Bir ölçülü təsadüfi dəyişənlər
Təsadüfi dəyişən anlayışı. Diskret və davamlı təsadüfi dəyişənlər. Ehtimal və onun xüsusiyyətlərinin paylanmasının funksiyası. Ehtimalın paylanmasının və onun xüsusiyyətlərinin sıxlığı. Təsadüfi dəyişənlərin rəqəmsal xüsusiyyətləri: riyazi gözləntilər, dispersiya və onların xüsusiyyətləri, ikincil kvadratatik sapma, mod və median; İbtidai və mərkəzi anlar, asimmetriya və artıqlıq.
Təsadüfibuna testlər və ya digəri birində) mümkün dəyər, əvvəlcədən tanınmış, dəyişən bir sınaq və təsadüfi hallardan asılı olaraq edilən bir dəyər, testlər nəticəsində (yalnız bir) dəyəri adlanır. Təsadüfi bir test nəticəsi üçün keyfiyyətli bir xarakterik olan təsadüfi bir tədbirdən fərqli olaraq, təsadüfi bir dəyər testin nəticəsini kəmiyyətcə xarakterizə edir. Təsadüfi dəyişkənliyin nümunələri, məhsulun və ya ətraf mühitin hər hansı bir parametrinin ölçülməsinin səhvinin ölçüsü ola bilər. Təcrübədə görüşməli olduğunuz təsadüfi dəyişənlər arasında iki əsas növ fərqlənə bilər: diskret dəyərlər və davamlıdır.
Diskrap Bu, son və ya sonsuz sayma dəyər dəsti alan belə təsadüfi bir dəyər adlanır. Məsələn, üç atış üçün hitlərin tezliyi; partiyadakı qüsurlu məhsulların sayı; gün ərzində telefon mübadiləsinə daxil olan zənglərin sayı; Cihazın elementlərinin elementlərinin müvəffəq olması üçün sınaqdan keçirildiyi zaman müəyyən bir müddətdir; Hədəfdəki ilk vuruşdakı atışların sayı və s.
Davamlı Buna müəyyən bir sonsuz və ya sonsuz bir aralıqdan hər hansı bir dəyər ala biləcək bir təsadüfi bir dəyər deyilir. Aydındır ki, davamlı təsadüfi dəyişənin sonsuz dərəcədə dəyişkən dəyərlərinin sayı. Məsələn, radarın aralığının ölçülməsində bir səhv; Mikrosirxutun problemsiz işləməsi vaxtı; Hissələrin istehsalının xətası; Dəniz suyu və s. Duz konsentrasiyası və s.
Təsadüfi dəyişənlər adətən hərflər və s. Və onların mümkün dəyərləri və s. İlə işarələnir və s. Təsadüfi dəyişənləri təyin etmək üçün bütün mümkün dəyərləri sadalamaq kifayət deyil. Eyni şərtlərdə testlər nəticəsində bu və ya digər dəyərlərin nə qədər tez-tez görünə biləcəyini bilmək lazımdır, yəni görünüşlərinin ehtimalını təyin etmək lazımdır. Təsadüfi dəyişkənliyin bütün mümkün dəyərlərinin və onlara ehtimal olunan bütün dəyərlərin birləşməsi təsadüfi dəyişikliyin paylanmasıdır.
Paylama qanunu Təsadüfi bir dəyişən təsadüfi dəyişən və müvafiq ehtimalların mümkün dəyərləri arasında hər hansı bir yazışma adlanır. Təsadüfi məbləğ bildirir ki, bu paylama qanuna oyadır. İki təsadüfi dəyişən adlanır müstəqilBunlardan birinin paylanması qanunu mümkün dəyərlərin başqa bir dəyəri aldıqlarından asılı deyil. Əks təqdirdə təsadüfi dəyişənlər deyilir asılı. Bir neçə təsadüfi dəyişən adlanır qarşılıqlı müstəqilİstənilən sayın paylanmasının qanunları qalan dəyərlərin mümkün dəyərlərinin qəbul edildiyi asılı deyilsə.
Təsadüfi bir dəyişənin paylanması qanunu, bir distributinq funksiyası olaraq, paylama funksiyası şəklində, paylama sıxlığı şəklində göstərilə bilər. Təsadüfi dəyişən və müvafiq ehtimalların mümkün dəyərlərini ehtiva edən cədvəl, təsadüfi dəyişənlərin paylanması qanununun ən sadə formasıdır:
Dağıtım Qanununun cədvəl vəzifəsi yalnız son sayda dəyərli dəyərləri olan diskret təsadüfi dəyişən üçün istifadə edilə bilər. Təsadüfi dəyişən qanununun vəzifəsinin cədvəl forması da bir sıra paylamadır.
Aydınlıq üçün bir sıra paylama qrafik olaraq təmsil edir. Abscissa oxu boyunca düzbucaqlı bir koordinat sistemində qrafik görüntüsü ilə təsadüfi dəyişikliyin bütün mümkün dəyərləri əmanət olunur və verlin oxuna görə müvafiq ehtimallara görə. Sonra xal qurun və onları düz kəsiklərlə bağlayın. Yaranan fiqur adlanır Çoxbucaqlı paylama (Şəkil 5). Ordinite ucları birləşməsinin yalnız aydınlıq məqsədləri üçün hazırlandığını xatırlamaq lazımdır. Təsadüfi dəyər alınmır, buna görə də bu fasilələrlə görünüşünün ehtimalı sıfırdır.
Distribution Poliqon, bir sıra paylama kimi, diskret təsadüfi dəyişənlərin paylama qanunu vəzifəsinin formalarından biridir. Onların fərqli bir forması ola bilər, amma hər kəsin bir ortaq bir əmlakı var: təsadüfi dəyişənin mümkün olan bütün dəyərlərin ehtimallarının cəmi olan paylayıcı poliqonun ucları, həmişə birinə bərabərdir. Bu əmlak təsadüfi dəyişkənliyin mümkün olan bütün dəyərlərinin, birinin tam olan tam bir qrupu olan tam bir qrupun olmasıdır.
Tərif. Təsadüfi bir dəyişən, bir ədədi bir dəyər adlanır, dəyəri təsadüfi bir nəticə olan bir təcrübə nəticəsində hansı element nəticəsi meydana çıxdı. Təsadüfi dəyərin ala biləcəyi bütün dəyərlərin dəsti bu təsadüfi dəyişənin çox sayda dəyərli dəyərləri adlanır.
Təsadüfi dəyişənlər göstərir: X., Y 1., Z I.; ξ , η 1., μ i.və onların mümkün dəyərləri - x 3., y 1k., z ij..
Misal. Təsadüfi bir dəyişənin oyun sümüyünün birdəfəlik tökmə qabiliyyəti olan bir nömrədir X. Satılan eynək. Təsadüfi dəyişən bir çox mümkün dəyərlər X. Görünüşü var
{x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x 6 \u003d 6}.
İbtidai nəticələr arasında aşağıdakı uyğunluğunuz var ω və təsadüfi dəyərlər X.:
Yəni hər ibtidai nəticədir ω I., i \u003d 1, ..., 6, nömrəyə uyğun qoyun i..
Misal. Sikkə "Gerbi Gerb" nin ilk görünüşünə qədər atılır. Bu təcrübədə, məsələn, belə təsadüfi dəyişənlər daxil edə bilərsiniz: X. - Çox sayda dəyərli olan "Gars palto" ın ilk görünüşünə tökmə sayı ( 1, 2, 3, … ) I. Y. - Bir çox mümkün dəyərləri olan "Gerblər" nin ilk görünüşünə düşən "nömrələrin" sayı {0, 1, 2, …} (aydındır) X \u003d Y + 1). Bu təcrübədə elementar nəticələrin məkanı Ω çoxları ilə müəyyən edilə bilər
{G, cg, csg, ..., c ... cg, ...},
və elementar nəticələr ( C ... TSG.) nömrəyə uyğundur m + 1. və ya m.harada m. - "C" hərfinin təkrarlama sayı.
Tərif. Scalar funksiyası X (ω)İbtidai nəticələr məkanında müəyyən edilmiş, hər hansı bir üçün təsadüfi dəyişən deyilir x∈ R. (Ω: x (ω)< x} Bu bir hadisədir.
Təsadüfi dəyişənin ehtimal xüsusiyyətlərini öyrənmək üçün, təsadüfi bir dəyərin dəyərlərinin alt hissəsindən bir dəyəri alacağına imkan verən qaydanı bilməlisiniz. Hər hansı bir qayda ehtimal paylanması qanunu və ya təsadüfi dəyişən paylama qanunu adlanır.
Bütün təsadüfi dəyərlərə xas olan ümumi paylama qanunu paylama funksiyasıdır.
Tərif. Dağıtım funksiyası (ehtimal) təsadüfi dəyişən X. Zəng funksiyası F (x)nöqtədə kimin dəyəri x. Bir hadisənin ehtimalını bərabər dərəcədə (X.< x} , yəni bu və yalnız o ibtidai nəticələrdən ibarət hadisələr ω hansı üçün X (ω)< x :
F (x) \u003d p (x)< x} .
Adətən nöqtədə paylama funksiyasının dəyəri olduğu deyilir x. Təsadüfi bir dəyəri olan ehtimala bərabərdir X. az bir dəyər alacaq x..
Teorem. Dağıtım funksiyası aşağıdakı xüsusiyyətləri təmin edir:
Paylama funksiyasının tipik görünüşü.
Tərif. Təsadüfi dəyişən X. Əlbətdə və ya sayıla bilən bir çox dəyər varsa, diskret adlandırın.
Tərif. Dağıtım (ehtimal) Diskret təsadüfi dəyişən yaxınlığında X. İki xəttdən ibarət bir masa çağırın: Təsadüfi dəyişikliyin bütün mümkün dəyərləri üst sətirdə və aşağı ehtimalda verilmişdir p i \u003d p \\ (x \u003d x i \\) Bu təsadüfi dəyər bu dəyərləri alacaq.
Cədvəlin düzgünlüyünü yoxlamaq üçün ehtimallar toplamaq tövsiyə olunur. p I.. Atəş aksiomu fəziləti ilə:
Diskret təsadüfi dəyişənin bir sıra paylanması üçün paylama funksiyasını inşa edə bilərsiniz F (x). Ol X. - onun paylanması sayına görə müəyyən edilir və x 1< x 2 < … < x n . Sonra hamı üçün x ≤ x 1 hadisə (X.< x} Buna görə tərifinə görə mümkün deyil F (x) \u003d 0. Əgər a x 1< x≤ x 2 , sonra hadisə (X.< x} olanlardan və yalnız bu ibtidai nəticələrdən ibarətdir X (ω) \u003d x 1. Beləliklə, F (x) \u003d p 1. Eynilə, üçün x 2< x ≤ x 3 hadisə (X.< x} ibtidai nəticələrdən ibarətdir ω ya da X (ω) \u003d x 1həm X (ω) \u003d x 2, i.e (X.< x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Beləliklə, F (x) \u003d p 1 + p 2 və s. Üçün x\u003e x n hadisə (X.< x} etibarlıdır F (x) \u003d 1.
Diskret təsadüfi dəyişənin paylanması qanunu, bir düstura və ya qrafik olaraq analitik olaraq göstərilə bilər. Məsələn, oyun sümüyünün paylanması düstur tərəfindən təsvir edilmişdir
P (x \u003d i) \u003d 1/6, i \u003d 1, 2, ..., 6.
Binomial paylama. Diskret təsadüfi dəyişkənliyi X. Binomial qanuna görə paylandı, 0, 1, 2, ... n. Bernoulli Formula tərəfindən göstərilən paylanmasına uyğun olaraq:
Bu paylama müvəffəqiyyət sayının paylanmasından başqa bir şey deyil X. içində n. Bernoulli sxeminə görə müvəffəqiyyət ehtimalı ilə testlər p. və uğursuzluq q \u003d 1-P.
Poisson paylanması. Diskret təsadüfi dəyişkənliyi X. Ehtimallarla çox mənfi olmayan dəyərlər alırsa, Poisson qanunu ilə paylanır
harada λ > 0 - Poisson Distribution Parametr.
