a) Vyjměte libovolný trojúhelník na několik kusů tak, aby byl obdélník složen z nich.
b) Vyjměte libovolný obdélník na několik kusů, takže čtverec může být složen.
c) Vyřízněte dva libovolné čtverce na několik kusů tak, aby bylo možné být složeno jeden velký čtverec.
b) Nejprve tvoří takový obdélník z libovolného obdélníku, jehož poměr hlavní strany nepřesahuje čtyři.
c) Použijte Pythagore Teorem.
a) Přejeďte výšku nebo průměrnou linii.
b) Ověřte obdélník na čtverec, který by se měl otáčet a přejeďte "diagonální".
c) Naneste čtverce navzájem na straně většího čtverce, změřte segment rovný délce menšího čtverce, pak jej připojte pomocí "opačných" vrcholů každého čtverce (viz obr. 1).
a) Nechte mu dát libovolný trojúhelník Abc.. Odřízněte střední linku Mn. Paralelní strana B.a ve výsledném trojúhelníku CMN. Snížit výšku CD. Kromě toho, snížené přímé Mn. Perpendiculary Ak. a Bl.. Pak je snadné vidět, že Δ AKM. = ∆CDM. a δ. BLN. = ∆CDN. Jako obdélníkové trojúhelníky, které jsou rovny odpovídajícímu dvojici stran a parních rohů.
Proto je způsob řezání tohoto trojúhelníku a následné řazení kusů. Je to, že se segmenty nakreslíme řezy Mn. a CD. Po tom, dát trojúhelníky CDM. a CDN. Místo trojúhelníků AKM. a BLN. V souladu s tím, jak je znázorněno na Obr. 2. Máme obdélník Aklb.Právě podle potřeby.
Všimněte si, že tato metoda nebude fungovat, pokud jeden z rohů Kabina. nebo CBA. - hloupý. To je způsobeno tím, že v tomto případě výška CD neleží uvnitř trojúhelníku CMN.. Ale to není příliš děsivé: Pokud strávíte středovou linii paralelně nejdelší stranu původního trojúhelníku, pak v cut-off trojúhelníku snížíte výšku hloupého úhlu, a určitě leží uvnitř trojúhelníku.
b) Nechte ho dát obdélník Abeceda.jejichž asges. INZERÁT a B. rovnat se a. a b. a. a. > b.. Pak se náměstí náměstí, které chceme dostat do konce, by mělo být stejné b.. V důsledku toho je délka strany čtverce √ b.Co je menší než INZERÁTAle více než B..
Pojďme vybudovat náměstí APQR.rovna požadovaném, takže bod B. ležící na řezu AP.a point. R. - na řezu INZERÁT. Nech být Pd. Přechodové segmenty PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. a Qr. V bodech M. a N. resp. Pak je snadné vidět, že trojúhelníky PBM., Podložka a NRD. Stejně jako a kromě Bp. = (√b. – b.) I. Rd. = (a. – √b.). To znamená
V důsledku toho δ. PBM. = ∆NRD. Na dvou stranách a rohu mezi nimi. Také odtud se snadno stáhne rovnost Pq. = Mc. a Nq. = CDTak, Δ. Pqn. = ∆Mcd. Také ve dvou stranách a rohu mezi nimi.
Ze všech výše uvedených odůvodnění následuje metoda řezání. Je to první odložení po stranách INZERÁT a PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Segmenty Ar. a Cm., jejichž délka jsou rovna √ b. (o tom, jak vytvořit segmenty formuláře √ b.Pro úkol "správné polygony" - vložení v sekci "Rozhodnutí"). Dále obnovujeme kolmo k segmentu INZERÁT V Point. R.. Nyní jen řezané trojúhelníky Mcd. a NRD. A posunutí je, jak je znázorněno na Obr. 3.
