أ) قطع المثلث التعسفي إلى عدة قطع بحيث يمكن طي المستطيل منهم.
ب) قطع المستطيل التعسفي إلى عدة قطع حتى يتم طي المربع.
ج) قص اثنين من المربعات التعسفية في عدة قطع بحيث يمكن طي مربع كبير.
ب) أولا، تشكل مستطيل من مستطيل تعسفي، نسبة الجانب الرئيسي الذي لا يتجاوز أربعة.
ج) استخدام نظرية البياغاجور.
أ) اسحب الطول أو المتوسط.
ب) تحقق من المستطيل إلى المربع، والتي يجب أن تتحول، وسحب "قطري".
ج) تطبيق المربعات على بعضها البعض، على جانب المربع الأكبر، قم بقياس القطاع المساوي لطول مربع أصغر، ثم قم بتوصيله بتقويم "المعاكس" لكل مربع (انظر الشكل 1).
أ) دعها تعطى مثلث تعسفيا ABC.وبعد قطع الخط الأوسط mn. الجانب الموازي. منوفي مثلث الناتج CMN. خفض الارتفاع CD.وبعد بالإضافة إلى ذلك، خفضت مباشرة mn. بطبع اكس و bl.وبعد ثم من السهل أن نرى ذلك AKM. = ∆CDM. و δ. bln. = ∆CDN. كما مثلثات مستطيلة، والتي تساوي الزوجين المقابلين من الأطراف وزوايا البخار.
ومن هنا طريقة قطع هذا المثلث وقطع التحول اللاحقة. إنه، سوف نقطع التخفيضات حسب القطاعات mn. و CD.وبعد بعد ذلك، وضع مثلثات CDM. و CDN. بدلا من مثلثات AKM. و bln. وفقا لذلك، كما هو مبين في الشكل. 2. حصلنا على مستطيل aklb.تماما كما هو مطلوب في المهمة.
لاحظ أن هذه الطريقة لن تعمل إذا كان أحد الزوايا سيارة أجرة. أو CBA. - غبي. هذا يرجع إلى حقيقة أنه في هذه الحالة الارتفاع CD. لا تكذب داخل المثلث CMN.وبعد ولكن هذا ليس مخيفا للغاية: إذا كنت تقضي الخط الأوسط في موازاة أطول جانب من المثلث الأصلي، فإنه في مثلث قطع، سنخفض ارتفاع زاوية غبية، وسوف يكمن بالتأكيد داخل المثلث.
ب) دعه يعطي مستطيلا ا ب ت ث.من يأسر ميلادي و من مساو أ. و ب. وفقا لذلك، و أ. > ب.وبعد ثم يجب أن تكون مربع المربع الذي نريد الحصول عليه في النهاية متساويا منوبعد وبالتالي، طول جانب الجانب هو منما هو أقل من ميلاديولكن أكثر من ذلك من.
دعنا نبني مربع apqr.يساوي المطلوب، بحيث هذه النقطة ب. ملقاة على قطع AP.، و نقطة رديئة - على قطع ميلاديوبعد اسمحوا ان PD. شرائح العبور قبل الميلاد. و qr. في النقاط م. و ن. على التوالى. ثم من السهل أن نرى أن مثلثات PBM., ضمادة و NRD. مثل، وإلى جانب ذلك BP. = (√من – ب.) أنا. بحث وتطوير. = (أ. – √من). هذا يعني
وبالتالي،. PBM. = ∆NRD. على الجانبين والزاودة بينهما. من هنا من هنا سهولة سحب المساواة PQ. = mc. و nq. = CD.لذلك، PQN. = ∆MCD. أيضا في الجانبين والزاودة بينهما.
من كل التفكير أعلاه، تتبع طريقة القطع. هو، أولا نحن نؤجل على الجانبين ميلادي و قبل الميلاد. شرائح AR و سم.، أطوالها متساوية من (حول كيفية بناء شرائح من النموذج منلمهمة "المضلعات الصحيحة" - إدراج في القسم "القرار"). بعد ذلك، استعادة عموديا إلى القطاع ميلادي عند نقطة رديئةوبعد الآن فقط قطع المثلثات MCD. و NRD. وتغييرها كما هو مبين في الشكل. 3.
لاحظ أنه من أجل استخدام هذه الطريقة، يجب أن تأخذ هذه الطريقة م. اتضح داخل القطاع BK. (خلاف ذلك ليس مثلث كله NRD.متصلة داخل المستطيل ا ب ت ث.). هذا ضروري ل
إذا لم يتم تنفيذ هذا الشرط، فأنت بحاجة أولا إلى جعل هذا المستطيل أوسع وأقل فترة طويلة. للقيام بذلك، يكفي قصها في نصف وتغيير القطع كما هو موضح في الشكل. 4. من الواضح أنه بعد هذه العملية، ستقلب نسبة الجانب الرئيسي إلى الأصغر أربع مرات. لذلك، إنفاقه عدد كبير من المرات، في النهاية نحصل على مستطيل، والذي قطع مع الأرز. 3.
ج) النظر في بيانات مربعين ا ب ت ث. و DPQR.، إرفاقهم لبعضهم البعض بحيث تتقاطع على الجانب CD. مربع أصغر وكانت قمة إجمالية د.وبعد نحن نفترض أن PD. = أ. و من = ب.علاوة على ذلك، كما لاحظنا بالفعل، أ. > ب.وبعد ثم الجانب دكتور. يمكن اعتبار مربع أكبر مثل هذه النقطة م.، ماذا او ما السيد. = منوبعد وفقا لنظرية ليثاجور.
دع مباشر يمر عبر النقاط ب. و س: موازية مباشرة MQ. و بي ام. وفقا لذلك، تتقاطع في هذه النقطة ن.وبعد ثم quadigal. bmqn. هو متوازي، وبما أن لديه جميع الأحزاب يساوي، فهذا هو المعين. ولكن. بام. = ∆مرق وفقا لثلاثة أطراف، من أين يتبع (بالنظر إلى أن الزوايا بام. و مرق مستقيم) ذلك. في هذا الطريق، bmqn. - ميدان. وبما أن منطقتها متساوية ( أ. 2 + ب. 2)، ثم هذا هو الساحة التي نحتاجها للحصول عليها.
من أجل المتابعة إلى قطع، لا يزال يلاحظ ذلك بام. = ∆مرق = ∆BCN. = ∆NPQ.وبعد بعد ذلك، ما يجب القيام به من الواضح: من الضروري قطع المثلثات بام. و مرق وتغييرها كما هو مبين في الشكل. خمسة.
تباطؤ المهام المقدمة، القارئ، فمن الممكن تماما، يفكر في مثل هذا السؤال: ومتى يمكن قطع مضلع واحد مع خطوط مستقيمة إلى عدد محدود من هذه القطع، منها مضلع آخر يطور؟ انعكاس قليلا، سوف يفهم أنه من الضروري على الأقل أن منطقة هذه المضلعات متساوية. وبالتالي، فإن السؤال المصدر يتحول إلى ما يلي: هل صحيح أنه إذا كان لدى اثنين من المضلعات في نفس المنطقة، فيمكن تقطيع أحدهم إلى قطع، منها الثانية تتطور (هذه الخاصية تسمى اثنين من المضلعات ما معادلتين)؟ اتضح أن هذا صحيح، وهذا يخبرنا بمثابة نظرية Boyii-Gervin، ثبت في ثلاثينيات القرن العشرين. بجدارة أكثر، تتكون صياغةها من.
نظرية Boiii-Guerin. اثنين من المضلعات areometric إذا وفقط إذا كانت مكافئة.
فكرة أدلة هذه النتيجة الرائعة هي كما يلي. أولا، لن نثبت موافقة Theorem، ولكن حقيقة أن كل من البيانات المساورة للمساواة يمكن تقطيعها إلى قطع تم طي مربع من نفس المنطقة. للقيام بذلك، أولا نقسم كل مضلعات على مثلثات (مثل هذا القسم يسمى التثليث). ثم يتحول كل مثلث إلى مربع (على سبيل المثال، بمساعدة الطريقة الموصوفة في الفقرات أ) و ب) من هذه المهمة). يبقى أن يتم طيها من عدد كبير من المربعات الصغيرة واحدة كبيرة - يمكننا أن نفعل هذا بفضل النقطة ب).
إن سؤال مماثل بالنسبة للجميع هو أحد المشاكل الشهيرة في ديفيد هيلبرت (ثالثا)، المقدمة إليهم في التقرير في المؤتمر الدولي الثاني للرياضيات في باريس عام 1900. من السمات أن الإجابة عليه تحولت إلى أنها سلبية. تدرس بالفعل اثنين من هذه الجنسية البسيطة، ككعب و Tetrahedron الصحيح، يدل على أن أيا منهم يتحول إلى عدد محدود من الأجزاء بحيث يختلف الآخر. وهذا ليس بالصدفة - هناك ببساطة غير موجود.
تم الحصول على قرار المشكلة الثالثة في هيلبرت من قبل أحد طلابه - ماكس دن - بالفعل في عام 19901. وجد Den قيمة ثابتة لم تتغير عند قطع متعدد الوزن إلى قطع وقابلة للطي من أرقام جديدة. ومع ذلك، كانت هذه القيمة مختلفة بالنسبة لبعض polyhedra (على وجه الخصوص، كوبا والرباهيدرون الصحيح). يشير الظروف الأخيرة صراحة إلى حقيقة أن هذه البولي فيدرا ليست معادلة.
مهمة 1: يمكن تقطيع المستطيل الذي يتم التعبير عنه من قبل الأعداد الصحيحة، بأرقام النموذج (جانب الخلية الموجودة في الرقم يساوي واحدة). إثبات أنه يمكن قطعها إلى 1 × 5 مستطيلات.
(d. ~ karpov.)
قرار: يتم تقسيم مساحة هذا المستطيل من خلال التركيز على مساحة الرقم المحدد، وهذا هو، بمقدار 5. مجال المستطيل يساوي نتاج أطوال الجانبين. نظرا لأن أطوال الأطراف أعداد صحيحة، و 5 - رقم بسيط، ثم يجب تقسيم طول أحد الأطراف بنسبة 5. نقسم هذا الجانب والطول المقابل للطول 5، والجانبين الآخرين - على طول الطول 1، ثم قم بتوصيل النقاط المقابلة على الجانبين المعاكس بخطوط مستقيمة. المهمة 2: اتخاذ قرار في نظام أرقام حقيقية للمعادلات(~ ~ Khrabrov.)
قرار: الإجابة: النظام يحتوي على حل واحد: A \u003d B \u003d C \u003d D \u003d 0. بعد طي المعادلات النظام، نحصل على المعادلة 8a² + 9B² + 7C² + 4D² \u003d 16AB + 8CD من عدم المساواة 2AB ≤ ² + B² 2CD C² + D² يجب أن يكون الجانب الأيمن من هذه المعادلة ليس أكثر من اليسار، ويمكن تحقيق المساواة فقط إذا ب \u003d 0، C \u003d 0، A \u003d B و C \u003d D. هذا يعني أن الحل الوحيد الممكن لهذا النظام هو \u003d B \u003d C \u003d D \u003d 0.يتم حل الخيار الثاني بالمثل.
المهمة 3: في Rombe ABCD على جانبي AB و BC، على التوالي، يتم اتخاذ نقاط E و F، مثل CF / BF \u003d BE / AE \u003d 1994. اتضح أن DE \u003d DF. العثور على زاوية EDF.
من حالة المشكلة (في كلا الخيارين)، تتبع ذلك \u003d CF. سأؤجل على الجانب AK AK، يساوي. تقلصات ADK و CDF تساوي الجانبين والزاوية (AD \u003d CD، AK \u003d CF، ∠ DAK \u003d ∠ DCF). لذلك، DK \u003d DF \u003d DE، وهذا هو، مثلث DKE هو تحدي. على وجه الخصوص، تكون زوايا DKE و DEK متساوية عند تأسيسها. وبالتالي، تكون مثلثات ADK و BDE متساوية (على الجانبين وزاوية: AK \u003d BE، DK \u003d DE، ∠ DKA \u003d ∠ Deb). وبالتالي الإعلان \u003d BD، وهذا هو، مثلث عبد العادي متساوي الأضح. وبالتالي، ∠ سيئة \u003d 60، ∠ ABC \u003d 120.
(~ ~ Khrabrov.)
قرار: دع الفريق وهزم الفريق باء في مباراة مع هذه القواعد (ربما ضمان انتصاره قبل الجدول الزمني). وهذا يعني أنه مع أي نتيجة فكرية للعقوبة المتبقية (التحسس)، فإن نتيجة الفريق أ تكون أعلى من B. الفرق تخيل أن الفرق استمرت في اختراق عقوبة بعد نهاية المباراة وضرب كل العقوبة المتبقية والفريق ولم يسجل أي كرة أخرى ولم يفقد الفريق بعد الآن. في الوقت نفسه، سجل العدد الإجمالي للأهداف وسوف يكون أكبر من تلك المسجلة B (هذا هو بالضبط ما تعني كلمة "فوز كرسي"). كم يمكن أن يكون أكثر؟ فقط في 1 أو على 2. في الواقع، إذا تحول الفرق أكثر من اثنين، فإن انتصار الفريق سيكون أمرا لا مفر منه حتى سابقا، قبل كسر اللوحة الأخيرة من العقوبة.بعد ذلك، نلاحظ أنه مع استمرار المباراة في البوابة، وصل نصف الضربات بالضبط إلى البوابة. وهكذا، ومن جميع أزواج من الصدمات 129 في البوابة إلى نصفين بالضبط، وهذا هو بالضبط 129. يتم تقسيم هذه الأهداف ال 129 بين A و B حتى في 1 أو 2 أكثر. هذا يحدد فريد عدد الأهداف التي سجلها فريق A - 65.
المهمة 5: تقرر المعادلة بالأرقام الطبيعية:(d. ~ karpov.)
قرار: هذه المعادلة لها حل واحد: x \u003d 2، y \u003d 1، z \u003d 2 (في كلا الخيارين). حقيقة أنها حل يتبع من الهوية العامة A² + (2A + 1) \u003d (A + 1) ² ²، المستخدمة في التجسيد الأول إلى \u003d 105، وفي الثانية - إلى \u003d 201.لا توجد حلول أخرى، حيثما إذا تم تقسيم Z\u003e 2، ثم ينقسم الجانب الأيمن من المعادلة إلى 8، واليسار - لا، لأن 105 x يمكن أن يعطي فقط البقايا 1، و 211 ذ ليكون 0 فقط - فقط المخلفات 1 و 3. لا يزال يلاحظ ذلك، أن الحلول في z \u003d 1 ليست كذلك، وفي z \u003d 2، تكون القيم y \u003d 1 و x \u003d 2 بشكل فريد.
في تعيين المعلمين في الرياضيات ومعلمي مختلف الاختيارية والدوائر، يتم تقديم مجموعة من المشاكل الهندسية الترفيهية والتنمية للقطع. إن الغرض من استخدام هذه المهام لاستخدام هذه المهام في فصوله ليس فقط يثير الاهتمام بالطالب في مجموعات مثيرة للاهتمام وفعالة من الخلايا والأرقام، ولكن أيضا لتشكيل شعور الخطوط والزوايا والأشكال. يتم توجيه مجموعة المهمة بشكل رئيسي على الأطفال 4-6 فصول، على الرغم من عدم استبعاد استخدامها حتى مع طلاب المدارس الثانوية. تتطلب التمارين الطلاب بتركيزات عالية وجهاز وهم مناسبون لتطوير وتدريب الذاكرة المرئية. يوصى بمعلمي الرياضيات يشاركون في إعداد الطلاب إلى الامتحانات التمهيدية في المدارس والفئات الرياضية التي تقدم متطلبات خاصة لمستوى التفكير المستقل والقدرات الإبداعية للطفل. مستوى المهام يتوافق مع مستوى أولمبياد تمهيدي في Lyceum "المدرسة الثانية" (المدرسة الرياضية الثانية)، ذكر محمد ميثتان، مدرسة Kurchatov، إلخ.
ملاحظة مدرس في الرياضيات:
في بعض الحلول للمهام التي يمكنك عرض النقر على المؤشر المناسب، يتم تحديد واحد فقط من العينات المحتملة من القطع. أعترف تماما أنه يمكنك الحصول على بعض الجمع المؤمني الآخر - لا يجب أن تخاف منه. تحقق بعناية محلول صابونك وإذا كان يرضي الشرط، ثم تأخذ بجرأة المهمة التالية.
1) حاول قطع الرقم 3 متساوي في الشكل في الشكل:
: الأرقام الصغيرة تشبه إلى حد كبير الرسالة T
2) قص الآن هذا الرقم على 4 متساو في شكل جزء:
نصيحة الرياضيات: من السهل تخمين أن الأرقام الصغيرة ستتألف من 3 خلايا، وثلاث أرقام الخلايا ليست كثيرا. هناك نوعان فقط: زاوية ومستطيل 1 × 3.
3) قطع هذا الرقم إلى 5 متساو في شكل أجزاء:
ابحث عن عدد الخلايا التي يتكون منها كل شخصية منها. هذه الأرقام تشبه الرسالة G.
4) والآن تحتاج إلى قطع رقم عشر خلايا إلى 4 غير متكافئ صديق المستطيل (أو المربع).
مؤشر المعلم في الرياضيات: تسليط الضوء على بعض المستطيل، ثم في الخلايا المتبقية، حاول إدخال ثلاثة آخرين. إذا لم ينجح ذلك، فقم بتغيير المستطيل الأول وحاول مرة أخرى.
5) المهمة معقدة: يجب قطع الرقم 4 مختلفة في النموذج الأرقام (ليس بالضرورة على المستطيلات).
نصيحة الرياضيات: ارسم أولا بشكل منفصل جميع أنواع أرقام الأشكال المختلفة (سيكون هناك أكثر من أربعة) وكرر طريقة سلامة المتغيرات كما في المهمة السابقة.
:
6) قطع هذا الرقم على 5 أرقام من أربع خلايا من الأشكال المختلفة بحيث يتم رسم خلية أخضر واحدة فقط في كل منها.
طرف مدرس في الرياضيات: حاول البدء في قطع من الحافة العلوية لهذا الشكل، وسوف تفهم على الفور كيفية التصرف.
:
7) بناء على المهمة السابقة. ابحث عن عدد الأرقام التي تحتوي على أشكال مختلفة تتكون بالضبط من أربع خلايا؟ يمكن أن تكون الأرقام ملتوية، استدارة، لكن لا يمكنك رفع ارتفاعه (من سطحه) الذي يكمن فيه. وهذا هو، لن يعتبر الشخصان أعلاه متساويا، حيث لا يمكن الحصول عليها من بعضها البعض عن طريق الدوران.
طرف مدرس في الرياضيات: فحص حل المهمة السابقة ومحاولة تخيل المواقف المختلفة لهذه الأرقام عند تشغيلها. من السهل تخمين أن الإجابة في مهمتنا ستكون الرقم 5 أو أكثر. (في الواقع، حتى أكثر من ستة). في المجموع، هناك 7 أنواع من الأرقام الموصوفة.
8) قطع مربع 16 خلايا بنسبة 4 على قدم المساواة في شكل الجزء بحيث في كل جزء من الأجزاء الأربعة كانت هناك خلية واحدة خضراء واحدة بالضبط.
نصيحة الرياضيات: شكل الأرقام الصغيرة ليس مربعا وليس مستطيلا، ولا حتى زاوية من أربع خلايا. إذن ما هي الأرقام التي تحاول قطعها؟
9) الشكل الرقم، مقطعة إلى قسمين بطريقة يمكن طيها المربع من الأجزاء التي تم الحصول عليها.
ماتيماتسكي المعلم المعلم: في المجموع، في الرقم 16 خلايا - هذا يعني أن المربع سيكون الحجم 4 × 4. وبواحو تحتاج إلى ملء النافذة في الوسط. كيف افعلها؟ ربما بعض التحول؟ ثم لأن طول المستطيل يساوي الخلايا الفردية، يجب إجراء القطع من خلال قطع رأسية، ولكن من خلال خط مكسور. بحيث يتم قطع الجزء العلوي من جانب واحد من الخلايا الوسطى، والسفلى من ناحية أخرى.
10) قطع حجم المستطيل من 4 × 9 إلى جزأين مع مثل هذا الحساب بحيث يمكن طي المربع كنتيجة لهم.
نصيحة الرياضيات: المجموع في مستطيل 36 الخلايا. لذلك، ستكون المربع 6 × 6. لذلك يتكون الجانب جبل كا من تسع خلايا، ثم يحتاج ثلاثة منهم إلى قطع. كيف سيذهب هذا شق أكثر؟
11) الأسير من خمسة خلايا تظهر في الشكل مطلوبة لخفض (يمكنك قص الخلايا أنفسها) إلى هذه الأجزاء التي يمكن أن يتم فيها مطوية المربع.
نصيحة الرياضيات: من الواضح أنه كما لو أننا لا نقدم الخلايا على الأسطر - لن أحصل على مربع، لأن الخلايا ليست سوى 5. هذه هي المهمة الوحيدة التي يسمح فيها بقطعها ليس عن طريق الخلاياوبعد ومع ذلك، فإنهم سيظلون بشكل جيد كنقطة مرجعية. على سبيل المثال، تجدر الإشارة إلى أننا بحاجة إلى حد ما لإزالة التعمق، وهذا لدينا - هما، في الزوايا الداخلية لصليبنا. كيف افعلها؟ على سبيل المثال، قطع بعض المثلثات من الزوايا الخارجية للصليب ...
كلمة التمهيدية للمعلم:
مرجع تاريخي صغير: كان العديد من العلماء من العصور القديمة مهتمة بالمهام للقطع. تم العثور على حلول العديد من مهام القطع البسيطة من قبل اليونانيين القدماء، والصينيين، ولكن أول أطروحة منهجية حول هذا الموضوع تنتمي إلى بيرو أبو فيفا. الهندسة الهندسية تعمل بشكل خطير في حل المهام لقطع الأرقام إلى أصغر عدد من الأجزاء والبناء اللاحق لشخص آخر في بداية القرن العشرين. كان أحد مؤسسي هذا القسم مؤسس هنري إي. ديوديز الشهير.
في الوقت الحاضر، عشاق الألغاز مغرمون بحل المشاكل من قبل لأن الطريقة العالمية لحل هذه المهام غير موجودة، والجميع الذين يأخذونهم لاتخاذ قرار يمكن أن يظهر تماما صهرهم والحدس والقدرة على التفكير الإبداعي. (في الفصل، سنشير إلى إحدى الأمثلة الممكنة للقطع. يمكن افتراض أن الطلاب قد يقومون بتحويل بعض التركيبة الصحيحة الأخرى - فليس من الضروري الخوف من ذلك).
من المفترض أن يحتفظ هذا الدرس في شكل فصول عملية. كسر المشاركين القدح إلى مجموعات من 2-3 أشخاص. سيتم توفير كل مجموعة من المجموعات مقدما من قبل شخصيات المعلم. الطلاب لديهم حاكم (مع الأقسام)، قلم رصاص، مقص. يسمح بإنتاج مع مقص التخفيضات المستقيمة فقط. من خلال قطع نوع من النوع إلى القطع، تحتاج إلى جعل شخصية أخرى من نفس الأجزاء.
مهام القطع:
1). حاول قطع الرقم المعروض في الشكل إلى 3 متساو في شكل جزء:
نصيحة: القليل من الأرقام تشبه إلى حد كبير الرسالة T.
2). جيره هذا الرقم إلى 4 متساو في شكل جزء:
تلميح: من السهل تخمين أن الأرقام الصغيرة ستتألف من 3 خلايا، وثلاث أرقام الخلايا ليست كثيرا. هناك نوعان فقط: زاوية ومستطيل.
3). قم بتقسيم الشكل إلى قطعتين متطابقتين، وقم بقص السبس من الأجزاء المستلمة.
نصيحة: تشير إلى البدء في تنفيذ مهمة من الجزء الثاني، وكيفية الحصول على رقعة الشطرنج. تذكر ما الشكل لديه رقعة الشطرنج (مربع). احسب العدد الحالي للخلايا في الطول في العرض. (ذكر أن الخلايا يجب أن تكون 8).
4). جرب ثلاث حركات سكين لقطع الجبن على ثمانية قطع متساوية.
تلميح: حاول قطع الجبن على طول.
مهام الحلول الذاتية:
1). قطع مربع الورق وقم بما يلي:
· مقطعة إلى هذه الأجزاء من أي مربعين أصغر متساوين يمكن أن يتم.
· خفض خمسة أجزاء - أربعة مثلثات، وساحة واحدة - وأطوي لها بحيث تبين ثلاث مربعات.