Poissonun paylanması da nadir hadisələrin qanunu adlanır, çünki hər zaman çox sayda testin istehsal olunduğu kimi, "nadir" hadisələr baş verir.
Məsələn, telefon stansiyasında gün ərzində alınan zənglərin sayı paylanmış Poisson qanununa uyğun olaraq; müəyyən bir ərazidə düşən meteoritlərin sayı; Maddənin radioaktiv çürüməsindəki qırıq hissəciklərin sayı.
Həndəsi paylama. Bernoulli sxemini yenidən nəzərdən keçirin. Ol X. - İlk müvəffəqiyyətdən əvvəl həyata keçirilməli olan testlərin sayı görünəcəkdir. Sonra X. - Diskret təsadüfi dəyər, 0, 1, 2, ..., n., ... bir hadisənin ehtimalını təyin edirik (X \u003d n).
Belə bir sıra paylama ilə təsadüfi dəyişən bir həndəsi qanuna görə paylanmışdır.
Təsadüfi dəyişənlər.
Riyaziyyatda dəyər - Bu obyektlərin və hadisələrin müxtəlif kəmiyyət xüsusiyyətlərinin ümumi adıdır. Uzunluq, sahə, temperatur, təzyiq və s. - Fərqli miqdarda nümunələr.
Müxtəlif olan dəyər Təsadüfi halların təsiri altında ədədi dəyərlər deyilir Təsadüfi dəyişən. Təsadüfi dəyişənlərin nümunələri: 1) Həkimdən qəbul gözləyən xəstələrin sayı, 2) İnsanların daxili orqanlarının dəqiq ölçüləri və s.
Diskrap və davamlı təsadüfi dəyişənləri ayırd edin.
Təsadüfi dəyər diskret deyilirYalnız bir-birindən müəyyən edilmiş və siyahıya alınan bir-birindən müəyyən edilmişdirsə.
Misal:
1) Tamaşaçılarda tələbələrin sayı - yalnız bütöv bir müsbət bir şey ola bilər:
0,1,2,3,4….. 20…..
2) Oyun sümüyü atarkən yuxarı üzdə görünən rəqəm - yalnız 1-dən 6-a qədər olan tam dəyərləri ala bilər.
3) 10 atışda hədəfə girməyin nisbi tezliyi - mənaları:
0; 0,1; 0,2; 0,3 ….. 1
4) Eyni zamanda fasilələrlə baş verən hadisələrin sayı: nəbz dərəcəsi, saatda təcili yardım nömrəsi, ölümcül bir nəticə və s.
Təsadüfi dəyər davamlı deyilirƏgər götürə bilərsə hər hansı Bəzən kəskin şəkildə sui-qəsdli və məlum olmayan müəyyən bir interval içərisində olan dəyərlər, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin intervalda (- ¥; ¥) -də uzananlar üçün baxılırlar. Davamlı təsadüfi dəyərlər üçün Məsələn, temperatur, təzyiq, çəki və insanların böyüməsi, qan formalı qan elementlərinin, qan ph və s.
Təsadüfi bir dəyişən anlayışı, təsadüfi hadisələrin təsadüfi dəyərlərə keçid üçün xüsusi üsulları hazırlayan ehtimalların hazırkı ehtimalı nəzəriyyəsində həlledici rol oynayır.
Təsadüfi bir dəyər vaxtdan asılıdırsa, onda təsadüfi bir proses haqqında danışa bilərik.
3.1. Diskret təsadüfi dəyişən
Diskret təsadüfi bir dəyişən üçün tam bir xarakterik olmaq üçün, bütün mümkün dəyərləri və onların ehtimallarını göstərməlisiniz.
Diskret təsadüfi dəyişənlərin mümkün dəyərləri arasındakı yazışmalar və onların ehtimalları deyilir bu böyüklüyün paylanmasının qanunu.
XI vasitəsilə təsadüfi dəyişən X-nin mümkün dəyərlərini və pi * vasitəsilə onlara uyğun ehtimallar. Sonra diskret təsadüfi dəyişənin tranziti üç yolla təyin edilə bilər: bir masa, qrafika və ya formul şəklində.
1. Masa, çağırılan dağıtımın yaxınlığında,diskret təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərləri sadalanır və ehtimal p (x) bu dəyərlərinə uyğundur:
Cədvəl 3.1.
Bu vəziyyətdə, bütün pi ehtimallarının cəmi birinə bərabər olmalıdır ( vəziyyət normallaşma):
pi \u003d p1 + p2 + ... + pn \u003d
2. Qrafik olaraq - adət adlı bir qırıq bir xətt şəklində Çoxbucaqlı paylama(Şəkil.3.1). Burada üfüqi ox boyunca, təsadüfi dəyişən XI-nin bütün mümkün dəyərləri qoyulmuş və şaquli ox boyunca - pi-nin müvafiq ehtimalı.
3. Analitik - Formula şəklində: məsələn, hədəfə bir vuruşa girmə ehtimalı bərabərdirsə r,sonra bir vuruşda yanlışlama ehtimalı Q \u003d 1 - P, A. Hədəf məğlubiyyəti 1 dəfə n. Çəkilişlər düstur tərəfindən verilir: p (n) \u003d qn-1 × p,
Davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün yuxarıdakı formalarda paylama qanunu yuxarıdakı formalarda tətbiq etmək mümkün deyil, çünki davamlı dəyəri saysız-hesabsız ("hesablanmayan"), bir çox intervalın tamamilə doldurulmasıdır. Buna görə, bütün mümkün dəyərlərin sadalanacağı və ya çoxbucaqlı bir paylama qurmaq üçün bir masa hazırlamaq üçün qurula bilməz. Bundan əlavə, hər hansı bir dəyəri ehtimalı çox kiçikdir (0-a yaxın). Eyni zamanda, davamlı təsadüfi dəyişənlərin mümkün dəyərlərinin müxtəlif sahələri (fasilələr) ümumiyyətlə eyni dərəcədə ehtimal olunur. Beləliklə, keçmiş mənada olmasa da müəyyən bir paylama qanunu var.
Davamlı bir təsadüfi bir miqdar x-ni, mümkün olan dəyərləri tamamilə interval (a, b) * ilə doldurulmuşdur. Qanunauyğunluq ehtimal paylamaları Belə bir dəyər, dəyərlərinin ehtimalını istənilən interval (X1, x2), içəridə (A, B *) içərisinə (Şəkil.3.2)
Bu ehtimal p (x1 tərəfindən işarələnmişdir<Х< х2), или Р(х1 £ Х £ х2).
Əvvəlcə düşünün İnterval X-dən (x + dx) dəyərləri (bax Şəkil.3.2.) Təsadüfi dəyərin bu kiçik intervaldan (X, X + dx) bir qədər dəyər alacağının aşağı ehtimalı, mütənasib bir dəyərdir Bu DX intervalının: Dr ~ dx və ya özünün x-dən asılı ola biləcəyini mütənasiblik F-nin nisbətinin nisbətini təqdim edirik:
dr \u003d f (x) × dx. (3.2)
ABŞ funksiyası tərəfindən təqdim olunur f (x) adlı Ehtimal paylama sıxlığı Təsadüfi dəyişən X və ya qısa müddətdə, ehtimal sıxlığı (paylama sıxlığı). Tənlik (3.2) diferensial tənlik kimi baxıla bilər, sonra vurma ehtimalı. Intervalın sıraları (x1, x2) bərabərdir:
P (x1)< Х < х2) = f (x) dx. (3.3)
Qrafik olaraq bu ehtimal p (x1)< Х < х2) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, кривой f (x) və düz X \u003d X1 və X2 və X2 (bax Şəkil.3.3), müəyyən bir inteqralın həndəsi mənasından sonra (3.3). Əymək f (x)
Bu adlanır distribution əyrisi.
(3.3) -dən (bir funksiya məlum olub olmadığını görmək olar f (x), İnteqrasiya həddini dəyişdirən, hər hansı bir fasilələr üçün ehtimalını tapa bilərsiniz. Buna görə də budur qəbul funksiyası f (x) Davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün paylama qanunu tam müəyyənləşdirir.
Ehtimal olunan ehtimalın sıxlığı üçün f (x) yerinə yetirilməlidir vəziyyət normallaşmakimi:
f (x)dx = 1, (3.4)
x-nin bütün dəyərlərinin intervalında (A, B) və ya formada olan bütün dəyərlərin olduğu məlumdursa:
f (x) dx \u003d 1, (3.5)
x dəyərlər üçün intervalın sərhədləri məlum deyilsə. Ehtimal sıxlığının (3.4) və ya (3.5) normallaşdırılması şərtləri təsadüfi dəyişən x dəyərlərinin nəticəsidir etibarlı (A, B) və ya (- ¥, +, ¥) içərisində uzanır. (3.4) və (3.5) -dən (3.5) bundan sonra fiqurun sahəsi, məhdud paylama əyrisi və abscissa oxu, həmişə 1-ə bərabərdir.
3.3. Təsadüfi dəyişənlərin ədədi xüsusiyyətləri.3.1 və 3.2-ci bəndlərdə göstərilən nəticələr göstərir ki, diskret və ya davamlı təsadüfi dəyərlərin tam xarakteristikasiyası onların paylanması qanunlarına səbəb olur.
Ancaq bir çox praktik olaraq əhəmiyyətli vəziyyətlərdə sözdə deyilir Rəqəmsal xüsusiyyətlər Təsadüfi dəyişənlər, əsas məqsəd, sıxılmış bir formada paylamasının ən vacib xüsusiyyətlərini ifadə etməkdir. Bu parametrlərin olması vacibdir xüsusi (daimi) dəyərlərtəcrübələrdə əldə edilən məlumatlardan istifadə edərək qiymətləndirilə bilər. Bu qiymətləndirmələr qondarma "təsviri statistika" ilə məşğuldur.
Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikada çox fərqli xüsusiyyətlər var, burada ən çox istifadə olunanları nəzərdən keçiririk. Yalnız bunların bir hissəsi üçün dəyərlərinin hesablandığı düsturlar, digər hallarda hesablamalar kompüterdən çıxacaqdır.
3.3.1. Vəziyyətin xüsusiyyətləri: Riyazi gözləmə, moda, median.
Bu, bir rəqəmli oxun təsadüfi dəyişən mövqeyini xarakterizə edir, I.E. digər dəyərlərin paylanmasını xarakterizə edən bəzi vacib dəyərlərini göstərin. Onların arasında M (X) riyazi gözləntisi çox vacib rol oynayır.
amma). Riyazi gözləmə M (x) Təsadüfi dəyişən orta hesabatının bir ehtimal analoqudur.
Diskret təsadüfi dəyişən üçün, düsturu hesablanır:
M (x) \u003d X1R1 + X2P2 + ... + XNRN \u003d \u003d, (3.6)
davamlı təsadüfi dəyişən bir m (x) düsturlar tərəfindən müəyyən edilir:
M (x) \u003d və ya m (x) \u003d (3.7)
burada f (x), kiçik bir DX interval (DX interval (DX) üçün ehtimal sıxlığı, DP \u003d f (x) dx - ehtimal elementi (pi analoq).
Misal.Seqmentdə (A, B) vahid bir paylama olan davamlı təsadüfi dəyişənin orta dəyərini hesablayın.
Qərar: Vahid bir paylama ilə intervaldakı ehtimal sıxlığı (a, b) sabitdir, yəni f (x) \u003d con \u003d contr (a, b) sıfırdır və normallaşma vəziyyətindən (4.3) F0 dəyəri:
F0 \u003d F0 × x | \u003d (b-a) f0, haradan
M (x) \u003d 
| \u003d \u003d (a + b).
Beləliklə, m (x) riyazi gözləntisi intervalın ortasına (A, B), I.E. \u003d m (x) \u003d.
B). Moda mo (x) diskret təsadüfi dəyişənadlı Çox güman ki, dəyər(Şəkil.3.4, a) və davamlı - dəyər H.hansı sıxlıq ehtimal maksimal (Şəkil.3.4, b).
içində). Başqa bir mövqe xarakteristikası - median (Məni.) Təsadüfi dəyişən paylama.