Všimněte si, že za účelem použití této metody je nutné vzít bod M. Ukázalo se uvnitř segmentu Bk. (jinak ne celý trojúhelník NRD.připojen uvnitř obdélníku Abeceda.). To je nezbytné
Pokud se tato podmínka neprovádí, nejprve je třeba, aby tento obdélník je širší a méně dlouhý. Chcete-li to udělat, stačí to snížit na polovinu a řazení kusů, jak je znázorněno na Obr. 4. Je jasné, že po této operaci se poměr hlavní strany na menší sníží čtyřikrát. Takže, utratí to docela velký počet časů, nakonec dostaneme obdélník, ke kterému řezání rýže. 3.
c) Zvažte dvě čtvercová data Abeceda. a Dpqr.a připojí je k sobě tak, aby se protínají na straně CD menší čtverec a měl celkový vrchol D.. Předpokládáme to Pd. = a. a B. = b., navíc, jak jsme již zaznamenali, a. > b.. Pak strana Dr. Větší náměstí lze považovat za takový bod M., co Pan. = B.. Podle teorém Pythagore.
Nechte přímé projíždění bodů B. a Q. Paralelní Direct. Mq. a Bm. Proto se protínají v bodě N.. Pak Quadrigal. Bmqn. je paralelogram, a protože má všechny strany stejné, pak je to rhombus. Ale δ. BAM. = ∆Mrq. Podle tří stran, odkud následuje (s ohledem na to, že úhly BAM. a Mrq. přímo). Takto, Bmqn. - Náměstí. A protože jeho oblast je rovna ( a. 2 + b. 2), pak je to čtverec, který musíme dostat.
Aby bylo možné snížit, zůstane všimnout, že δ BAM. = ∆Mrq. = ∆Bcn. = ∆NPQ.. Poté, co je třeba udělat, je zřejmé: je nutné řezat trojúhelníky BAM. a Mrq. A posunutí je, jak je znázorněno na Obr. Pět.
Zpomalení nabízených úkolů, čtenář, je to docela možné, přemýšlí o takové otázce: a kdy může být jeden mnohoúhelník řezán s přímkami do konečného množství takových kusů, z nichž se rozvíjí další mnohoúhelník? Mírně odraz, pochopí, že alespoň je nutné, aby oblast těchto polygonů byla stejná. Zdrojová otázka se tedy změní na následující: Je to pravda, že pokud mají dvě polygony stejnou oblast, pak jeden z nich může být vyříznut na kusy, z nichž se druhý rozvíjí (tato vlastnost dvou polygonů se nazývá ekvivalentní)? Ukazuje se, že je to pravda, a to nám říká teorém Boyii-Gervin, osvědčené ve třicátých letech XIX století. Přesněji řečeno, jeho znění se skládá z.
Boiii-guerin teorém. Dvě polygony Areometrické, pokud a pouze pokud jsou ekvivalentní.
Myšlenka důkazů tohoto úžasného výsledku je následující. Za prvé, nebudeme prokázat schválení teorém, ale skutečnost, že každá ze dvou dat se rovná polygonům, mohou být vyříznuty na kousky, ze kterého je sklopen čtverec stejné oblasti. Chcete-li to udělat, nejprve se rozbijeme každou z polygonů na trojúhelníky (takový oddíl se nazývá triangulace). A pak se každý trojúhelník změní na čtverec (například s pomocí metody popsané v odstavcích A) a b) tohoto úkolu). Zbývá zůstává být složen z velkého počtu malých čtverců jeden velký - můžeme to udělat díky bodu b).
Podobná otázka pro Polyhedra je jedním ze slavných problémů Davida Hilberta (třetího), předložil jim ve zprávě na Mezinárodním kongresu matematiky II v Paříži v roce 1900. Je charakteristická, že odpověď na něj ukázala být negativní. Vzhledem k tomu, že již uvažuje o dvou takových jednoduchých polyhedra, jako krychle a správný tetrahedron, ukazuje, že žádný z nich nevypadá, aby se rozřezal do konečného počtu dílů, takže druhý je jiný. A to není náhodou - prostě neexistuje.
Rozhodnutí třetího problému Hilberta bylo získáno jedním ze svých studentů - Max Den - již v roce 1901. Den našel invariantní hodnotu, která se nezměnila při řezání Polyhedra na kusy a skládání z nich nová čísla. Tato hodnota se však liší pro některé Polyhedra (zejména, Kuba a správný tetraedron). Druhá okolnost výslovně označuje skutečnost, že tato polyhedra nejsou ekvivalentní.
Úkol 1: Obdélník, z nichž strany jsou exprimovány celými čísly, mohou být řezány na tvaru formuláře (strana buňky na obrázku se rovná jedné). Prokázat, že může být sníženo na 1 × 5 obdélníků.
(D. ~ Karpov.)
