متغيرات عشوائية ذات الأبعاد
مفهوم متغير عشوائي. متغيرات عشوائية منفصلة ومستمرة. وظيفة توزيع الاحتمالات وخصائصها. كثافة توزيع الاحتمالات وخصائصها. الخصائص الرقمية للمتغيرات العشوائية: التوقع الرياضي والتشتت وخصائصها والانحراف التربيعي الثانوي والتدمع والموسيط؛ اللحظات الأولية والوسطى، عدم التماثل والفائض.
عشوائييطلق عليه القيمة التي تتيح نتيجة الاختبارات أو أخرى (ولكن في نفس الوقت واحد فقط) القيمة الممكنة، والمعروفة المعروفة، وتغيير الاختبار إلى الاختبار واعتمادا على الظروف العشوائية. على النقيض من الحدث العشوائي، ما هي سمة نوعية نتيجة اختبار عشوائي، وهي قيمة عشوائية تتميز نتيجة الاختبار كميا. يمكن أن تكون أمثلة على التباين العشوائي حجم الجزء المصنوع، خطأ قياس أي معلمة للمنتج أو البيئة. من بين المتغيرات العشوائية التي يجب أن تفي بها في الممارسة العملية، يمكن تمييز نوعين رئيسيين: قيم منفصلة ومستمرة.
منفصله يطلق عليه مثل هذه القيمة العشوائية التي تأخذ مجموعة محددة أو غير محدودة من القيم. على سبيل المثال، تردد الزيارات لمدة ثلاثة طلقات؛ عدد المنتجات المعيبة في الطرف من القطع؛ عدد المكالمات التي تدخل تبادل الهاتف خلال اليوم؛ عدد إخفاقات عناصر الجهاز لفترة معينة من الوقت عند اختبارها للموثوقية؛ عدد الطلقات إلى أول ضربة في الهدف، إلخ.
مستمر وهذا ما يسمى هذه القيمة العشوائية التي يمكن أن تأخذ أي قيم من الفاصل الزمني المحدود أو غير المحدود. من الواضح أن عدد القيم المحتملة لمتغير عشوائي مستمر بلا حدود. على سبيل المثال، خطأ في قياس نطاق الرادار؛ وقت التشغيل خالية من المتاعب من microcircuit؛ خطأ في تصنيع الأجزاء؛ تركيز الملح في مياه البحر، إلخ.
يتم الإشارة إلى المتغيرات العشوائية عادة بواسطة رسائل، وما إلى ذلك، وقيمها المحتملة - وما إلى ذلك. لا يكفي سرد \u200b\u200bجميع قيمها المحتملة لتحديد المتغير العشوائي. من الضروري أيضا معرفة عدد مرات ظهور هذه القيم أو غيرها نتيجة الاختبارات في ظل نفس الظروف، أي من الضروري تحديد احتمالية مظهرها. مزيج من جميع القيم الممكنة للتباين العشوائي والاحتمالات لهم هو توزيع التباين العشوائي.
قانون التوزيع يسمى متغير عشوائي أي مراسلات بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة. يقول المبلغ العشوائي إنه يطيع هذا القانون التوزيع. وتسمى اثنين من المتغيرات العشوائية مستقلإذا كان قانون التوزيع لأحدهم لا يعتمد على ما وردت القيم المحتملة قيمة أخرى. وإلا فإن المتغيرات العشوائية تسمى متكلوبعد يتم استدعاء العديد من المتغيرات العشوائية مستقلة المتبادلةإذا كانت قوانين توزيع أي عدد منها لا تعتمد على القيم المحتملة للقيم المتبقية مقبولة.
يمكن تحديد قانون التوزيع لمتغير عشوائي في شكل جدول، كدالة توزيع، في شكل كثافة التوزيع. الجدول الذي يحتوي على القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة هو أبسط شكل من أشكال مهمة قانون توزيع المتغير العشوائي:
يمكن استخدام المهمة الجدولةية لقانون التوزيع فقط لمتغير عشوائي منفصل مع عدد محدد من القيم المحتملة. شكل الجدول لمهمة قانون المتغير العشوائي هو أيضا عدد من التوزيع.
من أجل الوضوح، تمثل عدد من التوزيع بيانيا. مع صورة رسومية في نظام تنسيق مستطيل على طول محور ABSCISSA، يتم إيداع جميع القيم الممكنة من التباين العشوائي، ووفقا للمحور المنسق، الاحتمالات المقابلة. ثم بناء النقاط وتوصيلها بتخفيضات مستقيمة. يسمى الرقم الناتج توزيع المضلع (الشكل 5). يجب أن نتذكر أن مركب القمم Ordinite لم يتم توفير أغراض الوضوح فقط، لأنه في ما بينه، وما إلى ذلك، لا يمكن اتخاذ قيمة عشوائية، وبالتالي فإن احتمالات مظهرها في هذه الفواصل الزمنية صفرية.
تعد مضلع التوزيع، مثل عدد من التوزيع، أحد أشكال مهمة قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل. قد يكون لديهم نموذج مختلف، لكن كل شخص لديه ملكية مشتركة واحدة: مجموع تنسيق رؤوس مضلع التوزيع، وهو مجموع احتمالات جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي، يساوي دائما واحدة. يتبع هذا العقار من حقيقة أن جميع القيم الممكنة للتباين العشوائي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المكتملة، وهو ما يساوي واحد.
تعريفوبعد يسمى متغير عشوائي قيمة رقمية، والتي تعتمد قيمةها التي حدثت على النتائج الأولية نتيجة للتجربة بنتائج عشوائية. تسمى مجموعة جميع القيم التي يمكن أن تتلقاها القيمة العشوائية العديد من القيم المحتملة لهذا المتغير العشوائي.
تشير المتغيرات العشوائية: عاشر, Y 1., Z I.; ξ , η 1., μ I.وقيمهم المحتملة - × 3., y 1K., z ij..
مثالوبعد في التجربة مع صرفة لمرة واحدة من لعب عظم متغير عشوائي هو الرقم عاشر النظارات المشتراة. العديد من القيم الممكنة لمتغير عشوائي عاشر لديه مظهر
{x 1 \u003d 1، x 2 \u003d 2، ...، x 6 \u003d 6}.
لدينا الامتثال التالي بين النتائج الأولية ω والقيم العشوائية عاشر:
وهذا هو، كل نتيجة ابتدائية أنا, أنا \u003d 1، ...، 6، وضعت في خط مع الرقم أنا..
مثالوبعد يتم إلقاء العملة حتى أول ظهور "معطف من الأسلحة". في هذه التجربة، يمكنك الدخول، على سبيل المثال، مثل هذه المتغيرات العشوائية: عاشر - عدد يلقي إلى أول ظهور "معطف الأسلحة" مع العديد من القيم المحتملة ( 1, 2, 3, … ) أنا. Y. - عدد "الأرقام"، التي انخفضت إلى أول ظهور "معطف من الأسلحة"، مع العديد من القيم المحتملة {0, 1, 2, …} (انه واضح x \u003d y + 1). في هذه التجربة، مساحة النتائج الأولية Ω يمكن تحديدها مع الكثيرين
{G، CG، CSG، ...، C ... CG، ...},
والنتائج الابتدائية ( ج ... TSG.) وضعت في خط مع العدد م + 1. أو م.أين م. - عدد متكررات الحرف "C".
تعريفوبعد وظيفة العددية x (ω)المعرفة في مساحة النتائج الأولية، تسمى متغير عشوائي إذا لأي x∈ R. (: X ()< x} إنه حدث.
لدراسة الخصائص الاحتمالية للمتغير العشوائي، تحتاج إلى معرفة القاعدة التي تتيح لك العثور على احتمال أن تكون قيمة عشوائية ستستغرق قيمة فرعية من قيمها. تسمى أي قاعدة من هذا القبيل قانون توزيع الاحتمالات أو توزيع متغير عشوائي.
قانون التوزيع العام الكامنة في جميع القيم العشوائية هو وظيفة التوزيع.
تعريفوبعد وظيفة التوزيع (احتمال) متغير عشوائي عاشر وظيفة الاتصال f (x)الذي قيمة عند هذه النقطة عاشر بنفس القدر احتمال الحدث (X.< x} ، أي الأحداث تتألف من تلك والكل هذه النتائج الأولية ω لأي منهم x (ω)< x :
f (x) \u003d p (x< x} .
وعادة ما يقال أن قيمة وظيفة التوزيع عند هذه النقطة عاشر على قدم المساواة احتمال أن قيمة عشوائية عاشر سوف تأخذ قيمة أقل عاشر.
نظريةوبعد وظيفة التوزيع تفي الخصائص التالية:
عرض نموذجي لوظيفة التوزيع.
تعريفوبعد متغير عشوائي عاشر استدعاء منفصل إذا كانت العديد من القيم المحتملة بالطبع أو عد.
تعريفوبعد بالقرب من التوزيع (الاحتمال) متغير عشوائي منفصل عاشر اتصل بجدول يتكون من سطرين: يتم سرد جميع القيم الممكنة للتباين العشوائي في السلسلة العلوية، وفي الاحتمال السفلي p i \u003d p \\ (x \u003d x i \\) هذه القيمة العشوائية ستأخذ هذه القيم.
للتحقق من صحة الجدول، يوصى بتلخيص الاحتمالات. p I.وبعد بحكم البديهية الإشعال:
لعدد من توزيع متغير عشوائي منفصل، يمكنك إنشاء وظيفة التوزيع الخاصة بها f (x)وبعد اسمحوا ان عاشر - يعرف عن طريق عدد التوزيع الخاص به، و x 1.< x 2 < … < x n وبعد ثم للجميع x × 1 حدث (X.< x} من المستحيل، بالتالي، بحكم التعريف f (x) \u003d 0وبعد اذا كان x 1.< x≤ x 2 ، ثم حدث (X.< x} يتكون من تلك وفقط تلك النتائج الأولية التي x () \u003d × 1وبعد لذلك، f (x) \u003d p 1وبعد وبالمثل، ل × 2< x ≤ x 3 حدث (X.< x} يتكون من النتائج الابتدائية ω لأي منهما x () \u003d × 1إما x () \u003d × 2، بمعنى آخر (X.< x}={X=x 1 }+{X=x 2 } وبعد لذلك، f (x) \u003d p 1 + p 2 إلخ. ل x\u003e x n حدث (X.< x} ثم موثوق f (x) \u003d 1.
يمكن أيضا تحديد قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل تحليليا كصيغة أو بيانيا. على سبيل المثال، يوصف توزيع عظم اللعب من قبل الصيغة
p (x \u003d i) \u003d 1/6, أنا \u003d 1، 2، ...، 6.
توزيع ثنائي. تباين عشوائي منفصل عاشر موزعة وفقا للقانون ذو الحدين، إذا كان يأخذ القيم 0، 1، 2، ... ن. وفقا للتوزيع المحدد بواسطة Formula Bernoulli:
هذا التوزيع ليس أكثر من توزيع عدد النجاح عاشر في ن. اختبارات وفقا لنظام برنولي مع احتمال النجاح p. والفشل س \u003d 1-P.
توزيع السم. تباين عشوائي منفصل عاشر تم توزيعه بموجب قانون Poisson إذا كان الأمر يتعلق بالعديد من القيم غير السلبية مع الاحتمالات
أين λ > 0 - معلمة توزيع Poisson.
يطلق عليه توزيع Poisson أيضا قانون الأحداث النادرة، لأنه يتجلى دائما حيث يتم إنتاج عدد كبير من الاختبارات، في كل منها، مع احتمال صغير، تحدث الأحداث "النادرة".