Median Xəz)qiyməti adlı təsadüfi dəyişkənlik H.bütün paylamanı iki ekvivalent hissəyə bölür. Təsadüfi dəyişən üçün başqa sözlə bərabərcə yəqin ki Dəyər çəkmək məni daha az (x) və ya daha çox Mən (X): P (x< Ме) = Р(Х > İ) \u003d.
Buna görə medianı tənlikdən hesablamaq olar:
(3.8)
Qrafik median, tənzimlənən bir təsadüfi dəyişənin dəyəridir sahə, məhdud paylama əyrisi, yarısında (S1 \u003d S2) (Şəkil.3.4, b). Bu xarakterik adətən istifadə edir yalnız Davamlı bir Xarici dəyişənlər üçün davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün.
M (x), mo (x) və mən (x) üst-üstə düşsə, təsadüfi dəyişkənliyin paylanması deyilir simmetrik, əks halda - asimmetrik.
Səpələnmə xüsusiyyətləri - Dispersiya və standart sapma (ikincil kvadrat sapma).
DağılmaD. (X.) təsadüfi dəyişən x kimi müəyyən edilir randomly X-ni riyazi gözləntisindən M (X) olan bir kvadrat sapmasının riyazi gözləntisi:
D (x) \u003d m 2, (3.9)
və ya d (x) \u003d m (x2) - a)
Buna görə diskraptəsadüfi ölçü düsturlar tərəfindən hesablanır:
D (x) \u003d [Xi - m (x)] 2 pi, ya da d (x) \u003d XI2 pi -
və davamlı miqyaslı, intervalda paylanmışdır (A, B):
a interval üçün (-∞, ∞):
D (x) \u003d 2 f (x) dx, ya da d (x) \u003d x2 f (x) dx -
Dispersiya, riyazi gözləntilərinə nisbətən təsadüfi dəyişən X dəyərlərinin dəyərlərinin səpilməsinin orta səpələnməsini xarakterizə edir. "Dispersiya" sözü özü "dağılma" deməkdir.
Lakin Dispersiya D (X) təsadüfi dəyişənin meydanının ölçüsünə malikdir, bu, fiziki, bioloji, tibbi, tibbi və s. Tətbiqləri qiymətləndirərkən çox əlverişsiz olan çox əlverişsizdir. Buna görə də, ümumiyyətlə, x-nin ölçüsü ilə üst-üstə düşən ölçüdə başqa bir parametr istifadə edin. Bu orta kvadratik sapma İxtx olan təsadüfi dəyişən x s. (X):
s. (X) \u003d (3.13)
Beləliklə, riyazi gözləntilər, moda, median, dispersiya və ikincil kvadrat sapma ən çox istehlak olunur Təsadüfi dəyişənlərin paylanmasının rəqəmsal xüsusiyyətləri, hər biri göstərildiyi kimi, bu paylamanın bəzi xarakterik xüsusiyyətlərini ifadə edir.
3.4. Təsadüfi dəyişənlərin normal paylanması qanunu
Normal paylama qanunu(Gauss's Qanunu) ehtimallar nəzəriyyəsində son dərəcə vacib bir rol oynayır. Birincisi, bu, davamlı təsadüfi dəyişənlərin paylanmasının qanunu praktikada ən çox yayılmışdır. İkincisi, bu məhdudlaşdırmaq Qanun, müəyyən şərtlərdə, digər paylama qanunlarına yaxınlaşdığı mənada.
Normal qanun Dağıtım, ehtimal sıxlığı üçün aşağıdakı formula ilə xarakterizə olunur:
, (3.13)
Burada x - təsadüfi dəyişən x, m (x) və s. - F (x) funksiyasını tam müəyyənləşdirən riyazi gözləntisi və standart sapması. Beləliklə, təsadüfi bir çeşid normal bir qanuna görə paylanırsa, yalnız iki rəqəmli parametrləri bilmək kifayətdir: m (x) və s.Onun paylanması qanunu tamamilə bilmək (3.13).Funksiya cədvəli (3.13) çağırıldı normal əyri paylama (Gauss əyrisi). Sınaq X \u003d m (x) ilə nisbətən simmetrik bir görünüşü var. "X \u003d m (x) riyazi gözləntiyə uyğun olan maksimum ehtimal sıxlığı, f (x) fındıqının sıxlığı olduğu kimi, tədricən sıfıra yaxınlaşır (Şəkil dəyişikliyi m ( x) (3.13) normal bir əyri şəklini dəyişdirmir, ancaq abscissa oxu boyunca onun sürüşməsinə səbəb olur. M (x) dəyəri də səpələnmə mərkəzi və RMS sapması adlanır s. paylama əyrinin genişliyini xarakterizə edir (bax Şəkil.3.6).
Artan s. Əyri maksimum qaydası azalır və əyrinin özü, abscissa oxu boyunca uzanan, azalma ilə daha çox yayılmışdır s.eyni vaxtda tərəfdən sıxmaq zamanı əyri tərtib olunur (Şəkil 6).
Təbii ki, m (x) və s hər hansı bir dəyər üçün, x-in normal bir əyri və oxu ilə bağlanmış ərazinin 1 (normallaşma vəziyyəti) bərabərdir:
f (x) dx \u003d 1, ya da f (x) dx \u003d
Normal paylama simmetrik olaraq, buna görə də m (x) \u003d mo (x) \u003d me (x).
Təsadüfi dəyişənin dəyərlərini intervala (x1, x2), i.E. p (x1) daxil etmək ehtimalı< Х< x2) равна
P (x1.< Х < x2) = 
. (3.15)
Təcrübədə, m (x) üçün simmetrik nisbətdə, normal paylanmış təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin dəyərlərini bilməsi problemi. Xüsusilə, tətbiq olunan aşağıdakı, vacib vəzifəni nəzərdən keçirin. Mən m (x) -dən s, 2 və 3 və 3s (Şəkil 7) -ə bərabər olan sağa və sol seqmentlərə təxirə salacağam və müvafiq fasilələrlə x daxil olmaq ehtimalının hesablanmasının nəticəsini nəzərdən keçirəcəyəm:
P (m (x) - s. < Х < М(Х) + s.) = 0,6827 = 68,27%. (3.16)
P (m (x) - 2s< Х < М(Х) + 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (3.17)
P (m (x) - 3s< Х < М(Х) + 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (3.18)
(3.18) -dən (3.18) -dən sonra, P \u003d 99.73% -i (x) ± 3s, demək olar ki, bütün mümkün dəyərlərdə p \u003d 99.73% -i olan bir ecazkar və s parametrləri ilə normal paylanmış təsadüfi dəyişənin dəyərləri Bu intervalın bu təsadüfi düşməsi. Dəyərlər. Təsadüfi dəyişkənliyin mümkün dəyərlərinin aralığını qiymətləndirmə üsulu "Üç Sigm" qaydası "kimi tanınır.
Misal.Qanın qan prezidenti orta dəyər (riyazi gözləntlilik) 7.4 və 0,2 standart bir sapma ilə normal paylanmış bir dəyərdir. Bu parametrin mümkün dəyərlərinin aralığını müəyyənləşdirin.
Qərar:Bu suala cavab vermək üçün "Üç Sigm qaydası" ndan istifadə edirik. 99,73% -ə bərabər bir ehtimalı ilə, bir şəxs üçün pH dəyərlərinin diapazonunun 7,4 × 3 · 0,2, yəni 6.8 × 8-dir.
* Əgər interval sərhədlərinin dəqiq dəyərləri məlum deyilsə, interval hesab olunur (- ¥, ¥).
Şagirdlər, aspirantlar, təhsil bazasında bilik bazasında istifadə edən gənc elm adamları sizə çox minnətdar olacaqlar.
Tərəfindən göndərilib http://www.allbest.ru/
Diskret təsadüfi dəyişənlər
Bəzi testlər edilsin, nəticəsi, nəticəsi natamam təsadüfi hadisələrdən biridir (hadisələrin sayı və ya əlbəttə və ya əlbəttə ki, hadisələr, hadisələr nömrələnə bilər). Hər nəticə bəzi etibarlı sayına uyğun olaraq qoyulur, yəni təsadüfi hadisələrin dəstindəki dəyərləri olan X-nin düzgün bir funksiyası göstərilir. Bu xüsusiyyət X adlanır diskrap təsadüfi dəyər ("Diskret" termini istifadə olunur, çünki təsadüfi dəyişikliyin dəyərləri davamlı funksiyalardan fərqli olaraq fərdi nömrələrdir). Təsadüfi dəyişənlərin dəyərləri təsadüfi hadisələrdən asılı olaraq dəyişir, sonra əsas maraq təsadüfi dəyərin müxtəlif rəqəmli dəyərləri aldığı ehtimalıları təmsil edir. Təsadüfi dəyişənlərin bölüşdürülməsi qanunu təsadüfi dəyişən və müvafiq ehtimallar arasında mümkün olan münasibətləri yaradan bir əlaqədir. Dağıtım Qanununun müxtəlif formaları ola bilər. Diskret təsadüfi dəyişən üçün, paylama qanunu, təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri və bu dəyərlərin mümkün olan ehtimallar olduğu haldır. Harada.
Cütlər bəzi koordinat sistemində xal kimi qəbul edilə bilər. Bu nöqtələri düz xətlərlə bağlayaraq paylama qanununun qrafik görüntüsünü - çoxbucaqlı bir paylama alırıq. Ən çox, diskret təsadüfi dəyişənin paylanması qanunu, cütlərin edildiyi bir masa şəklində qeyd olunur.
Misal. Sikkə iki dəfə əlavə edildi. Bu testdə "Silahlar" sayının bir qanun paylanması yaradın.
Qərar. Təsadüfi X bu testdə "Gerblər Geri" tullantılarının sayıdır. Aydındır ki, X üç mənanın birini götürə bilər: 0, 1, 2. Bir sikkə ataraq "Gerbin gerbinin" görünüşünün p \u003d 0.5-ə bərabərdir və "Rush" q \u003d itkisidir 1 - p \u003d 0.5. Təsadüfi bir dəyərin sadalanan dəyərləri aldığı ehtimallar Bernoulli Formula tərəfindən tapılacaq:
Təsadüfi dəyişən X-nin paylanması qanunu bir paylama cədvəli şəklində yazın
Nəzarət:
Müxtəlif vəzifələri həll etmək üçün tez-tez müxtəlif vəzifələri həll etmək üçün meydana gələn diskret təsadüfi dəyişənlərin bölüşdürülməsi qanunları, həndəsi paylama, hipergeometrik paylama, binomial paylama, poisson paylanması və digərləri.