Rozhodnutí: Oblast tohoto obdélníku je rozdělena zaměřením na oblast zadaného obrázku, což je 5. Oblast obdélníku se rovná produktu délek stran. Vzhledem k tomu, že délky stran jsou celá čísla a 5 - jednoduché číslo, pak délka jedné ze stran by měla být rozdělena 5. Tato strana rozdělíme a opačnou délku délky 5, a další dvě strany - na délce délky 1, pak připojit odpovídající body na opačných stranách přímkami. Úkol 2: Rozhodněte se v systému reálných čísel rovnic(A. ~ Khrabrov.)
Rozhodnutí: Odpověď: Systém má jedno řešení: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d 0. Po složení dvou rovnic systému získáváme rovnici 8a² + 9b² + 7c² + 4d² \u003d 16Ab + 8cd z nerovnosti 2Ab ≤ A² + B2 a 2CD ≤ C² + D² by mělo být, že pravá strana této rovnice není více než levá a rovnost může být dosažena pouze tehdy, pokud B \u003d 0, C \u003d 0, A \u003d B a C \u003d D. To znamená, že jediným možným řešením tohoto systému je A \u003d b \u003d c \u003d d \u003d 0.Druhá možnost je řešena podobně.
Úkol 3: V ABCD ROMBE na stranách AB a BC, resp. Body E a F jsou odebrány, jako je CF / BF \u003d BE / AE \u003d 1994. Ukázalo se, že de \u003d df. Najděte úhel EDF.
Z podmínky problému (v obou možnostech) vyplývá, že BE \u003d CF. Budu odkládat na straně AB AK, rovna se. ADK a CDF trojúhelníky jsou stejné dvě strany a úhlu (AD \u003d CD, AK \u003d CF, ∠ DAK \u003d ∠ DCF). Takže, DK \u003d DF \u003d DE, to znamená, že DKE trojúhelník je výzvou. Zejména úhly DKE a DEK jsou stejné, když je založena. V důsledku toho jsou trojúhelníky ADK a BDE stejné (na dvou stranách a úhlu: AK \u003d BE, DK \u003d DE, ∠ DKA \u003d ∠ DEB). Proto ad \u003d bd, to znamená, že trojúhelník abd je rovnostranný. V důsledku toho ∠ bad \u003d 60, ∠ abc \u003d 120.
(A. ~ Khrabrov.)
Rozhodnutí: Nechte tým a porazit tým b v zápase s těmito pravidly (snad, zajistit jeho vítězství před plánem). To znamená, že s jakýmkoliv myšlenkovým výsledkem zbývajícího (indukuje) trestu, výsledek týmu A by byl vyšší než B. týmy představit, že týmy pokračovaly v prasknutí trestu po skončení zápasu a udeřili všechny zbývající trest A tým a neměl skóroval žádnou další míč a tým by už nikdy nezmeškal. Současně, celkový počet gólů skóroval a bude stále větší než ty skóroval B (to je přesně to, co znamená slova "křeslo vítězství"). Kolik to může být více? Pouze na 1 nebo dne 2. Opravdu, pokud se rozdíl ukázalo být více než dva, vítězství týmu by bylo nevyhnutelné ještě dříve, před lámáním posledního panelu trestu.Dále si všimneme, že s pokračováním zápasu v bráně, přesně polovina všech fouků přišla do brány. A ze všech 129 párů šoků v bráně dostaly přesně polovinu, to je přesně 129. Tyto 129 cílů jsou rozděleny mezi A a B tak, aby na 1 nebo 2 více. Toto jednoznačně určuje počet cílů zaznamenaných týmem A - 65.
Úloha 5: Rozhodnout rovnici v přirozených číslech:(D. ~ Karpov.)
Rozhodnutí: Tato rovnice má jediné řešení: X \u003d 2, Y \u003d 1, Z \u003d 2 (v obou možnostech). Skutečnost, že se jedná o řešení, vyplývá z obecné identity A² + (2A + 1) \u003d (A + 1) ² ², která se používá v prvním provedení A \u003d 105 a ve druhé - do A \u003d 201.Neexistují žádná jiná řešení, protože pokud je Z\u003e 2, pak je pravá strana rovnice rozdělena do 8 a levý - ne, protože 105 x může poskytnout pouze zbytek 1 a 211 y být 0 pouze 0 - pouze zbytky 1 a 3. Zbývá poznamenána, že při z \u003d 1 roztokech není také ne, a na Z \u003d 2 jsou hodnoty Y \u003d 1 a X \u003d 2 jedinečně definovány.
V niminaci lektorů v matematice a učitele různých volitelných předmětů a kruhů je nabízen výběr zábavných a rozvojových geometrických problémů pro řezání. Účelem používání těchto úkolů pro použití takových úkolů ve svých třídách je nejen zájem studenta v zajímavých a účinných kombinacích buněk a čísel, ale také vytvořit smysl pro linie, úhly a formy. Sada úkolů je zaměřen především na třídy 4-6 dětí, i když jeho použití není vyloučeno i se středoškolskými studenty. Cvičení vyžadují studenty s vysokým a koncentrací zařízení a jsou vhodné pro vývoj a školení vizuální paměti. Doporučuje se pro matematické lektory zabývající se přípravou studentů na úvodní vyšetření v matematických školách a třídách, které provádějí zvláštní požadavky na úroveň nezávislého myšlení a tvůrčích schopností dítěte. Úroveň úkolů odpovídá úrovni úvodní olympiády v Lyceum "Druhá škola" (druhá matematická škola), Male Mehmat MSU, Kurchatov škola atd.
Poznámka Tutor v matematice:
V některých řešeních úkolů, které můžete zobrazit klepnutím na příslušný ukazatel, je určen pouze jeden z možných vzorků řezání. Plně přiznávám, že můžete získat jinou věrnou kombinaci - nemusíte se ho bát. Opatrně kontrolujte řešení mýdla a pokud splňuje podmínku, pak odvážně přijmout následující úkol.
1) zkuste řezání obrázku 3 rovné na obrázku na obrázku:
: Malé postavy jsou velmi podobné písmene t
2) Nyní zkrátit tento obrázek na 4 rovné ve formě části:
Matematika TIP.: Je snadné hádat, že malé postavy se budou skládat ze 3 buněk a tři buněčné postavy nejsou tolik. Existují pouze dva typy: roh a 1 × 3 obdélník.
3) Ořízněte tento obrázek na 5 rovný ve formě dílů:
Najděte počet buněk, ze kterých každý takový obrázek sestává. Tyto údaje jsou podobné písmene G.
4) A teď musíte řezat obrázek deseti buněk na 4 nestejný Přítel obdélníku (nebo čtverce).
Indikace učitele v matematice: Zvýrazněte nějaký obdélník a pak ve zbývajících buňkách zkuste zadat další tři. Pokud nefunguje, pak změňte první obdélník a zkuste to znovu.
5) Úkol je komplikovaný: Obrázek by měl být snížen na 4 odlišný ve formě čísla (ne nutně na obdélníky).
Matematika TIP.: Kreslit první samostatně všechny druhy čísel různých tvarů (bude existovat více než čtyři) a opakují způsob integrity variant jako v předchozím úkolu.
:
6) Ořízněte tento obrázek na 5 obrázků ze čtyř buněk různých tvarů tak, aby v každém z nich natřena pouze jedna zelená buňka.
TIP Tutor v matematice: Snažte se začít odříznout z horního okraje tohoto obrázku a okamžitě pochopíte, jak jednat.
:
7) Na základě předchozího úkolu. Najdete zde, kolik obrázků má různé tvary sestávající přesně ze čtyř buněk? Čísla mohou být zkroucena, otočena, ale nemůžete zvednout hrot (z jeho povrchu), na které leží. To znamená, že obě výše uvedené údaje nebudou považovány za rovnocenné, protože nelze získat od sebe navzájem otáčením.
TIP Tutor v matematice: Prozkoumejte řešení předchozího úkolu a zkuste si představit různé pozice těchto údajů, když se otočíte. Je snadné hádat, že odpověď v našem úkolu bude číslo 5 nebo více. (Ve skutečnosti, ještě více než šest). Celkem je zde popsáno 7 typů údajů.
8) Vyřízněte čtverec 16 buněk o 4 rovné ve formě části tak, aby v každém ze čtyř částí byla přesně jedna zelená buňka.
Matematika TIP.: Forma malých obrázků není čtverec a ne obdélník, a to ani roh čtyř buněk. Jaké jsou údaje, které se snaží snížit?
9) Obrázek obrázek, nakrájíme na dvě části takovým způsobem, že čtverec může být složen z získaných částí.
