Rozdiel štvorcov
Odvoďme vzorec pre rozdiel štvorcov $ a ^ 2-b ^ 2 $.
Aby ste to dosiahli, nezabudnite na nasledujúce pravidlo:
Ak k výrazu pridáme ľubovoľný jednočlen a ten istý jednočlen odčítame, dostaneme správnu identitu.
Pridajte do nášho výrazu a odčítajte od neho jednočlenný $ ab $:
Celkovo dostaneme:
To znamená, že rozdiel medzi druhými mocničkami dvoch monomílov sa rovná súčinu ich rozdielu ich súčtu.
Príklad 1
Reprezentovať ako produkt $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $
\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 = ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \]
\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 = \ vľavo (2x-y \ vpravo) (2x + y) \]
Odvodíme vzorec pre súčet kociek $ a ^ 3 + b ^ 3 $.
Zvážte spoločné faktory:
Vyberieme $ \ vľavo (a + b \ vpravo) $ mimo zátvorky:
Celkovo dostaneme:
To znamená, že súčet kociek dvoch monomérov sa rovná súčinu ich súčtu o neúplný štvorec ich rozdiely.
Príklad 2
Reprezentovať ako produkt $ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $
Tento výraz možno prepísať takto:
\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 = ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \]
Pomocou vzorca pre rozdiel štvorcov dostaneme:
\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 = \ vľavo (2x + y \ vpravo) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \]
Odvoďme vzorec pre rozdiel kociek $ a ^ 3-b ^ 3 $.
Na tento účel použijeme rovnaké pravidlo ako vyššie.
Pridajte do nášho výrazu a odčítajte od neho jednočleny $ a ^ 2b \ a \ (ab) ^ 2 $:
Zvážte spoločné faktory:
Vyberieme $ \ vľavo (a-b \ vpravo) $ mimo zátvorky:
Celkovo dostaneme:
To znamená, že rozdiel medzi kockami dvoch monomílov sa rovná súčinu ich rozdielu neúplným štvorcom ich súčtu.
Príklad 3
Reprezentovať ako produkt $ (8x) ^ 3-r ^ 3 $
Tento výraz možno prepísať takto:
\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 = ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \]
Pomocou vzorca pre rozdiel štvorcov dostaneme:
\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 = \ vľavo (2x-y \ vpravo) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \]
Príklad 4
Faktor.
a) $ ((a + 5)) ^ 2 – 9 $
c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $
Riešenie:
a) $ ((a + 5)) ^ 2 – 9 $
\ [(((a + 5)) ^ 2-9 = (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \]
Použitím vzorca pre rozdiel štvorcov dostaneme:
\ [((a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 = \ vľavo (a + 5-3 \ vpravo) \ vľavo (a + 5 + 3 \ vpravo) = \ vľavo (a + 2 \ vpravo) (a +8) \]
Napíšme tento výraz v tvare:
Použime vzorec kociek kuma:
c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $
Napíšme tento výraz v tvare:
\ [- x ^ 3 + \ frac (1) (27) = (\ vľavo (\ frac (1) (3) \ vpravo)) ^ 3-x ^ 3 \]
Použime vzorec kociek kuma:
\ [(\ vľavo (\ frac (1) (3) \ vpravo)) ^ 3-x ^ 3 = \ vľavo (\ frac (1) (3) -x \ vpravo) \ vľavo (\ frac (1) ( 9) + \ frac (x) (3) + x ^ 2 \ vpravo) \]
V predchádzajúcich lekciách sme sa zamerali na dva spôsoby, ako rozdeliť polynóm do faktorov: zátvorky a zoskupenie.
V tejto lekcii sa pozrieme na iný spôsob rozkladu polynómu pomocou skrátených vzorcov na násobenie.
Každú formulu odporúčame predpísať aspoň 12-krát. Pre lepšie zapamätanie si napíšte všetky vzorce na skrátené násobenie na malý cheat.