Diskret təsadüfi dəyişənin paylanması Fundalution funksiyasından istifadə etməklə göstərilə bilər F (X) F (X), təsadüfi dəyərin intervalda dəyər alacağına bərabərdir ???? x ?: f (x) \u003d P (x F funksiyası F (x) bütün etibarlı oxda müəyyən edilir və aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir: bir)? ? F (x)? biri; 2) f (x) - azalma funksiyası; 3) f (??) \u003d 0, f (+?) \u003d 1; 4) f (b) - f (a) \u003d p (a? X)< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69 2 =(2-2.3) 2 =0.09 2 =(5-2.3) 2 =7.29 Kvadrat sapmasının qanun paylanmasını yazacağıq: Həll yolu: M (x) riyazi gözləntini tapacağıq: M (x) \u003d 2 * 0,1 + 3 * 0.6 + 5 * 0.3 \u003d 3.5 Wew akt paylanması təsadüfi x 2 Riyazi gözləntini tapacağıq m (x 2): M (x 2) \u003d 4 * 0,1 + 9 * 0.6 + 25 * 0.3 \u003d 13.5 İstədiyiniz dispersiya D (x) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 13.3- (3.5) 2 \u003d 1.05 Dispersiya xüsusiyyətləri 1. Sıfır ilə daimi bir dəyərin dağılması: D (c) \u003d 0 2. Bir dispersiya işarəsi üçün daimi bir çarpan etmək, bir kvadratda yemək üçün edilə bilər. D (cx) \u003d c 2 d (x) 3. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dağılması bu dəyərlərin dağılmasının miqdarına bərabərdir. D (x 1 + x 2 + + ... + x n) \u003d d (x 1) + d (x 2) + ... + d (x n) 4. Binomial paylamasının dağılması, hadisənin görünüşü və günahının bir testində D (X) \u003d NPQ-də olan testlərin sayının məhsulu ilə bərabərdir. Dağıtma ilə yanaşı, orta dəyəri ətrafında təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərinin səpilməsini qiymətləndirmək üçün, dispersiyaya əlavə olaraq digər xüsusiyyətlər də xidmət olunur. Bunlara orta kvadratatik sapma daxildir. Tərif. Təsadüfi dəyişən X-nin orta kvadratatik sapması dağınıqdan bir kvadrat kök deyilir: Misal 8. Təsadüfi dəyər X paylama qanunu ilə müəyyən edilir (X) bir orta kvadratatik sapma tapın Həll yolu: Riyazi gözləntii tap X: M (x) \u003d 2 * 0,1 + 3 * 0.4 + 10 * 0.5 \u003d 6.4 Riyazi gözləntini x 2 tapırıq: M (x 2) \u003d 2 2 * 0,1 + 3 2 * 0.4 + 10 2 * 0.5 \u003d 54 Dispersiya tapın: D (x) \u003d m (x 2) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 54-6.4 2 \u003d 13.04 İkinci orta kvadratik sapma (x) \u003d vd (x) \u003d v13.04? 3.61 Teorem. Qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin son sayının məbləğinin orta kvadratatik sapması bu miqdarın orta kvadratatik sapmalarının meydanlarının cəmindən bərabər dərəcədə kvadrat kökdür: Təsadüfi dəyişənlər Təsadüfi bir dəyişən anlayışı, ehtimal və onun tətbiqetməsinin nəzəriyyəsində əsasdır. Təsadüfi dəyərlər, məsələn, oyun sümüyünün tək atılmasında, təhlükəli radium atomlarının sayı, müəyyən bir müddət ərzində telefon stansiyasına edilən zənglərin sayı, digərlərindən sapma hissənin nominal hissəsi düzgün qurulmuş bir proses və s. Bu minvalla, təsadüfi
dəyər Təcrübə nəticəsində bir və ya digər rəqəmli dəyəri ala biləcək dəyişən bir dəyər deyilir. Gələcəkdə iki növ təsadüfi dəyişənlərə - diskret və davamlı baxacağıq. 1. Təsadüfi təsadüfi dəyişənlər Təsadüfi bir dəyişən *, mümkün olan dəyərləri, son və ya sonsuz sayda ardıcıllıqla meydana gətirir x.1
,
x.2
,
.
..,
x.n.,
.
..
.
Bir funksiya göstərsin p (x)Hər nöqtədə kimin dəyəri x \u003d X.i.(i \u003d 1,2,.
..)
Dəyərin bir dəyər alacağına dair ehtimala bərabərdir x.i..
Belə bir təsadüfi dəyər deyilir diskrap
(aralıq). Funksiya p (x) adlı qanunauyğunluq
paylama
ehtimal
təsadüfi
dəyər, və ya qısaca qanunauyğunluq
paylama. Bu xüsusiyyət ardıcıllıq nöqtələrində müəyyən edilmişdir. x.1
,
x.2
,
.
..,
x.n.,
.
..
.
Testlərin hər birində təsadüfi bir dəyər həmişə dəyişdirildiyi bölgədən hər hansı bir dəyər alır, Misal1.
Təsadüfi dəyər - oyun sümüyünün tək bir atması ilə yıxılan nöqtələrin sayı. Mümkün dəyərlər - 1, 2, 3, 4, 5 və 6 nömrələr, bu vəziyyətdə bu dəyərlərdən hər hansı birinin, bir və eyni və 1/6-a bərabər olan ehtimalı. Dağıtma qanunu nə olacaq? ( Qərar) Misal2.
Təsadüfi bir dəyər - hadisələrin sayı A. bir test ilə və P (a) \u003d p. Mümkün olan bir çox dəyər 0 və 1 nömrəsindən ibarətdir: =0
Bir hadisə A. baş vermədi və =1
Bir hadisə A. meydana gəldi. Bu minvalla, Tutaq ki, istehsal olunur n. Müstəqil testlər, hər birinin baş verə biləcəyi və ya getməməsi nəticəsində A.. Bir hadisənin ehtimalı olsun A. Hər dəfə test bərabərdir p. A. üçün n. Müstəqil testlər. Dəyişiklik sahəsi bütün tam ədədlərdən ibarətdir 0
əvvəlki n. İnklüziv. Ehtimal paylanması qanunu p (m)bernoulli Formula (13 ") tərəfindən təyin olunur: Bernoulli formuliyasına görə ehtimal paylanması qanunu tez-tez deyilir binomi, kimi P.n.(m)təmsil edən m.Binomanın parçalanmasının üzvü. Təsadüfi bir dəyəri heç bir mənfi olmayan bir dəyəri ala bilər və bəzi müsbət sabitdir. Bu vəziyyətdə, təsadüfi bir çeşidin paylandığını söyləyirlər qanunauyğunluq
Poisson, Qeyd edin ki, nə vaxt k \u003d 0. qoyulmalıdır 0!=1
. Bildiyimiz kimi, sayın böyük dəyərlərində n. Müstəqil ehtimal testləri P.n.(m) Təhərəqli m. Bir dəfə hadisələr A. Bernoulli düsturu tərəfindən tapılmamaq daha rahatdır, lakin laplace formuluna görə [baxın Formula (15)]. Ancaq sonuncu, aşağı ehtimala böyük səhvlər verir r Hadisə görünüşü AMMA Bir testdə. Bu vəziyyətdə, ehtimalını saymaq P.n.(m) Təqdim olunan poisson formulundan istifadə etmək rahatdır. Poissonun düsturu, testlərin sayında sınırsız bir artım olan Bernoulli Formulunun həddindən artıq işi kimi əldə edilə bilər. n. Və sıfır ehtimalın arzusu ilə. Misal3.
Parçaların partiyası zavoduna 1000 ədəd məbləğində gəldi. Detalın qüsurlu olacağı ehtimalı, 0.001-ə bərabərdir. Gəlişlər arasında 5 qüsurlu olacağı ehtimalı nədir? ( Qərar) Poissonun paylanması tez-tez digər vəzifələrdə olur. Beləliklə, məsələn, bir saat ərzində telefonist orta hesabla alırsa N. Zənglər, necə göstərə bilərsiniz, ehtimal P (k) bir dəqiqə ərzində alacaq k. Poisson düsturu tərəfindən ifadə edilən zənglər, qoyulur. Təsadüfi dəyişkənliyin mümkün dəyərləri son ardıcıllığı formalaşdırırsa x.1
,
x.2
,
.
..,
x.n., təsadüfi dəyişkənliyin ehtimal bölgüsü qanunu aşağıdakı cədvəl şəklində göstərilmişdir Dəyər Ehtimal p (xi) Bu cədvəl adlanır yaxınlıqdakı
paylama Təsadüfi dəyişən. Aydın işləyir p (x) Bir qrafik şəklində təsvir edə bilərsiniz. Bunu etmək üçün, təyyarədə düzbucaqlı koordinat sistemi götürün. Üfüqi oxun sözlərinə görə, təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərini və şaquli ox boyunca - funksiya dəyərləri ilə təxirə salacağıq. Cədvəl funksiyası p (x) əncir təsvir edir. 2. Bu qrafikin nöqtələrini düzləndirmə seqmentləri ilə bağlasanız, bu rəqəm adlanır poliqon
paylama. Misal4.
Tədbir olsun AMMA - Bir oyun sümüyü atarkən bir nöqtənin görünüşü; P (a) \u003d 1/6. Təsadüfi bir məbləği nəzərdən keçirin - hadisələrin sayı AMMA Bir oyun sümüyü atan. Funksiya dəyərləri p (x) (paylama qanunu) aşağıdakı cədvəldə göstərilir: Dəyər Ehtimal p (xi) Ehtimal p (X.i.)
Bernoulli Formula tərəfindən hesablanır n \u003d 10.. Üçün x\u003e 6. Praktik olaraq sıfıra bərabərdirlər. P (x) funksiyasının qrafiki Şəkildə təsvir edilmişdir. 3. Ehtimal təsadüfi dəyişkənliyin və onun xüsusiyyətlərinin paylanmasının funksiyası Bir funksiyanı nəzərdən keçirin F (x)Bütün rəqəmli oxda aşağıdakı kimi müəyyən edilmişdir: hər biri üçün h. dəyər F (x) Diskret təsadüfi dəyərin daha az bir dəyər alması ehtimalı eyni dərəcədə h., i.E. Bu xüsusiyyət deyilir funksiya
paylama
ehtimal, və ya qısaca funksiya
paylama. Misal1.
Misal 1, paraqraf 1-də verilən təsadüfi dəyişənlərin paylanmasının funksiyasını tapın ( Qərar) Misal2.
Misal 2, 1-ci abzasda verilən təsadüfi bir dəyişənin paylanmasının funksiyasını tapın ( Qərar) Dağıtma funksiyasını bilmək F (x)Təsadüfi bir dəyərin bərabərsizliyi təmin etdiyi ehtimalını tapmaq asandır. Tədbiri nəzərdən keçirin ki, təsadüfi dəyər az bir dəyər alacaqdır. Bu hadisə iki uyğun olmayan hadisənin miqdarında parçalanır: 1) Təsadüfi dəyər daha kiçik, yəni dəyərlər alır. Açıqlayır; 2) Təsadüfi dəyər, bərabərsizliyi təmin edən dəyərlər alır. Əlavə aksiondan istifadə etmək, almaq Ancaq paylama funksiyasını təyin etməklə F (x) [santimetr. Formula (18)] Bizdə var dikbaşlıqla Bu minvalla, ehtimal
vurmaq
diskrap
təsadüfi
dəyər
içində
interval
bərabər
artım
funksiyalar
paylama
üstündə
bu
İnterval. Nəzərə almaqbaxımxassələrfunksiyalardağıtım. 1 °. Funksiya
paylama
bir
qanunsuzdur. Əslində, icazə verin< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что 2 °. Dəyər
funksiyalar
paylama
qane etmək
qeyri-bərabərsizlik . Bu əmlak bu həqiqətdən irəli gəlir F (x) Bir ehtimal olaraq təyin olunur [sm. Formula (18)]. Bu * və. 3 °. Ehtimal
getmək,
nə
diskrap
təsadüfi
dəyər
vick
bircə
biri
mümkün
dəyər
x.i.,
bərabər
skump
funksiyalar
paylama
içində
fəhm
x.i.. Həqiqətən, icazə verin x.i. - Diskret təsadüfi dəyişən tərəfindən alınan dəyər və. Formulaya inanmaq (19), alırıq Həddində, təsadüfi dəyişən bir intervaya daxil olan ehtimalı əvəzinə, dəyərin bu dəyəri alacağına ehtimalını alırıq. x.i.: Digər tərəfdən, alırıq, i.E. Funksiyası F (x) Doğru, çünki. Nəticə etibarilə, Formula (20) həddində (20) bunlar. dəyər p (X.i.)