وفقا لقانون بواسون، موزعة، على سبيل المثال، عدد المكالمات الواردة خلال اليوم على تبادل الهاتف؛ عدد النيازك يسقط في منطقة معينة؛ عدد الجزيئات المكسورة في الانحلال المشع للمادة.
توزيع هندسي. النظر في مخطط برنولي مرة أخرى. اسمحوا ان عاشر - سيظهر عدد الاختبارات التي يجب تنفيذها قبل النجاح الأول. ثم عاشر - قيمة عشوائية منفصلة، \u200b\u200bأخذ القيم 0، 1، 2، ...، ن.، ... نحن نحدد احتمال الحدث (س \u003d ن).
يتم توزيع متغير عشوائي مع مثل هذا العدد من التوزيع وفقا لقانون هندسي.
المتغيرات العشوائية.
في الرياضيات قيمة - هذا هو الاسم الشائع للخصائص الكمية المختلفة للكائنات والظواهر. الطول والمساحة ودرجة الحرارة والضغط وما إلى ذلك - أمثلة على كميات مختلفة.
القيمة التي تأخذ مختلفة وتسمى القيم العددية تحت تأثير الظروف العرضية متغير عشوائيوبعد أمثلة على المتغيرات العشوائية: 1) عدد المرضى ينتظرون القبول من الطبيب، 2) الأبعاد الدقيقة للأجهزة الداخلية للأشخاص، إلخ.
التمييز بين المتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة.
قيمة عشوائية يسمى منفصلةإذا استغرق الأمر فقط مؤرخة معينة من بعضها البعض، والذي يمكن تثبيته وإدراجه.
أمثلة:
1) عدد الطلاب في الجمهور - يمكن أن يكون فقط رقم إيجابي كامل:
0,1,2,3,4….. 20…..
2) الرقم الذي يظهر في الوجه العلوي عند إلقاء عظم اللعب - يمكن أن يستغرق فقط قيم عدد صحيح من 1 إلى 6.
3) التردد النسبي للدخول إلى الهدف 10 طلقات - معاني:
0; 0,1; 0,2; 0,3 ….. 1
4) عدد الأحداث التي تحدث في نفس الوقت الفواصل الزمنية: معدل النبض، عدد عمليات الإسعاف يدعو في الساعة، عدد العمليات شهريا بنتيجة قاتلة، إلخ.
وتسمى قيمة عشوائية مستمرةإذا كانت يمكن أن تأخذ أي القيم داخل فاصل زمني معين، والتي لديها أحيانا حدود واضحة بشكل حاد، وغير معروفة، فهي تعتبر أن قيم المتغير العشوائي تكذب في الفاصل الزمني (-؛) .. للقيم العشوائية المستمرة تشمل، على سبيل المثال، درجة الحرارة والضغط والوزن ونمو الناس، حجم عناصر الدم على شكل الدم، درجة الحموضة الدمية، إلخ.
يلعب مفهوم المتغير العشوائي دورا حاسما في النظرية الحالية للاحتمالات الحالية، والتي طورت تقنيات خاصة للانتقال من الأحداث العشوائية إلى قيم عشوائية.
إذا كانت قيمة عشوائية تعتمد في الوقت المحدد، فيمكننا التحدث عن عملية عشوائية.
3.1. المتغير العشوائي المنفصل
لإعطاء خاصية كاملة لمتغير عشوائي منفصل، يجب عليك تحديد جميع القيم المحتملة واحتمالاتها.
تسمى المراسلات بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل واحتمالاتها قانون توزيع هذا الحجم.
تشير إلى القيم المحتملة للمتغير العشوائي X عبر XI، والاحتمالات التي تتوافق معها من خلال PI *. ثم يمكن تعيين عبور المتغير العشوائي المنفصل بثلاث طرق: في شكل جدول أو رسومات أو صيغة.
1. الطاولة، من اتصل بالقرب من التوزيع،يتم سرد جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي المنفصل ومتابعة قيم الاحتمالية P (X):
الجدول 3.1.
في هذه الحالة، يجب أن يكون مجموع جميع الاحتمالات PI يساوي واحد ( الشرط هو التطبيع):
pi \u003d p1 + p2 + ... + pn \u003d
2. من الرسم البياني - في شكل خط مكسور مخصص يسمى توزيع المضلع(الشكل 3.1). هنا، على طول المحور الأفقي، يتم وضع جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي XI، وعلى طول المحور العمودي - الاحتمالات المقابلة ل PI.
3. تحليليا - في شكل صيغة: على سبيل المثال، إذا كان احتمال دخول الهدف في طلقة واحدة يساوي ص،ثم احتمال عدم البحث في طلقة واحدة Q \u003d 1 - ص، أ. معاهدة الهزيمة المستهدفة 1 مرة ن. يتم إعطاء الطلقات من قبل الصيغة: P (n) \u003d QN-1 × P،
بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة، من المستحيل تطبيق قانون التوزيع في النماذج أعلاه، نظرا لأن القيمة المستمرة لها عدد لا يحصى من القيم ("لا تحصى") العديد من القيم المحتملة، ملء بعض الفاصل الزمني تماما. لذلك، لجعل طاولة سيتم فيها إدراج جميع قيمها المحتملة، أو لبناء توزيع مضلع لا يمكن بناؤه. بالإضافة إلى ذلك، فإن احتمال أي قيمة معينة صغيرة جدا (قريبة من 0). في الوقت نفسه، عادة ما تكون مناطق مختلفة (فترات) من القيم المحتملة لمتغير عشوائي مستمر على الأرجح. وبالتالي، هناك قانون توزيع معين، وإن لم يكن في المعنى السابق.
النظر في مبلغ عشوائي مستمر X، والقيم المحتملة التي تملأ تماما مع بعض الفاصل الزمني (A، B) *. قانون توزيع الاحتمالات يجب أن تسمح هذه القيمة بإيجاد احتمالية قيمها في أي فاصل معين (X1، X2)، والكذب داخل (A، B *) (FIG.3.2)
يشار إلى هذا الاحتمال بواسطة P (X1<Х< х2), или Р(х1 £ Х £ х2).
النظر أولا الفاصل الصغير جدا القيم من x إلى (x + dx) (انظر الشكل 3.2). احتمال انخفاض الدكتور الذي ستستغرق قيمة القيمة العشوائية بعض القيمة من هذا الفاصل الزمني الصغير (x، x + dx)، ستكون القيمة التناسلية من الفاصل الزمني DX: DR ~ DX، أو، إدخال نسبة التناسب F، والتي قد يعتمد نفسه على X، نحصل على:
دكتور \u003d f (x) × dx. (3.2)
المقدمة من قبل الولايات المتحدة f (x) اتصل كثافة توزيع الاحتمالات متغير عشوائي X أو، باختصار كثافة الاحتمالات (كثافة التوزيع). يمكن اعتبار المعادلة (3.2) معادلة تفاضلية ثم احتمال ضربها. صفوف الفاصل الزمني (X1، X2) يساوي:
ص (X1.< Х < х2) = f (x) dX. (3.3)
رسميا هذا الاحتمال ص (X1< Х < х2) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой f (x) ومستقيم x \u003d x1 و x \u003d x2 (انظر الشكل 3.3.3)، والذي يتبع من المعنى الهندسي لمتكامل معين (3.3). منحنى f (x)
تسمى منحنى التوزيع.
من (3.3) يمكن أن نرى أنه إذا كانت الوظيفة معروفة f (x)، هذا يغير حدود التكامل، يمكنك العثور على احتمال أي فترات. وبالتالي فإنه من وضع وظيفة f (x) يحدد بالكامل قانون التوزيع للمتغيرات العشوائية المستمرة.
بالنسبة لكثافة توزيع الاحتمالات يجب أن يتم تنفيذ F (x) الشرط هو التطبيعمثل:
f (x)dX. = 1, (3.4)
إذا كان من المعروف أن كل قيم X تكمن في الفاصل الزمني (A، B)، أو في النموذج:
f (x) dx \u003d 1، (3.5)
إذا كانت حدود الفاصل الزمني للقيم X غير معروفة. شروط تطبيع كثافة الاحتمالات (3.4) أو (3.5) هي نتيجة لقيم المتغير العشوائي X بثقة ملقاة داخل (أ، ب) أو (- - ¥، +). من (3.4) و (3.5) يتبع ذلك إن مساحة الشكل، منحنى التوزيع المحدود ومحور الأبقيسا، يساوي 1 دائما.
3.3. الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية.تشير النتائج المنصوص عليها في الفقرات 3.1 و 3.2 أن الخصائص الكاملة في القيم العشوائية المنفصلة أو المستمرة تعطي قوانين توزيعها.
ومع ذلك، في العديد من الحالات الهامة عمليا ما يسمى الخصائص العددية المتغيرات العشوائية، والغرض الرئيسي منها هي التعبير عنها في شكل مضغوط أهم ميزات توزيعها. من المهم أن هذه المعلمات هي القيم المحددة (ثابت)والتي يمكن تقييمها باستخدام البيانات التي تم الحصول عليها في التجارب. تعمل هذه التقديرات في ما يسمى ب "الإحصاءات الوصفية".
في نظرية الاحتمالات والإحصاءات الرياضية، هناك الكثير من الخصائص المختلفة، هنا نحن ندرس معظمها استخدامها بشكل متكرر. فقط من أجل جزء من هذه هي الصيغ التي يتم حساب قيمها، في حالات أخرى، ستترك الحسابات الكمبيوتر.
3.3.1. خصائص الوضع: الانتظار الرياضي والأزياء والموسيط.
إنه يميز موقف متغير عشوائي على محور رقمي، أي الإشارة إلى بعض قيمها المهمة التي تميز توزيع القيم الأخرى. من بينها، يلعب التوقع الرياضي ل M (X) دورا حاسما.
لكن). الرياضيات توقع م (س) المتغير العشوائي هو تناظرية احتمالية من متوسط \u200b\u200bحسابي.
لمتغير عشوائي منفصل، يتم حسابه بواسطة الصيغة:
m (x) \u003d x1r1 + x2p2 + ... + xnrn \u003d \u003d، (3.6)
وفي حالة تحديد متغير عشوائي مستمر M (X) من خلال الصيغ:
M (x) \u003d أو m (x) \u003d (3.7)
حيث f (x) هو كثافة الاحتمالات، DP \u003d F (x) عنصر الاحتمال DX (PI ANTRALOG) لفترة فاصل DX صغير (DX).
مثال.احسب متوسط \u200b\u200bقيمة المتغير العشوائي المستمر له توزيع موحد على القطاع (أ، ب).
قرار: مع توزيع موحد، فإن كثافة الاحتمالات على الفاصل الزمني (A، B) ثابت، أي f (x) \u003d fo \u003d const، والخارج (A، B) هو الصفر، ومن حالة التطبيع (4.3) سنجدها القيمة F0:
F0 \u003d F0 × X | \u003d (B-A) F0، من أين
م (س) \u003d 
| \u003d \u003d (A + B).
وبالتالي، يتزامن التوقع الرياضي ل M (X) مع منتصف الفاصل الزمني (A، B)، الذي يتم تحديده، I.E. \u003d M (X) \u003d.
ب). أزياء مو (X) متغير عشوائي منفصلدعاها الأكثر احتمالا قيمة(الشكل 3.4، أ)، و مستمر - قيمة حاءبحيث كثافة احتمالا أقصى (الشكل 3.4، ب).
في). مميزة موقف آخر - الوسيط (أنا.) توزيع متغير عشوائي.
الوسيط الفراء)تباين عشوائي يسمى قيمته حاءالذي يقسم جميع التوزيع إلى قطعتين مكافئتين. بمعنى آخر لمتغير عشوائي على قدم المساواة المحتمل اتخاذ القيم أقل لي (س) أو المزيد لي (س): ص (س< Ме) = Р(Х > أنا) \u003d.
لذلك، يمكن حساب الوسيط من المعادلة:
(3.8)
الوسيط بيانيا هو قيمة متغير عشوائي ينقسم منشأ منطقة، منحنى التوزيع المحدود، في النصف (S1 \u003d S2) (FIG.3.4، ب). هذه الخصائص عادة ما تستخدم فقط بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة، على الرغم من أنه يمكن تحديدها رسميا لنظاري X.
إذا كانت m (x)، mo (x) و me (x) تتزامن، ثم يسمى توزيع التباين العشوائي متماثل، غير ذلك - غير متماثل.
خصائص نثر - التشتت والانحراف المعياري (الانحراف التربيعي الثانوي).
تشتتد. (عاشر) يتم تعريف متغير عشوائي X التوقع الرياضي لانحراف مربع عشوائي X من توقعاته الرياضية M (X):
د (س) \u003d م 2، (3.9)
أو D (x) \u003d m (x2) - أ)
لذلك منفصلهيتم احتساب البعد العشوائي بواسطة الصيغ:
d (x) \u003d [xi - m (x)] 2 pi، أو d (x) \u003d xi2 pi -
وبالنسبة للحجم المستمر، ووزعت في الفاصل (أ، ب):
بالنسبة للفترة (-∞، ∞):
D (x) \u003d 2 f (x) dx، أو d (x) \u003d x2 f (x) dx -
يميز التشتت أن متوسط \u200b\u200bالانتثار، وإثارة قيم المتغير العشوائي العاشر بالنسبة إلى توقعاته الرياضية. كلمة "تشتت" نفسها تعني "الانتثار".
لكن التشتت D (X) لديه بعد مربع المتغير العشوائي، وهو أمر غير مريح للغاية عند تقييم المبثر في التطبيقات المادية والبيولوجية والطبية، إلخ. لذلك، عادة ما تستخدم معلمة أخرى، والبعد الذي يتزامن مع بعد X. التربيعي الأوسط انحراف متغير عشوائي X، الذي يشار إليه س. (س):
س. (س) \u003d (3.13)
لذلك، التوقع الرياضي، الأزياء، الوسيط، التشتت والانحراف التربيعي الثانوي هي الأكثر استهلاكا الخصائص الرقمية لتوزيع المتغيرات العشوائية، كل منها، كما هو موضح، تعبر عن بعض الممتلكات المميزة لهذا التوزيع.
3.4. قانون توزيع المتغيرات العادية
قانون التوزيع العادي(قانون غاوس) يلعب دورا مهما للغاية في نظرية الاحتمالات. أولا، هذا هو الأكثر شيوعا في القانون قانون توزيع المتغيرات العشوائية المستمرة. ثانيا، هو حد القانون، بمعنى أنه في ظل ظروف معينة، تقترب قوانين التوزيع الأخرى.
القانون الطبيعي يتميز التوزيع بالصيغة التالية كثافة الاحتمالات:
, (3.13)
هنا X - القيم الحالية للمتغير العشوائي X، و M (x) و س. - توقعاته الرياضية والانحراف المعياري الذي يحدد الوظيفة F (X) بالكامل. وبالتالي، إذا تم توزيع مجموعة متنوعة عشوائية وفقا لقانون طبيعي، فهذا يكفي لمعرفة اثنين فقط من المعلمات الرقمية: M (x) و س.لمعرفة قانون توزيعها (3.13).وظيفة الوظيفة (3.13) منحنى عادي توزيعات (منحنى غاوس). يحتوي على مظهر متماثل بالنسبة إلى المنسق X \u003d M (X). الحد الأقصى كثافة الاحتمالات يساوي "يتوافق مع التوقع الرياضي الخاص ب` x \u003d m (x)، وكثافة احتمالية f (x) يزيل منه، وينخفض، يقترب تدريجيا من الصفر (الشكل. تغيير القيمة M ( X) في (3.13) لا يغير شكل منحنى عادي، لكنه يؤدي فقط إلى تحوله على طول محور ABSCISSA. وتسمى قيمة M (X) أيضا مركز الانتثار، وانحراف RMS س. يميز عرض منحنى التوزيع (انظر الشكل 3.6).
مع زيادة س. الحد الأقصى للترتيب من المنحنى ينخفض، ويصبح المنحنى نفسه أكثر شيوعا، وتمتد على طول محور abscissa، بينما بانخفاض س.يتم وضع المنحنى أثناء ضغطه في وقت واحد من الجانبين (الشكل 6).
بطبيعة الحال، لأي قيم م (X) و S، لا تزال المنطقة التي يحدها منحنى عادي ومحور X يساوي 1 (حالة التطبيع):
f (x) dx \u003d 1، أو f (x) dx \u003d
التوزيع العادي متماثل، وبالتالي م (س) \u003d مو (س) \u003d لي (س).
احتمالية إدخال قيم المتغير العشوائي إلى الفاصل الزمني (X1، X2)، I.E. P (X1< Х< x2) равна
ص (x1.< Х < x2) = 
. (3.15)
في الممارسة العملية، مشكلة إيجاد احتمال حدوث قيم المتغير العشوائي الموزع عادة في الفاصل الزمني، النسبية المتماثلة إلى M (X). على وجه الخصوص، النظر في المهمة التالية، المهمة في التعليم المطبق. سأؤجل من M (X) إلى الأجزاء اليمنى والأيسر تساوي S و 2s و 3s (الشكل 7) والنظر في نتيجة حساب احتمال إدخال X في الفواصل العالية:
p (m (x) - س. < Х < М(Х) + س.) = 0,6827 = 68,27%. (3.16)
ص (م (س) - 2 ثانية< Х < М(Х) + 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (3.17)
ص (م (س) - 3S< Х < М(Х) + 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (3.18)
من (3.18)، يتبع أن قيم متغير عشوائي موزعة عادي مع المعلمات M (x) و S مع احتمال ص \u003d 99.73٪ يكمن في الفاصل الزمني M (X) ± 3S، وإلا تقريبا كل القيم الممكنة تقريبا من هذا الانخفاض العشوائي في هذا الفاصل. القيم. تعرف طريقة تقدير مجموعة من القيم المحتملة للتباين العشوائي باسم "قاعدة ثلاثة SIGM".
مثال.من المعروف أن درجة الحموضة في الدم من الدم هي قيمة موزعة طبيعية ذات قيمة متوسط \u200b\u200b(توقع رياضي) 7.4 وانحراف معياري 0.2. تحديد نطاق القيم المحتملة لهذه المعلمة.
قرار:للإجابة على هذا السؤال، نستخدم "قاعدة ثلاثة SIGM". مع احتمال تساوي 99.73٪، يمكن القول بأن مجموعة قيم PH للشخص هو 7.4 ± 3 · 0.2، أي 6.8 ÷ 8.
* إذا كانت القيم الدقيقة للحدود الفاصلة غير معروفة، فسيتم اعتبار الفاصل الزمني (-، +).
سيكون الطلاب الطلاب الدراسات العليا، العلماء الشباب الذين يستخدمون قاعدة المعارف في دراساتهم وعملهم ممتنين لك.
منشور من طرف http://www.allbest.ru/
متغيرات عشوائية منفصلة
دع إجراء بعض الاختبار، والنتيجة التي تعد واحدة من الأحداث العشوائية غير المكتملة (عدد الأحداث أو بالطبع أو بالعديمة، أي أن الأحداث يمكن ترقيمها). يتم وضع كل نتيجة وفقا لبعض عدد صحيح، أي أن وظيفة صالحة X مع القيم محددة في مجموعة الأحداث العشوائية. هذه الميزة x يسمى منفصله عشوائي قيمة (يتم استخدام مصطلح "منفصل" لأن قيم التباين العشوائي هي أرقام فردية، على عكس الوظائف المستمرة). نظرا لأن قيم المتغيرات العشوائية تتغير اعتمادا على الأحداث العشوائية، فإن الفائدة الرئيسية تمثل الاحتمالات التي تستغرقها القيمة العشوائية القيم الرقمية المختلفة. قانون توزيع المتغير العشوائي هو علاقة تنشئ العلاقة بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة. قد يكون لقانون التوزيع أشكالا مختلفة. بالنسبة لمتغير عشوائي منفصل، فإن قانون التوزيع هو مجمل من أزواج الأرقام ()، حيث - القيم المحتملة للمتغير العشوائي، والاحتمالات التي يتطلبها هذه القيم هي :. حيث.
يمكن اعتبار الأزواج نقاطا في بعض نظام الإحداثيات. من خلال توصيل هذه النقاط بخطوط مستقيمة، نحصل على صورة رسومية لقانون التوزيع - توزيع مضلع. في أغلب الأحيان، يتم تسجيل قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل في شكل جدول يتم فيه إجراء أزواج.
مثال. تمت إضافة العملة مرتين. إنشاء توزيع قانون لعدد "معطف الأسلحة" في هذا الاختبار.
قرار. عشوائي X هو عدد الانبعاثات "معطف الأسلحة" في هذا الاختبار. من الواضح أن X يمكن أن تأخذ واحدة من المعاني الثلاثة: 0، 1، 2. احتمال ظهور "معطف الأسلحة" في واحدة قذف عملة مساوية ل \u003d 0.5، وفقدان "الاندفاع" س \u003d 1 - ص \u003d 0.5. الحتميات التي تتطلب فيها قيمة عشوائية تأخذ القيم المسردة من قبل Bernoulli Formula:
قانون توزيع المتغير العشوائي X يكتب في شكل جدول توزيع
يتحكم:
بعض قوانين توزيع المتغيرات العشوائية المنفصلة، \u200b\u200bوالتي تحدث في كثير من الأحيان في حل المهام المختلفة، تلقت أسماء خاصة: توزيع هندسي، توزيع فرط النهر، التوزيع ذو الحدين، توزيع Poisson وغيرها.