Pripomeňme si, ako vyzerá vzorec pre rozdiel kociek.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)Vzorec na rozdiel medzi kockami nie je veľmi jednoduché zapamätať, preto odporúčame použiť špeciálny spôsob, ako si ho zapamätať.
Je dôležité pochopiť, že funguje aj akýkoľvek vzorec pre skrátené násobenie opačná strana.
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3Pozrime sa na príklad. Je potrebné zohľadniť rozdiel medzi kockami.
Všimnite si, že "27a 3" je "(3a) 3", čo znamená, že pre vzorec pre rozdiel medzi kockami namiesto "a" používame "3a".
Použijeme vzorec pre rozdiel kociek. Na mieste „a 3“ máme „27a 3“ a na mieste „b 3“, ako vo vzorci, je „b 3“.
Pozrime sa na ďalší príklad. Chcete previesť súčin polynómov na rozdiel kociek pomocou skráteného vzorca násobenia.
Všimnite si, že súčin polynómov "(x - 1) (x 2 + x + 1)" pripomína pravú stranu vzorca pre rozdiel medzi kockami "", len namiesto "a" je "x" a namiesto toho z "b" je "1" ...
Pre "(x - 1) (x 2 + x + 1)" použijeme vzorec pre rozdiel kociek v opačnom smere.
Pozrime sa na zložitejší príklad. Je potrebné zjednodušiť súčin polynómov.
Ak porovnáme "(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)" so vzorcom rozdielu na pravej strane kociek
« a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)", Potom môžete pochopiť, že na mieste" a "z prvej zátvorky je" y 2 a na mieste "b" je "1".
Vzorce alebo skrátené pravidlá násobenia sa používajú v aritmetike, alebo skôr v algebre, na rýchlejší proces výpočtu veľkých algebraických výrazov. Samotné vzorce sú odvodené od pravidiel existujúcich v algebre pre násobenie niekoľkých polynómov.
Použitie týchto vzorcov poskytuje pomerne rýchle riešenie pre rôzne matematické problémy a tiež pomáha zjednodušiť výrazy. Algebraické transformačné pravidlá vám umožňujú vykonávať niektoré manipulácie s výrazmi, po ktorých môžete získať výraz na ľavej strane rovnosti na pravú stranu alebo transformovať pravú stranu rovnosti (ak chcete získať výraz na ľavej strane po rovnaké znamienko).
Je vhodné poznať vzorce používané na redukované násobenie pamäťou, pretože sa často používajú pri riešení problémov a rovníc. Nižšie sú uvedené hlavné vzorce zahrnuté v tomto zozname a ich názov.
Súčet na druhú
Ak chcete vypočítať druhú mocninu súčtu, musíte nájsť súčet pozostávajúci z druhej mocniny prvého člena, dvojnásobku súčinu prvého člena druhým a druhej mocniny druhého. Ako výraz je toto pravidlo napísané takto: (a + c) ² = a² + 2ac + c².
Rozdiel na druhú
Ak chcete vypočítať druhú mocninu rozdielu, musíte vypočítať súčet pozostávajúci z druhej mocniny prvého čísla, dvojnásobku súčinu prvého čísla druhým (s opačným znamienkom) a druhej mocniny druhého čísla. Vo výraze toto pravidlo vyzerá takto: (a - c) ² = a² - 2ac + c².
Rozdiel štvorcov
Vzorec pre rozdiel medzi dvoma číslami na druhú sa rovná súčinu súčtu týchto čísel a ich rozdielu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: a² - c² = (a + c) · (a - c).
Sumárna kocka
Na výpočet kocky súčtu dvoch členov je potrebné vypočítať súčet pozostávajúci z kocky prvého člena, trojitého súčinu druhej mocniny prvého člena a druhého, trojnásobného súčinu prvého a druhého členu. na druhú, rovnako ako kocka druhého členu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: (a + c) ³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Súčet kociek
Podľa vzorca sa rovná súčinu súčtu týchto členov pomocou ich neúplnej druhej mocniny rozdielu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: a³ + c³ = (a + c) · (a² - ac + c²).