Atlama funksiyasına bərabər ** x.i.. Bu əmlak aydın şəkildə təsvir edilmişdir. 4 və düyü. beş. Davamlı təsadüfi dəyişənlər Diskret təsadüfi dəyişənlərə əlavə olaraq, heç bir intervalda tam doldurulmayan sonsuz və ya sonsuz bir ardıcıllıqla meydana gələn və ya sonsuz bir ardıcıllıqla, tez-tez təsadüfi dəyişənlər, bəzi interval meydana gətirən mümkün olan təsadüfi dəyişənlər var. Belə bir təsadüfi dəyişənin nümunəsi, düzgün qurulmuş texnoloji proseslə hissənin nominal hissəsindən sapma kimi xidmət edə bilər. Bu cür, təsadüfi dəyişənlər ehtimal paylama hüququndan istifadə etməklə verilə bilməz p (x). Ancaq ehtimal paylama funksiyasından istifadə edərək təyin edilə bilər F (x). Bu xüsusiyyət diskret təsadüfi dəyişən vəziyyətində eyni şəkildə müəyyən edilir: Beləliklə, burada bir funksiya var F (x) Bütün rəqəmli oxda və nöqtədə dəyəri müəyyən edilmişdir h. Təsadüfi bir dəyərin bir dəyəri olan ehtimala bərabərdir h.. Formula (19) və xassələri 1 ° və 2 ° hər hansı bir təsadüfi dəyişənin paylama funksiyası üçün etibarlıdır. Sübut ayrı bir dəyər halına bənzər şəkildə həyata keçirilir. Təsadüfi dəyər deyilir davamlıƏgər mənfi olmayan bir hissə davamlı bir funksiyası varsa * Hər hansı bir dəyər üçün razıdır x. bərabərlik Funksiya deyilir sıxlıq
paylama
ehtimal, və ya qısaca sıxlıq
paylama. Əgər a x. 1
Bölgədə ayrılmazlığın həndəsi mənasına əsaslanaraq, bərabərsizliklərin yerinə yetirilməsinin ehtimalı, baza ilə əyrilinear trapeziumun sahəsinə bərabər olduğunu söyləmək olar
, əyrinin yuxarısından məhduddur (Şəkil 6). Formula (22) -dan bəri (22) Formula (22) istifadə edərək, dəyişkən yuxarı sərhəddə, paylama sıxlığını davamlı saymaqda, ayrılmaz bir törəmə kimi tapırıq **: Davamlı təsadüfi dəyişən, paylama funksiyası üçün qeyd edin F (x) hər yerdə davamlı h.funksiya davamlı olduğu yerdə. Bu, bundan sonra F (x) Bu nöqtələrdə fərqləndirin. Formula (23), inanaraq x. 1
\u003d X., var Funksiyanın davamlılığı səbəbindən F (x) Biz bunu alırıq Bu səbəbdən Bu minvalla, ehtimal
getmək,
nə
davamlı
təsadüfi
dəyər
bacarmaq
qəbul etmək
hər kəs
ayrıca
dəyər
x,
bərabər
sıfır. Buradan bu, bərabərsizliklərin hər birinin yerinə yetirilməsində olan hadisələrdən sonra izləyir Eyni ehtimal var, yəni. Əslində, məsələn, Şərh. Tədbirin mümkün olmadığını bildiyimiz kimi, onun baş vermə ehtimalı sıfırdır. Ehtimalın klassik tərifində, əlbətdə olan test nəticələrinin sayı da, tərs bir təklif var: hadisənin ehtimalı sıfırdırsa, hadisə mümkün deyil, çünki bu vəziyyətdə bu vəziyyətdə birinə üstünlük vermir test nəticələrini. Davamlı təsadüfi dəyişən olduqda, dəyərlərinin mümkün dəyərlərinin sayı sonsuzdur. Bu dəyərin hər hansı bir dəyəri alması ehtimalı x. 1
Gördüyümüz kimi, sıfır bərabərdir. Bununla birlikdə, bu hadisənin qeyri-mümkün olduğunu, bu hadisənin qeyri-mümkün olduğunu, təsadüfi dəyəri, xüsusən də dəyər ala bilər x. 1
. Buna görə də davamlı təsadüfi dəyişən olduqda, bir sıra müəyyən bir dəyəri alacağı ehtimalı ilə təsadüfi dəyişkənlik ehtimalı, intervalı və ehtimalının ehtimalı barədə danışmağın mənası var. Məsələn, bir rulon istehsalında, diametrinin nominala bərabər olacağı ehtimalımızla maraqlanmırıq. Bizim üçün, rulon diametrinin qəbul sahəsini tərk etməməsi ehtimalı. Misal. Davamlı təsadüfi dəyişənlərin paylanmasının sıxlığı belədir: Funksiya qrafiki PA Şekdirdir. 7. Təsadüfi bir dəyərin bərabərsizliyi təmin edən bir dəyəri alacağını müəyyənləşdirin. Verilmiş təsadüfi dəyişənin paylama funksiyasını dəvət edin. ( Qərar) Aşağıdakı iki nöqtə davamlı təsadüfi dəyişənlərin tez-tez baş verən bölgüsü - vahid və normal paylanmalara həsr olunmuşdur. * Funksiya, hər hansı bir seqmentdə və ya davamlı olduqda, ya da i cinsi bitmiş bir sıra boşluq nöqtəsinə malikdirsə, funksiyası bütün rəqəmli oxda davamlı deyilir. ** Son aşağı sərhədin vəziyyətində əldə edilən dəyişkən yuxarı hüdudları olan inteqralın fərqləndirmə qaydası, sonsuz aşağı sərhədi olan inteqrallar üçün ədalətli olaraq qalır. Həqiqətən, Integral olduğundan daimi bir dəyər var. Təsadüfi dəyişənlər Təsadüfi dəyərlər altında təsadüfi hadisələrin ədədi xüsusiyyətlərini başa düşürlər. Başqa sözlə, təsadüfi dəyişənlər əvvəlcədən müəyyənləşdiriləcək dəyərləri mümkün olmayan (bu zaman) mümkün olmayan təcrübələrin ədədi nəticələridir. Məsələn, aşağıdakı dəyərləri təsadüfi olaraq görmək olar: 2. Bəzi xüsusi gün üçün müəyyən bir doğum xəstəxanasında doğulan uşaqlar arasında oğlanların faizi. 3. Bəzi bir gün ərzində bəzi rəsədxanada görünən günəşdəki ləkələrin sayı və sahəsi. 4. Bu mühazirə üçün gecikən tələbələrin sayı. 5. Birjada dollar məzənnəsi (deyək ki, micex-də "iş" olmasına baxmayaraq, elan edildiyi kimi "iş" ola bilər. 6. Müəyyən bir gündə müəyyən bir gündə avadanlıq çatışmazlığının sayı. Təsadüfi dəyişənlər, müvafiq xarakteristikanın çox mümkün dəyərlərinin diskret və ya davamlı olduğuna görə diskret və davamlı olaraq bölünür. Bu bölmə olduqca şərti olaraq, lakin adekvat tədqiqat metodlarını seçərkən faydalıdır. Əlbətdə təsadüfi dəyişən və ya bütün təbii nömrələrin çoxluğu ilə müqayisə edilə bilən dəyərlərin sayı (yəni bu, yenidən dəyişdirilə bilər), sonra, sonra PDF-nin təsadüfi dəyəri olan PDF-nin təsadüfi dəyəri HTTP: //www.finePrint .com diskret deyilir. Əks təqdirdə, davamlı deyilir, əslində, əslində davamlı təsadüfi dəyişənlərin bəzi sadə ədədi kənarda (seqment, interval) mənasını aldıqlarını güman edirdi. Məsələn, diskret, 4 və 6 nömrələrində yuxarıda göstərilən təsadüfi dəyişənlər olacaq və davamlı - 1 və 3 nömrəli (ləkələr). Bəzən təsadüfi bir dəyər qarışdırılır. Məsələn, əslində yalnız diskret dəyərlər toplusu olan bir dollar dərəcəsi (və ya bir sıra digər valyuta), ancaq "davamlı" dəyərlərinin dəstinin olduğunu güman etmək rahatdır. Təsadüfi dəyişənlər müxtəlif yollarla təyin edilə bilər. Diskret təsadüfi dəyişənlər ümumiyyətlə onların paylama qanunu ilə soruşulur. Burada hər mümkün olan X1, X2, ... Təsadüfi dəyər X ehtimalı P1, P2, ... bu dəyərin ehtimalı ilə müqayisə olunur. Nəticədə iki sətirdən ibarət bir masa yaradılır: Bu, təsadüfi dəyişənlərin paylanmasının qanunudur. Davamlı təsadüfi dəyişənlər paylama qanunu mümkün deyil, çünki onun çox tərifinə görə onların dəyəri isə imtina edilə bilməz və buna görə də masa şəklində vəzifə istisna olunur. Ancaq davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün vəzifəyə başqa bir yol var (Yeri gəlmişkən, diskret dəyərlər üçün) bir paylama funksiyasıdır: x-nin təsadüfi dəyəri olan bir hadisənin göstərilən sayından az olması ehtimalının ehtimalı. Tez-tez, paylama funksiyasının əvəzinə, başqa bir funksiyadan istifadə etmək rahatdır - təsadüfi bir dəyər X. (X), bəzən bəzən bəzən bəzən bölgüsün diferensial funksiyası deyilir Terminologiyaya inteqral paylama funksiyası deyilir. Bu iki funksiya aşağıdakı düsturlara görə bir-birlərini qarşılıqlı şəkildə müəyyənləşdirir: Təsadüfi dəyişən diskretdirsə, budur ki, paylama funksiyası anlayışı da məna verirsə, bu halda, paylama funksiyasının bir qrafiki, hər biri Pi-yə bərabər bir dəyərdən yuxarı olan üfüqi hissələrdən ibarətdir. Diskret dəyərlərin vacib nümunələri, məsələn, FINEPRINT PDFFactore sınaq versiyası ilə yaradılan PDF-nin (Bernoulli Distribution), http://www.fineprint.com n pk (1-p) n-k \u003d! ()! burada P ayrı bir hadisənin ehtimalıdır (bəzən şərti olaraq "müvəffəqiyyət ehtimalı" deyilir). Beləliklə, ardıcıl homojen testlərin (Bernoulli dövrə) bir sıra nəticələri paylandı. Binomial paylamanın limiti (testlərin sayının artması ilə) bu, poissonun paylanmasıdır pK \u003d? K / K! · Exp (-?) harada?\u003e 0 Bəzi müsbət parametr. Davamlı paylamanın ən sadə nümunəsi vahid bir paylamadir. Seqmentdə 1 / (B-A) -ə bərabər olan daim paylama sıxlığı var və bu seqmentin xaricində sıxlıq 0-dır. Davamlı bir paylamanın son dərəcə vacib bir nümunəsi normal bir paylamadır. İki parametr m və? (Riyazi gözləntlilik və standart sapma - aşağıya baxın), onun paylanması sıxlığı forması var: 1 exp (- (x-m) 2/2? 2) Ehtimal nəzəriyyəsi nəzəriyyəsində normal paylamanın əsas rolu, mərkəzi limit teoreminin (CPT), cüt istiqamətdə olan təsadüfi dəyişənlərin cəminin (təsadüfi müstəqillik anlayışı haqqında) səbəbi ilə əlaqədardır dəyişənlər, aşağıya baxın) və ya zəif asılıdır, normal bir qanuna görə təxminən paylanacaq. Təsadüfi bir dəyəri olan təsadüfi bir az bir az asılı təsadüfi amillərin tətbiq olunmasına səbəb olan təsadüfi bir dəyəri təxminən (onun amillərinin hekayələrinin necə paylanmasından asılı olmayaraq) təxminən paylanmış kimi qəbul edilə bilər. Başqa sözlə, normal paylama qanunu çox universaldır. Təsadüfi dəyişənləri öyrənərkən istifadə etmək üçün əlverişli bir neçə rəqəm xüsusiyyətləri var. Bunların arasında riyazi bir gözləmə qoyacağıq təsadüfi dəyişən, dağılma orta dəyəri ilə bərabərdir D (x) \u003d m (x-m (x)) 2, riyazi olaraq riyazi olaraq, orta dəyərdən təsadüfi dəyişənin bir kvadrat sapması, digəri, praktikada rahat bir dəyər, əlavə bir dəyər (ilkin təsadüfi dəyər kimi): standart sapma məsələsi kimi. Bütün axıdılmış inteqralların mövcud olduğu (bu, bütün rəqəmli oxun üzərində birləşməsi) olduğunu (gələcəkdə bu işi nəzərə almadan) güman edəcəyik (I.E. Məlum olduğu kimi, dağılma və standart sapma, orta dəyəri ətrafında təsadüfi dəyişənlərin dağılması dərəcəsini xarakterizə edir. FinePrint PDFFactory sınaq versiyası ilə yaradılan PDF-dən daha çox http://www.fineprint.com daha az dağılır, orta dəyəri ətrafında təsadüfi dəyişənin dəyərləri daha yaxından qruplaşdırılmışdır. Məsələn, Poissonun paylanması üçün riyazi gözləntii, vahid bir paylama üçün (A + B) / 2-ə bərabərdir və normal paylama üçün m-ə bərabərdir. Poissonun paylanması üçün dağılma, vahid paylama (B-A) 2/12 (B-A) üçün bərabərdir və normal bir paylama üçün? 2-ə bərabərdir. Riyazi gözləntinin və dağılmanın aşağıdakı xüsusiyyətləri istifadə ediləcəkdir: 1. m (x + y) \u003d m (x) + m (y). 3. D (CX) \u003d C2D (X), burada C özbaşına davamlı bir nömrədir. 4. D (x + A) \u003d D (a) ixtiyari sabit (təsadüfi olmayan) dəyər A. Təsadüfi dəyər? \u003d U-Mu mərkəzli deyilir. Əmlak 1-dən sonra, m? \u003d M (u-mu) \u003d m (u)-0 (u) \u003d 0, yəni orta dəyəri 0 (adı bağlıdır) budur. Eyni zamanda, 4 xüsusiyyətlərə görə, bizdə d (?) \u003d D (u) var. Dağıtıcılığı hesablamaq və onun dəyərləri ilə əlaqəli şəkildə istifadə etmək üçün təcrübədə istifadə etmək rahat olan faydalı bir nisbət də var: 5. D (x) \u003d m (x2) -m (x) 2 Təsadüfi dəyişənlər X və Y-ni özbaşına X və Y dəyərləri üçün bir hadisələr və müstəqil dəyərləri varsa, müstəqil adlandırılırlar. Məsələn, müstəqil olacaq (yəqin ...) elektrik şəbəkəsində gərginliyin ölçülməsinin nəticələri və müəssisənin əsas enerjisinin artması. Ancaq bu güc şəbəkəsinin gücü və müəssisələrdə əsas enerjinin maaşı artıq müstəqil hesab edilə bilməz. Təsadüfi dəyişənlər X və Y müstəqildirsə, onda aşağıdakı xüsusiyyətlər baş verir (özbaşına təsadüfi dəyişənlər üçün hansılar həyata keçirilə bilməz): 5. M (xy) \u003d m (x) m (y) m (y). 6. D (x + y) \u003d D (x) + d (y). Fərdi təsadüfi dəyişənlərə əlavə olaraq x, y, ... təsadüfi dəyişənlər sistemləri öyrənilir. Məsələn, təsadüfi dəyişənlərin buxar (x, y) iki ölçülü vektor olan yeni təsadüfi bir dəyər kimi qəbul edilə bilər. Eynilə, çox sayda təsadüfi dəyişən bir sıra təsadüfi dəyişənlərin sistemlərini nəzərdən keçirmək mümkündür. Bu cür dəyərlər sistemi onların paylama funksiyası ilə də qurulur. Məsələn, iki təsadüfi dəyişən bir sistem üçün bu funksiya forması var F (x, y) \u003d p, yəni, X-nin təsadüfi dəyəri göstərilən X-nin təsadüfi dəyəri olan bir dəyəri olan bir nəticə verəcək bir hadisənin ehtimalına bərabərdir və təsadüfi dəyəri y verilmiş nömrədən daha kiçikdir. Bu funksiya da təsadüfi dəyişənlərin birgə paylanmasının funksiyası adlanır. X və Y.-də orta vektoru - riyazi gözlənilənin təbii analoqunu nəzərdən keçirmək də mümkündür, ancaq dispersiya əvəzinə bir neçə ədədi xüsusiyyətini öyrənməlisiniz, deyilir ikinci sıranın anları. Bu, ilk növbədə, ilk, iki xüsusi dispers DX və DY pdf, FinePrint PDFFactore sınaq versiyası ilə yaradılan Http://www.fineprint.com təsadüfi dəyişənlər X və Y, ikinci dərəcəli, kovarian, kovariance, daha ətraflı nəzərdən keçirilmişdir. X və Y-nin təsadüfi dəyişənləri müstəqildirsə, onda F (x, y) \u003d fx (x) fy (y) X və Y-nin təsadüfi dəyişənlərinin paylanması funksiyalarının məhsulu və buna görə də müstəqil təsadüfi dəyişənlərin bir cütünün öyrənilməsi əsasən x və y ayrıca tədqiqatdır. Təsadüfi dəyişənlər Yuxarıda göstərilənlər nəticələri təsadüfi hadisələr olan təcrübələr hesab edildi. Bununla birlikdə, tez-tez təsadüfi dəyişən adlandırılan təcrübənin nəticələrini müəyyənləşdirmək üçün müəyyən bir məbləğ şəklində ölçmək ehtiyacı yaranır. Təsadüfi dəyər ikincidir (təsadüfi bir hadisədən sonra) ehtimal nəzəriyyəsini öyrənmək və təsadüfi hadisələrin bir dəstindən daha təsadüfi bir nəticə ilə təcrübəni təsvir etmək üçün daha ümumi bir yol təqdim edir. Təsadüfi bir nəticə ilə təcrübələri nəzərə alaraq, artıq təsadüfi dəyərlərlə məşğul olduq. Beləliklə, testlər seriyasındakı uğur sayı təsadüfi dəyişən nümunəsidir. Təsadüfi dəyişənlərin digər nümunələri bunlardır: vaxt vahidinə telefon stansiyasında zənglərin sayı; Növbəti zəng üçün vaxt; Statistik fizika baxımından hesab olunan hissəciklər sistemlərində müəyyən bir enerji olan hissəciklərin sayı; Bu sahədə orta gündəlik temperatur və s. Təsadüfi dəyər, qəbul edəcəyi mənasını dəqiq şəkildə proqnozlaşdırmaq mümkün deyil, ancaq digər tərəfdən, çox sayda dəyərin çox olması ilə xarakterizə olunur. Beləliklə, testlərin ardıcıllığında uğur sayına görə, bu, müvəffəqiyyətin sayı dəyər verə biləcəyi üçün bu, əlbəttə ki, budur. Təsadüfi dəyişkənliyin bir çox dəyəri, gözləmə müddəti və s. Kimi olduğu kimi həqiqi yarım oxla üst-üstə düşə bilər. Təsadüfi bir nəticə olan təcrübələrin nümunələrini nəzərdən keçirin, hansı təsadüfi hadisələrin ümumiyyətlə tətbiq olunduğunu təsvir edin və təsadüfi bir dəyişənin təyin edilməsi ilə ekvivalent təsviri təqdim edirik. bir). Təcrübənin nəticəsi hadisə və ya hadisə olmasına icazə verin. Sonra bu təcrübə, məsələn, iki dəyər alan təsadüfi bir dəyəri və ehtimallarla və bərabərlik yeri və və. Beləliklə, təcrübə IP ehtimalının iki nəticəsi ilə xarakterizə olunur və ya eyni təcrübə iki dəyər və ehtimalları və ehtimalları ilə təsadüfi dəyişən ilə xarakterizə olunur. 2). Bir oyun sümüyü atmaqla təcrübəni düşünün. Burada təcrübənin nəticəsi - sayının nömrəsi ilə üzün itirilməsi hadisələrdən biri ola bilər. Ehtimal. Bu təcrübənin ekvivalent təsvirini ehtimalları ilə dəyər ala biləcək təsadüfi dəyişən ilə təqdim edirik. 3). Müstəqil testlərin ardıcıllığı, bir sıra təcrübələrdə uğurun yaranmasında olan bir hadisə olan tam olmayan hadisələrin tam qrupu tərəfindən xarakterizə olunur; Üstəlik, bir hadisənin ehtimalı Formula Bernuli, i.E. tərəfindən müəyyən edilir. Burada təsadüfi bir dəyişən daxil edə bilərsiniz - ehtimallarla dəyər alan uğur sayı. Beləliklə, müstəqil testlərin ardıcıllığı, ehtimalları və ya dəyərli olanların ehtimalı olan ehtimalları və ya təsadüfi dəyişənlər ilə təsadüfi hadisələrlə xarakterizə olunur. Dörd). Ancaq təsadüfi bir nəticə ilə heç bir təcrübə üçün deyil, təsadüfi dəyişən və təsadüfi hadisələr dəsti arasında belə sadə yazışmalar mövcuddur. Məsələn, təsadüfi bir seqmentə girən bir təcrübəni nəzərdən keçirin. Təsadüfi bir məbləği tanıtmaq təbiidir - nöqtənin düşdüyü seqmentdə koordinat. Beləliklə, təsadüfi bir hadisə haqqında danışa bilərik, sayı haradadır. Ancaq bu hadisənin ehtimalı. Başqa cür edə bilərsiniz - Keçən olmayan seqmentlərin son sayına kəsin və təsadüfi bir dəyərin intervaldan dəyər aldığı təsadüfi hadisələri nəzərdən keçirin. Sonra ehtimallar son dərəcə dəyərlərdir. Ancaq seqmentlər təsadüfi seçildiyi üçün bu üsulun əhəmiyyətli bir çatışmazlığı var. Bu çatışmazlığı aradan qaldırmaq üçün dəyişən olduğu növlərin seqmentlərini nəzərdən keçirin. Sonra müvafiq ehtimal mübahisənin funksiyasıdır. Bu, təsadüfi bir çeşidin riyazi təsviri çətinləşdirir, lakin təsviri (29.1) yeganə olur, seqment seqmentinin qeyri-müəyyənliyini aradan qaldırır. Hesab olunan nümunələrin hər biri üçün, elementistik hadisələrin yeri olan ehtimalıcistik məkanı təyin etmək asandır - - hadisələrin (alt növləri), hər hansı bir üçün müəyyən edilmiş ehtimaldır. Məsələn, son nümunədə - - içərisində olan bütün seqmentlərin cəbri. Hesab olunan nümunələr təsadüfi dəyişənin növbəti tərifinə səbəb olur. Qoy - ehtimalgah. Təsadüfi bir dəyər, formanın ibtidai hadisələri dəsti, hər bir faktiki nömrə üçün bir hadisə (I.E.e aid) olduğu müəyyən edilmiş birmənalı bir funksiyadır. Beləliklə, tərif hər bir real dəsti üçün tələb edir və bu şərt bir hadisənin hər biri üçün müəyyən edilməsinin müəyyənləşdirilməsini təmin edir. Bu hadisə daha qısa bir giriş təyin etmək adətdir. Ehtimal paylama funksiyası Funksiyanı təsadüfi dəyişən bir ehtimal paylama funksiyası adlanır. Funksiyanı bəzən qısa bir şəkildə - paylama funksiyası, eləcə də təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasının ayrılmaz qanunu deyilir. Funksiya təsadüfi bir dəyişən üçün tam bir xarakterikdir, yəni təsadüfi dəyişənin bütün xüsusiyyətlərinin riyazi təsviri və bu xüsusiyyətləri təsvir etmək üçün daha ətraflı metod yoxdur. Tərifin aşağıdakı vacib xüsusiyyətini qeyd edirik (30.1). Tez-tez funksiya fərqli şəkildə müəyyən edilir: (30.1) görə, funksiya davamlı bir hüquqdur. Bu sual aşağıda müzakirə ediləcək. Tərifdən istifadə etsəniz (30.2), bu, qəti bərabərsizliyin istifadəsinin nəticəsi olan (30.2) istifadə olunan sol üçün davamlıdır. Funksiyaları (30.1) və (30.2) təsadüfi dəyişikliyin ekvivalent təsvirləridir, çünki bu, nəzəri məsələləri öyrənərkən və problemlərin həlli zamanı istifadə etmək üçün hansı qətiyyətdən istifadə etməkdən asılı olmayaraq. Əminlik üçün, gələcəkdə yalnız tərifdən istifadə edəcəyik (30.1). Bir funksiya qrafikası qurmaq nümunəsinə baxın. Təsadüfi bir dəyər ehtimallar və ehtimalları alsın və. Beləliklə, bu təsadüfi dəyərdən başqa digər dəyərlər sıfır bir ehtimal ilə aparılır: hər hansı bir üçün. Və ya dedikləri kimi, təsadüfi bir çeşiddən başqa digər dəyərlər qəbul edilə bilməz. Əminlik üçün icazə verin. Aralıqdan funksiyanın dəyərlərini tapın: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). Buna görə ilk intervalda, buna görə paylama funksiyası. 2). Əgər, onda. Aydındır ki, təsadüfi hadisələr, buna görə də, ehtimalların əlavə edilməsi formulu tərəfindən uyğunsuzdur. Vəziyyəti ilə, hadisə mümkün deyil və amma. Buna görə. 3). Qoy, sonra. Budur, ilk müddət, ikincisi, hadisədən bəri mümkün deyil. Beləliklə, hər hansı bir məmnun şərt üçün. Dörd). Qoy, sonra. beş). Əgər, onda. 6) olanda. 7) Əgər, onda. Hesablamaların nəticələri FIG-də təqdim olunur. 30.1 funksiya cədvəli. GAP nöqtəsində sağdakı funksiyanın davamlılığı göstərilir. Ehtimal paylama funksiyasının əsas xüsusiyyətləri Dağıtma funksiyasının əsas xüsusiyyətlərini birbaşa tərifdən nəzərdən keçirin: 1. Təyinatı təqdim edirik :. Sonra tərifdən irəli gəlir. Burada ifadə, sıfır bir ehtimal ilə mümkün olmayan hadisə kimi qəbul edilir. 2. Qoy. Sonra funksiyanın tərifindən izlənir. Təsadüfi hadisə etibarlıdır və ehtimalı birinə bərabərdir. 3. Təsadüfi bir hadisənin ardıcıllığı ehtimalı, təsadüfi bir dəyərin aşağıdakı bərabərliyi olan funksiya ilə müəyyən edildikdə, intervaldan dəyər almasıdır Bu bərabərliyi sübut etmək üçün nisbəti nəzərdən keçirin. Tədbirlər uyğun deyil, buna görə də (31.3), bu (31.2), bu, (31.2) ilə (31.2) ilə üst-üstə düşdüyünü izləyir. 4. Funksiya uyğun deyil. Sübut etmək üçün düşünün. Eyni zamanda bərabərlik doğrudur (31.2). Sol hissəsi, ehtimalı aralıqdan dəyər alır. Buna görə də bərabərliyin sağ tərəfi (31.2) mənfi deyil: və ya. Bu bərabərlik şərtlə əldə edilmiş, buna görə də azalma olmayan bir funksiyaya görə alındı. 5. Funksiya hər nöqtədə sağa davamlıdır, I.E. harada - sağa istəyən hər hansı bir ardıcıllıqla, I.E. və. Sübut etmək üçün funksiyanı formada təsəvvür edin: İndi, sayıla bilən asılılığın aksiomaları əsasında, qıvrım mötərizədə ehtimal ifadəsi belə bir şəkildə düzgün funksiyanın davamlılığının sübut olunduğu bir şəkildədir. Beləliklə, hər bir ehtimal paylama xüsusiyyətində 1-5 xüsusiyyətləri var. Tərs ifadəsi doğrudur: 1-5 şəraiti qane edirsə, bəzi təsadüfi dəyişənlərin paylanmasının funksiyası kimi qəbul edilə bilər. Diskret təsadüfi dəyişən ehtimal paylama funksiyası Təsadüfi dəyər diskret deyilir, əgər onun dəyərləri dəsti əlbəttə və ya sayıla bilərsə. Yaranan dəyərin diskret təsadüfi dəyərinin tam bir ehtimalı təsviri üçün, təsadüfi dəyərin dəyər aldığı ehtimalını təyin etmək kifayətdir. Əgər bunlar verilirsə, onda diskret təsadüfi dəyişənin ehtimallarının paylanmasının funksiyası aşağıdakı kimi təmsil oluna bilər: Burada camaat vəziyyəti qane edən bütün indekslərdə aparılır. Diskret təsadüfi dəyişən ehtimallarının paylanmasının funksiyası bəzən tək bir atlamanın qondarma funksiyası vasitəsilə təmsil olunur. Bu vəziyyətdə, təsadüfi dəyər son dəyərlər toplusunu alırsa, (32.4) də yuxarı yekunlıq həddi (32.4) səviyyəli dəyər hesablama toplusunu alırsa, bərabər olmadığı təqdirdə bir forma alır. Diskret təsadüfi dəyişənin ehtimalı paylanması funksiyaları cədvəlinin qurulması nümunəsi 30-cu bənddə nəzərdən keçirilmişdir. Ehtimal paylama sıxlığı Fərqli bir ehtimal paylama funksiyasına sahib olan təsadüfi bir dəyər verin, sonra funksiyası təsadüfi bir dəyişənin ehtimalı paylanması sıxlığı (və ya ehtimal sıxlığı) adlanır və təsadüfi bir dəyər davamlı bir təsadüfi dəyərdir. Ehtimal sıxlığının əsas xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin. Törəmə tərifindən bərabərlik aşağıdakılardır: Funksiyanın xüsusiyyətlərinə görə bərabərlik baş verir. Buna görə (33.2) formanı alır: Bu nisbət funksiyanın adını izah edir. Həqiqətən, (33.3) görə, funksiya, bu gündən bəri bir vahid intervalına ehtimaldır. Beləliklə, əlaqəsi ilə müəyyən edilmiş ehtimal sıxlığı (33.3) fizikada tanınan digər dəyərlərin sıxlığı, məsələn, mövcud sıxlıq, maddə sıxlığı, şarj sıxlığı və s. 2. Bu, azalmayan funksiyasından bəri, onun törəməsi mənfi olmayan funksiyadır: 3. (33.1), bu yana. Beləliklə, bərabərlik haqlıdır 4. Çünki, sonra (33.5) sonra (33.5) Normallaşma vəziyyəti adlanan bərabərlik. Sol hissəsi etibarlı bir hadisənin ehtimalıdır. 5. Qoy, sonra (33.1) izləsin Bu nisbət tətbiqlər üçün vacibdir, çünki ehtimal sıxlığı və ya ehtimal paylama funksiyası vasitəsilə ehtimalını hesablamağa imkan verir. Əgər qoysaq, onda nisbət (33.6) aşağıdakılardan (33.7). Şəkildə. 33.1 paylama funksiyasının qrafiklərinə və ehtimal sıxlığının nümunələrini göstərir. Qeyd edək ki, ehtimal paylamasının sıxlığı bir neçə maxima ola bilər. Sıxlığın maksimumu olan mübahisənin dəyəri təsadüfi dəyişənlərin paylanması rejimi adlanır. Əgər sıxlığın birdən çox moda varsa, onda çox deyil. Diskret təsadüfi dəyərin paylanması sıxlığı dİQQƏT DİQQƏTİ DİQQƏT GİZLİKİ Təsadüfi bir dəyər ehtimal ilə dəyər alsın ,. Sonra ehtimal paylama funksiyası harada - bir atlamanın funksiyasıdır. Bərabərliyə görə, paylama funksiyası ilə təsadüfi dəyişən ehtimalının sıxlığını müəyyən etmək mümkündür. Bununla birlikdə (34.1) daxil olan bir atlamanın funksiyasının (34.1) ilə əlaqəli olan riyazi çətinliklər var, ilk növdən ibarət bir boşluq var. Buna görə də, nöqtədə heç bir nəticə yoxdur. Bu mürəkkəbliyi aradan qaldırmaq üçün, -Funksiya təqdim olunur. Tək bir atlamanın funksiyası aşağıdakı bərabərlik ilə -Funksiya ilə təmsil oluna bilər: Sonra rəsmi olaraq diskret təsadüfi dəyişən ehtimalının törəməsi və sıxlığı törəmə funksiyası olaraq (34.1) ilə müəyyən edilir: Funksiya (34.4) bütün ehtimal sıxlığı xüsusiyyətlərinə malikdir. Bir nümunə düşünün. Diskret təsadüfi dəyər ehtimallarla dəyər verir və icazə verin. Sonra ehtimal, təsadüfi bir dəyərin seqmentdən bir dəyəri olan bir düsturun ümumi xüsusiyyətləri əsasında hesablana bilər: Burada, xüsusi bir nöqtədən bəri - vəziyyətlə müəyyən edilmiş funksiya inteqrasiya sahəsindəki və tək bir nöqtə ilə inteqrasiya sahəsindən kənarda. Bu minvalla. Bir funksiya üçün (34.4), normallaşma vəziyyəti də yerinə yetirilir: Qeyd edək ki, riyaziyyatda formanın (34.4) qeydinin (səhv) hesab olunur və qeyd (34.2) düzgündür. Bu, sıfır dəlil ilə-yoluxma ilə əlaqədardır və onların olmadığını söyləyirlər. Digər tərəfdən, (34.2) -Daxmada inteqral altında mövcuddur. Bu vəziyyətdə sağ tərəf (34.2), hər hansı bir I.E üçün son dəyərdir. -Funksiyadan ayrılmaz mövcuddur. Fizika, texniki və ehtimal nəzəriyyəsinin digər tətbiqetmələrində bu, sıxlıq nümayəndəliyi tez-tez (34.4), əvvəlcə həqiqi nəticələr əldə etməyə, xüsusiyyətləri tətbiq etməyə imkan verən və ikincisi, açıq bir fiziki təfsir halına gətirir. Dişəlik və ehtimal paylama funksiyalarının nümunələri 35.1.
Təsadüfi dəyər, ehtimal paylama sıxlığı olduqda seqmentdə bərabər paylanmış deyilir normallaşma vəziyyətindən müəyyən edilmiş nömrə haradadır: (35.2) (35.2) (35.2) bərabərliyə səbəb olur, həlli nisbətən görünür :. Ehtimal paylama funksiyası, duzlu olaraq təyin olunan formula (33.5) ilə bərabər paylanmış təsadüfi dəyişəndir: Şəkildə. 35.1 funksiyaların qrafiklərini və vahid şəkildə paylanmış təsadüfi dəyişən göstərir. 35.2.
Təsadüfi dəyər normal (və ya Gaussian) adlanır, əgər ehtimal paylama sıxlığıdırsa: harada, - funksiya parametrləri adlandırılan nömrələr. Funksiya maksimum dəyərini alır :. Parametr effektiv eni hiss edir. Parametrlərin bu həndəsi təfsiri ilə yanaşı, sonrakı hallarda nəzərdən keçiriləcək bir ehtimal təfsirinə malikdir. (35.4) ehtimalı paylama funksiyası üçün bir ifadə laplace funksiyası haradadır. Şəkildə. 35.2 funksiyaların qrafiklərini və normal təsadüfi dəyişkənliyini təqdim edir. Təsadüfi bir dəyərin parametrləri ilə normal bir paylanmasına və rekord bir şəkildə istifadə olunmasına istinad etmək çox vaxt istifadə olunur. 35.3.
Təsadüfi dəyər, əgər bir cauchy ehtimal paylama sıxlığı varsa Bu sıxlıq paylama funksiyasına uyğundur 35.4.
Təsadüfi dəyər, ehtimal paylama sıxlığı olan bu, eksponensial qanuna görə paylanmışdır: Onun ehtimal paylama xüsusiyyətini müəyyənləşdiririk. İlə (35.8). Əgər, əgər 35.5.
Ehtimal təsadüfi dəyişkənliyin relay paylanması növünün sıxlığı ilə müəyyən edilir Bu sıxlıq ehtimal paylama funksiyasına uyğun və bərabərdir. 35.6.
Diskret təsadüfi dəyişənin paylanması funksiyasının və sıxlığının inşasının nümunələrini nəzərdən keçirin. Təsadüfi bir dəyər müstəqil testlərin ardıcıllığında uğurların sayıdır. Sonra təsadüfi dəyər, Bernoulli Formula tərəfindən təyin olunan bir ehtimal ilə dəyərlər alır: harada, - bir təcrübədə uğur və uğursuzluq ehtimalı. Beləliklə, təsadüfi bir dəyişənin ehtimal paylama funksiyası forma var harada - bir atlamanın funksiyası. Düzdür, paylama sıxlığı: harada - delta funksiyası. Tək təsadüfi dəyişənlər Diskret və davamlı təsadüfi dəyişənlərə əlavə olaraq, hələ də çox sayda təsadüfi dəyişənlər var. Bu təsadüfi dəyişənlər, ehtimal paylama funksiyasının davamlı olması ilə xarakterizə olunur, lakin böyümə nöqtələri sıfır ölçülü çoxluq meydana gətirir. Funksiyanın böyüməsi nöqtəsi, törəmə kimi mübahisəsinin dəyəri deyilir. Beləliklə, sahənin tərifi sahəsindəki demək olar ki, hər yerdə. Bu vəziyyəti qane edən bir funksiya təklər də deyilir. Tək bir paylama funksiyasının nümunəsi, aşağıdakı kimi qurulmuş Cantor əyri (Şəkil 36.1). Nə vaxt və nə vaxt. Sonra interval üç bərabər hissəyə (seqment) bölünür və daxili seqment üçün dəyəri müəyyən edilir - sağ və soldakı ən yaxın seqmentlərdə müəyyən dəyərlərin yarısı kimi müəyyən edilir. Hal-hazırda funksiya dəyəri və dəyəri üçün müəyyən edilmişdir. Bu dəyərlərin semitumu bərabərdir və daxili seqmentdəki dəyəri müəyyənləşdirir. Sonra seqmentlər nəzərdən keçirilir və hər biri üç bərabər seqmentə bölünür və funksiyanın ən yaxın hüququ və funksiyanın müəyyən edilmiş dəyərlərindən sola qədər daxili seqmentlərdə müəyyən edilir. Beləliklə, bir funksiya ilə - nömrələrin yarısı və. Eynilə, funksiya intervaldadır. Daha sonra funksiya intervalında müəyyən edilir və s. Təsadüfi dəyişənlər. Ehtimal paylamasının funksiyası və sıxlığı diskret təsadüfi dəyişkənliyi. Tək təsadüfi dəyişənlər. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi. Chebyshev bərabərsizliyi. Anlar, kumulyant və xarakterik bir funksiya. abstrakt, 03.12.2007 əlavə edildi Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika anlayışları, təcrübədə onlardan istifadə. Təsadüfi dəyişənin müəyyənləşdirilməsi. Təsadüfi dəyişənlərin növləri və nümunələri. Diskret təsadüfi dəyişənin paylanmasının qanunu. Davamlı təsadüfi dəyişənlərin paylanmasının qanunları. abstrakt, 25.10.2015 əlavə etdi Müəyyən bir intervalda gələn təsadüfi dəyişənlərin ehtimalı. Təsadüfi dəyişən bir paylama funksiyasının bir cədvəlinin qurulması. Məhsulun alınması ehtimalının müəyyən edilməsi standarta cavab verir. Diskret təsadüfi dəyişənin paylanmasının qanunu. İmtahan, əlavə edildi 01/24/2013 Diskret təsadüfi dəyişənlər və paylanması. Tam ehtimal və bayes formulasının formulu. Riyazi gözlənilənin ümumi xüsusiyyətləri. Təsadüfi dəyişənlərin dağılması. Təsadüfi dəyişən paylama funksiyası. Ehtimalların klassik tərifi. İmtahan, 12/13/2010 tarixində əlavə edildi Davamlı təsadüfi dəyişənin paylanmasının funksiyası. Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi, sistem ehtimalının paylanması sıxlığı. Kovariator. Korrelyasiya əmsalı. laboratoriya işləri, 19.08.2002 əlavə edildi Dağıtım funksiyasının xüsusiyyətləri təsadüfi dəyişənlərin ən universal xüsusiyyətləri kimi. Xüsusiyyətlərinin təsviri, həndəsi təfsirdən istifadə edərək nümayəndəliyi. Diskret təsadüfi dəyişənin paylanması ehtimalını hesablamaq nümunələri. təqdimat, əlavə edildi 01.11.2013 Bernoulli Formula görə müxtəlif tədbirlərin ehtimalının müəyyən edilməsi. Diskret təsadüfi dəyişən paylama qanunu, riyazi gözləntilərini, dağılması və təsadüfi dəyişən, ehtimal sıxlığının risondüktisini hesablayan bir diskret təsadüfi dəyişən paylama qanunu tərtib edir. İmtahan, 31.10.2013 əlavə etdi Tədbirin mənşəyinin ehtimalını tapmaq üçün Bernoulli düsturunun istifadəsi. Diskret təsadüfi dəyişən qrafikin inşası. İnteqral paylama funksiyasının riyazi gözləntisi və xüsusiyyətləri. Davamlı təsadüfi dəyişənin paylanmasının funksiyası. İmtahan, əlavə edildi 01/29/2014 Kütləvi təsadüfi hadisələrin ehtimalı və nümunələri nəzəriyyəsi. Bərabərsizlik və chebyshev teorem. Təsadüfi bir dəyişənin ədədi xüsusiyyətləri. Dağıtma və Furyer çevrilmə. Gaussian təsadüfi dəyişəninin xarakterik funksiyası. abstrakt, əlavə edildi 01/24/2011 Riyazi gözləntinin, dağılma, paylama funksiyalarının və təsadüfi dəyişənlərin rikondüktisinin hesablanması. Təsadüfi dəyişənlərin paylanmasının qanunu. Bir hadisənin ehtimalının klassik tərifi. Paylama sıxlığını tapmaq. Təsadüfi dəyər deyilir diskrap
bütün mümkün dəyərlərin cəmi sonu və ya sonsuzdursa, lakin mütləq bir çox dəyərləri sayır, I.E. Belə bir dəst, bütün elementləri (ən azı nəzəri cəhətdən) sayıla bilər və müvafiq ardıcıllıqla boşaldılır. Yuxarıda sadalanan təsadüfi dəyişənlər, bir oyun kubu atarkən, gün ərzində aptekin ziyarətçilərinin sayını, ağacdakı alma sayını diskret təsadüfi dəyərlərdir. Diskret təsadüfi dəyişən haqqında ən tam məlumat verir paylama qanunu
Bu dəyər - bu, bu təsadüfi dəyişən və müvafiq ehtimalların bütün mümkün dəyərləri arasında bir yazışmadır. Diskret təsadüfi paylama qanunu tez-tez iki səviyyəli bir masa şəklində göstərilmişdir, bunun ilk sırasında bu dəyərin bütün mümkün dəyərləri (artan qaydada) və ikinci ehtimala uyğun ehtimal dəyərlərində aşağıdakılardır: Diskret təsadüfi dəyişkənliyin bütün mümkün dəyərləri tam sistemdir, ehtimal miqdarı birinə bərabərdir ( normallaşma şərtləri): Misal 4. Müvafiq olaraq 12, 10, 8, 10, 10, 12, 8, 11.10 və 9 tələbə on tələbə qrupu var. Təsadüfi seçilmiş qrupda şagirdlərin sayı olaraq təyin olunan X-nin təsadüfi bir dəyərinin paylanması qanunu hazırlayın. Qərar.
Təsadüfi dəyişən x (artan qaydada) mümkün dəyərləri 8, 9, 10, 11, 12. 8 şagirdin 8 şagirdin təsadüfi olacağı ehtimal olunma ehtimalı Eynilə, təsadüfi dəyişən X-nin qalan dəyərlərinin ehtimallarını tapa bilərsiniz: Beləliklə, istədiyiniz paylama qanunu: Diskret təsadüfi dəyişənin icazələri, bu dəyərin hər mümkün dəyərini müvafiq ehtimalın (məsələn, Bernoullinin paylanması, Poissonun paylanması) müəyyənləşdirilməsi üçün bu dəyərin hər cür dəyərini istifadə edərək göstərilə bilər. Diskret təsadüfi dəyişənlərin müəyyən xüsusiyyətlərini təsvir etmək üçün istifadə edin Əsas ədədi xüsusiyyətlər: Riyazi gözləntilər, dağılma və orta kvadratik sapma (standart). Riyazi gözləntilər
M (x) (həmçinin diskret təsadüfi dəyişənin təyin edilməsi, həm də diskret təsadüfi dəyişənin təyin edilməsi, mümkün dəyərlərin hər birinin əsərlərinin müvafiq ehtimallara verilməsidir: Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntinin əsas mənası budur ki, bu demək Bu dəyər. Başqa sözlə, müəyyən bir miqdar testlər istehsal olunsaydı, bunun nəticələrinə əsasən, diskret təsadüfi dəyişən x-in bütün müşahidə olunan dəyərlərinin orta hesabı aşkar edildiyi təqdirdə, bu arifmetik orta səviyyə bərabərdir (daha dəqiq) daha çox test) Riyazi bir təsadüfi dəyişən üçün riyazi gözləyir. Riyazi gözləntinin bəzi xüsusiyyətləri verək. 1. Daimi bir dəyərin riyazi gözləntisi bu daim dəyərə bərabərdir: M (c) \u003d ilə 2. Davamlı bir çarxın işinin diskret təsadüfi miqdarına qədər olan riyazi gözləntisi bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntinin riyazi gözləntisinin məhsulu ilə bərabərdir: M (kx) \u003d km (x) 3. İki təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntisi bu miqdarların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir: M (x + y) \u003d m (x) + m (y) 4. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin işinin riyazi gözləntisi riyazi gözləntilərinin məhsuluna bərabərdir: M (x · y) \u003d m (x) · m (y) Diskret təsadüfi dəyişənin ayrıca dəyərləri Mərkəz kimi riyazi gözləntinin yaxınlığında qruplaşdırılmışdır. Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinə nisbətən mümkün dəyərlərinin səpilməsi dərəcəsini xarakterizə etmək üçün konsepsiya təqdim olunur dispersiya diskret təsadüfi dəyişkənliyi. Dağılma D (x) (Diskret təsadüfi dəyişən X-nin, bu böyüklüyün riyazi gözləntisinin sapması meydanının riyazi gözləntisi adlanır: D (x) \u003d σ 2 \u003d m ((x - μ) 2),(11) Təcrübədə, düstura görə dispersiya daha rahatdır D (x) \u003d σ 2 \u003d m (x 2) - μ 2, (12) Dispersiyanın əsas xüsusiyyətlərini sadalayırıq. D (x) ≥0 D (kx) \u003d k 2 · d (x). Hesablama baxımından, dağılmayan daha rahatdır və təsadüfi bir dəyişənin dağılmasının digər ölçüsü X.ən çox istifadə olunan - orta kvadratik sapma(standart sapma və ya sadəcə standart).
Orta kvadratik sapma Diskret təsadüfi dəyişən, dağılmasının kvadrat kökü adlanır: Standart sapmanın rahatlığı bu, ən təsadüfi dəyişənin ölçüsünə malikdir X.Dispersiyanın ölçü sahəsini təmsil edən bir ölçü var X. İşin sonu - Bu mövzu hissəyə aiddir: Mövzunun elmi metodik əsaslandırılması .. ehtimal nəzəriyyəsi bu kimi oxuyarkən ortaya çıxan nümunələri öyrənir .. Bir çox təsadüfi hadisələr dəyər alan təsadüfi dəyərlər ola bilər .. Bu mövzuda əlavə material lazımdırsa və ya axtardıqlarını tapmadınızsa, iş bazamızın axtarışından istifadə etməyi məsləhət görürük: Bu material sizin üçün faydalı olduğu ortaya çıxsa, onu sosial şəbəkə səhifəsinə saxlaya bilərsiniz:
Oxşar sənədlər
X.
x 1
x 2
…
x N.
P.
p 1.
p 2.
…
p N.
X.
P. 0,2
0,2
0,3
0,1
0,2
Ehtimal nəzəriyyəsinin elementləri
Əldə edilən materialla nə edəcəyik:
