Ev, dizayn, təmir, dekorasiya. Həyət və bağ. Özün et

1. GƏLƏCƏK VƏ SƏHİFƏ

Nailiyyət anlayışının istifadə olunduğu vəzifələr çox, çox şeydir. Budur ləqəbdən biridir. Qrafik, insanların ucları ilə təmsil olunduğu bəzi təşkilatların modeli ola bilər və ARCS rabitə kanallarını şərh edir. Belə bir modeli nəzərdən keçirərkən, bir şəxsdən bir məlumatdan başqa bir şəxsə x 7-də ötürülə biləcəyinə dair bir sual vermək mümkündür. Yuxarı X-dən gələn bir yol var, x /-nin başına. Bu yol varsa, vertex X olduğunu söyləyirlər, - X-nin yuxarısından əldə edilə bilər. Vertex X-in nailiyyətliliyində, X zirvələrindən əldə etməkdə maraqlı olmaq mümkündür, yalnız uzunluğu əvvəlcədən müəyyən edilmiş dəyərdən və ya uzunluğunun sütundakı ən yüksək ucundan az olan bu cür yollarda.

Qrafikdə çatmaq, əldə edilə bilən matris r \u003d || g, y ||, İ, J. =1,2,... p, Harada p - Qrafikin uclarının sayı və hər bir element aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Gu- 1, üstü x, X-dən əldə edilə bilən,

Gu \u003d. 0 başqa.

Bir çox ucu r (x,) qraf g, verilmiş vertex x-dən əldə edilə bilən g ilə, bu elementlərdən ibarətdir; Hansı (/ və /) - nailiyyət qabiliyyəti matrisində olan element 1. Aydındır ki, Matrix rdəki bütün diaqonal elementlər 1-ə bərabərdir, çünki hər bir ucu uzunluğu 0-a qədər yeniləndi, çünki birbaşa ekrandan bəri 1-ci sifariş G +1 (X,) bu qədər uclardan çoxdur. Xj uzunluğu 1, sonra SET G (G (X,)) \u003d G (G (X)) istifadə edərək X-dən əldə edilə bilən x,) Uzunluğu istifadə edərək, əldə edilə bilən uclardan ibarətdir. 2-ə bənzər P (x,) Yollardan istifadə edərək X-dən əldə edilə bilən bir çox ucu r.

X "-dən əldə edilə bilən qrafikin istənilən ucu, 0 və ya 1, ya da 2, ... və ya 2, və ya yoldan istifadə edərək yoldan istifadə edilə bilər. r, sonra bir dəst ucu, üst X üçün əldə edilə bilən "kimi" kimi təmsil oluna bilər

Gördüyümüz kimi, əldə edilə bilən ucların dəsti R (x,), X "i.E.-nin birbaşa keçici bağlanmasıdır. R (x,) \u003d t (x,). Nəticə etibarilə, nailiyyət qabiliyyəti matrisinin inşası üçün, bütün ucları üçün əldə edilə bilən dəstləri tapırıq X, e x. İnanan g y - 1, x 7 e r (x,) və gu- 0 başqa. Şəkildə göstərilən qrafik üçün. 59.4, ammaAçma dəstləri aşağıdakılardır:

Əndazəli 59.4.

Bitişik (a), nailiyyətlər (r), saxta (q) matrisinin aşağıdakı formasına malikdir:

Nəzarət Matrix Q \u003d qij, i, j \u003d 1,2,... p, Harada p - Qrafikin uclarının sayı aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

qij \u003d. 1, bir vertexə çata bilsəniz x h qtj \u003d Ey başqa.

İdarəetmə Q (x,) Bu dəstin istənilən ucundan yuxarı X / daxil ola biləcəyiniz bir çox belə ucları var. Əldə edilə bilən SET R (X,) inşaatına bənzər ifadə üçün ifadə yaza bilərsiniz Q (X,):

Beləliklə, q (x,), X-ni X-nin tərs tirnik bağlanmasından başqa bir şey olmadığını görmək olar. S (X () \u003d T "(X" (X,). Təriflərdən istifadə edilə bilər, X-nin X-nin, Matrix Q (bu q t j \u003d 1, əgər hu € q (x,) və c / y \u003d 0 Əks təqdirdə) Xətt X, Matrix R, I.E ilə üst-üstə düşür. Q \u003d r, burada r bir matrisdir, nailiyyət qabiliyyəti Matrix R-ə köçürülür.

İdarəetmə matrixi əvvəllər göstərilmişdir.

Qeyd etmək lazımdır ki, R və Q matrislərin bütün elementləri 1 və ya 0-a bərabərdir, hər sətir kompüterlərin dəyərini qənaət edərək ikili formada saxlanıla bilər. Matrislər R və Q kompüterdə işləmək üçün əlverişlidir, hesablama terminlərində əsas əməliyyatlar yüksək sürətli məntiqi əməliyyatlardır.

2. Bu yollara daxil olan qrafikin ucları haqqında öyrənmək lazımdırsa, birbaşa və tərs tirziyyətli bağların təriflərini xatırlamalısınız. T + (x,) x "A t" (y) - ən çox ucun ən çox yerləri olan bir ucun olan bir dəstədir, onlardan sonra x /, sonra t (x,) n t (XJ) - Hər biri ən azı bir yolu olan, x-dən, hu-a aid olan müxtəlif uclar. Bu ucları iki terminal ucuna nisbətən vacib və ya ayrılmaz adlanır. Xvə hu. Qrafikin bütün digər ucları cüzi və ya həddindən artıq deyil, çünki onların çıxarılması onların aradan qaldırılması x / -ə hu yollarına təsir etmir.

Beləliklə, Şəkildəki qrafik üçün. 59.5 Məsələn, Vertex X2-dən Vertex X4-ə daxil olan ucları tapmaq, T + (XG, XS, X4, X5, X5, HB), t "(x4) \u003d (X4) \u003d (X4) xi, x2, x3, x4, x5) və kəsişmə t + (XG) p t (x4) \u003d \u003d (x2, xs, x4, x 5).

Nailiyyət anlayışının istifadə olunduğu vəzifələr çox, çox şeydir. Budur onlardan biridir. Qrafik, insanların ucları ilə təmsil olunduğu bəzi təşkilatların modeli ola bilər və ARCS rabitə kanallarını şərh edir. Belə bir modeli nəzərdən keçirərkən, bir nəfərdən bir x-dən olan məlumatı başqa bir şəxsə ötürmək olar, i.E.-dən X-dən x j-nin başına gələn bir yol var. Belə bir yol varsa, vertex x j-nin yuxarı x i-dən çatdığını söyləyirlər. Vertex XJ-nin yuxarı XI-dən yalnız bu cür yollardan əldə etməkdə maraqlı olmaq, əvvəlcədən müəyyən edilmiş dəyəri və ya uzunluğunun qrafikdəki ən böyük uclarından daha kiçik olan və s. . Tapşırıqlar.

Qrafikdəki nailiyyət, Matrix r \u003d, i, j \u003d 1, 2, 2, ... N, n, n harada olanların sayının sayıdır və hər bir element aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

r ij \u003d 1, vertex x j x i-dən çatırsa,

r ij \u003d 0, əks halda.

Bir çox verthos R (x i) Graph g, verilmiş bir vertex x-dən əldə edilə bilən, mən (i, j) -th elementdən olan bu elementlərdən ibarətdir matrix Nailiyyətlər 1. bərabərdir. Matrix rdəki bütün diaqonal elementlərin 1-ə bərabər olduğu aydındır, çünki hər bir ucu uzunluğunun uzunluğu 0-a çatır. birbaşa ekran 1-ci sifariş g +1 (x i), uzunluq yollarını 1 istifadə edərək, sonra, sonra dəstdən istifadə edən X J J olan x J J-nin çoxluğudir G + (g +1 (x i)) \u003d g +2 (x i) Uzunluq uzunluğundan istifadə edən X-dən əldə edilə bilən uclardan ibarətdir. Eynilə, R + P (X I), P-dən istifadə edən X-dən əldə edilə bilən ucların çoxluğudır.

X i-dən əldə edilən qrafikin istənilən ucu, 0 və ya 1, ya da 2, ... və ya p, ya da 2, və ya p ilə yol (və ya yolları) istifadə edərək əldə edilə bilər bir çox verthosVertex X üçün əldə edilə bilən mən kimi təmsil oluna bilər

Gördüyümüz kimi, əldə edilə bilən ucların dəsti r (x i) birbaşadir türüləni bağlanması X I, i.E. R (X I) \u003d T + (X I) ucları. Nəticə etibarilə, Nailiyyət Matrixini qurmaq üçün, bütün ucları üçün əldə edilə bilən dəstləri R (X I) tapırıq. İnanan r ij \u003d 1 əgər və r ij \u003d 0 başqa.

Şəkildə göstərilən qrafik üçün. 4.1 və, bir çox çatır:

Matrix nailiyyəti Şəkildə göstərildiyi kimi görünür. 4.1, içində. Matrix nailiyyəti Hər bir vertex x i üçün set t + (x i) təşkil edən bitişik bir matris (Şəkil 4.1, B) hazırlamaq mümkündür.

Saxtalıq matris Q \u003d [q ij], i, j \u003d 1, 2, ... nN harada n olduğu qrafikin ucları aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

q ij \u003d 1, x j'nin üstü bir vertex x i ilə nail olmaq olar,

q ij \u003d 0, əks halda.

Nailiyyətliyi saymaq

Qrafiklərin öyrənilməsindən yaranan ilk suallardan biri, ucları və ya bütün cütlər arasındakı yolların mövcudluğu məsələsidir. Bu problemin cavabı GRATH G \u003d (v, e) uclarında əldə edilmənin nisbətidir (v, e): Vertex W Vertex v \u003d w və ya g-də V-dən w yoldursa. Başqa sözlə, münasibət nisbəti, e. ilə əlaqəli qrafiklər üçün refleksiv və keçici bağlanmasıdır, bu nisbət də simmetrikdir və buna görə də V.-də verdikcə bərabərlik dərəcəsi ilə bərabərlik nisbətidir nailiyyətə bağlı komponentlər adlanır. İstiqamətləndirilmiş qrafiklər, nailiyyətlər, ümumiyyətlə danışan, simmetrik bir münasibət olmamalıdır. Simmetrik qarşılıqlı nailiyyətdir.

Tərif 9.8. V və W yönümlü qrafik g \u003d (v, e) g \u003d (v, e) qarşı qarşılıqlı nail deyil,

Qarşılıqlı nailiyyətin nisbəti refleksiv, simmetrik və keçicidir və buna görə də qrafikin uclarında bərabərlikdir. Qarşılıqlı nailiyyətə münasibətdə ekvivalentlik sinifləri güclü bağlı komponentlər deyilir və ya İkiqat komponentlər qrafik.

Nailiyyətliyin münasibətinin qurulması məsələsinə başlanğıc nəzərə alın. Biz nailiyyətliliyin qrafikini (bəzən transli bir dövrə kimi adlanır), kənarları mənbə qrafikinə uyğundur.

Tərif 9.9. G \u003d (v, e) yönümlü bir qrafik olsun. G üçün əldə edilə bilən g * \u003d (v, v, v * v, v *) eyni ucları V və aşağıdakı kənar dəsti e * \u003d ((u, v) | qrafikdə, vertex v-dən əldə edilə bilər vertex u).

Misal 9.3. Misal 9.2-dən Qrafik Gece baxın.

Əndazəli 9.2. G. sayın.

Sonra yoxlaya bilərsiniz ki, G * üçün G * üçün g * (ucların hər birində yeni qabırğa-döngə - 1-5 göstərilmir):

Əndazəli 9.3. G * saymaq

G * tərəfindən G * qrafikini necə qura bilərəm? Bir üsul, qrafikin hər bir ucu üçün, ondan əldə edilə bilən zirvələrin dəstini təyin etmək üçün, ardıcıl olaraq 0, 1, 2 və s. İlə əldə edilə bilən ucları əlavə etməkdir.

Qazancılığın matrisinin bir g qraf g və boolean əməliyyatlarından istifadə etmək üçün başqa bir üsula baxacağıq. V \u003d (v 1, ..., v n) dəsti dəstinə icazə verin. Sonra Matrix A G, N × n ölçülü Boolean Matrixidir.

Matrislər üzərində adi əməliyyatlar ilə oxşarlığı qorumaq üçün aşağıda, boolean əməliyyatları üçün "arifmetik" təyinatlarından istifadə edəcəyik: vasitəsilə + aradan qisası və · - birləşmə vasitəsilə.

N × n ölçülü bir matrisin bir matrisini qeyd edin. Qoy . G * inşa etmək üçün proseduru aşağıdakı ifadəyə əsaslanaraq.

Lemma 9.2. Edək. Sonra

Dəlil Biz k.

Əsas.K \u003d 0 və K \u003d 1 üçün ifadə tərifi və.

İnduksiya addımı.Lemma K üçün etibarlı olsun. Bunun yalnız K + 1 üçün qaldığını göstəririk. Tərifinə görə:

Tutaq ki, V I-də V-dən V-dən G, uzunluğunda K + 1-in bir yolu var. Bu yolların ən qısa hissəsini düşünün. Əgər uzunluğu k, sonra induksiya fərziyyəsi ilə a_ (ij) ^ ((k)) \u003d 1. Bundan əlavə, bir JJ (1) \u003d 1. Buna görə, bir ij (k) bir JJ (1) \u003d 1 və bir ij (k + 1) \u003d 1. V I-də V-dən ən qısa yolun uzunluğu K + 1-ə bərabərdirsə, V-yə bərabər olsun - onun son -ex-cari vertex. Sonra, I-də v r-də, bir uzunluğunun bir yolu var və induksiya fərziyyəsi bir IR (K) \u003d 1. (V r, v j) e, sonra a_ (rj) ^ ((1)) \u003d 1. Buna görə, bir IR (k) a rj (1) \u003d 1 və bir ij (k + 1) \u003d 1.

Geri, əgər bir ij (k + 1) \u003d 1, onda heç olmasa bir r üçün, bir IR (k) termini bir IR (1) bərabərdir, əgər r \u003d j, sonra bir ij (k) \u003d 1 və g-də induktiv fərziyyə ilə, VJ-də VI-dən bir yol var k. Əgər r j, sonra bir IR (k) \u003d 1 və bir rj (1) \u003d 1. Bu o deməkdir ki, g in v r uzunluğu k və kənarında (v r, v j) e. E.-də v j-dən v j-də yolunu əldə edirik. K + 1-də.

Lemma 9.1 və 9.2-dən birbaşa alırıq

Corollary 1. G \u003d (v, e) n ucları ilə yönəldilmiş bir qrafik olsun və g * nailiyyət qrafikidir. Sonra a_ (g *) \u003d. Dəlil. Lemma 5.1-dən sonra, əgər g, əgər g u-dakı bir yoldursa, o da V uzunluğunda olan N-1-də sadə bir yola sahibdir. Lemma 5.2-də, bütün bu yollar matrisdə təqdim olunur.

Beləliklə, G *-nin Matrixin Matrix inşası qaydası G üçün G *C-in G *'nin G *'nin N-1 dərəcəsinə qədər matrisin inşasına endirilir. Bu proseduru asanlaşdırmaq üçün bəzi şərhlər edəcəyik.

burada k ən kiçik sayı belədir ki, 2 k n.

bu R aşkar edilmişdir ki, bir IR \u003d 1 və bir RJ \u003d 1, sonra bütün cəmi bir ij (2) \u003d 1. Buna görə də, qalan komponentlərin nəzərdən keçirilə bilməz.

Misal 9.3. Con Count Matrix a g * hesabı üçün bir g * hesablanması üçün bir hesab hesablanması kimi düşünün Şəkil.9.2.. Bu halda

G 6 ucu var, onda. Bu matrixi hesablayın:

və (son bərabərliyə yoxlamaq çətin deyil). Bu minvalla,

Gördüyünüz kimi, bu matris həqiqətən təmsil olunan qrafiki həqiqətən təyin edir Şəkil.9.3..

Qarşılıqlı nailiyyət, güclü bağlantı və qrafikin bazasının komponentləri

Nailiyyət qrafiki ilə bənzətmə ilə, güclü nailiyyət qrafikini təyin edirik.

Tərif 9.10. G \u003d (v, e) yönümlü bir qrafik olsun. Vertine V və U Qrafik G In | güclü achievability G * \u003d graph (V, E *) G vertices V eyni və E * * \u003d ((U, V) aşağıdakı dəsti var qarşılıqlı olaraq nail olur).

Qazancın qrafikinin matrisinə görə, güclü çatan bir qabıq matrisini qurmaq asandır. Həqiqətən, nailiyyətlər və güclü nailiyyətlər təriflərindən dərhal sonra, onda bütün cütlər (i, j), 1 i, jn, elementin dəyəri 1 (i, j) və ag * (J, i) 1-ə bərabərdir, I.E.

Matrisdə, Graf G-nin güclü bağlantısının komponentləri aşağıdakı kimi seçilə bilər.

K 1 komponentindəki V 1 və bütün bu qədər ucları V J, A_ (G _ * ^ *) (1, J) \u003d 1.

Komponentlər K 1, ..., K i və v k-dən artıq qurulmuşdur - bu, hələ də komponentlərə düşməyən minimum sayı olan bir üstdür. Sonra vertex v k k_ (i + 1) komponenti və bütün bu qədər ucları qoyun,

o a_ (g _ * ^ *) (k, j) \u003d 1.

Bütün ucları komponentlər tərəfindən paylanana qədər addım (2) təkrar edirik.

Qrafik g üçün nümunəmizdə Şəkil Matrixdə ciddi əldə edilə bilən qrafikin aşağıdakı matrisini alırıq

Yuxarıda təsvir olunan prosedurdan istifadə edərək, qrafik g uclarının güclü bir əlaqənin 4 komponentinə bölündüyünü görürük: k 1 \u003d (v 1, v 2, v 3), \\ k \u003d (v 4), \\ k 3 \u003d (v 5), \\ k 4 \u003d (v 6). Dəstdə, güclü bağlantı komponentləri də əldə edilə bilmə münasibətini müəyyənləşdirir.

Tərif 9.11. K və K "Qrafik G. Komponent K-nin güclü bir əlaqəsinin komponentləri olsun Əldə edilə bilən Komponentlər K \\ Prime, əgər K \u003d K "və ya bu qədər iki ucu u k və v k var" ki, v-dən əldə edilə bilər. K. qəti şəkildə əldə edilə bilərK \\ baş, k k "və k k" k ". Komponent k adlanır minimal Hər hansı bir komponentdən ciddi şəkildə əldə edilə bilməzsə.

Bir komponentdəki bütün ucları qarşılıqlı olaraq nail olduğundan, nailiyyətlər və komponentlərdəki ciddi nailiyyətlərin uyğun gəlməməsi üçün U K və V k-nin seçimindən asılı deyil ki, başa düşmək çətin deyil.

Tərifdən, ciddi nailiyyətlərin aşağıdakı xüsusiyyətləri asanlıqla göstərilir.

Lemma 9.3. Sərt nailiyyətin nisbəti qismən sifarişin nisbəti, I.E. Antireflexically, antisymmetrik və keçicidir.

Bu münasibət, ucları olan bir yönümlü bir qrafik kimi təmsil oluna bilər, və kənar (k ", k) k" k "qəti şəkildə əldə edilə biləndir" deməkdir. Üstündə Əndazəli 9.4. Bu qrafik G. Qrafik üçün komponentdə göstərilir.

Əndazəli 9.4.

Bu vəziyyətdə, K 2-də minimum bir komponent var.

Bir çox tətbiqetmədə, yönümlü qrafik bəzi resursun yayılması şəbəkəsidir: məhsul, məhsul, məlumat və s. Belə hallarda, bu cür balların minimum sayının (ucları) tapmaq vəzifəsi baş verir, onlardan bu resurs şəbəkənin istənilən nöqtəsinə çatdırıla bilər.

Tərif 9.12. G \u003d (v, e) yönümlü bir qrafik olsun. V-nin alt hissələrinin alt hissəsi verilmişQrafikin hər hansı bir ucu Wertices We-dən əldə edilə bilərsə. V və Vtice-nin alt hissəsi, yaranırsa, qrafik qrafiki adlanır, amma öz alt hissəsi yaranmır.

Aşağıdakı teorem, qrafikin bütün əsaslarını effektiv şəkildə tapmağa imkan verir.

Teorem 9.1. G \u003d (v, e) yönümlü bir qrafik olsun. Verdiklər alt alt hissəsi, Güclü bir əlaqə quruculuğunun hər minimum komponentindən olan və yalnız başqa ucların hər minimum komponentindən olan bir ucu olanda baza gdir.

Dəlil Əvvəlcə qeyd edin ki, qrafikin hər bir ucu bəzi minimum komponentə aid vertexdən əldə edilir. Buna görə, hər minimum komponentdən bir vertex olan W uclu ucqarların yaranmasıdır və ondan çıxarıldıqda, hər hansı bir vertex belə olmağı dayandırır, çünki müvafiq minimum komponentdən olan ucları əlçatmaz olur. Buna görə, w bazadır.

Geri, əgər baza varsa, hər minimum komponentdən ən azı bir vertex daxil etmək məcburiyyətindədir, əks halda belə minimum komponentin ucları əlçatmaz olacaqdır. Digər ucları ehtiva edə bilməz, çünki hər biri onsuz da daxil olan uclardan əldə edilə bilər.

Bu teoremdən, G.-nin bütün əsaslarına bir və ya saymaq üçün aşağıdakı prosedur.

Güclü birləşdirici G.-nin bütün komponentlərini tapın.

Onlar üçün əmri müəyyənləşdirin və bu əmrə ilə əlaqədar minimum komponentləri ayırın.

Hər minimum komponentdən bir vertexi seçərək bir və ya hamısını qrafik yaratmaq üçün yaratmaq.

Misal 9.5. Göstərilən istiqamətləndirilmiş qrafik gin bütün əsaslarını müəyyənləşdiririk Şəkil.9.5..

Əndazəli 9.5. G. sayın.

Birinci mərhələdə Güclü bir əlaqə komponentlərini tapırıq G:

İkinci mərhələdə bu komponentlər haqqında ciddi nailiyyətlər qrafiki qururuq.

Əndazəli 9.6. Komponentlər üzrə əlaqələrin əlaqələndirilməsi G

Minimum komponentləri müəyyənləşdirin: k 2 \u003d (b), k 4 \u003d (d, e, f, g) və k 7 \u003d (r).

Nəhayət, bütün dörd bazanı sadalayırıq G: B 1 \u003d (B, D, R), B 2 \u003d (B, E, R), B 3 \u003d (B, F, R) və B 1 \u003d (B, G, R ).

Tapşırıqlar

Tapşırıq 9.1. Özbaşına yönəlmiş sayının bütün ucu dərəcələrinin cəminin hətta olduğunu sübut edin.

Bu vəzifə populyar bir şərhə malikdir: partiyaya gələn insanları mübadilə edənlərin ümumi sayının hər zaman olacağını sübut etmək.

Tapşırıq 9.2. Dörd ucdan çox olmayan bütün qeyri-adi olmayan ne yönümlü qrafikləri sadalayın.

Tapşırıq 9.3. Bir tərəfi çıxarıldıqdan sonra yönəldilməyən birləşdirilməmiş bir qrafikdən ibarət olduğunu sübut edin ↔ Bu kənarı bəzi dövrəyə aiddir.

Tapşırıq 9.4. N ucları ilə yönəldilməyən əlaqəli qrafik olduğunu sübut edin

Ən azı n-1 qabırğalar ehtiva edir

daha çox N-1 qabırğası varsa, ən azı ən azı bir dövrü var.

Tapşırıq 9.5. Sübut edin ki, 6 nəfərdən ibarət hər bir qrupda üç cüt dost və ya üç cüt qərib var.

Tapşırıq 9.6. İstiqamətsiz qrafik g \u003d (v, e) -ə qoşulmamış v \u003d v 1 v \u003d v \u003d v 1 v 1 və v 2 ilə əlaqəli olan V \u003d V 2 ilə V \u003d V 2 ilə V 2-yə qarşı bir kənarlaşdırma var.

Tapşırıq 9.7. OR-un-filiz yönümlü bir qrafikdə tək bir dərəcə olan iki ucu varsa, onda bağlandıqlarını sübut edin.

Tapşırıq 9.8. G \u003d (v, e) ne yönümlü qrafik olsun C | E |< |V|-1. Докажите, что тогда G несвязный граф.

Tapşırıq 9.9. Bir bağlı olmayan bir sütunda, hər hansı iki sadə maksimum uzunluqlu yolun ümumi vertex olduğunu sübut edin.

Tapşırıq 9.10. G \u003d (v, e) bağlantısının bir komponentinə malikdir. Sübut etmək ki

Tapşırıq 9.11. Nailiyyət qrafikinin nə olduğunu müəyyənləşdirin

n ucları və boş bir kənar dəsti olan qrafik;

n ucları ilə qrafik: v \u003d (v 1, ..., ..., v n), bir dövrü meydana gətirən qabırğaları:

Tapşırıq 9.12. Qrafik üçün Attaşama Qrafının Matrixini hesablayın

və ona uyğun uyğunlaşma qrafikini qurun. Bütün say G. tapın.

Tapşırıq 9.13. Göstərilən üçün qurulun Əndazəli 9.7 İstiqamətləndirilmiş qrafik g 1 \u003d (v, e) qolu matrix a G1, hadisəsi matrixi b g1 və bitişiklik siyahıları. Nailiyyət Matrixini bir G1 * hesablayın və əldə edilə bilən G 1 * uyğun bir qrafik qurun.

Əndazəli 9.7.

Ürəksiz və yönümlü ağaclar

Ağaclar, fərqli bir hierahik quruluşu təmsil etmək üçün istifadə olunan qrafiklərin ən maraqlı siniflərindən biridir.

Tərif 10.1. NE yönümlü bir qrafik odun deyilir, əgər bağlıdırsa və içərisində heç bir dövr yoxdur.

Tərif 10.2. İstiqamətləndirilmiş qrafik g \u003d (v, e) (yönümlü) ağacla, əgər

Üstündə Əndazəli 10.1 İstiqamətsiz ağac g 1 və yönümlü ağac g 2 nümunələri göstərilir. Qeyd edək ki, ağac G 2, "kökdən" istiqamətindəki bütün qabırğaların kökü və istiqaməti kimi vertex C-ni seçərək G 1-dən əldə edilir.

Əndazəli 10.1. Ürəksiz və pullu ağaclar

Bu təsadüfə görə deyil. Özünüzdə Ore-Ore yönümlü və yönümlü ağaclar arasındakı əlaqə haqqında aşağıdakı ifadəni sübut edin.

Lemma 10.1. Hər hansı bir yönəlməmiş ağacda g \u003d (v, e) bir özbaşınalı bir vertex v v v v v v v v v v kimi "Kökdən" istiqamətindəki bütün qabırğaları "kökdən", i.E. Bütün hadisələrin başlanğıcını etmək, verty, uclarına bitişik, yönlü olmayan kənarları olmayan bütün hadisələrin başlanğıcı və s. Nəticədə yönəldilmiş qrafik g "yönümlü bir ağac olacaq .

Ürəksiz və yönümlü ağacların bir çox ekvivalent xüsusiyyətləri var.

Teorem 10.1.G \u003d (v, e) yönəldilməyən bir qrafik olsun. Sonra aşağıdakı şərtlər ekvivalentdir.

G bir ağacdır.

G-də hər iki ucu üçün onları birləşdirən tək bir yol var.

G bağlıdır, lakin e-dən çıxarıldıqda, hər hansı bir kənar bağlanır.

G bağlı və | e | \u003d | V | -On.

G hightik və | e | \u003d | V | -On.

G siglik, ancaq e-dən hər hansı bir kənar əlavə etmək bir dövr yaradır.

Dəlil (1) (2): Əgər g, bir neçə iki ucu iki yolla bağlandısa, g bir dövrü olacağı açıq olar. Ancaq bu (1) bir ağacın tərifinə ziddir.

(2) (3): Əgər g bağlıdırsa, ancaq bir kənar (u, v) e çıxarıldıqda, əlaqələri itirmir, sonra U və V arasında bu kənarda olmayan bir yol var. Ancaq sonra G-də, vəziyyətə (2) zidd olan U və V-ni birləşdirən ən azı iki yol var.

(3) (4): Oxucu təmin edilir (Tapşırığa 9.4).

(4) (5) (5) (5) Bir dövrü ehtiva edirsə və əgər bir dövrü ehtiva edirsə, hər hansı bir kənarı dövründən çıxarsa, bağlantı pozulmamalıdır, ancaq qabırğa qalacaq | E | \u003d V -2 qalır və vəzifəyə görə 9.4 (a) Bağlı sütunda ən azı V -1 qabırğaları olmalıdır. Yaranan ziddiyyət göstərir ki, gdəki dövrlər deyil və razı deyil (5).

(5) (6): Güman ki, e kənarını (u, v) -ə əlavə etmək bir dövrün görünüşünə səbəb olmadı. Sonra g uclarında U və v, əlaqə quruculuq komponentlərindədir. Bu gündən bəri (v -1, sonra bu komponentlərdən birində (v 1, e 1), qabırğaların sayı və uclarının sayı üst-üstə düşür: | E 1 | \u003d V 1 | Ancaq onda bir dövr var (şamiyyət G.), şiddət G.ə zidd olan 9.4 (b)).

(6) (1): Əgər g bağlı deyildisə, onda müxtəlif bağlı komponentlərdən iki uc və v olacaq. Sonra (U, v) -ə (6) -ə zidd olan dövrdə (U, v) əlavə olunur. Nəticə etibarilə g bağlıdır və bir ağacdır.

İstiqamətləndirilmiş ağaclar üçün, tez-tez aşağıdakı induktiv tərifdən istifadə etmək rahatdır.

Tərif 10.3. Ağaclar adlanan yönümlü qrafiklərin induksiya sinfini müəyyənləşdiririk. Eyni zamanda, hər biri üçün ayrılmış vertex - kökü müəyyənləşdiririk.

Əndazəli 10.2 bu tərifi göstərir.

Əndazəli 10.2. Yönümlü ağacların induktiv tərifi

Teorem 10.2. 10.2 və 10.3 yönümlü ağacların tərifləri ekvivalentdir.

DəlilQrafik g \u003d (v, e) tərif şərtlərindən razı qalsın 10.2. Göstərilənlərin sayı ilə induksiyanı göstərək | v nədir.

Əgər | v | \u003d 1, onda yeganə vertex v v, ağacın kökünün (1), İ.E. Bu qrafikdə, kənarları yoxdur: e \u003d. Sonra.

Tutaq ki, n ucları olan hər qrafik tərifi qane edir. Qrafik g \u003d (v, e) c (n + 1) -textex, 10.2 tərif şərtlərini təmin edir. Vəziyyəti ilə (1) yuxarı kök r 0 var. R 0-dən K-dən K-dən K qabırğaları çıxsınlar və onlar R 1, ..., R k (k 1) uclarına aparırlar. Gi, (i \u003d 1, ..., k), qrafik, o cümlədən ve \u003d (vv | v \\ tekstit (əldə edilə bilən)) və e-ni birləşdirmək asandır Bu GI şərtlərin tərif şərtlərini qane edir 10.2. Həqiqətən, R-də qabırğalara girmirəm, yəni. Bu vertex kök g i. V-dən digər ucların hər birində də g kimi bir kənara girirəm. Əgər v v i, onda GRAM G i qrafikini təyin etmək üçün kök r məndən əldə edilir. Kimi | v | n, sonra induktiv fərziyyə ilə. Sonra Graph G, ağacların 10.3-ü təyin edilməsinin induktiv qayda (2) tərəfindən əldə edilmiş G 1, ..., g K və buna görə sinfə aiddir.

⇐ Bəzi qrafik g \u003d (v, e) sinfə daxil olursa, şərtlərin icrası (1) - (1) - (3) "(3)" 10.2-in müəyyənləşdirilməsi ilə induction tərəfindən induksiyanın yaradılması asandır. Bunu oxucuya bir məşq olaraq təqdim edirik.

İstiqamətləndirilmiş ağaclarla zəngin terminlər qoşulmuşdur ki, bu da iki mənbədən gəlmişdir: botanika və ailə münasibətləri.

Kök, qabırğaların daxil olmayan yeganə ucadır, yarpaqlar qabırğaların çıxmadığı uclarıdır. Vərəqdəki kökdən olan yol ağac budağı adlanır. Ağacın hündürlüyü budaqlarının maksimum hissəsidir. Vertexin dərinliyi kökdən bu vertexə qədər yolun uzunluğudır. Verex v v, v \u003d (v, e) subgraph, v-dən əldə edilə bilən bütün zirvələri ehtiva edir və e, kökləri ilə dəstəklənən T v ağacı (Tapşırıq 10.3). Vertex v-nin hündürlüyü t v ağacının hündürlüyüdir. Bir neçə qeyri-dövrə ağacının birliyi olan sayma, meşə adlanır.

Vertex v-dən vtex w-yə aparırsa, onda v deyilir ata w və w - oğul.v (bu yaxınlarda angoy danışan ədəbiyyatda asseksual bir termin istifadə olunur: valideyn uşaqdır). Ağacın tərifindən dərhal sonra hər bir vertexin tək bir atası var. Yol Vertex v-dən həyata keçirilirsə, o sonra V, atalar w adlanır və w nəsli V. Adi bir ata olan ucları çağırdı qardaş və ya beyri-bacı.

Başqa bir qrafik sinfini, ümumiləşdirilmiş ağacları - yönümlü asiklik olduğunu vurğulayırıq. BU BOOLEAN funksiyalarının nümayəndəliyi üçün bu cür qeyd olunan qrafiklərin iki növü daha da istifadə ediləcəkdir. Bu qrafiklərdə bir neçə kökü var - qabırğaları daxil etməyən ucları və bir neçə qabırğa ağac kimi deyil, bir neçə qabırğa daxil ola bilər.

Nailiyyət qrafiki ilə bənzətmə ilə, güclü nailiyyət qrafikini təyin edirik.

Tərif: Yönümlü qrafik. Güclü nailiyyət qrafiki
üçün bir çox ucu var və ryube növbəti çoxu
grof visshins və qarşılıqlı olaraq əldə edilə bilər.

Qazanclıq qrafikinin matrisinə görə
bir matris qurmaq asandır
güclü nailiyyət saymaq. Həqiqətən, nailiyyət və ağır nailiyyət anlayışlarından dərhal sonra, bütün buxar üçün izləyir
,
, Element dəyəri
1-ə bərabərdir və yalnız hər iki element varsa
və
1-ə bərabərdir, I.E.

Matrisdə
Qrafikin güclü bir bağlantısının komponentlərini vurğulaya bilərsiniz aşağıdakı şəkildə:

Bütün ucları komponentlər tərəfindən paylanana qədər ikinci addımı təkrarlayırıq.

Qrafik üçün nümunəmdə misal 14.1. Matrisdə
güclü nailiyyət qrafikinin növbəti matrisini alırıq

Yuxarıda təsvir olunan prosedurdan istifadə edərək, qrafikin uclarını tapırıq güclü bağlantı 4 komponentində qırıldı:
,
,
,
. Dəstdə, güclü bağlantı komponentləri də əldə edilə bilmə münasibətini müəyyənləşdirir.

Tərif: Ol
və
- Qrafikin güclü bağlantısının komponentləri . Komponent
nailiyyətlikomponentlərdən
, əgər a
ya da belə iki ucu var
və
, nə Əldə edilə bilən .
qəti şəkildə əldə edilə bilər
, əgər a
və
Əldə edilə bilən
. Komponent
hər hansı bir komponentdən ciddi şəkildə əldə edilə bilməyəcəyi təqdirdə minimal adlanır.

Bir komponentdəki bütün ucları qarşılıqlı olaraq nail olduğundan, nailiyyətlərin və komponentlərdə ciddi nailiyyətlərin münasibətlərinin ucların seçilməsindən asılı olmadığı başa düşmək çətin deyil
və
.

Tərifdən, ciddi nailiyyətlərin aşağıdakı xüsusiyyətləri asanlıqla göstərilir.

Lemma: Sərt nailiyyətin nisbəti qismən sifarişin nisbəti, I.E. Antireflexically, antisymmetrik və keçicidir.

Bu münasibət, ucları olan bir yönümlü bir qrafik kimi təmsil oluna bilər
bunun mənası
qəti şəkildə əldə edilə bilər
. Nümunə qrafiki üçün komponentin qrafiki aşağıda göstərilmişdir.

Bu vəziyyətdə bir minimum bir komponent var.
.

Bir çox tətbiqetmədə, yönümlü qrafik bəzi resursun yayılması şəbəkəsidir: məhsul, məhsul, məlumat və s. Belə hallarda, bu cür balların minimum sayının (ucları) tapmaq vəzifəsi baş verir, onlardan bu resurs şəbəkənin istənilən nöqtəsinə çatdırıla bilər.

Tərif: Ol
- yönümlü qraf. Verkhinin alt hissəsi
adlı verilmişƏgər uclardan
qrafikin istənilən ucuna çata bilərsiniz. Verkhinin alt hissəsi
qrafikin bazası yaranırsa deyilir, amma heç kim öz alt hissəsini yaratmır.

Aşağıdakı teorem, qrafikin bütün əsaslarını effektiv şəkildə tapmağa imkan verir.

Teorem: Ol
- yönümlü qraf. Verkhinin alt hissəsi
bir bazadır Sonra və yalnız güclü əlaqənin hər minimum komponentindən bir vertex olanda Və başqa bir ucu yoxdur.

Sübut: Əvvəlcə qeyd edin ki, qrafikin hər bir ucu bəzi minimum komponentə aid vertexdən əldə edilir. Buna görə, bir çox verthos
Hər minimum komponentdən bir vertex olan bir ucu yaradan və ondan çıxarıldıqda, hər hansı bir vertex belə olmağı dayandırır, çünki müvafiq minimum komponentdən olan ucları əlçatmaz olur. buna görə
bazadır.

Geri, əgər
bu bir bazadır, hər minimum komponentdən ən azı bir vertex daxil etmək məcburiyyətindədir, əks halda belə minimum komponentin ucları əlçatmaz olacaqdır. Başqa ucları yoxdur
ehtiva edə bilməz, çünki hər biri onsuz da daxil olan uclardan əldə edilə bilər.

Bu teorem, qrafikin bütün əsaslarını bir və ya saymaq üçün aşağıdakı proseduru izləyir. :

Misal 14.3: İstiqamətləndirilmiş qrafikin bütün əsaslarını müəyyənləşdiririk .

Birinci mərhələdə güclü bağlantı komponentlərini tapırıq :

İkinci mərhələdə bu komponentlər haqqında ciddi nailiyyətlər qrafiki qururuq.

Minimum komponentləri müəyyənləşdirin:
,
və
.

Nəhayət, bütün dörd verilənlər bazasını sadalayın :
,
,
və
.

Orgraves və nailiyyət və saxtalıq matrisləri tapmaq üçün nailiyyətlər və yollar üçün nailiyyətlər. Qrafikin istənilən ucu arasındakı yolların sayını tapmaq üçün bir matris metodu, həmçinin zirvələr cütü arasındakı yola daxil olan ucların çoxluğu tapmaq üçün nəzərə alınır. Mühazirənin məqsədi: nailiyyət və saxtalıq və onları tapmaq yolları barədə bir fikir verin

GƏLƏCƏK VƏ SƏHİFƏ

Konsepsiyanın istifadə olunduğu vəzifələr müvəffəqiyyət, bir az.

Budur onlardan biridir. Qrafikİnsanların ucları ilə təmsil olunduğu bir təşkilatın modeli ola bilər və ARCS rabitə kanalları şərh edir. Belə bir modeli nəzərdən keçirərkən, bir şəxsdən digəri Litsuch J-yə ötürüldüyüm barədə məlumat vermək mümkündür, yəni vertex i zirvələrdən olan bir yol var. Bu yol varsa, deyirlər ki, ucları j nailiyyətlivertex i. Vertex J-nin Vertex-dən əldə etməkdə maraqlı olmaq, yalnız belə yollarda, uzunluğu və ya uzunluğunun sütundakı ən yüksək ucu və s. . Tapşırıqlar.

Qrafikdəki nailiyyət, nailiyyət qabiliyyəti matrix r \u003d, j \u003d 1, 2, 2, ... n, qrafikin uclarının sayı və hər bir element aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

r ij \u003d 1, ikiqat j-dən əldə edilə bilərsə,

r ij \u003d 0, əks halda.

R (XI) ucları dəsti, verilmiş vertex i-dən əldə edilən qrafikin (XI), bu elementlərdən ibarətdir, bu qədər elementlərdən ibarətdir, bunun üçün (i, j) nailiyyət mövzusundakı element 1-dir. Matrixing-də bütün diaqonal elementlər 1, hər bir ucu özündən əldə etdiyi üçün uzunluğun uzunluğu 0-dan birbaşa xəritələşdirilməsindən istifadə etməkdən istifadə etmək üçün bu kimi ucların çoxluğudir. Uzunluğu 1, sonra Set + (G +1 (XI)) \u003d R +2 (XI) ucları ibarətdir, uzunluğu uzunluğu 2-dən istifadə etməklə əldə edilə bilən düymələrdən ibarətdir. + P (XI) uyğun gəlir Uzunluq yollarından istifadə edərək XI-dən əldə edilə bilən ucları.

X i-dən əldə edilən qrafikin istənilən ucu, 0 və ya 1, ya da 2, ya da 2, ya da 2, ya da 2, ya da 2, ya da 2, ya da ola biləcəyim ucların çoxluğu ilə əldə edilməlidir kimi təmsil olunmaq

R (x i) \u003d (x i) g +1 (x i) g +2 (x i) ... g + p (x i).

Gördüyümüz kimi, əldə edilə bilən ucların dəsti R (x I), IX ix i, (x i) \u003d t + (x i). Nəticə etibarilə, nailiyyət qabiliyyəti matrisinin inşası üçün, X-nin bütün ucları üçün əldə edilə bilən dəstləri (x i) tapırıq. Təqdimat, r ij \u003d 1, əgər x r (x i), əgər ij \u003d 0v, əks halda.

Əndazəli 4.1. Sütundakı çatma: bir -graph; B - bitişik matris; - Nailiyyətlilik Matrix; Saxta olan g-matris.

Şəkildə göstərilən qrafik üçün. 4.1, a, nailiyyətləraşağıdakılardır:

R (x 1) \u003d (x 1) (x 2, x 5) (x 2, x 4, x 5) (x 2, x 4, x 5) \u003d (x 1, x 2, x 4, x 5 ),

R (x 2) \u003d (x 2) (x 2, x 4) (x 2, x 4, x 5) (x 2, x 4, x 5) \u003d (x 2, x 4, x 5),

R (x 3) \u003d (x 3) (x 4) (x 5) (x 5) \u003d (x 3, x 4, x 5),

R (x 4) \u003d (x 4) (x 5) (x 5) \u003d (x 4, x 5),

R (x 5) \u003d (x 5) (x 5) \u003d (x 5),

R (x 6) \u003d (x 6) (x 3, x 7) (x 4, x 6) (x 3, x 5, x 7) (x 4, x 5, x 6) \u003d (x 3, x 4, x 5, x 6, x 7),

R (x 7) \u003d (x 7) (x 4, x 6) (x 3, x 5, x 7) (x 4, x 5, x 4, x 4, x 5, x 6) \u003d (X , x 7).

Matrix nailiyyəti Şəkildə göstərildiyi kimi görünür. 4.1, içində. Matrix nailiyyətitərəfindən tikilə bilər yelkənli matris(Şəkil 4.1, b), hər bir vertex üçün bir dəst + (x i) təşkil edir.

Saxtalıq matris Q \u003d [q IJ], i, j \u003d 1, 2, ... N, qrafikin uclarının sayı olan n, aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

q ij \u003d 1, Vertex J, vertex i-ə çata bilərsə,

q ij \u003d 0, əks halda.

NəzarətsizsETQ (X I), bu dəstin istənilən ucundan vertex i ilə əldə edilə bilən belə ucların bir dəstidir. Ailə əldə edilə bilən Setr (X I) inşaatına bənzər, ifadəni forq (x i) yaza bilərsiniz:

Q (x i) \u003d (x i) m -1 (x i) g - 2 (x i) ... mr (x i).

Beləliklə, q (x i), I ucların tərs tirziyyətli bağlanmasından başqa bir şey olmadığını görmək olar, buna görə də e.q (x i) \u003d t - (x i). MatrixQ-nin XI sütununun (qq (XI), andq ij \u003d 0) olan Matrix-in sətri ilə üst-üstə düşən təriflərdən aydındır, buna görə də, eq \u003d rt, t - Matrix, köçürülmüşdür matrix nailiyyətiR.

Saxtalıq matrisŞəkildə göstərilmişdir. 4.1, g.

Qeyd etmək lazımdır ki, matrislərin bütün elementləri 1 və ya 0-dir, sonra hər sətir kompüterin yaddaş xərclərini qənaət edərək ikili formada saxlanıla bilər. MatricesQuests Kompüterdə emal üçün, hesablama baxımından bəri əsas əməliyyatlar yüksək sürətli məntiq əməliyyatlarıdır.

Daxil olan ucların çoxluğu tapmaq

Bu yollara daxil olan qrafikin ucları haqqında öyrənmək lazımdırsa, birbaşa və tərs tirziyyətli bağların təriflərini xatırlamalısınız. T + (XI), Vertex i, (XJ) - (XJ) - CX J, TT + (XI) T - (XJ) yolları olan bir çoxluq olan ucların çoxluğu olduğu üçün ucları ) - Hər biri ən azı bir yola aid olan müxtəlif uclar, ən azı bir yol, i kx j. Bu ucları iki terminal ucu IX J üçün vacib və ya ayrılmaz nisbi adlanır. Qrafikin bütün digər ucları qeyri-vacib və ya lazımsız deyilir, çünki onların çıxarılması onların çıxarılması OTX i kX J-nin yollarına təsir etmir.

Əndazəli 4.2. Orgraf

Şəkildəki qrafik üçün. 4.2 Məsələn, yola daxil olan ucları tapmaq, məsələn, Vertex 4-də Vertex x 2-dən, tapmağı azaldır + (x 2, x 3, x 4, x 5, x 6),

T - (x 4) \u003d (x 1, x 2, x 3, x 4, x 4, x 4) və onların kəsişmə + (x 4) \u003d (x 2, x 3, x 4, x beş).

Qrafiklərdə yol tapmaq üçün matris metodu

Abnun Matrix, qrafikin quruluşunu tam müəyyənləşdirir. Riyaziyyat qaydalarına uyğun olaraq meydanda bitişikliyin matrisini ucaltdı. Matrixin hər bir elementi 2 düstur tərəfindən müəyyən edilir

a (2) ikiqat \u003d n j \u003d 1 a ij bir jk

Formuldakı termin 1-ə bərabərdir və yalnız bir ij i jk 1-ə bərabərdirsə, əks halda 0-a bərabərdir, çünki 1-ə bərabərdir, çünki 1 uzunluğundan 2-ə bərabərdir. Bir jk \u003d 1 uyğundur, sonra (i -i, k-th) Matrix 2 elementi i V-dən çatan uzunluğu 2 yollarının sayına bərabərdir.

Cədvəl 4.1A, Şəkildə göstərilən qrafikin damazlıq matrisini göstərir. 4.2. Ainçe matrisinin inşasının nəticəsi 2 A 2 kvadratına daxil edilmişdir. Cədvəl 4.1b.

Beləliklə, ikinci sətir və dördüncü sütunun kəsişməsində dayanan "1", vertex x 2-dən 2 uzunluğundan olan bir yolun varlığı 4-cü hissələrə 4-ə qədərdir. Həqiqətən, gördüyümüz kimi silməkŞəkildə. 4.2, belə bir yol var: 6, 5. Matrixa 2-də "2" iki yolun 6-cı yolun varlığı, Vertex 3-dən uclarına 6: A 8, 4 I 10, 3 i 10.

Eynilə, qonşuların matrixi üçün, üçüncü dərəcəyə 3 (Cədvəl 4.1B), A (3) ikiqat uzunluğu 3-cü yolların sayına bərabərdir, Fromx i Kh k-yə çatır. Matrix 3-in dördüncü sətirindən, 3-ün yollarının olduğunu görmək olar: 4 VX 4-dən biri (9, 8, a 5), \u200b\u200b4-dən biri

x 5 (a 9, a 10, a 6) və 4 vx 6 (a 9, 10, a 3 və 9, a 8, a 4). Matrix 4 yolların mövcudluğunu göstərir 4 (Cədvəl 4.1g).

Beləliklə, bir P IK matrix p elementidirsə, Toa p IK, inhx i kh k-dən gedən uzunluğu yollarının (mütləq orcertes və ya sadə orrakezi deyil) ilə bərabərdir.