Matematsky Tutor TutorCelkem na obrázku 16 buněk - to znamená, že čtverec bude velikost 4 × 4. A nějakým způsobem potřebujete vyplnit okno uprostřed. Jak to udělat? Možná nějaký posun? Tak Protože délka obdélníku se rovná lichým buňkám, řezání musí být provedeno vertikálním řezem, ale zlomenou linií. Takže horní část je odříznuta z jedné strany ze středních buněk a nižší na straně druhé.
10) Vyjměte velikost obdélníku 4 × 9 na dvě části s takovým výpočtem tak, aby čtverec může být složen v důsledku nich.
Matematika TIP.: Celkem v obdélníku 36 buněk. Proto bude čtverec 6 × 6. Takže Horská strana KA se skládá z devíti buněk, pak tři z nich musí být odříznuty. Jak bude tento řez dále?
11) Vizití z pěti buněk zobrazených na obrázku je nutný k řezání (můžete snížit buňky samy o sobě) do takových částí, ze kterých by se čtverec mohlo být složeno.
Matematika TIP.: Je jasné, že jako kdybychom buňky neřízl na linkách - nebudu dostat čtverec, protože buňky jsou pouze 5. Toto je jediný úkol, ve kterém je dovoleno snížit ne buňkami. Budou však stále v pořádku jako referenční bod. Například stojí za zmínku, že musíme nějakým způsobem odstranit prohloubení, které máme - konkrétně ve vnitřních rozích našeho kříže. Jak to udělat? Například, odříznout některé objevování trojúhelníků z vnějších rohů kříže ...
Úvodní slovo učitele:
Malý historický odkaz: Mnoho vědců z dávných dob se zajímalo o úkoly pro řezání. Řešení mnoha jednoduchých řezných úkolů byla nalezena starověkými Řeky, Číňany, ale první systematické pojednání na tomto tématu patří Peru Abul-vefa. Geometry vážně zabývající se řešení úkolů pro řezání čísel k nejmenším počtu dílů a následné konstrukci jiné postavy na počátku 20. století. Jedním ze zakladatelů této sekce byl slavný zakladatel Henryho E. Dyudeni hádanky.
Milovníci puzzle jsou dnes rádi řešení problémů dříve, protože univerzální metoda řešení takových úkolů neexistuje, a každý, kdo je bere rozhodnout, může plně ukázat své tavení, intuici a schopnost kreativně myšlení. (Ve třídě uvádíme pouze jeden z možných příkladů řezání. Lze předpokládat, že studenti mohou vypnout nějakou jinou správnou kombinaci - není nutné se obávat).
Tato lekce se má konat ve formě praktických tříd. Rozbít účastníky hrnek do skupin po 2-3 osoby. Každá ze skupin bude poskytnuta předem postavením učitele. Studenti mají pravítko (s divizemi), tužkou, nůžkami. Je dovoleno vyrábět s nůžkami pouze rovné řezy. Řezáním nějakého druhu obrázku na kusy, musíte udělat další postavu ze stejných částí.
Řezací úkoly:
1). Snažte se snížit obrázek zobrazenou na obrázku na 3 rovnou ve formě části:
Tip: Malé postavy jsou velmi podobné dopisu T.
2). Currete Tento obrázek na 4 rovný ve formě části:
Tip: Je snadné hádat, že malé postavy se budou skládat ze 3 buněk a tři buněčné postavy nejsou tolik. Existují pouze dva typy: roh a obdélník.
3). Vypochučte tvar do dvou identických částí a složte šachovnici z přijatých částí.
Tip: Navrhněte začít provádět úkol z druhé části, jak získat šachovnici. Vzpomeňte si, jaká forma má šachovnici (čtverec). Vypočítejte stávající počet buněk na šířku. (Připomeňte, že buňky by měly být 8).
4). Vyzkoušejte tři pohyby nožů k řezání sýra na osm stejných kusů.
Tip: zkuste řezat sýr.
Úkoly pro vlastní řešení:
1). Vyjměte čtverec papíru a proveďte následující:
· Vyřízněte do takových 4 částí, ze kterých mohou být vyrobeny dvě stejné menší čtverce.
· Řez na pět dílů - čtyři Isceived trojúhelníky a jedno čtverec - a složit je tak, aby to ukázalo tři čtverce.