Príklad. Je potrebné vypočítať objem obrazca, ktorý vznikne pridaním dvoch kociek. Známe sú len veľkosti ich strán.
Ak sú bočné hodnoty malé, výpočty sú jednoduché.
Ak sú dĺžky strán vyjadrené ťažkopádnymi číslami, potom je v tomto prípade jednoduchšie použiť vzorec "Súčet kociek", čo výrazne zjednoduší výpočty.
Rozdielová kocka
Vyjadrenie kubického rozdielu je nasledovné: ako súčet tretej mocniny prvého člena strojnásobte záporný súčin druhej mocniny prvého člena druhým, strojnásobte súčin prvého mocniny druhou mocninou druhého a záporná kocka druhého termínu. Vo forme matematického výrazu vyzerá kocka rozdielu takto: (a - c) ³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Rozdiel kociek
Rozdiel medzi vzorcom kociek sa líši od súčtu kociek iba v jednom znamienku. Rozdiel medzi kockami je teda vzorec, ktorý sa rovná súčinu rozdielu týchto čísel ich neúplným štvorcom súčtu. Vo forme vyzerá rozdiel kociek nasledovne: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Príklad. Je potrebné vypočítať objem čísla, ktorý zostane po odčítaní objemového čísla od objemu modrej kocky žltá farbačo je tiež kocka. Známa je len veľkosť strany malej a veľkej kocky.
Ak sú bočné hodnoty malé, výpočty sú pomerne jednoduché. A ak sú dĺžky strán vyjadrené vo významných číslach, potom sa oplatí použiť vzorec s názvom "Rozdielové kocky" (alebo "Rozdielová kocka"), ktorý výrazne zjednoduší výpočty.
Skrátené vzorce násobenia.
Štúdium vzorcov skráteného násobenia: druhá mocnina súčtu a druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov; rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov; kocka súčtu a kocka rozdielu dvoch výrazov; súčet a rozdiel kociek dvoch výrazov.
Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie pri riešení príkladov.
Na zjednodušenie výrazov, faktorizáciu polynómov a uvedenie polynómov do štandardného tvaru sa používajú skrátené vzorce násobenia. Skrátené vzorce násobenia je potrebné poznať naspamäť.
Nech a, b R. Potom:
1. Druhá mocnina súčtu dvoch výrazov je druhá mocnina prvého výrazu plus dvojnásobok súčinu prvého výrazu druhým plus druhá mocnina druhého výrazu.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Druhá mocnina rozdielu týchto dvoch výrazov je druhá mocnina prvého výrazu mínus dvojnásobok súčinu prvého výrazu druhým plus druhá mocnina druhého výrazu.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Rozdiel štvorcov dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu medzi týmito výrazmi a ich súčtu.
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
4. Sumárna kocka dvoch výrazov sa rovná kocke prvého výrazu plus trojnásobok druhej mocniny prvého výrazu a druhého plus trojnásobok súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého plus kocky druhého výrazu.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Rozdielová kocka dva výrazy sa rovná kocke prvého výrazu mínus trojnásobok druhej mocniny prvého výrazu a druhý plus trojnásobok súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého mínus kocka druhého výrazu.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Súčet kociek dva výrazy sa rovná súčinu súčtu prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou rozdielu týchto výrazov.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Rozdiel kociek dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou súčtu týchto výrazov.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie pri riešení príkladov.
Príklad 1
Vypočítajte
a) Pomocou vzorca pre druhú mocninu súčtu dvoch výrazov máme
(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Pomocou vzorca pre druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov dostaneme
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10 000 - 400 + 4 = 9604
Príklad 2
Vypočítajte
Pomocou vzorca pre rozdiel medzi druhými mocninami týchto dvoch výrazov dostaneme
Príklad 3
Zjednodušte vyjadrovanie
(x - y) 2 + (x + y) 2
Používame vzorce pre druhú mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Skrátené vzorce násobenia v jednej tabuľke:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
