadměrné, protože jejich odstranění neovlivňuje cesty od X / do HU.

Takže pro graf na Obr. 59.5 Nalezení vrcholů zahrnutých v cestě, například z vrcholu X2 do vrcholu X4, jde o nalezení T + (xg) \u003d (XG, XS, X4, X5, HB), t "(x4) \u003d (x4) \u003d (x4) \u003d ( XI, X2, X3, X4, X5) a jejich křižovatka T + (xg) p t (x4) \u003d \u003d (x2, xs, x4, x 5).

Úkoly, ve kterých se používá koncept dosažitelnosti, poměrně hodně. Tady je jeden z nich. Graf může být model některých organizací, ve kterých jsou lidé reprezentován vrcholy, a oblouky interpretují komunikační kanály. Při zvažování takového modelu je možné zadat otázku, zda jsou informace z jedné osoby X, které mají být předány jinému osobě X J, tj. Tam je cesta, která pochází z vrcholu X I na vrchol X J. Pokud taková cesta existuje, říkají, že vrchol X J se dostane od vrcholu X I. Je možné mít zájem o dosažení vrcholu XJ z vrcholu XI pouze na těchto cestách, jejichž délka nepřekročí předem stanovenou hodnotu nebo délku, která je menší než největší počet vrcholů v grafu, atd . Úkoly.

Dosažitelnost v grafu je popsána v dosažitelném matrice r \u003d, I, J \u003d 1, 2, ... N, kde n je počet vrcholů grafu a každý prvek je definován následovně:

r IJ \u003d 1, pokud je vrchol X J dosahuje od X I,

r ij \u003d 0, jinak.

Mnoho Verthos. R (X I) Graf G, dosažitelný z daného vrcholu X I, sestává z těchto prvků X J, pro které (i, J) otočno matrix Achievs rovná 1. Je zřejmé, že všechny diagonální prvky v matrici R jsou rovny 1, protože každý vrchol se dosáhne samy o délce délky 0. Od přímý displej. 1. řádu G +1 (X I) je množina takových vrcholů X J, které jsou dosažitelné od X I pomocí délkových cest 1, pak sadu G + (g +1 (x i)) \u003d g +2 (x i) Skládá se z vrcholů dosažitelných od X I pomocí délky délky 2. Podobně, R + P (X I) je množstvím vrcholů, které jsou dosažitelné z X I pomocí cesty p.

Protože jakýkoli vrchol grafu, který je dosažen od X I, musí být dosažitelné použití cesty (nebo cesty) délky 0 nebo 1 nebo 2, ... nebo p, pak mnoho Verthos.dosažitelné pro vrchol x I může být reprezentován jako

Jak vidíme, soubor dosažitelných vrcholů R (X I) je přímá tranzitivní uzavření Vrcholy x I, tj. R (x i) \u003d t + (x i). V důsledku toho, že pro konstrukci dosažitelnost matice najdeme dosažitelné množiny R (X I) pro všechny vrcholy. Věřit r ij \u003d 1, pokud a r ij \u003d 0 jinak.

Pro graf znázorněný na Obr. 4.1, a mnoho dosahů je následující:

Matrix dosažitelnost Zdá se, jak je znázorněno na Obr. 4.1, C. Matrix dosažitelnost Je možné vytvořit matrici sousedství (obr. 4.1, b), tvořící sadu T + (X I) pro každý vrchol X I.

Matrice padělosti Q \u003d [Q IJ], I, J \u003d 1, 2, ... nkde n je počet vrcholů grafu se stanoví následovně:

q IJ \u003d 1, pokud lze vrchol X J dosáhnout vrcholem X I,

q IJ \u003d 0, jinak.

Spočet dosažitelnost

Jedním z prvních otázek vyplývajících ze studia grafů je otázkou existence cest mezi nastavením vrcholů nebo všechny páry. Odpověď na tento problém je poměr dosažitelnosti ve vrcholech grafu G \u003d (v, e): Vertex w je dosahuje z vrcholu V, pokud v \u003d w nebo v g je cesta od v do w. Jinými slovy, poměr postoje je reflexivní a tranzitivní uzavření vztahu E. Pro nezanedežené grafy je tento poměr také symetricky, a proto je poměr rovnocennosti na souboru vrcholů V. v neúmyslném grafu tříd rovnocennosti s úctou k dosažitelnosti se nazývají připojené komponenty. Pro orientované grafy by nemělo být dosažitelnost, obecně řečeno, by nemělo být symetrický postoj. Symetrická je vzájemná dosažitelnost.

Definice 9.8. Vertices V a W orientovaný graf G \u003d (v, e) se nazývají vzájemně dosažitelné, pokud g je cesta od v až w a cestu od w in v.

Je zřejmé, že poměr vzájemné dosažitelnosti je reflexivní, symetrický a tranzitivní, a proto ekvivalence na souboru vrcholů grafu. Ekvivalenční třídy s ohledem na vzájemnou dosažitelnost se nazývají silné připojené komponenty nebo dvojité komponenty graf.

Zvažte na začátku otázka budování postoje dosažitelnosti. Definujeme graf dosažitelnosti (nazývané někdy jako graf tranzitivního obvodu), jejichž hrany odpovídají zdrojovému grafu.

Definice 9.9. Nechť g \u003d (v, e) být orientovaný graf. Graf dosažitelnosti G * \u003d (V, E *) pro G má stejnou sadu vrcholů V a následující sada hran E * \u003d ((U, V) | v grafu G, vertex V je dosažitelný od vrchol u).

Příklad 9.3. Zvažte graf g z příkladu 9.2.

Obr. 9.2. Počet g.

Pak můžete zkontrolovat, že graf dosažitelnosti g * pro g vypadá takto (nová žebra-smyčka na každém z vrcholů 1-5 nejsou zobrazeny):

Obr. 9.3. Počet g *

Jak mohu vytvořit graf g * g *? Jedním z metod je, že pro každý vrchol grafu g, určit sadu vrcholů dosažitelných z něj, postupně přidávat vrcholy k němu, dosažitelné z něj s cestami délky 0, 1, 2 atd.

Podíváme se na jinou metodu založenou na použití sousední matice A g grafu G a Booleovské operace. Nechte soubor vrcholů v \u003d (v 1, ..., v n). Pak matrice A g je boolean matrice velikosti n × n.

Níže chcete zachovat podobnost s běžnými operacemi nad matricemi, budeme používat "aritmetické" označení pro booleovské operace: přes + oznamujeme disjunkce a prostřednictvím · - spojení.

Označte e n Jednou matrici velikosti n × n. Dát . Nechte náš postup pro konstrukci g * na základě následujícího prohlášení.

LEMMA 9.2. Nech být . Pak

Důkaz Provádíme indukci k.

Základ.Pro k \u003d 0 a k \u003d 1 je prohlášení pravdivé podle definice a.

Indukční krok.Nechte lemma platná pro k. Ukazujeme, že to zůstane jen pro K + 1. Podle definice máme:

Předpokládejme, že v grafu g z v I in v J je cesta délky K + 1. Zvažte nejkratší z těchto cest. Je-li jeho délka k, pak předpokladem indukce A_ (IJ) ^ ((k)) \u003d 1. Kromě toho JJ (1) \u003d 1. Proto IJ (K) A JJ (1) \u003d 1 a IJ (K + 1) \u003d 1. Pokud je délka nejkratší cesty od v I in v J rovná K + 1, pak nechte v r - jeho poslední -ex-aktuální vrchol. Pak, od v i ve v r, existuje cesta délky k a na předpokladu indukce IR (k) \u003d 1. Od (v r, v j) e, pak a_ (rj) ^ ((1)) \u003d 1. Proto IR (K) A RJ (1) \u003d 1 a IJ (K + 1) \u003d 1.

Zpět, pokud IJ (K + 1) \u003d 1, pak alespoň pro jeden R, termín AR (K) A RJ (1) v množství se rovná 1. Pokud je R \u003d J, pak IJ (k) \u003d 1 a indukčním předpokladem v g, existuje cesta od vi ve VJ délce k. Pokud R J, pak IR (k) \u003d 1 a RJ (1) \u003d 1. To znamená, že v g se nachází cesta od v i ve v r délce k a hraně (v r, v j) e. kombinující je, získáme cestu od v i v v j. K + 1.

Z Lemma 9.1 a 9.2 se dostaneme přímo

Důsledek 1. Nechť g \u003d (v, e) být orientovaný graf s vrchy n a g * je jeho graf dosažitelnosti. Pak a_ (g *) \u003d. Důkaz. Z LEMMA 5.1, z toho vyplývá, že jestliže g je cesta od u v v u, pak má také jednoduchý způsob od u ve v délce n-1. A v lemmě 5.2 jsou všechny tyto cesty prezentovány v matrici.

Postup pro konstrukci matrice sousedství A G * dosažitelnost grafu pro G se tak sníží na konstrukci matrice do stupně N-1. Uděláme nějaké připomínky k zjednodušení tohoto postupu.

kde k je nejmenší číslo takové, že 2 k n.

tento R se detekuje, že IR \u003d 1 a RJ \u003d 1, pak celá součet IJ (2) \u003d 1. Zbytek komponent nelze zvážit.

Příklad 9.3. Zvažte jako příklad výpočtu matice hraběte hracího počtu a g * pro počet g předložených obr.9.2.. V tomto případě

Protože G má 6 vrcholů. Vypočítat tuto matici:

a (poslední rovnost není obtížné zkontrolovat). Takto,

Jak vidíte, tato matice opravdu nastaví graf reprezentovaný obr.9.3..

Vzájemná dosažitelnost, složky silné konektivity a základna grafu

Analogií s grafem dosažitelnosti definujeme graf silného dosažení.

Definice 9.10. Nechť g \u003d (v, e) být orientovaný graf. Graf silné dosažitelnosti G * * \u003d (V, E * *) pro G má stejnou sadu vrcholů V a následující sady E * * \u003d ((U, V) | v grafu G vertinátoru V a U jsou vzájemně dosažitelné).

Podle matice grafu dosažitelnosti je snadné vybudovat krustovou matrici silného dosažení. Od definic dosažitelnosti a silné dosažitelnosti okamžitě následuje, pak pro všechny páry (I, J), 1 I, JN, hodnota prvku je 1 a pouze v případě, že oba prvky AG * (I, J) a AG * (j, i) rovna 1, tj.

V matrici mohou být komponenty silné konektivity grafu g vybrány následujícím způsobem.

Poloha v komponentu K 1 V1 a všechny takové vrcholy v J, že A_ (G _ * ^ *) (1, J) \u003d 1.

Nechte komponenty K 1, ..., K i a v K jsou již konstruovány - toto je vrchol s minimálním počtem, který ještě nepadl do složek. Pak vložte vrchol V k v komponstrované složce K_ (I + 1) a všechny takové vrcholy v J,

Že a_ (g _ * ^ *) (k, j) \u003d 1.

Opakujeme krok (2), dokud nejsou všechny vrcholy distribuovány komponenty.

V našem příkladu pro graf obr.2 Na matici dostáváme následující matici grafu závažné dosažitelnosti

Použití výše popsaného postupu zjistíme, že vrcholy grafu G jsou rozděleny do 4 složek silné konektivity: K 1 \u003d (v 1, v 2, v3), K 2 \u003d (v 4), K 3 \u003d (v 5), k 4 \u003d (v 6). Na sadě také definují komponenty silné konektivity také přístup dosažitelnosti.

Definice 9.11. Nechť k a k "jsou součástí silné propojenosti grafu G. složky k dosažitelný z Komponenty K ^ Prime, pokud k \u003d k "nebo existují takové dva vrcholy u k a v k", že u je dosažitelný od v. K. přísně dosažitelnýK ^ Prime, pokud K K "a K je dosažitelný od k". Komponenta K se nazývá minimální Pokud není přísně dosažitelné z jakékoli součásti.

Vzhledem k tomu, že všechny vrcholy v jedné složce jsou vzájemně dosažitelné, není těžké pochopit, že vztah dosažitelnosti a přísné dosažitelnosti na komponentách nezávisí na výběru vrcholů u k a v k.

Z definice se snadno zobrazí následující charakteristika přísné dosažitelnosti.

Lemma 9.3. Poměr přísné dosažitelnosti je poměr dílčího řádu, tj Je to antireflexní, antisymetricky a tranzitivní.

Tento vztah může být reprezentován jako orientovaný graf, jehož vrcholy jsou komponenty a hrana (k ", k) znamená, že k je přísně dosažitelné od k". Na obr. 9.4. Tento graf je zobrazen ve složce pro graf G.

Obr. 9.4.

V tomto případě existuje jedna minimální složka K 2.

V mnoha aplikacích je orientovaný graf je síť distribuce některého zdroje: produkt, produkt, informace atd. V takových případech se vyskytuje úkol zjištění minimálního počtu těchto bodů (vrcholů), z nichž tento zdroj může být doručen do libovolného bodu sítě.

Definice 9.12. Nechť g \u003d (v, e) být orientovaný graf. Subset vrcholů w v dávkaPokud lze jakékoli vrchol grafu dosáhnout z vrcholů W. Podmnožina vrcholů w v se nazývá graf grafu, pokud se generuje, ale žádná vlastní podmnožina není generována.

Následující teorém umožňuje efektivně najít všechny základy grafu.

Věta 9.1. Nechť g \u003d (v, e) být orientovaný graf. Subset vrcholů W V je základna g, pokud a pouze tehdy, když obsahuje na jednom vrcholu z každé minimální složky silné konektivity g a neobsahuje žádné další vrcholy.

Důkaz Všimněte si, že každý vrchol grafu je dosaženo z vrcholu patřící do určité minimální komponenty. Proto je množství vrcholů W obsahujícího jeden vrchol z každé minimální složky generování a při odstraňování z něj, jakýkoliv vrchol přestane být takový, protože vrcholy z odpovídající minimální složky se stanou nedosažitelnými. Proto W je základna.

Pokud W je základna, je povinna obsahovat alespoň jeden vrchol z každé minimální složky, jinak budou vrcholy takové minimální složky nedostupné. Nemůže obsahovat žádné další vrcholy, protože každý z nich je dosažitelný od již zahrnutých vrcholů.

Z této věty, následující postup pro výstavbu jednoho nebo výčtu všech základů počtu G.

Najít všechny komponenty silné propojenosti G.

Určete objednávku pro ně a přidělte minimální komponenty s ohledem na tuto objednávku.

Chcete-li generovat jeden nebo celý graf grafu, výběrem na jeden vrchol z každé minimální komponenty.

Příklad 9.5. Definujeme všechny základy orientovaného grafu g ukázaného v obr.9.5..

Obr. 9.5. Počet g.

V první fázi najdeme komponenty silné konektivity G:

Ve druhé fázi budujeme graf přísné dosažitelnosti na těchto komponentech.

Obr. 9.6. Počítání vztahu vztahu na komponentách g

Určete minimální komponenty: K 2 \u003d (B), K 4 \u003d (D, E, F, G) a K 7 \u003d (R).

Nakonec uvádíme všechny čtyři zásady G: B 1 \u003d (B, D, R), B 2 \u003d (B, E, R), B3 \u003d (B, F, R) a B 1 \u003d (B 1 \u003d (B, G, R) ).

Úkoly

Úloha 9.1. Prokázat, že součet stupňů všech vrcholů libovolného orientovaného počtu je dokonce.

Tento úkol má populární výklad: dokázat, že celkový počet handshakes, kteří si vyměnili lidi, kteří přišli na stranu, vždy.

Úkol 9.2. Seznam všech relativních NE-orientovaných grafů, které nemají více než čtyři vrcholy.

Úloha 9.3. Prokázat, že ne-orientovaný připojený graf zůstane připojen po odstranění nějaké hrany ↔ Tato hrana patří do nějakého cyklu.

Úloha 9.4. Prokázat, že neorientovaný připojený graf s vrchy n

obsahuje alespoň n-1 žebra

pokud existuje více n-1 žebra, má alespoň alespoň jeden cyklus.

Úloha 9.5. Prokázat, že v každé skupině 6 lidí existují tři páry přátel nebo tři páry cizinců.

Úkol 9.6. Prokázat, že neorientovaný graf G \u003d (V, E) je připojen ↔ pro každý oddíl V \u003d V 1 V 2 s neprostupným v1 a v 2, je zde okraj připojující v1 s v 2.

Úloha 9.7. Prokázat, že pokud existují přesně dvě vrcholy zvláštního stupně v neokonrientačním grafu, pak jsou spojeny.

Úloha 9.8. Nechť g \u003d (v, e) být ne-orientovaný graf c | e |< |V|-1. Докажите, что тогда G несвязный граф.

Úloha 9.9. Prokázat, že v připojeném neorientovaném sloupci mají všechny dva jednoduché maximální délky cesty celkový vrchol.

Úloha 9.10. Nechte neorientovaný graf bez smyček g \u003d (v, e) má složku konektivity. To pak dokazujte

Úkol 9.11. Určit, co je graf dosažitelnosti

graf s vrchy N a prázdnou sadou hran;

graf s vrchy n: v \u003d (v 1, ..., v n), jejichž žebra tvoří cyklus:

Úkol 9.12. Vypočítejte matici grafu zadlužení grafu

a vybudovat odpovídající graf akrehidostnitelnosti. Najít vše počet G.

Úkol 9.13. Sestavte se pro zadané obr. 9.7.7.7 Orientovaný graf G 1 \u003d (V, E) jeho podpažné matrice A G1, incidenční matice B G1 a sousední seznamy. Vypočítejte dosažitelnost matice A G1 * a vytvořte odpovídající graf dosažitelnosti G1 *.

Obr. 9.7.

Orientované a orientované stromy

Stromy jsou jedním z nejzajímavějších tříd grafů používaných k reprezentaci jiného druhu hierahických struktur.

Definice 10.1. Ne-orientovaný graf se nazývá dřevo, pokud je připojen a v něm nejsou žádné cykly.

Definice 10.2. Orientovaný graf G \u003d (v, e) se nazývá (orientovaný) dřevem, pokud

Na obr. 10.1. Jsou ukázány příklady neorientovaného stromu G 1 a orientovaného stromu G2. Všimněte si, že strom G2 se získá z G 1 výběrem vrcholu C jako kořen a orientace všech žeber ve směru "od kořene".

Obr. 10.1. Un-orientované a sítivé stromy

To není náhodou. Prohlédněte si následující prohlášení o spojení mezi orem orientovanými a orientovanými stromy.

Lemma 10.1. Pokud v jakémkoliv orientovaném stromu g \u003d (v, e) vyberte libovolný vrchol V v jako kořen a orientujte všechna žebra ve směru "z kořene", tj. Chcete-li učinit v začátku všech incidentů, vrcholy, sousedící s V - začátek všech incidentů, které ještě nebyly orientovány hrany atd., Výsledkem se v důsledku orientovaného grafu G "bude orientovaný strom .

Orientované a orientované stromy mají mnoho ekvivalentních vlastností.

Věta 10.1.Nechť g \u003d (v, e) být neorientovaný graf. Pak jsou ekvivalentní následující podmínky.

G je strom.

Pro všechny dva vrcholy v g, existuje jediná cesta, která je spojuje.

G připojen, ale při odstraňování z E, jakýkoliv okraj přestane být připojen.

G připojen a | e | \u003d | V | -jeden.

G Acyklická a | E | \u003d | V | -jeden.

G Acyklická, ale přidání jakéhokoliv okraje do E generuje cyklus.

Důkaz (1) (2): Pokud v g, některé dva vrcholy byly připojeny ke dvěma způsobům, bylo by zřejmé, že g by mělo cyklus. To je však v rozporu s definicí stromu v (1).

(2) (3): Pokud je připojen g, ale při vyjmutí nějaké hrany (U, V) E neztrácí spojení, pak mezi U a V je zde cesta, která neobsahuje tuto hranu. Ale pak v g existují alespoň dvě cesty spojující U a V, které v rozporu se stavem (2).

(3) (4): Čtečka je poskytována (viz úkol 9.4).

(4) (5): Pokud g obsahuje cyklus a je připojen, pak při vyjmutí jakéhokoliv okraje z cyklu, konektivita by nemělo být přerušeno, ale žebra zůstanou e | \u003d v -2, a podle úkolu 9.4 (a) V připojeném sloupci musí být alespoň v -1 žebra. Výsledný rozpor ukazuje, že cykly v g nejsou a splněny (5).

(5) (6): Předpokládejme, že přidání okraje (U, V) do E nevedlo k vzhledu cyklu. Pak v G vertices U a V jsou v různých komponentách konektivity. Od | E | \u003d V -1, pak v jednom z těchto komponent, nechte ji (V 1, E 1), počet žeber a počet vrcholů se shoduje: | E 1 | \u003d | V 1 |. Ale pak v něm je cyklus (viz problém 9.4 (b)), který odporuje acyklicitu G.

(6) (1): Pokud g nebyl připojen, pak by existovaly dva vrcholy U a V od různých připojených komponent. Poté přidání hrany (U, V) až E není výsledný cyklus, který odporuje (6). V důsledku toho je G připojen a je strom.

Pro orientované stromy je často vhodné použít následující indukční definici.

Definice 10.3. Definujeme indukční třídu orientovaných grafů, volal stromy. Zároveň pro každou z nich definujeme přidělený vrchol - kořen.

Obr. 10.2. ilustruje tuto definici.

Obr. 10.2. Indukční definice orientovaných stromů

Věta 10.2. Definice orientovaných stromů 10.2 a 10.3 jsou ekvivalentní.

DůkazNechte graf G \u003d (V, E) splnit s podmínkami definice 10.2. Ukažme indukci počtem vrcholů | v | co.

Pokud | V | v | \u003d 1, pak jediný vrchol V v je podle vlastnosti (1) kořene stromu, tj. V tomto grafu nejsou žádné hrany: e \u003d. Pak.

Předpokládejme, že každý graf s vrchy N uspokojující definici 10.2 vstupuje. Nechte graf G \u003d (V, E) C (n + 1) -. Vertex splňuje podmínky definice 10.2. Podmínkou (1) je zde top-root r 0. Nechť R 0 vyjde k žebra a vedou k vrcholům R 1, ..., R K (K 1). Označují GI, (I \u003d 1, ..., K), graf, včetně vrcholů v I \u003d (VV | V Textit (dosažitelný od) RI) a připojením jejich hrany E I. Je snadné pochopit že GI splňuje podmínky definice podmínek 10.2. Ve skutečnosti, v R I nevstupuji na žebra, tj Tento vrchol je kořen g i. V každém z ostatních vrcholů od v I vstupuje do jednoho okraje jako v g. Pokud v v v i, pak je dosaženo od kořene r i, abych určil graf g i. Jako | v i | n, pak induktivním předpokladem. Graf G byl získán induktivním pravidlem (2) určením 10.3 stromů G 1, ..., G K, a proto patří do třídy.

⇐ Pokud nějaký graf g \u003d (v, e) vstupuje do třídy, pak se provádění podmínek (1) - (3) definic 10.2 je snadné stanovit indukci podle definice 10.2. Poskytujeme to čtenáře jako cvičení.

S orientovanými stromy byla spojena bohatá terminologie, která pochází ze dvou zdrojů: botanika a rodinné vztahy.

Kořen je jediný vrchol, ve kterém žebra nezahrnují, listy jsou vrcholy, ze kterých se žebra nevyjdou. Cesta z kořene v listu se nazývá větev stromu. Výška stromu je maximálně jeho větve. Hloubka vrcholu je délka cesty od kořene do tohoto vrcholu. Pro vrchol V V, subgraf stromu t \u003d (v, e), který obsahuje všechny vrcholy, které jsou dosažitelné z v a připojují jejich žebra z e, formuláře podporované t v stromu t s kořenem v (viz úkol 10.3). Výška vrcholu V je výška stromu T v. Počet, který je svazem několika necyklických stromů, se nazývá Les.

Pokud z vrcholu V vede okraj na vrchol W, pak se nazývá v otec w a w - syn.v (nedávno, asexuální dvojice termínů se používá v Angoy-mluvící literatuře: rodič je dítě). Z definice stromu ho okamžitě vyplývá, že každý vrchol kromě kořene má jeden otec. Pokud se cesta provádí z vrcholu V, pak V se nazývá předchůdce W a W je potomek V. Vertices, kteří mají obyčejný otec bratři nebo sistry.

Zvýrazňujeme další třídu grafů, zobecňující orientované stromy - orientované acyklické. Dva druhy takových značených grafů budou dále použity pro reprezentaci Booleanových funkcí. Tyto grafy mohou mít několik kořenů - vrcholy, které nezahrnují žebra, a několik žeber může zadat každý vrchol, a ne jeden, jako stromy.

Analogií s grafem dosažitelnosti definujeme graf silného dosažení.

Definice: Graf orientovaný graf. Graf silné dosažitelnosti
pro má spoustu vrcholů a další spousta Ryube
v Grafu vershins. a vzájemně dosažitelné.

Podle matice grafu dosažitelnosti
snadné vybudování matice
počítat silnou dosažitelnost. Opravdu, od definic dosažitelnosti a těžkého dosažení, okamžitě následuje, pak pro všechny páry
,
, Hodnota prvku
rovnají 1 a pouze v případě, že oba prvky
a
rovna 1, tj.

V matrici
Můžete zvýraznit komponenty silné konektivity grafu následujícím způsobem:

Druhý krok opakujeme, dokud nebudou všechny vrcholy distribuovány komponenty.

V našem příkladu pro graf příklad 14.1. v matrici
dostáváme další matici grafu silné dosažitelnosti

Použití výše popsaného postupu zjistíme, že vrcholy grafu rozbité na 4 komponentách silné konektivity:
,
,
,
. Na sadě také definují komponenty silné konektivity také přístup dosažitelnosti.

Definice: Nech být
a
- Komponenty silné konektivity grafu . Součástka
dosažitelnýz komponent
, Pokud
nebo existují takové dva vrcholy
a
, co dosažitelný z .
přísně dosažitelný
, Pokud
a
dosažitelný z
. Součástka
to se nazývá minimální, pokud není přísně dosažitelné z jakékoli součásti.

Vzhledem k tomu, že všechny vrcholy v jedné složce jsou vzájemně dosažitelné, není těžké pochopit, že vztah dosažitelnosti a přísné dosažitelnosti na komponentách nezávisí na výběru vrcholů
a
.

Z definice se snadno zobrazí následující charakteristika přísné dosažitelnosti.

Lemma: Poměr přísné dosažitelnosti je poměr dílčího řádu, tj Je to antireflexní, antisymetricky a tranzitivní.

Tento vztah může být reprezentován jako orientovaný graf, jehož vrcholy jsou komponenty a hrana
znamená, že
přísně dosažitelný
. Graf komponenty pro graf příkladu 14.1 je uveden níže.

V tomto případě je jedna minimální složka.
.

V mnoha aplikacích je orientovaný graf je síť distribuce některého zdroje: produkt, produkt, informace atd. V takových případech se vyskytuje úkol zjištění minimálního počtu těchto bodů (vrcholů), z nichž tento zdroj může být doručen do libovolného bodu sítě.

Definice: Nech být
- orientovaný graf. Subset Verkhin.
volala dávkaPokud jsou z vrcholů
můžete dosáhnout libovolného vrcholu grafu. Subset Verkhin.
základ grafu se nazývá, pokud generuje, ale nikdo nevytváří vlastní podmnožinu.

Následující teorém umožňuje efektivně najít všechny základy grafu.

Teorém: Nech být
- orientovaný graf. Subset Verkhin.
je základna Pak a pouze tehdy, když obsahuje jeden vrchol z každé minimální složky silné propojenosti A neobsahuje žádné další vrcholy.

Důkaz: všimněte si, že každý vrchol grafu je dosaženo z vrcholu patřící do určité minimální komponenty. Proto mnoho VERTHOS
Obsahující jeden vrchol z každé minimální komponenty se vytváří, a při odstraňování z něj, jakýkoliv vrchol přestane být takový, protože vrcholy z odpovídající minimální složky se stanou nedosažitelnými. proto
je základna.

Zpět, pokud.
je to základ, je povinen zahrnout alespoň jeden vrchol z každé minimální složky, jinak budou vrcholy takové minimální složky nedostupné. Žádné jiné vrcholy
nesmí obsahovat, protože každý z nich je dosažitelný od již zahrnutých vrcholů.

Tato teorém se řídí následujícím postupem pro budování jednoho nebo výčtu všech základů grafu. :

Příklad 14.3: Definujeme všechny základy orientovaného grafu .

V první fázi najdeme komponenty silné konektivity :

Ve druhé fázi budujeme graf přísné dosažitelnosti na těchto komponentech.

Určete minimální komponenty:
,
a
.

Konečně uveďte všechny čtyři databáze :
,
,
a
.

Považovány za problematiku dosažitelnosti pro orgraviny a způsoby, jak najít matrice dosažitelnosti a padělosti. Je zvážena metoda matice z hledání počtu cest mezi libovolnými vrcholy grafu, jakož i hledání množství vrcholů zahrnutých v cestě mezi páru vrcholy. Účel přednášky: Dejte představu o dosažitelnosti a padělosti a způsoby, jak je najít

Dosažitelnost a padělání

Úkoly, ve kterých se koncept používá Úspěch, docela trochu.

Tady je jeden z nich. Grafmůže existovat model některé organizace, ve kterých jsou lidé reprezentováni vrcholy, a oblouky interpretovat komunikační kanály. Při vzhledem k takovému modelu je možné zadat otázku, zda jsou informace z jednoho osob, které mají být předány jinému Litsuchovi J, to znamená, že je cesta, která pochází z vrcholu I do vrcholů J. Pokud tato cesta existuje, říkají, že vrcholy j dosažitelnýz vrcholu I. Je možné se zajímat o dosažení vrcholu J od vrcholu I pouze na těchto cestách, jejichž délky nepřekročí předem stanovenou hodnotu nebo délku, která je menší než nejvyšší počet vrcholů ve sloupci, atd . Úkoly.

Dosažení v grafu je popsán matricí dosažitelnost R \u003d, I, J \u003d 1, 2, ... N, kde je počet vrcholů grafu a každý prvek je definován následujícím způsobem:

r ij \u003d 1, pokud jsou vrcholy j dosažitelné od I,

r ij \u003d 0, jinak.

Sada R (XI) vrcholů R (XI) grafu, dosažitelného z daného vrcholu I, sestává z takových prvků I, pro které (I, J) end v dosahovací matici je 1. samozřejmě Všechny diagonální prvky v matrice 1, protože každý vrchol je dosažitelný od sebe, délka délky je 0. Protože přímé mapování 1. řádu +1 (XI) je množstvím takových vrcholů J, které jsou dosažitelné od × I Cesty délky 1, pak SET + (G +1 (XI)) \u003d R +2 (XI) se skládá z vrcholů, dosažitelných z сx i používající délku délky 2. Podobně jako + p (XI) je množina vrcholy, které jsou dosažitelné od XI pomocí délkových cest.

Protože jakýkoliv vrchol grafu, který je dosažen od X I, by měl být dosažen pomocí cesty (nebo cesty) délky 0 nebo 1, nebo 2, ..., ORP, pak množství vrcholů dosažitelných pro vrchol, který mohu být reprezentován jako

R (x i) \u003d (x i) g +1 (x i) g +2 (x i) ... g + p (x i).

Jak vidíme, sada dosažitelných vrcholů R (X I) je přímým tranzitivním uzávěrem vrcholů IX I, takže E.R (X I) \u003d T + (X I). V důsledku toho, aby konstruoval matice dosažitelnost, najdeme dosažitelné soupravy (X I) pro všechny vrcholy I X. Prezentace, R IJ \u003d 1, pokud x R (X I), и IJ \u003d 0V, jinak.

Obr. 4.1. Dosažitelnost ve sloupci: -graph; B - matice sousedství; Matice dosažitelnosti; G-matice padělosti.

Pro graf znázorněný na Obr. 4.1, A, sada úspěchůjsou následující:

R (x 1) \u003d (x 1) (x 2, x 5) (x 2, x 4, x 5) (x 2, x 4, x 5) \u003d (x 1, x 2, x 4, x 5 ),

R (x 2) \u003d (x 2) (x 2, x 4) (x 2, x 4, x 5) (x 2, x 4, x 5) \u003d (x 2, x 4, x 5),

R (x 3) \u003d (x 3) (x 4) (x 5) (x 5) \u003d (x 3, x 4, x 5),

R (x 4) \u003d (x 4) (x 5) (x 5) \u003d (x 4, x 5),

R (x 5) \u003d (x 5) (x 5) \u003d (x 5),

R (x 6) \u003d (x 6) (x 3, x 7) (x 4, x 6) (x 3, x 5, x 7) (x 4, x 5, x 7) (x 4, x 5, x 6) \u003d (x 3, x 4, x 5, x 6, x 7),

R (x 7) \u003d (x 7) (x 4, x 6) (x 3, x 5, x 7) (x 4, x 5, x 6) \u003d (x 3, x 4, x 5, x 6 , x 7).

Matrix dosažitelnost zdá se, jak je znázorněno na Obr. 4.1, v. Matrix dosažitelnostmohou být postaveny plachetní matrice(Obr. 4.1, B), tvořící sadu + (X I) pro každý vrchol I.

Matrice padělosti Q \u003d [Q IJ], I, J \u003d 1, 2, ... N, kde je počet vrcholů grafu definován následovně:

q IJ \u003d 1, pokud vrchol J může dosáhnout vrcholu I,

q IJ \u003d 0, jinak.

VolnýsETQ (X I) je sada těchto vrcholů, které z libovolného vrcholu této sady lze dosáhnout vrcholem I. Podobně jako konstrukce dosažitelného SETR (X I), můžete nahrát výraz FORQ (X I):

Q (x i) \u003d (x i) m -1 (x i) g - 2 (x i) ... mr (x i).

Je tedy vidět, že Q (X I) není nic jiného než reverzní tranzitivní uzavření vrcholů I, takže E.Q (X I) \u003d T - (X I). Je zřejmé z definic, které sloupec XI matrixq (ve kterém Q IJ \u003d 1, pokud XQ (XI), andq ij \u003d 0)) se také shoduje s řetězcem I matrix, takže EQ \u003d RT, \\ t matice, transponovaná matrix dosažitelnostR.

Matrice padělostina Obr. 4.1, g.

Je třeba poznamenat, že vzhledem k tomu, že všechny prvky matric jsou 1 nebo 0, pak může být každý řetězec uložen v binární formě, uložení nákladů na paměť počítače. Matice pro zpracování na počítači, protože z výpočtového hlediska jsou hlavní operace vysokorychlostní logické operace.

Nalezení plurality vrcholů

Pokud se musíte dozvědět o vrcholcích grafu zahrnutého v těchto cestách, měli byste vyvolat definice přímých a inverzních tranzitivních uzávěrů. Od T + (XI) je množina vrcholů, ve kterých existují způsoby z vrcholu I, AT - (XJ) - množství vrcholů, z nichž existují způsoby, jak CX J, TT + (XI) T - (XJ) ) - Rozmanitost vrcholů, z nichž každá patří alespoň jedním způsobem, jít Fromx I KX J. Tyto vrcholy se nazývají nezbytné nebo integrální vzhledem ke dvěma terminálními vrcholy IX J. Všechny ostatní vrcholy grafu se nazývají non-nezbytný nebo redundantní, protože jejich odstranění nemá vliv na cesty OTX I KX J.

Obr. 4.2. Orgraf

Takže pro graf na Obr. 4.2 Nalezení vrcholů obsažených v cestě, například z vrcholu x 2 v vrcholu 4, snižuje najít + (x 2) \u003d (x 2, x 3, x 4, x 5, x 6),

T - (x 4) \u003d (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) a jejich křižovatka + (x 2) t - (x 4) \u003d (x 2, x 3, x 4, x 4, x Pět ).

Matice Matice Hledání způsobů v grafech

Matrice sousedství plně určuje strukturu grafu. Postavil matici sousedství na náměstí podle pravidel matematiky. Každý prvek matrice A 2 je určen vzorcem

a (2) IK \u003d n J \u003d 1 IJ A JK

Termín ve vzorci se rovná 1 a pouze pokud jsou obě čísla IJ I JK rovna 1, jinak se rovná 0. Vzhledem k tomu, že existence délky délky 2 z vrcholu I je existen z rovnosti IJ \u003d Jk \u003d 1 obleky J, pak (i \u200b\u200b-i, k-th) Prvek matrice 2 se rovná počtu cest délky 2, dosahující od I V.

Tabulka 4.1a ukazuje matrici složení grafu znázorněného na Obr. 4.2. Výsledek konstrukce matrice sousedence do čtverce A 2 je uveden v tabulce 4.1b.

Takže "1", stojící na křižovatce druhé linie a čtvrtého sloupce, hovoří o existenci jedné cesty 2 délky od vrcholu x 2 na vrcholy 4. Tak, jak vidíme Štěpna Obr. 4.2, existuje taková cesta: 6, a 5. "2" v matrixu 2 mluví o existenci dvou cest 2 z vrcholu 3 do vrcholů 6: A 8, A 4 I 10, A 3.

Stejně tak pro matici přilehlosti, postavená do třetího stupně A 3 (tabulka 4.1b), A (3) IK se rovná počtu cest délky 3, dosahující FromX I KH K. Z čtvrté čáry matrice 3 je vidět, že cesty 3 existují: jeden ze 4 VX 4 (A 9, A 8, A 5), jeden ze 4

x5 (A 9, A 10, A 6) a dvě cesty 4 VX 6 (A 9, A10, A3 a A 9, A 8, A 4). Matice 4 ukazuje existenci cest 4 (tabulka 4.1g).

Pokud je tedy, pokud je P IK prvkem matrice P, toa P Ik se rovná počtu cest (ne nutně orcertů nebo jednoduché orrachesis) délky, která jde z X I KH K.