يمكن تحديد توزيع المتغير العشوائي المنفصل باستخدام وظيفة التوزيع F (X)، وهو ما يساوي احتمال أن تتخذ القيمة العشوائية x القيم على الفاصل الزمني ؟؟؟؟ x؟: f (x) \u003d ص (X. يتم تعريف الوظيفة f (x) على المحور الصحيح بأكملها ولديها الخصائص التالية: واحد) ؟ ؟ f (x)؟ واحد؛ 2) F (x) - وظيفة عدم التناقص؛ 3) f (؟؟) \u003d 0، f (+؟) \u003d 1؛ 4) f (b) - f (a) \u003d p (a؟ x< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69 2 =(2-2.3) 2 =0.09 2 =(5-2.3) 2 =7.29 سنكتب توزيع قانون الانحراف المربع: الحل: سنجد التوقع الرياضي ل M (x): M (x) \u003d 2 * 0.1 + 3 * 0.6 + 5 * 0.3 \u003d 3.5 WEW توزيع ACT عشوائي × 2 سنجد التوقع الرياضي M (× 2): م (× 2) \u003d 4 * 0.1 + 9 * 0.6 + 25 * 0.3 \u003d 13.5 التشتت المطلوب D (X) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13.3- (3.5) 2 \u003d 1.05 خصائص التشتت 1. تشتت قيمة ثابتة مع الصفر: D (C) \u003d 0 2. يمكن إجراء مضاعف ثابت لعلامة تشتت، وتناول الطعام في مربع. د (CX) \u003d C 2 D (x) 3. تشتت تشتت مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة تساوي مقدار شتتات هذه القيم. D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d d (x 1) + d (x 2) + ... + d (x n) 4. تشتت توزع التوزيع ذو الحدين تساوي نتاج عدد الاختبارات المتعلقة باحتمالية مظهر وخطأ الحدث في اختبار واحد D (X) \u003d NPQ. لتقدير تناثر القيم المحتملة للمتغير العشوائي حول متوسط \u200b\u200bالقيمة، بالإضافة إلى التشتت، يتم تقديم بعض الخصائص الأخرى أيضا. وتشمل هذه الانحراف التربيعي المتوسط. تعريف. يطلق على متوسط \u200b\u200bالانحراف التربيعي للمتغير العشوائي X جذر مربع من التشتت: مثال 8. يتم تعيين قيمة عشوائية X من قانون التوزيع العثور على الانحراف التربيعي المتوسط \u200b\u200bمن (x) الحل: ابحث عن التوقع الرياضي X: م (س) \u003d 2 * 0.1 + 3 * 0.4 + 10 * 0.5 \u003d 6.4 نجد التوقع الرياضي × 2: م (× 2) \u003d 2 2 * 0.1 + 3 2 * 0.4 + 10 2 * 0.5 \u003d 54 البحث عن التشتت: D (x) \u003d m (x 2) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 54-6.4 2 \u003d 13.04 ثاني متوسط \u200b\u200bالانحراف التربيعي (x) \u003d vd (x) \u003d v13.04؟ 3.61 نظرية. يعد الانحراف التربيعي المتوسط \u200b\u200bلمقدار العدد النهائي للمتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل الجذر المربع بنفس القدر من مجموع المربعات المتوسطة الانحرافات التربيعية لهذه الكميات: المتغيرات العشوائية مفهوم المتغير العشوائي هو الرئيسي في نظرية الاحتمالية وتطبيقاتها. قيم عشوائية، على سبيل المثال، عدد النقاط في رمي واحد لعظم اللعب، وعدد ذرات الراديوم الخطرة خلال الفترة الزمنية، وعدد الدعوات على محطة الهاتف لفترة زمنية معينة، الانحراف عن الجزء الاسمي من الدور مع عملية ثابتة بشكل صحيح وما إلى ذلك. في هذا الطريق، عشوائي
قيمة يتم استدعاء قيمة متغيرة، والتي، نتيجة للتجربة، يمكن أن تتلقى قيمة رقمية واحدة أو أخرى. في المستقبل، سوف ننظر إلى نوعين من المتغيرات العشوائية - منفصلة ومستمرة. 1. متغيرات عشوائية منفصلة النظر في متغير عشوائي *، فإن القيم المحتملة التي تشكل تسلسل محدود أو لا حصر له للأرقام عاشر1
,
عاشر2
,
.
..,
عاشرن.,
.
..
.
دع وظيفة تحدد ص (س)الذي قيمة في كل نقطة x \u003d X.أنا.(أنا \u003d 1،2،.
..)
بنفس القدر من احتمال أن تكون القيمة تتخذ قيمة عاشرأنا..
هذه القيمة العشوائية يسمى منفصله
(على فترات متقطعة)وبعد دور ص (س) اتصل قانون
توزيعات
منبثق
عشوائي
قيم، أو لفترة وجيزة قانون
توزيعاتوبعد يتم تعريف هذه الميزة عند نقاط التسلسل. عاشر1
,
عاشر2
,
.
..,
عاشرن.,
.
..
.
نظرا لأنها في كل من الاختبارات، فإن قيمة عشوائية تؤخذ دائما أي قيمة من منطقة تغييرها، مثال1.
قيمة عشوائية - عدد النقاط التي تسقطها رمي واحد لعظم اللعب. القيم المحتملة - الأرقام 1، 2، 3، 4، 5، و 6. في هذه الحالة، احتمال أن تأخذ أي من هذه القيم، واحدة ونفس الشيء والتي تساوي 1/6. ماذا سوف قانون التوزيع؟ ( قرار) مثال2.
دع قيمة عشوائية - عدد الأحداث أ. مع اختبار واحد، و ص (أ) \u003d صوبعد تتكون العديد من القيم الممكنة من 2 أرقام 0 و 1: =0
إذا حدث ذلك أ. لم يحدث و =1
إذا حدث ذلك أ. حدث. في هذا الطريق، لنفترض أنه يتم إنتاجه ن. اختبارات مستقلة، نتيجة لكل منها قد تحدث أم لا تصعيد أ.وبعد دع احتمال الحدث أ. في كل مرة الاختبار متساو p. أ. ل ن. اختبارات مستقلة. تتكون مجال التغيير من جميع الأعداد الصحيحة من 0
قبل ن. شامل. قانون توزيع الاحتمالات مساء)تحددها Formula Bernoulli (13 "): غالبا ما يتم استدعاء قانون توزيع الاحتمالات وفقا لصيغة برنولي binomial، مثل P.ن.(م)يمثل م.- عضو تحلل binoma. دع قيمة عشوائية يمكن أن تأخذ أي قيمة عدد صحيح غير سلبي، و أين هو بعض الثابت الإيجابي. في هذه الحالة، يقولون إن مجموعة متنوعة عشوائية يتم توزيعها بواسطة قانون
بوليسون، لاحظ أنه عندما ك \u003d 0. يجب وضعه 0!=1
. كما نعرف، في قيم كبيرة من العدد ن. اختبارات الاحتمالات المستقلة P.ن.(م) هجومي م. مرة واحدة الأحداث أ. إنه أكثر ملاءمة للعثور على صيغة برنولي، ولكن وفقا لصيغة لابلاس [انظر صيغة (15)]. ومع ذلك، فإن هذا الأخير يعطي أخطاء كبيرة في احتمال منخفض رديئة مظهر الحدث لكن في اختبار واحد. في هذه الحالة، لحساب الاحتمال P.ن.(م) أنها مريحة لاستخدام صيغة poisson التي وضعت فيها. يمكن الحصول على صيغة Poisson كحرف متطرفة من صيغة Bernoulli مع زيادة غير محدودة في عدد الاختبارات. ن. ومع الرغبة في احتمال الصفر. مثال3.
وصل حزب الأجزاء إلى المصنع بمبلغ 1000 جهاز كمبيوتر شخصى. الاحتمال أن التفاصيل ستكون معيبة، تساوي 0.001. ما هو احتمال أن يكون هناك 5 معيب بين الوافدين؟ ( قرار) غالبا ما يتم العثور على توزيع Poisson في مهام أخرى. لذلك، على سبيل المثال، إذا كان الاتصال الهاتفي في المتوسط \u200b\u200bفي ساعة واحدة يستقبل ن. المكالمات، كيف يمكنك عرض، الاحتمال ص (ك) هذا لمدة دقيقة واحدة سوف تحصل ك. المكالمات، التي عبرت عنها صيغة poisson، إذا وضعت. إذا كانت القيم المحتملة للتباين العشوائي شكل التسلسل النهائي عاشر1
,
عاشر2
,
.
..,
عاشرن.، يتم تحديد قانون توزيع احتمالية التباين العشوائي في شكل الجدول التالي الذي قيم احتمالا ص (الحادي عشر) يسمى هذا الجدول مجاور
توزيعات متغير عشوائي. وظيفة بوضوح ص (س) يمكنك تصوير شكل رسم بياني. للقيام بذلك، خذ نظام تنسيق مستطيل على متن الطائرة. وفقا للمحور الأفقي، سنقوم بتأجيل القيم المحتملة للمتغير العشوائي، وعلى طول المحور العمودي - قيم الوظيفة. وظيفة الجدول ص (س) يصور في الشكل. 2. إذا قمت بتوصيل نقاط هذا الرسم البياني مع شرائح مستقيمة، فإن الرقم يسمى مضلع
توزيعات. مثال4.
دع الحدث لكن - مظهر نقطة واحدة عند إلقاء عظم اللعب؛ ص (أ) \u003d 1/6وبعد النظر في كمية عشوائية - عدد الأحداث لكن مع عشرة رمي عظم اللعب. قيم الوظيفة ص (س) (قانون التوزيع) تظهر في الجدول التالي: قيم احتمالا ص (الحادي عشر) احتمالا ص (X.أنا.)
تحسب من قبل برنولي الصيغة ن \u003d 10.وبعد ل x\u003e 6. هم يساوي عمليا الصفر. يصور الرسم البياني لوظيفة P (X) في الشكل. 3. وظيفة توزيع الاحتمال التباين عشوائي وخصائصها النظر في وظيفة f (x)يعرف على المحور الرقمي بأكمله على النحو التالي: لكل منهما حاء القيمة f (x) بنفس القدر من احتمال أن تكون القيمة العشوائية المنفصلة قيمة أقل حاء، بمعنى آخر. وتسمى هذه الميزة دور
توزيعات
منبثق، أو لفترة وجيزة دور
توزيعات. مثال1.
ابحث عن وظيفة توزيع المتغير العشوائي الوارد في المثال 1، الفقرة 1. ( قرار) مثال2.
ابحث عن وظيفة توزيع متغير عشوائي معين في المثال 2، الفقرة 1. ( قرار) معرفة وظيفة التوزيع f (x)من السهل العثور على احتمال أن قيمة عشوائية ترضي عدم المساواة. النظر في الحدث، وهو أن القيمة العشوائية ستستغرق قيمة أقل. هذا الحدث يتفكك في مقدار الأحداث المتناسقة: 1) قيمة عشوائية يأخذ القيم أصغر، I.E. ؛ 2) قيمة عشوائية تأخذ القيم التي تلبي عدم المساواة. باستخدام AXIOM من الإضافة، احصل ولكن عن طريق تحديد وظيفة التوزيع f (x) [سم. صيغة (18)] لدينا بوقف في هذا الطريق، احتمالا
يضرب
منفصله
عشوائي
قيم
في
فترة
مساو
زيادة راتب
المهام
توزيعات
على ال
أنه
فترة. انصحصيانةالخصائصالمهامتوزيع. 1 درجة. دور
توزيعات
هو
غير قانوني. في الواقع، واسمحوا< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что 2 درجة. قيم
المهام
توزيعات
رضا
عدم المساواة . هذا العقار يتبع من حقيقة أن f (x) يحدد كاحتمال [سم. صيغة (18)]. من الواضح أن * و. 3 °. احتمالا
توجو،
ماذا او ما
منفصله
عشوائي
قيمة
فيك
واحد
من
ممكن
قيم
عاشرأنا.,
مساو
خان
المهام
توزيعات
في
هدف
عاشرأنا.. في الواقع، دع عاشرأنا. - القيمة المستلمة بواسطة المتغير العشوائي المنفصل، و. إيمان في الصيغة (19)، نحصل في الحد الأقصى، بدلا من احتمال وصول متغير عشوائي إلى الفاصل الزمني، نحصل على احتمال أن تتخذ القيمة هذه القيمة. عاشرأنا.: من ناحية أخرى، نحن نحصل على ذلك حد الوظيفة f (x) صحيح، لأنه. وبالتالي، في حدود الصيغة (20) سوف يستغرق أولئك. القيمة ص (X.أنا.)
يساوي وظيفة القفز ** عاشرأنا.وبعد هذه الخاصية مصورة بوضوح في الشكل. 4 والأرز. خمسة. متغيرات عشوائية مستمرة بالإضافة إلى المتغيرات العشوائية المنفصلة، \u200b\u200bفإن القيم المحتملة التي تشكل تسلسل محدود أو لا حصر له للأرقام التي لا تملأ بالكامل بدون فاصل، غالبا ما تكون هناك متغيرات عشوائية، والقيم المحتملة التي تشكل بعض الفاصل الزمني. يمكن أن يكون مثالا لمثل هذا المتغير العشوائي بمثابة انحراف من الجزء الاسمي من الدور مع عملية تكنولوجية ثابتة بشكل صحيح. هذا النوع، لا يمكن إعطاء المتغيرات العشوائية باستخدام قانون توزيع الاحتمالات ص (س)وبعد ومع ذلك، يمكن تعيينها باستخدام وظيفة توزيع الاحتمالات f (x)وبعد يتم تعريف هذه الميزة بنفس الطريقة كما في حالة متغير عشوائي منفصل: حتى هنا هي وظيفة f (x) المعرفة على المحور الرقمي بأكملها، وقيمتها عند هذه النقطة حاء بنفس القدر احتمال أن تأخذ قيمة عشوائية قيمة أقل من حاء. الصيغة (19) وخصائص 1 ° و 2 ° صالحة لوظيفة التوزيع لأي متغير عشوائي. يتم تنفيذ الدليل بالمثل في حالة قيمة منفصلة. يتم استدعاء قيمة عشوائية مستمرإذا كان هناك وظيفة متواصلة غير سلبية * مرضية لأي قيم عاشر المساواة وتسمى الوظيفة كثافة
توزيعات
منبثق، أو لفترة وجيزة كثافة
توزيعاتوبعد اذا كان عاشر 1
بناء على المعنى الهندسي للمنطقة الأساسية كمنطقة، يمكن القول أن احتمال أداء عدم المساواة يساوي مساحة منحرف منحرفية مع القاعدة
، محدودة من الجزء العلوي من المنحنى (الشكل 6). منذ ذلك الحين، ولكن على أساس الصيغة (22) باستخدام الصيغة (22)، نجد كمشتق لا يتجزأ في الحدود العليا المتغيرة، عد كثافة التوزيع مستمرة **: لاحظ أنه لمتغير عشوائي مستمر، وظيفة التوزيع f (x) مستمر في أي مكان حاءحيث وظيفة مستمرة. يتبع من حقيقة أن f (x) في هذه النقاط تفريق. بناء على الفورمولا (23)، اعتقادا عاشر 1
\u003d X.، لديك بسبب استمرارية الوظيفة f (x) نحن نحصل على ذلك لذلك في هذا الطريق، احتمالا
توجو،
ماذا او ما
مستمر
عشوائي
قيمة
تستطيع
لقبول
أي واحد
منفصل
القيمة
س،
مساو
صفر. من هنا تتبع تلك الأحداث التي تتكون في تحقيق كل من أوجه عدم المساواة لديهم نفس الاحتمال، أي في الواقع، على سبيل المثال، تعليق. كما نعلم ما إذا كان الحدث مستحيلا، فإن احتمال حدوثه هو الصفر. في التعريف الكلاسيكي للاحتمال، عندما يكون عدد نتائج الاختبار بالطبع، هناك أيضا عرض معكوس: إذا كان احتمال الحدث صفر، فإن الحدث غير ممكن، لأنه في هذه الحالة لا يفضل ذلك أحد نتائج اختبار. في حالة متغير عشوائي مستمر، فإن عدد القيم المحتملة لقيمه لا حصر لها. احتمال أن تأخذ هذه القيمة أي قيمة معينة عاشر 1
كما رأينا، صفر متساو. ومع ذلك، فإنه لا يتبع من هنا أن هذا الحدث مستحيل، لأنه نتيجة للاختبار، قد تأخذ القيمة العشوائية، على وجه الخصوص، القيمة عاشر 1
وبعد لذلك، في حالة متغير عشوائي مستمر، من المنطقي التحدث عن احتمال وجود تباين عشوائي على الفاصل الزمني، وليس عن احتمال أن يستغرق الأمر بعض القيمة الخاصة. على سبيل المثال، في صناعة الأسطوانة، نحن لسنا مهتمين في احتمال أن يكون قطرها يساوي الاسمية. بالنسبة لنا، احتمال أن يغادر قطر الأسطوانة حقل القبول. مثال. كثافة توزيع المتغير العشوائي المستمر هي كما يلي: الرسم البياني وظيفة يوضح PA الشكل. 7. حدد احتمال أن تتخذ قيمة عشوائية قيمة تفي بفاة عدم المساواة. دعوة وظيفة التوزيع لمتغير عشوائي معين. ( قرار) يتم تخصيص النقطتين التاليين لتوزيعها في كثير من الأحيان من المتغيرات العشوائية المستمرة - موحدة وتوزيعات طبيعية. * تسمى الوظيفة العملية المستمرة على المحور الرقمي بأكمله، إذا كانت موجودة في أي شريحة أو مستمرة، أو لديه عدد محدود من نقاط الفجوة في جنسي. ** قاعدة التمايز المتكاملة مع الحدود العليا المتغيرة، المستمدة في حالة الحدود الدنيا النهائية، لا تزال عادلة للتكاملين مع حدود أقل لانهائية. في الواقع، منذ لا يتجزأ هناك قيمة دائمة. المتغيرات العشوائية تحت القيم العشوائية فهم الخصائص العددية للأحداث العشوائية. بمعنى آخر، المتغيرات العشوائية هي نتائج عدديا للتجارب التي تكون قيمها المستحيلة (في هذا الوقت) للتنبؤ مقدما. على سبيل المثال، يمكن عرض القيم التالية بشكل عشوائي: 2. النسبة المئوية للأولاد بين الأطفال الذين ولدوا في مستشفى أمواد معين لبعض يوم محدد. 3. عدد ومجال البقع في الشمس مرئية في بعض المرصد خلال يوم معين. 4. عدد الطلاب الذين كانوا متأخرين لهذه المحاضرة. 5. سعر صرف الدولار على البورصة (دعونا نقول، على micex)، على الرغم من أنه قد لا يكون الأمر كذلك "حالة"، كما يبدو مظهورا. 6. عدد إخفاقات المعدات في يوم محدد في مؤسسة محددة. تنقسم المتغيرات العشوائية إلى منفصلة ومستمر بناء على ما هي العديد من القيم الممكنة للخاصية المقابلة منفصلة أو مستمرة. هذا التقسيم مشروط تماما، ولكنه مفيد عند اختيار أساليب البحث الكافية. إذا كان عدد القيم المحتملة للمتغير العشوائي بالطبع أو قابلة للمقارنة مع تعددية لجميع الأرقام الطبيعية (أي، يمكن إعادة ترقيمها)، ثم القيمة العشوائية لقوات الدفاع الشعبي التي تم إنشاؤها باستخدام الإصدار التجريبي التجريبي HTTP: //www.fineprint .com يسمى المنفصلة. خلاف ذلك، يطلق عليه مستمر، على الرغم من أنه في الواقع، سيكون من المفترض ضمنا أن المتغيرات العشوائية المستمرة في الواقع تأخذ معناها في بعض المناطق النائية العددية البسيطة (الجزء، الفاصل الزمني). على سبيل المثال، ستكون المنفصلة متغيرات عشوائية معينة أعلاه على الأرقام 4 و 6، ومستمر - تحت أرقام 1 و 3 (منطقة البقع). في بعض الأحيان يتم خلط قيمة عشوائية. على سبيل المثال، على سبيل المثال، معدل الدولار (أو بعض العملة الأخرى)، التي لا تأخذ في الواقع مجموعة منفصلة فقط من القيم، ولكنها تبين أنها مريحة لافتراض أن مجموعة قيمها "بشكل مستمر". يمكن تعيين المتغيرات العشوائية بطرق مختلفة. عادة ما يطلب من متغيرات عشوائية منفصلة عن طريق قانون التوزيع. هنا، كل قيمة ممكنة X1، X2، ... قيمة العشوائية X مقارنة الاحتمال P1، P2، ... من هذه القيمة. نتيجة لذلك، يتم تشكيل جدول يتكون من سطرين: هذا هو قانون توزيع المتغير العشوائي. المتغيرات العشوائية المستمرة قانون التوزيع غير ممكن، لأنه وفقا لتعريفه للغاية، لا يمكن التخلي عن قيمتها وبالتالي يتم استبعاد المهمة في شكل جدول. ومع ذلك، بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة، هناك طريقة أخرى للمهمة (القابلة للتطبيق، بالمناسبة، بالنسبة للقيم المنفصلة) هي وظيفة التوزيع: على قدم المساواة في احتمال حدوث حدث أن القيمة العشوائية ل x سوف تأخذ قيمة أقل من الرقم المحدد x. في كثير من الأحيان، بدلا من وظيفة التوزيع، من المريح استخدام وظيفة أخرى - الكثافة F (X) من توزيع القيمة العشوائية X. في بعض الأحيان تسمى في بعض الأحيان الوظيفة التفاضلية للتوزيع، و f (x) في هذا يسمى المصطلحات وظيفة التوزيع المتكامل. هاتان الوظائف اثنين تحدد بعضها البعض وفقا للصيغة التالية: إذا كان المتغير العشوائي منفصل، فهذا فإن مفهوم وظيفة التوزيع منطقي أيضا، في هذه الحالة يتكون الرسم البياني لوظيفة التوزيع من أقسام أفقية، كل منها يقع كل منها أعلى من القيمة السابقة بقيمة تساوي PI. من الأمثلة المهمة على القيم المنفصلة، \u200b\u200bعلى سبيل المثال، القيم الموزعة بواسطة Binomially (توزيع Bernoulli)، والتي تم إنشاؤها PDF من خلال الإصدار التجريبي التجريبي Sopeprint Pdffactory http://www.fineprint.com n pk (1-p) n-k \u003d! ()! حيث P هو احتمال حدث منفصل (يطلق عليه في بعض الأحيان تقليديا "احتمال النجاح"). لذا قام بتوزيع نتائج سلسلة من الاختبارات المتجانسة المتتالية (دائرة برنولي). حالة الحد من التوزيع ذو الحدين (مع زيادة عدد الاختبارات) هي توزيع Poisson pK \u003d؟ K / K! · Exp (-؟) أين؟\u003e 0 بعض المعلمات الإيجابية. أبسط مثال على التوزيع المستمر هو توزيع موحد. في الجزء لديه كثافة توزيع ثابتة تساوي 1 / (B-A)، وخارج هذا الجزء الكثافة هي 0. مثال مهم للغاية للتوزيع المستمر هو توزيع طبيعي. هل يعرف عن طريق اثنين من المعلمات م و؟ (التوقع الرياضي والانحراف المعياري - انظر أدناه)، وكثافة التوزيع لها النموذج: 1 إكسب (- (X-M) 2/2؟ 2) الدور الأساسي للتوزيع الطبيعي في نظرية الاحتمالية يرجع إلى حقيقة أنه بسبب نظرية الحد المركزي (CPT)، مجموع العدد الكبير من المتغيرات العشوائية، والتي هي مستقلة الزوجية (حول مفهوم استقلال العشوائي المتغيرات، انظر أدناه) أو معتمدة ضعيفة، تبين أن توزع تقريبا وفقا لقانون طبيعي. يترتب على ذلك قيمة عشوائية، التي يسبب العشوائية التي يسببها فرض عدد كبير من العوامل العشوائية المعتمدة قليلا، تقريبا كما تم توزيعها بشكل طبيعي (بغض النظر عن كيفية توزيع قصص عواملها). بمعنى آخر، قانون التوزيع الطبيعي عالمي للغاية. هناك العديد من الخصائص الرقمية مريحة للاستخدام عند دراسة المتغيرات العشوائية. من بينها، سنضع توقعات رياضية يساوي متوسط \u200b\u200bقيمة المتغير العشوائي، التشتت D (x) \u003d m (x-m (x)) 2، يساوي الانتظار الرياضي لانحراف مربع متغير عشوائي من متوسط \u200b\u200bالقيمة، وأخرى، مريحة في الممارسة العملية، قيمة إضافية (نفس البعد مثل القيمة العشوائية الأولية): كمسألة الانحراف المعياري. سوف نفترض (دون تقييد هذا في المستقبل) أن جميع الأغصان غير المفرغة موجودة (I.E. تتلاقى على المحور الرقمي بأكمله). كما هو معروف، فإن التشتت والانحراف المعياري يميز درجة نثر متغير عشوائي حول متوسط \u200b\u200bالقيمة. من قوات الدفاع الشعبي الذي تم إنشاؤه باستخدام الإصدار التجريبي للتجربة Sopprint PdFfactory http://www.fineprint.com هو أقل تشتت، كلما تم تجميع قيم المتغير العشوائي عن كثب حولها. على سبيل المثال، فإن التوقع الرياضي لتوزيع Poisson يساوي؟، للحصول على توزيع موحد، فإنه يساوي (A + B) / 2، والتوزيع العادي يساوي م. إن تشتت توزيع Poisson يساوي؟، للحصول على توزيع موحد (B-A) 2/12، وللتوزيع الطبيعي يساوي 2. سيتم استخدام الخصائص التالية للتوقعات الرياضية والتشتت: 1. m (x + y) \u003d m (x) + m (y). 3. D (CX) \u003d C2D (X)، حيث C هو رقم ثابت تعسفي. 4. D (x + a) \u003d d (a) للحصول على قيمة ثابتة (غير عشوائية). قيمة عشوائية؟ \u003d تسمى U-MU تركزت. من الخاصية 1، يتبع ذلك م؟ \u003d M (U-MU) \u003d m (u) -m (u) -m (u) \u003d 0، أي متوسط \u200b\u200bالقيمة هو 0 (اسمه متصل). في الوقت نفسه، بسبب الخصائص 4، لدينا D (؟) \u003d D (U). هناك أيضا نسبة مفيدة مريحة للاستخدام في الممارسة العملية لحساب التشتت وترتبط بقيمها: 5. D (x) \u003d m (x2) -m (x) 2 تسمى المتغيرات العشوائية X و Y مستقلة إذا كانت هناك أحداث وقيم مستقلة من X و Y للقيم العاشر العاشر والكم. على سبيل المثال، ستؤدي مستقلة (على ما يبدو ...) نتائج قياس الجهد في شبكة الطاقة ونمو الطاقة الرئيسية للمؤسسة. لكن قوة شبكة الطاقة هذه وراتب الطاقة الرئيسية في المؤسسات لم يعد من الممكن اعتبارها مستقلة. إذا كانت المتغيرات العشوائية X و Y مستقلة مستقلة، فقد تحدث الخصائص التالية (التي قد لا يتم تنفيذ المتغيرات العشوائية التعسفية): 5. m (xy) \u003d m (x) m (y). 6. D (x + y) \u003d d (x) + d (y). بالإضافة إلى المتغيرات الفردية العشوائية X، Y، ... تم دراسة أنظمة المتغيرات العشوائية. على سبيل المثال، يمكن اعتبار Steam (x، y) من المتغيرات العشوائية قيمة عشوائية جديدة، وقيمها ناقلات ثنائية الأبعاد. وبالمثل، من الممكن النظر في أنظمة عدد أكبر من المتغيرات العشوائية، تسمى القيم العشوائية متعددة الأبعاد. كما يتم تعيين هذا النوع من نظام القيم من خلال وظيفة التوزيع الخاصة بهم. على سبيل المثال، للحصول على نظام لمتغيرين عشوائيين، هذه الوظيفة لها النموذج f (x، y) \u003d p، وهذا يعني أنه يساوي احتمال حدوث حدث خلص إلى أن القيمة العشوائية ل X ستتناول قيمة أقل من الرقم المحدد X، والقيمة العشوائية Y هي أصغر من الرقم المحدد Y. وتسمى هذه الوظيفة أيضا وظيفة التوزيع المشترك للمتغيرات العشوائية X و Y. من الممكن أيضا النظر في متوسط \u200b\u200bالمتجهات - التناظر الطبيعية للتوقع الرياضي، ولكن بدلا من التشتت عليك دراسة العديد من الخصائص العددية، تسمى لحظات النظام الثاني. هذا، أولا، اثنين من التشتتات الخاصة DX و DY PDF تم إنشاؤه باستخدام الإصدار التجريبي التجريبي من FinePrint PDFFactory http://www.fineprint.com متغيرات عشوائية X و Y، التي تعتبر بشكل منفصل، وثانيا، المرحلة المزيدة تفصيحا أدناه. إذا كانت المتغيرات العشوائية x و y مستقلة، ثم f (x، y) \u003d fx (x) fy (y) نتاج وظائف توزيع المتغيرات العشوائية X و Y وبالتالي دراسة زوج من المتغيرات العشوائية المستقل هي إلى حد كبير دراسة X و Y بشكل منفصل. المتغيرات العشوائية كان ما سبق اعتبر تجارب نتائجها أحداث عشوائية. ومع ذلك، فإنه غالبا ما ينشأ الحاجة إلى تحديد نتائج التجربة في شكل مبلغ معين، يسمى متغير عشوائي. القيمة العشوائية هي الثانية (بعد حدث عشوائي) الكائن الرئيسي لدراسة نظرية الاحتمالية ويوفر طريقة أكثر عمومية لوصف التجربة مع نتيجة عشوائية من مجموعة من الأحداث العشوائية. النظر في تجارب بنتيجة عشوائية، لقد تعاملنا بالفعل مع القيم العشوائية. وبالتالي، فإن عدد النجاح في سلسلة الاختبارات هو مثال على متغير عشوائي. أمثلة أخرى للمتغيرات العشوائية هي: عدد المكالمات في محطة الهاتف لكل وحدة من الوقت؛ الوقت للمكالمات التالية؛ عدد الجزيئات ذات طاقة معينة في أنظمة الجزيئات التي تم النظر فيها في الفيزياء الإحصائية؛ متوسط \u200b\u200bدرجة الحرارة اليومية في هذا المجال، إلخ. تتميز القيمة العشوائية بحقيقة أنه من المستحيل التنبؤ بدقة معناها أنه سيقبل، ولكن من ناحية أخرى، عادة ما تكون هناك الكثير من القيم المحتملة. لذلك بالنسبة لعدد النجاح في تسلسل الاختبارات، فإن هذه هي المجموعة بالطبع، لأن عدد النجاح يمكن أن يتخذ القيم. يمكن أن تتزامن العديد من قيم التباين العشوائي مع نصف محور حقيقي، كما هو الحال في وقت الانتظار، إلخ. النظر في أمثلة التجارب ذات النتيجة العشوائية، لوصف الأحداث العشوائية التي عادة ما يتم تطبيقها ونقدم وصفا ما يعادلها مع تعيين متغير عشوائي. واحد). دع نتيجة التجربة تكون حدثا أو حدثا. ثم يمكن وضع هذه التجربة مع قيمة عشوائية تأخذ قيمتين، على سبيل المثال، ومع الاحتمالات، ومكان المساواة: و. وبالتالي، تتميز التجربة بنتائج اثنين من احتمالات الملكية الفكرية، أو نفس التجربة تتميز متغير عشوائي تلقي قيمتين ومع الاحتمالات و. 2). النظر في الخبرة مع رمي عظم اللعب. هنا، يمكن أن تكون نتيجة التجربة واحدة من الأحداث حيث - فقدان الوجه مع العدد. احتمالا. نقدم وصفا ما يعادل هذه التجربة مع متغير عشوائي يمكن أن يأخذ القيم مع الاحتمالات. 3). يتميز تسلسل الاختبارات المستقلة بمجموعة كاملة من الأحداث غير المكتملة، حيث - حدث يتكون في ظهور النجاح في سلسلة من التجارب؛ علاوة على ذلك، يتم تحديد احتمال الحدث من قبل Formula Bernuli، I.E. هنا يمكنك إدخال متغير عشوائي - عدد النجاح الذي يأخذ القيم مع الاحتمالات. وبالتالي، يتميز تسلسل الاختبارات المستقلة بأحداث عشوائية مع احتمالاتهم أو المتغيرات العشوائية مع احتمالات ما يجعل القيم. أربعة). ومع ذلك، ليس لأية تجربة مع نتيجة عشوائية هناك مثل هذه المراسلات البسيطة بين المتغير العشوائي ومجموعة من الأحداث العشوائية. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك تجربة نقطة الاندفاع بشكل عشوائي في قطاع. من الطبيعي أن نقدم مبلغا عشوائيا - الإحداثيات على القطاع الذي يقع فيه النقطة. وبالتالي، يمكننا التحدث عن حدث عشوائي، أين هو عدد. ومع ذلك، احتمالية هذا الحدث. يمكنك القيام بذلك - مقطعة إلى عدد محدد من القطاعات غير المارة والنظر في الأحداث العشوائية التي تتكون في حقيقة أن قيمة عشوائية تأخذ القيم من الفاصل الزمني. ثم الاحتمالات هي قيم محدودة. ومع ذلك، فإن هذه الطريقة لها عيب كبير، حيث يتم اختيار القطاعات بشكل عشوائي. من أجل القضاء على هذا العيب، فكر في شرائح الأنواع التي يكون فيها المتغير. ثم الاحتمال المقابل هو وظيفة الحجة. هذا يعقد وصفا رياضيا لمجموعة عشوائية، ولكن الوصف (29.1) يصبح الوحيد، يلغي غموض قطاع القطاع. لكل من الأمثلة النظر فيها، من السهل تحديد المساحة الاحتمالية، حيث - مساحة الأحداث الأولية - - الجبر من الأحداث (مجموعات فرعية)، هي الاحتمال المحدد لأي. على سبيل المثال، في المثال الأخير، - - الجبر من جميع القطاعات الواردة في. تؤدي الأمثلة المرئية إلى التعريف التالي لمتغير عشوائي. اسمحوا - الفضاء الاحتمالية. القيمة العشوائية هي وظيفة فعالة لا لبس فيها محددة على مجموعة من الأحداث الأولية للنموذج هي حدث (I.E.E) لكل رقم فعلي. وبالتالي، يتطلب التعريف عن كل مجموعة حقيقية، وهذا الشرط يضمن تحديد احتمال الحدث لكل منهما. هذا الحدث عرفي لتعيين إدخال أقصر. وظيفة توزيع الاحتمالات وتسمى الوظيفة وظيفة توزيع احتمالية متغيرة عشوائية. تسمى الوظيفة أحيانا لفترة وجيزة - وظيفة التوزيع، بالإضافة إلى القانون المتكامل لتوزيع احتمالية المتغير العشوائي. الوظيفة هي سمة كاملة متغير عشوائي، وهذا هو، هو وصف رياضي لجميع خصائص المتغير العشوائي وسيلة أكثر تفصيلا لوصف هذه الخصائص غير موجودة. نلاحظ الميزة المهمة التالية للتعريف (30.1). غالبا ما يتم تحديد الوظيفة بشكل مختلف: وفقا ل (30.1)، فإن الوظيفة حق مستمر. سيتم مناقشة هذا السؤال أدناه. إذا كنت تستخدم التعريف (30.2)، فسيكون ذلك مستمرا إلى اليسار، وهو نتيجة لاستخدام عدم المساواة الصارمة فيما يتعلق (30.2). وظائف (30.1) و (30.2) هي أوصاف مكافئة من التباين العشوائي، لأنها لا تهم ما هو التصميم على استخدام سواء عند دراسة القضايا النظرية وفي حل المشكلات. من أجل اليقين، في المستقبل سوف نستخدم فقط التعريف (30.1). النظر في مثال لبناء رسومات وظيفة. دع قيمة عشوائية تأخذ القيم مع الاحتمالات، و. وبالتالي، فإن القيم الأخرى إلى جانب هذه القيمة العشوائية تأخذ مع احتمال صفر: لأي،. أو كما يقولون، لا يمكن قبول قيم أخرى غير متنوعة عشوائية. دعونا عن اليقين. ابحث عن قيم الوظيفة من الفواصل الزمنية: 1)، 2)، 3)، 4)، 5)، 6)، 7). في الفترة الأولى، لذلك وظيفة التوزيع. 2). اذا ثم. من الواضح أن الأحداث العشوائية غير متناسقة، وبالتالي، من خلال صيغة إضافة الاحتمالات. حسب الشرط، الحدث مستحيل، ولكن. لذلك. 3). دعونا ثم. هنا هو الفصل الأول، والثاني، لأن الحدث مستحيل. وهكذا، لأي شرط مرضي. أربعة). دعونا ثم. خمسة). اذا ثم. 6) عندما يكون لدينا. 7) إذا، إذن. يتم تقديم نتائج الحسابات في الشكل. 30.1 جدول الوظائف. في نقاط الفجوة، يشار إلى استمرار وظيفة الوظيفة على اليمين. الخصائص الرئيسية لوظيفة توزيع الاحتمالات النظر في الخصائص الرئيسية لوظيفة التوزيع، متابعة مباشرة من التعريف: 1. نقدم التعيين :. ثم يتبع من التعريف. هنا، يعتبر التعبير حدث مستحيل مع احتمال صفر. 2. دعونا ثم يتبع من تعريف الوظيفة. حدث عشوائي موثوق به ويحتملك يساوي واحد. 3. احتمالية حدث عشوائي ثابت هو أن قيمة عشوائية تأخذ قيمة من الفاصل الزمني عند تحديدها من خلال الوظيفة مع المساواة التالية لإثبات هذه المساواة، النظر في النسبة. الأحداث غير متناسقة، لذلك، وفقا للصيغة لإضافة الاحتمالات من (31.3)، فإنها تتصدر ذلك يتزامن مع الصيغة (31.2)، منذ و. 4. الوظيفة غير متناسقة. لإثبات، اعتبر. في الوقت نفسه، المساواة صحيحة (31.2). الجزء الأيسر، لأن الاحتمال يأخذ القيم من الفاصل الزمني. لذلك، الجانب الأيمن من المساواة (31.2) غير سلبي: أو. تم الحصول على هذه المساواة في ظل الحالة، وبالتالي، وظيفة غير تناقص. 5. وظيفة مستمرة إلى اليمين في كل نقطة، أي أين - أي تسلسل تطمح إلى اليمين، أي و. لإثبات، تخيل الوظيفة في النموذج: الآن، على أساس البديهيات من الإضافات القابلة للعد، فإن تعبير الاحتمالات في الأقواس المجعدة، بحيث يثبت استمرارية الوظيفة المناسبة. وبالتالي، فإن كل ميزة توزيع الاحتمالات لديها خصائص 1-5. البيان العكسي صحيح: إذا كان، يرضي الشروط 1-5، فيمكن اعتباره وظيفة توزيع بعض المتغير العشوائي. منفصلة عشوائية متغيرة الاحتمال وظيفة توزيع وتسمى قيمة عشوائية منفصلة، \u200b\u200bإذا كانت مجموعة قيمها بالتأكيد أو عدها. للحصول على وصف كامل الاحتمالية للقيمة العشوائية المنفصلة للقيمة الناتجة، فإنه يكفي لتعيين احتمال أن تكون القيمة العشوائية تحمل القيمة. إذا تم تقديمها، فإن وظيفة توزيع احتمالات المتغير العشوائي المنفصل يمكن تمثيلها على النحو التالي: هنا يتم التمييز في جميع الفهارس مرضية الحالة. تم تمثيل وظيفة توزيع احتمالات المتغير العشوائي المنفصل في بعض الأحيان من خلال وظيفة ما يسمى بالقفز واحد. في هذه الحالة، يتطلب الأمر نموذجا إذا كانت القيمة العشوائية تأخذ المجموعة النهائية للقيم، ويتم التردد بحد التمييز العلوي في (32.4) لتكون متساوية إذا كانت القيمة العشوائية تأخذ مجموعة العد من القيم. تم النظر في مثال بناء مخطط لتوزيع الاحتمالات المتغير العشوائي المنفصل في الفقرة 30. كثافة توزيع الاحتمالات دع قيمة عشوائية لها وظيفة توزيع احتمالية تامة، ثم تسمى الوظيفة كثافة توزيع الاحتمال (أو كثافة الاحتمالات) من متغير عشوائي، وقيمة عشوائية هي قيمة عشوائية مستمرة. النظر في الخصائص الرئيسية كثافة الاحتمالات. من تعريف المشتق يتبع المساواة: وفقا لخصائص الوظيفة، تحدث المساواة. لذلك (33.2) يأخذ النموذج: تشرح هذه النسبة اسم الوظيفة. في الواقع، وفقا ل (33.3)، فإن الوظيفة هي احتمال فاصل اتفاقية في هذه النقطة، منذ ذلك الحين. وبالتالي، فإن كثافة الاحتمالات التي تحددها العلاقة (33.3) تشبه كثافة القيم الأخرى المعروفة في الفيزياء، مثل الكثافة الحالية، وكثافة المواد، وكثافة الشحن، إلخ. 2. نظرا لأنها وظيفة غير تقليل، فإن مشتقاتها هي وظيفة غير سلبية: 3. من (33.1)، منذ ذلك الحين. وبالتالي، المساواة هو الصحيح 4. لأنه، ثم من العلاقة (33.5) يتبع المساواة، التي تسمى حالة التطبيع. الجزء الأيسر هو احتمال حدث موثوق. 5. اسمحوا، ثم من (33.1) هذه النسبة مهمة للتطبيقات، لأنها تسمح لك بحساب احتمالية كثافة الاحتمالات أو من خلال وظيفة توزيع الاحتمالات. إذا وضعنا، فإن النسبة (33.6) يتبع من (33.7). في التين. 33.1 يوضح أمثلة على الرسوم البيانية لوظيفة التوزيع وكثافة الاحتمالات. لاحظ أن كثافة توزيع الاحتمالات يمكن أن يكون لها عدة ماكسيما. قيمة الحجة التي يتم بها أن تسمى الكثافة الحد الأقصى لوضع توزيع المتغير العشوائي. إذا كانت الكثافة لديها أكثر من مجرد أزياء، ثم تسمى Multimodal. تكثيف توزيع القيمة العشوائية المنفصلة توزيع الكثافة الاحتمالية المنفصلة دع قيمة عشوائية تأخذ القيم مع الاحتمالات. ثم وظيفة توزيع الاحتمالات هي أين - وظيفة قفزة واحدة. من الممكن تحديد كثافة احتمالية متغير عشوائي من خلال وظيفة التوزيع، وفقا للمساواة. ومع ذلك، هناك صعوبات رياضية مرتبطة بحقيقة أن وظيفة قفزة واحدة، والتي يتم تضمينها في (34.1)، لها فجوة من النوع الأول مع. لذلك، عند النقطة لا توجد وظيفة مشتقة. للتغلب على هذا التعقيد، يتم تقديم -Function. يمكن تمثيل وظيفة قفزة واحدة من خلال الوظائف مع المساواة التالية: ثم يتم تحديد مشتقات وكثافة احتمالية المتغير العشوائي المنفصل من العلاقة (34.1) كدالة مشتقة: وظيفة (34.4) لديها جميع خصائص كثافة الاحتمالات. النظر في مثال. دع القيمة العشوائية المنفصلة تأخذ القيم مع الاحتمالات، واسمحوا. ثم احتمال حدوث قيمة عشوائية ستتخذ قيمة من القطاع يمكن حسابها على أساس الخصائص العامة للكثافة من خلال الصيغة: هنا، منذ نقطة خاصة - تعمل الوظيفة التي تحددها الشرط داخل منطقة التكامل، ومع وجود نقطة مفردة خارج منطقة التكامل. في هذا الطريق. للحصول على وظيفة (34.4)، يتم تنفيذ حالة التطبيع أيضا: لاحظ أنه في الرياضيات، يعتبر تسجيل النموذج (34.4) غير صحيح (غير صحيح)، والتسجيل (34.2) صحيح. هذا يرجع إلى حقيقة أن - مع حجة صفر، ويقولون إنه لا. من ناحية أخرى، في (34.2) - يتم احتواء الوظائف تحت لا يتجزأ. في هذه الحالة، الجانب الأيمن (34.2) هو القيمة النهائية لأي شيء، أي لا يتجزأ من -Prunction. على الرغم من ذلك في الفيزياء والفني والتطبيقات الأخرى لنظرية الاحتمالات، غالبا ما يستخدم تمثيل الكثافة في النموذج (34.4)، الذي يسمح أولا في الحصول على نتائج حقيقية، وتطبيق الخصائص - وظائف وثانيا، لديه تفسير طبيعي واضح. أمثلة على الكثافة ووظائف توزيع الاحتمالات 35.1.
وتسمى قيمة عشوائية موزعة بشكل موحد على القطاع إذا كانت كثافة توزيع الاحتمالات أين يتم تحديد الرقم من حالة التطبيع: الاستبدال (35.1) في (35.2) يؤدي إلى المساواة، الحل الذي يبدو نسبيا :. وظيفة توزيع الاحتمالات هي متغير عشوائي موزز بشكل موحد يمكن العثور عليها حسب الصيغة (33.5)، والتي تحددها الكثافة: في التين. 35.1 يوضح الرسوم البيانية للوظائف ومتغير عشوائي موزز بشكل موحد. 35.2.
وتسمى قيمة عشوائية طبيعية (أو غوسي)، إذا كانت كثافة توزيع الاحتمالات: حيث، - أرقام تسمى معلمات الوظيفة. تأخذ الوظيفة القيمة القصوى :. المعلمة ذات شعور بعرض فعال. بالإضافة إلى هذا التفسير الهندسي للمعلمات، يكون لها تفسير احتمامي، وسيتم اعتباره في اللاحق. من (35.4) تعبير عن وظيفة توزيع الاحتمالات أين هي وظيفة لابلاس. في التين. 35.2 يقدم الرسوم البيانية للوظائف والتباين العادي العادي. للإشارة إلى حقيقة أن قيمة عشوائية لها توزيع طبيعي مع معلمات وسجل يستخدم في كثير من الأحيان. 35.3.
قيمة عشوائية لها كثافة توزيع الاحتمالات Cauchy إذا هذه الكثافة تتوافق مع وظيفة التوزيع 35.4.
يتم استدعاء القيمة العشوائية الموزعة وفقا للقانون الأسي إذا كانت كثافة توزيع الاحتمالات لديها النموذج: نحدد ميزة توزيع الاحتمالات. مع من (35.8) يتبع. اذا ثم 35.5.
يتم تحديد توزيع التتابع من الاحتمال التباين العشوائي من خلال كثافة النوع تتوافق هذه الكثافة مع وظيفة توزيع الاحتمالات وتساوي. 35.6.
النظر في أمثلة بناء وظيفة التوزيع وكثافة المتغير العشوائي المنفصل. دع قيمة عشوائية هي عدد النجاح في سلسلة من الاختبارات المستقلة. ثم تأخذ قيمة عشوائية القيم، مع احتمال تحددها Formula Bernoulli: أين، - احتمالات النجاح والفشل في تجربة واحدة. وبالتالي، فإن وظيفة توزيع الاحتمالات لمتغير عشوائي لديه النموذج أين - وظيفة قفزة واحدة. ومن هنا كثافة التوزيع: أين - وظيفة دلتا. المتغيرات العشوائية المفرد بالإضافة إلى المتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة، لا تزال هناك ما يسمى المتغيرات العشوائية المفرد. تتميز هذه المتغيرات العشوائية بحقيقة أن وظيفة توزيع الاحتمالات الخاصة بهم مستمرة، لكن نقاط النمو تشكل حشدا من التدبير الصفر. تسمى نقطة نمو الوظيفة قيمة حجتها بحيث المشتق. وبالتالي، في كل مكان تقريبا في مجال تعريف المجال. وظيفة تلبية هذه الحالة تسمى أيضا المفرد. مثال على وظيفة التوزيع المفرد هو منحنى كانتور (الشكل 36.1)، الذي تم بناؤه على النحو التالي. يوحي متى ومتى. ثم ينقسم الفاصل الزمني إلى ثلاثة أجزاء متساوية (شريحة) والقيمة مصممة على القطاع الداخلي - كنصف القيم بعض القيم على أقرب شرائح على اليمين واليسار. حاليا، يتم تعريف الوظيفة لصالحها، وقيمتها، ومع القيمة. إن نصف هذه القيم يساوي ويحدد القيمة على القطاع الداخلي. يتم بعد ذلك مراعاة القطاعات، ويتم تقسيم كل واحد منهم إلى ثلاثة قطاعات متساوية ويتم تحديد الوظيفة على القطاعات الداخلية نصف كأقرب يمين وليسار من القيم المحددة للوظيفة. وبالتالي، مع وظيفة - نصف الأرقام و. وبالمثل، فإن الوظيفة على الفاصل الزمني. ثم يتم تحديد الوظيفة على الفاصل الزمني الذي، وما إلى ذلك المتغيرات العشوائية. وظيفة وكثافة توزيع الاحتمالات التباين عشوائي منفصل. المتغيرات العشوائية المفرد. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي. عدم المساواة تشيبشيف. لحظات، وظيفة التركيب والخاصة. مجردة، وأضاف 03.12.2007 مفاهيم نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي، واستخدامها في الممارسة العملية. تحديد متغير عشوائي. أنواع وأمثلة لمتغيرات عشوائية. قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل. قوانين توزيع متغير عشوائي مستمر. وأضاف 25.10.2015 احتمالية المتغيرات العشوائية الواردة في فاصل معين. بناء مخطط لوظيفة توزيع متغيرة عشوائية. تقدير احتمال أن تسبب القضية التي اتخذت المنتج المعيار. قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل. الفحص، وأضاف 01/24/2013 متغيرات عشوائية منفصلة وتوزيعها. صيغة الاحتمالية الكامل وصيغة بايس. الخصائص العامة للتوقعات الرياضية. تشتت المتغير عشوائي. وظيفة توزيع متغير عشوائي. التعريف الكلاسيكي للاحتمالات. امتحان، وأضاف 12/13/2010 وظيفة توزيع متغير عشوائي مستمر. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر، وكثافة توزيع احتمالات النظام. المباشر. معامل الارتباط. العمل المختبري، وأضاف 19.08.2002 ميزات وظيفة التوزيع كخاصية عالمية لمتغير عشوائي. وصف خصائصها، تمثيلها باستخدام التفسير الهندسي. أنماط حساب احتمالية توزيع متغير عشوائي منفصل. عرض تقديمي، وأضاف 01.11.2013 تقدير احتمالات الأحداث المختلفة وفقا لصيغة برنولي. وضع قانون التوزيع المتغير العشوائي المنفصل، وحساب التوقعات الرياضية والتشتت والانحراف Riconductic بمتغير عشوائي وتكثيف الاحتمالات. تم إضافة 31.10.2013 استخدام برنولي صيغة للعثور على احتمال وجود أصل الحدث. بناء رسم بياني متغير عشوائي منفصل. التوقعات الرياضية وخصائص وظيفة التوزيع المتكامل. وظيفة توزيع متغير عشوائي مستمر. الفحص، وأضاف 01/29/2014 نظرية احتمالات وأنماط الظواهر العشوائية الجماعية. عدم المساواة و chebyshev نظرية. الخصائص العددية لمتغير عشوائي. التوزيع وتحول فورييه. الوظيفة المميزة لمتغير Gaussian العشوائي. مجردة، وأضاف 01/24/2011 حساب التوقع الرياضي والتشتت ووظائف التوزيع والانحراف Riconductic لمتغير عشوائي. قانون توزيع المتغير العشوائي. التعريف الكلاسيكي لاحتمال الحدث. العثور على كثافة التوزيع. يتم استدعاء قيمة عشوائية منفصله
إذا كانت مجمل جميع القيم المحتملة محدودة أو لانهائية، ولكنها تحسب بالضرورة العديد من القيم، I.E. هذه المجموعة، كل العناصر التي يمكن أن تكون (نظريا على الأقل) مرقمة وتفريغها في التسلسل المناسب. مثل هذه المتغيرات العشوائية المدرجة أعلاه كعدد النقاط التي تسقط عند إلقاء مكعب اللعب، وعدد الزوار إلى الصيدلية خلال اليوم، فإن عدد التفاح على الشجرة هي قيم عشوائية منفصلة. المعلومات الأكثر اكتمالا حول المتغير العشوائي المنفصل يعطي قانون التوزيع
هذه القيمة - هذه مراسلة بين جميع القيم الممكنة لهذا المتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة. غالبا ما يتم تحديد قانون التوزيع العشوائي المنفصل في شكل جدول من مستويين، في الصف الأول الذي يتم فيه سرد جميع القيم الممكنة لهذه القيمة (بترتيب تصاعدي)، وفي قيم الاحتمالية المتوافقة مع الاحتمالات الثانية: نظرا لأن جميع القيم الممكنة للتباين العشوائي المنفصل هي النظام الكامل، فإن مبلغ الاحتمالات يساوي واحدا ( شروط التطبيع): مثال 4. هناك عشر مجموعات طلابية على التوالي، 12 و 10 و 8 و 10 و 9 و 12 و 8 و 11.10 و 9 طلاب. قم بإجراء قانون توزيع قيمة عشوائية من X، معتمدة على أنه عدد الطلاب في مجموعة عشوائية المجموعة المحددة. قرار.
القيم المحتملة للمتغير العشوائي X (بترتيب تصاعدي) هي 8، 9، 10، 11، 12. احتمال أن تكون 8 طلاب هي الفرصة التي ستكون فيها 8 طلاب عشوائيا وبالمثل، يمكنك العثور على احتمالات القيم المتبقية من المتغير العشوائي X: وبالتالي، قانون التوزيع المرغوب فيه: يمكن أيضا تحديد أذونات المتغير العشوائي المنفصل باستخدام الصيغة التي تسمح بكل قيمة محتملة لهذه القيمة لتحديد الاحتمال المناسب (على سبيل المثال، توزيع برنولي، توزيع Poisson). لوصف ميزات معينة من المتغير العشوائي المنفصل استخدامها الخصائص العددية الرئيسية: التوقع الرياضي والتشتت ومتوسط \u200b\u200bالانحراف التربيعي (المعيار). التوقع الرياضي
M (X) (أيضا تعيين "μ") من متغير عشوائي منفصل يسمى مقدار أعمال كل من القيم المحتملة إلى الاحتمالات المقابلة: المعنى الرئيسي للتوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو أنه هو يعني هذه القيمة. بمعنى آخر، إذا تم إنتاج كمية معينة من الاختبارات، استنادا إلى نتائج الحساب المتوسط \u200b\u200bلجميع القيم الملحوظة للمتغير العشوائي المنفصل، فإن هذا المتوسط \u200b\u200bالحسابي متساوي تقريبا (أكثر بدقة، المزيد من الاختبارات) في انتظار الرياضيات لمتغير عشوائي معين. دعونا نقدم بعض خصائص التوقع الرياضي. 1. التوقع الرياضي للقيمة الدائمة تساوي هذه القيمة الثابتة: م (ج) \u003d مع 2. التوقع الرياضي لعمل مضاعف ثابت إلى مبلغ عشوائي منفصل يساوي نتاج هذا العامل الثابت في التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي: M (KX) \u003d km (x) 3. تتوقع التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين بمجموع التوقعات الرياضية لهذه الكميات: M (x + y) \u003d m (x) + m (y) 4. التوقع الرياضي لعمل المتغيرات العشوائية المستقل يساوي نتاج التوقعات الرياضية: M (x · y) \u003d m (x) · m (y) يتم تجميع قيم منفصلة للمتغير العشوائي المنفصل بالقرب من التوقع الرياضي مثل المركز. للحصول على وصف درجة نثر القيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل بالنسبة إلى توقعاته الرياضية، يتم تقديم المفهوم تشتت التباين عشوائي منفصل. تشتت د (س) (تعيين "σ 2") من متغير عشوائي منفصل يسمى X التوقع الرياضي لساحة انحراف هذا الحجم من التوقعات الرياضية: D (x) \u003d σ 2 \u003d m ((x - μ) 2)،(11) في الممارسة العملية، التشتت أكثر ملاءمة لحساب وفقا للبيض d (x) \u003d σ 2 \u003d m (x 2) - μ 2, (12) نحن سرد الخصائص الأساسية للتشتت. د (س) ≥0 د (ككس) \u003d ك 2 · د (س). في المصطلحات الحاسوبية، إنه ليس أكثر ملاءمة وليس التشتت، والقياس الآخر لتشتت متغير عشوائي عاشرالذي يستخدم في كثير من الأحيان - متوسط \u200b\u200bالانحراف التربيعي(الانحراف المعياري أو ببساطة اساسي).
الانحراف التربيعي المتوسط يسمى المتغير العشوائي المنفصل جذر مربع لتشتيتها: راحة الانحراف المعياري هي أنه يحتوي على بعد متغير عشوائي عاشرفي حين أن التشتت لديه بعد يمثل مربع البعد عاشر نهاية العمل - هذا الموضوع ينتمي إلى القسم: التبرير المنهجي العلمي للموضوع .. نظرية الاحتمالات دراسات الأنماط التي تجلى عند دراسة هذا .. يمكن تحديد العديد من الأحداث العشوائية القيم العشوائية التي تأخذ القيم في .. إذا كنت بحاجة إلى مواد إضافية في هذا الموضوع، أو لم تجد ما كانوا يبحثون عنه، نوصي باستخدام البحث عن قاعدة عملنا: إذا تحولت هذه المواد مفيدة لك، فيمكنك حفظها إلى صفحة الشبكات الاجتماعية الخاصة بك:
وثائق مماثلة
عاشر
x 1.
× 2
…
x N.
P.
ص 1.
ص 2.
…
ص N.
عاشر
P. 0,2
0,2
0,3
0,1
0,2
عناصر نظرية الاحتمالات
ما سنفعله بالمواد التي تم الحصول عليها:
