Qısaldılmış vurma düsturları (FSF)çoxluqlar da daxil olmaqla ədədləri, ifadələri artırmaq və artırmaq üçün lazımdır. Yəni düsturlardan istifadə edərək rəqəmlərlə daha sürətli və daha asan işləyə bilərsiniz. Beləliklə, vəzifəni asanlaşdıracaq kompleks bir tənlikdən adi bir tənlik edə bilərsiniz.

Qısaldılmış vurma üçün düsturlar olan cədvəl

İlk dörd düstura diqqət yetirin. Onların sayəsində iki ifadənin cəmini (fərqini) kvadratlaşdıra və ya kublaşdıra bilərsiniz. Beşinci düstura gəldikdə, iki ifadənin fərqini və ya cəmini qısaca çoxaltmaq üçün istifadə edilməlidir.

Son iki düstur (6 və 7) hər iki ifadənin cəmini fərqin və ya cəmin natamam kvadratına vurmaq üçün istifadə olunur.

Yuxarıda göstərilən formullara praktikada çox vaxt ehtiyac var. Buna görə də onları əzbər bilmək arzu edilir.

Bir polinomu faktorlaşdıran bir nümunəyə rast gəlsəniz, bir çox hallarda sol və sağ tərəfləri yenidən düzəltməlisiniz.

Məsələn, eyni ilk düsturu götürək:

sol tərəfi sağa, sağ tərəfi sola qoyun:

Eyni prosedur digər formullarla da edilə bilər.

FSO -nun sübutu

Qısaldılmış vurma düsturlarının sübutları üzərində dayanaq. Bu çətin deyil. Yalnız mötərizələri açmaq lazımdır. Birinci düsturu - cəmin kvadratını nəzərdən keçirin :.

Birinci addım.

İkinci gücə + b qaldıraq. Bunu etmək üçün dərəcəyə toxunmayacağıq, ancaq adi bir vurma aparacağıq: = x.

İkinci addım.İndi mötərizələri çıxarırıq: x + x.

Üçüncü addım... Mötərizəni genişləndirin: x + x + x + x.

Dördüncü addım... İşarələri unutmadan çoxalırıq: x + x +.

Beşinci addım... İfadəni sadələşdirək :.

Eyni şəkildə, azaldılmış vurma üçün hər hansı bir düsturu tamamilə sübut edə bilərsiniz.

FSO istifadə edərək nümunələr və həllər

Tipik olaraq, bu yeddi düstur bir tənliyi və ya hətta ümumi bir nümunəni həll etmək üçün ifadəni sadələşdirmək lazım olduqda istifadə olunur.

Misal 1

Məşq edin

İfadəni sadələşdirin:

Gördüyünüz kimi, qısaldılmış vurmanın ilk formulu - cəmin kvadratı bu nümunəyə uyğundur.

Həll

Birinci düstura əsasən nümunə faktorizə edilməlidir. Bunu etmək üçün düstura baxırıq və hərflərin yerinə rəqəmləri əvəz edirik. Bizim vəziyyətimizdə "a" 3x, "b" isə 5 -dir:

Sağ tərəfi oxuyuruq və nəticəni yazırıq. Əldə edirik:

Misalda, vurulan hər şeyi çoxaltmalısınız və dərhal cavabı alırıq:

Əlbəttə ki, fraksiya nümunələri də var. Ancaq sadə nümunələri həll etməyi öyrənsəniz, digər növlərdən qorxmayacaqsınız.

Misal 2

Məşq edin

İfadəni sadələşdirin

Həll

= - x x + =

Bu ifadələrin ikiqat məhsulu -trinomialın ikinci müddəti ilə üst -üstə düşür (artı işarəsi ilə), yəni

Beləliklə, gördüyünüz kimi, nümunələrdə mürəkkəb bir şey yoxdur. Əsas odur ki, düsturların harada tətbiq oluna biləcəyini və onsuz harada edə biləcəyinizi bilməkdir.

Faydalı mənbələr

1. Arefieva I. G., Piryutko O. N. Cəbr: ümumi orta təhsil müəssisələrinin 7 -ci sinfi üçün dərslik: Minsk "Narodnaya Asveta", 2017 - 304 s.
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K. Cəbr 7 -ci sinif: М: 2015 - 287 s.
3. Rubin A.G., Chulkov P.V. Cəbr. 7 -ci sinif. Moskva: 2015 - 224 s.

FSU - nümunələri olan 7 -ci sinif üçün cəbrdə qısaldılmış vurma formulları yeniləndi: 22 Noyabr 2019 müəllif tərəfindən: Elmi məqalələr

Hesablamaları asanlaşdırmaq üçün cəbr polinomlarını hesablayarkən istifadə edin qısaldılmış vurma düsturları ... Ümumilikdə yeddi belə düstur var. Hamısını əzbər bilmək lazımdır.

A və b əvəzinə düsturlarda həm ədədlər, həm də hər hansı digər cəbr polinomları ola biləcəyini xatırlamaq lazımdır.

Kvadratların fərqi

İki ədədin kvadratları arasındakı fərq, bu ədədlər və onların cəmi arasındakı fərqin məhsuluna bərabərdir.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Cəmi kvadrat

İki ədədin cəminin kvadratı, birinci ədədin kvadratının üstəgəl birinci ədədin məhsulunun ikincisi ilə ikinci ədədin kvadratına bərabərdir.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Qeyd edək ki, bu stenoqram vurma düsturu ilə bunu etmək asandır çox sayda kvadrat tapın bir kalkulyator və ya uzun vurma istifadə etmədən. Bir nümunə ilə izah edək:

Tap 112 2.

112 -ni kvadratlarını yaxşı xatırladığımız ədədlərin cəminə ayıraq.
112 = 100 + 1

Nömrələrin cəmini mötərizədə yazaq və mötərizənin üstünə bir kvadrat qoyaq.
112 2 = (100 + 12) 2

Cəmin kvadratının düsturundan istifadə edək:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2 400 + 144 = 12 544

Unutmayın ki, kvadrat cəm formulu hər hansı bir cəbr polinomu üçün də keçərlidir.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Xəbərdarlıq !!!

(a + b) 2 2 + b 2 -ə bərabər deyil

Kvadrat fərq

İki ədəd arasındakı fərqin kvadratı, birinci ədədin kvadratından, ikincisinin ikincisi ilə ikincisinin məhsulunun iki qatına bərabərdir.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Çox faydalı bir çevrilməni də xatırlamağa dəyər:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Yuxarıdakı düstur sadəcə mötərizəni genişləndirməklə sübut olunur:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Sum kub

İki ədədin cəminin kubu, birinci ədədin kubuna üstəgəl birinci ədədin kvadratının üç qatına, ikinci artının ikincisinin kvadratının üstəgəlinin ikincisinin kubuna bərabərdir.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Bu "qorxulu" görünən düsturu xatırlamaq olduqca sadədir.

3 ilə başlamağı öyrənin.

Ortadakı iki polinomun əmsalları 3 -ə bərabərdir.

VXatırladaq ki, sıfır dərəcədəki hər hansı bir ədəd 1 -dir (a 0 = 1, b 0 = 1). Formulda a dərəcəsində azalma və b dərəcəsində artım olduğunu görmək asandır. Buna əmin ola bilərsiniz:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Xəbərdarlıq !!!

(a + b) 3 3 + b 3 -ə bərabər deyil

Fərq kub

İki ədəd arasındakı fərqin kubu, birinci ədədin kubunun eksi sayının kvadratının üç qatına, ikincinin üstəgəlinin birinci ədədinin məhsulunun və ikincisinin kvadratının ikincisinin kubunun üç qatına bərabərdir. .

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Bu formula əvvəlki kimi xatırlanır, ancaq "+" və "-" işarələrinin dəyişməsi nəzərə alınmaqla. İlk 3 -dən əvvəl "+" işarəsi qoyulur (riyaziyyat qaydalarına görə yazmırıq). Bu o deməkdir ki, növbəti üzvdən əvvəl "-", sonra yenidən "+" və s.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Kubların cəmi ( Sum kub ilə qarışdırılmamalıdır!)

Kubların cəmi, fərqin natamam kvadratına görə iki ədədin cəminin məhsuluna bərabərdir.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Kubların cəmi iki mötərizənin məhsuludur.

Birinci mötərizə iki ədədin cəmidir.

İkinci mötərizə, rəqəm fərqinin natamam bir kvadratıdır. İfadəyə fərqin natamam kvadratı deyilir:

A 2 - ab + b 2
Bu kvadrat natamamdır, çünki ortada ikiqat məhsulun əvəzinə adi ədədlər məhsulu var.

Fərq Kubları (Fərq Küpü ilə qarışdırılmamalıdır !!!)

Kublar arasındakı fərq, cəmin natamam kvadratına görə iki ədədin fərqinin məhsuluna bərabərdir.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Qəhrəmanlar yazarkən diqqətli olun.Yuxarıda göstərilən bütün düsturların da sağdan sola istifadə edildiyini xatırlamaq lazımdır.

Qısaldılmış vurma düsturlarını və ya ... Paskal üçbucağını əzbərləməyin asan bir yolu.

Qısaldılmış vurma düsturlarını xatırlamaq çətindir? Səbəb kömək etmək asandır. Yalnız Paskal üçbucağı kimi sadə bir şeyin necə təsvir edildiyini xatırlamaq lazımdır. Sonra bu düsturları həmişə və hər yerdə xatırlayacaqsınız, daha doğrusu, xatırlamırsınız, amma bərpa edirsiniz.

Paskal üçbucağı nədir? Bu üçbucaq, hər hansı bir binomial dərəcəsinin bir polinom halına daxil edilməsinə daxil olan əmsallardan ibarətdir.

Genişləndirək, məsələn:

Bu girişdə, başlanğıcda birinci ədədin, sonunda isə ikinci rəqəmin kubunun olduğunu xatırlamaq asandır. Amma ortada olanı xatırlamaq çətindir. Və hətta hər sonrakı dövrdə bir faktorun dərəcəsinin hər zaman azalması, ikincisinin isə artması - fərq etmək və xatırlamaq asandır, əmsalları və işarələri əzbərləməklə vəziyyət daha çətindir (artı və ya mənfi?).

Beləliklə, əvvəlcə şans. Onları əzbərləməyin! Notbukun kənarında, tezliklə Paskal üçbucağını çəkin və buradalar - əmsallar artıq qarşımızdadır. Biri yuxarıda, ikisi aşağıda, sağda və solda üç vahidlə çəkməyə başlayırıq - bəli, üçbucaq artıq əldə edilmişdir:

Birinci sətir, 1 ilə sıfırdır. Sonra birinci, ikinci, üçüncü və s. Gəlir. İkinci sətri əldə etmək üçün yenidən kənarlarında olanları təyin etməlisiniz və ortada yuxarıdakı iki rəqəmi əlavə edərək alınan nömrəni yazmalısınız:

Üçüncü sətri yazırıq: yenidən vahidin kənarlarına və yenidən yeni bir sətirdə növbəti nömrəni əldə etmək üçün yuxarıdakı rəqəmləri əvvəlki sətirə əlavə edin:

Təsəvvür etdiyiniz kimi, hər cərgədə binomialın bir polinoma ayrılmasından əmsalları alırıq:

İşarələri xatırlamaq daha asandır: birincisi, genişlənən binomialdakı kimidir (cəmi genişləndiririk, bu artı deməkdir, fərq minus deməkdir), sonra işarələr dəyişir!

Bu çox faydalı bir şeydir - Paskal üçbucağı. İstifadə edin!

Cəbr polinomlarını sadələşdirmək üçün var qısaldılmış vurma düsturları... Onların sayı o qədər də çox deyil və yadda saxlamaq asandır, ancaq bunları xatırlamaq lazımdır. Formulalarda istifadə olunan işarələr istənilən formada ola bilər (ədəd və ya polinom).

Qısaldılmış vurma üçün ilk düstura deyilir kvadratların fərqi... İkinci rəqəmin kvadratının bir ədədin kvadratından çıxarıldığı faktdır ki, bu ədədlər arasındakı fərqin dəyərinə bərabərdir.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Aydınlıq üçün təhlil edək:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

İkinci formula təxminən kvadratların cəmi... Göründüyü kimi, iki dəyərin cəmi birinci dəyərin kvadratına bərabərdir, birinci dəyərin ikincisi ilə vurulan ikiqat məhsulu ona əlavə olunur və ikinci dəyərin kvadratı onlara əlavə olunur.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Bu düstur sayəsində kompüter istifadə etmədən çoxlu sayda kvadratı hesablamaq daha asan olur.

Beləliklə, məsələn: 112 meydanı olacaq
1) Başlanğıcda, 112 -ni kvadratları bizə tanış olan ədədlərə təhlil edək
112 = 100 + 12
2) Nəticədə kvadrat mötərizəyə daxil oluruq
112 2 = (100+12) 2
3) Düsturu tətbiq edərək əldə edirik:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Üçüncü düstur kvadrat fərq... Kvadratdakı iki çıxarılan dəyərin, meydandakı ilk dəyərdən, birinci dəyərin ikiqat məhsulunu ikincisi ilə vuraraq, ikinci dəyərin kvadratını əlavə etməyimizə bərabər olduğunu bildirir. .

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

burada (a - b) 2 bərabərdir (b - a) 2. Nə olduğunu sübut etmək üçün (a -b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b -a) 2

Qısaldılmış vurma üçün dördüncü düstura deyilir kub məbləği... Hansı səslənir: bir kubdakı dəyərin iki şərti 1 dəyərinin kubuna bərabərdir, 1 dəyərinin üçlü məhsulu, 2 -ci dəyərlə vurulur, onlara 1 dəyərinin üçlü məhsulu kvadratın vurulması ilə əlavə olunur. 2 dəyər, üstəgəl kubdakı ikinci dəyər.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Beşincisi, artıq başa düşdüyünüz kimi adlanır fərq kub... Kəmiyyətlər arasındakı fərqləri tapan, çünki kubdakı ilk təyinatdan meydandakı ilk təyinatın üçlü məhsulunu ikincisi ilə vurduqda, onlara ilk işarənin üçlü məhsulu kvadratın vurulması ilə əlavə olunur. ikinci təyinat, kubdakı ikinci təyinat.

(a -b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Altıncısı adlanır - kubların cəmi... Kubların cəmi, ortada ikiqat dəyər olmadığı üçün fərqin natamam kvadratı ilə vurulan iki kəmiyyətin məhsuluna bərabərdir.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Başqa bir şəkildə, kubların cəmini iki mötərizədə məhsul adlandırmaq olar.

Yeddinci və sonuncu adlanır kublar arasındakı fərq(fərq kubu düsturu ilə qarışdırmaq asandır, amma bunlar fərqli şeylərdir). Kublar arasındakı fərq, ortada ikiqat dəyər olmadığı üçün cəmin natamam kvadratı ilə vurulan iki dəyər fərqinin məhsuluna bərabərdir.

a 3 - b 3 = (a -b) (a 2 + ab + b 2)

Qısaldılmış vurma üçün yalnız 7 düstur var, bunlar bir -birinə bənzəyir və yadda saxlamaq asandır, yalnız vacib olan işarələrdə qarışmamaqdır. Həm də tərs qaydada istifadə üçün nəzərdə tutulmuşdur və dərsliklərdə bu vəzifələrin çoxu var. Ehtiyatlı olun və uğur qazanacaqsınız.

Düsturlar haqqında hər hansı bir sualınız varsa, bunları şərhlərdə yazdığınızdan əmin olun. Sizə cavab verməkdən məmnun olarıq!

Əgər analıq məzuniyyətindəsinizsə amma pul qazanmaq istəyirsinizsə. Oriflame ilə İnternet işi bağlantısını izləyin. Orada hər şey ətraflı yazılıb və göstərilir. Maraqlı olacaq!

Nə vaxt və s. Aşağıda ən populyar düsturlara baxacağıq və onların necə əldə edildiyini təhlil edəcəyik.

Cəmi kvadrat

İki monomialın cəmini belə kvadratlaşdıraq: \ ((a + b) ^ 2 \). Kvadrat, bir ədədin və ya ifadənin öz -özünə vurulmasıdır, yəni \ ((a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) \). İndi sadəcə olaraq mötərizələri genişləndirə bilərik, onları etdiyimiz kimi vurub oxşar terminlər gətirə bilərik. Əldə edirik:

Aralıq hesablamaları buraxsaq və yalnız ilkin və son ifadələr yazsaq, son düsturu əldə edirik:

Kvadrat cəmi:\ ((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \)

Əksər tələbələr bunu əzbər öyrənirlər. İndi bu düsturu necə əldə edəcəyinizi bilirsiniz və birdən unutsanız, hər zaman edə bilərsiniz.
Tamam, amma necə istifadə etmək olar və bu düstura niyə ehtiyac var? Cəmin kvadratlaşdırılması iki terminin cəmini kvadratlaşdırmanın nəticəsini tez bir zamanda yazmağa imkan verir. Bir nümunəyə baxaq.

Misal ... Mötərizəni genişləndirin: \ ((x + 5) ^ 2 \)
Həll :

İkinci vəziyyətdə nəticənin nə qədər sürətli və az səylə əldə edildiyinə diqqət yetirin. Bu və digər düsturları avtomatizmə yiyələndiyiniz zaman daha da sürətli olacaq: dərhal cavabı yaza bilərsiniz. Buna görə də onlara QISALDIRMA vurma düsturları deyilir. Beləliklə, onları bilmək və necə müraciət etməyi öyrənmək mütləq buna dəyər.

Hər halda, kimi qeyd edin \ (a \) və \ (b \) hər hansı bir ifadə ola bilər - prinsip eyni olaraq qalır. Misal üçün:

Birdən -birə son iki misalda heç bir dəyişikliyi anlamırsınızsa, mövzunu təkrarlayın.

Misal ... \ ((1 + 5x) ^ 2-12x-1 \) ifadəsini standart formaya çevirin.

Həll :

Cavab: \ (25x ^ 2-2x \).

Vacibdir! Düsturlardan yalnız "irəli" istiqamətdə deyil, "tərs" istiqamətdə də istifadə etməyi öyrənmək lazımdır.

Misal ... Kalkulyator olmadan \ ((368) ^ 2 + 2 · 368 · 132 + (132) ^ 2 \) ifadəsinin dəyərini hesablayın.

Həll :

Cavab: \(250 000\).

Kvadrat fərq

Yuxarıda monomialların cəmi üçün bir düstur tapdıq. İndi fərqin, yəni \ ((a-b) ^ 2 \) düsturunu tapaq:

Daha qısa bir şəkildə, bizdə var:

Fərq kvadratı: \ ((a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 \)

Əvvəlki ilə eyni şəkildə tətbiq olunur.

Misal ... \ ((2a-3) ^ 2-4 (a ^ 2-a) \) ifadəsini sadələşdirin və \ (a = \ frac (17) (8) \) dəyərini tapın.

Həll :

Cavab: \(8\).

Kvadratların fərqi

Beləliklə, içərisində bir artı olan iki mötərizənin və eksi olan iki mötərizənin məhsulunun vəziyyətlərini anladıq. Fərqli işarələri olan eyni mötərizələrin məhsulu halında qalır. Nə olacağını görək:

Düsturu əldə etdik:

Kvadratların fərqi \ (a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (a-b) \)

Bu formula işləyərkən və işləyərkən ən çox istifadə edilənlərdən biridir.

Misal ... \ (\ Frac (x ^ 2-9) (x-3) \) hissəsini ləğv edin.

Həll :

Cavab: \ (x + 3 \).

Misal Faktor \ (25x ^ 4-m ^ (10) t ^ 6 \).
Həll :

Bilməyiniz lazım olan üç əsas formuldur. mütləq! Küplü düsturlar da var (yuxarıya bax), onları xatırlamaq və ya tez çıxarmaq da məsləhətdir. Həm də qeyd edirik ki, praktikada tez -tez bir problemdə birdən çox belə formulla qarşılaşırıq - bu normaldır. Düsturlara diqqət yetirməyi və onları diqqətlə tətbiq etməyi vərdiş edin, yaxşı olacaqsınız.

Məsələn (daha çətindir!) Fraksiyanı təmizləyin.
Həll :

Riyazi ifadələr (düsturlar) qısaldılmış vurma(cəm və fərqin kvadratı, cəm və fərqin kubu, kvadratların fərqi, kubların cəmi və fərqi) dəqiq elmlərin bir çox sahələrində son dərəcə əvəzolunmazdır. Bu 7 simvolik qeyd, ifadələri asanlaşdırmaq, tənlikləri həll etmək, polinomları çoxaltmaq, kəsrləri ləğv etmək, inteqralları həll etmək və daha çox şeylər üçün əvəzedilməzdir. Bu o deməkdir ki, onların necə əldə edildiyini, nəyə lazım olduğunu və ən əsası onları necə xatırlayacağını və sonra tətbiq etməyi başa düşməyin çox faydalı olacağı deməkdir. Sonra müraciət qısaldılmış vurma düsturları praktikada ən çətin şey nə olduğunu görmək olacaq NS və səndə nələr var. Aydındır ki, heç bir məhdudiyyət yoxdur a və b yox, yəni hər hansı bir ədədi və ya hərfi ifadə ola bilər.

Və belədirlər:

Birinci x 2 - 2 -də = (x - y) (x + y) Hesablamaq üçün kvadratların fərqi iki ifadə bu ifadələrin fərqləri ilə cəmləri ilə vurulmalıdır.

İkinci (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2... Tapmaq cəmin kvadratı iki ifadə, birinci ifadənin ikiqat məhsulunu ikinciyə və ikinci ifadənin kvadratını birinci ifadənin kvadratına əlavə etməlisiniz.

Üçüncüsü (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2... Hesablamaq üçün kvadrat fərq iki ifadədə, birinci ifadənin ikiqat məhsulunu ikinci ilə ikinci ifadənin kvadratını birinci ifadənin kvadratından çıxartmalısınız.

Dördüncü (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + y 3. Hesablamaq üçün kub məbləği iki ifadədə, ilk ifadənin kubuna birinci ifadənin kvadratının ikiqat artımının üçlüyünü, ikinci ifadənin kvadratının ikinci ifadəsinin üçlüyünü əlavə etməlisiniz.

Beşinci (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3x 2 - 3 -də... Hesablamaq üçün fərq kub iki ifadədə, birinci ifadənin kubundan birinci ifadənin kvadratının ikiqat artığını üçdə çıxarmaq lazımdır, ikinci ifadənin kvadratı ilə ikinci ifadənin kubunu çıxarmaq lazımdır. .

Altıncı x 3 + 3 -də = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Hesablamaq üçün kubların cəmi iki ifadə, birinci və ikinci ifadələrin cəmini bu ifadələr arasındakı fərqin natamam kvadratına vurmaq lazımdır.

Yeddinci x 3 - 3 -də = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Bir hesablama aparmaq üçün fərq kubları iki ifadə, birinci və ikinci ifadələr arasındakı fərq bu ifadələrin cəminin natamam kvadratı ilə vurulmalıdır.

Bütün düsturların hesablamalar aparmaq üçün və əks istiqamətdə (sağdan sola) tətbiq olunduğunu xatırlamaq çətin deyil.

Bu qanunauyğunluqların mövcudluğu təxminən 4 min il əvvəl aşkar edilmişdir. Onlardan qədim Babil və Misir sakinləri geniş istifadə edirdilər. Ancaq o dövrlərdə şifahi və ya həndəsi şəkildə ifadə olunurdu və hesablamalarda hərflərdən istifadə etmirdilər.

Gəlin təhlil edək cəm kvadrat sübut(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2.

İlk bu riyazi nümunə 3 -cü əsrdə İskəndəriyyədə işləyən qədim yunan alimi Evklid tərəfindən sübut edilmiş, qədim Yunanıstan alimləri rəqəmləri ifadə etmək üçün hərflərdən istifadə etmədikləri üçün düsturu sübut etmək üçün həndəsi bir metoddan istifadə etmişdir. "A 2" yox, "a seqmentində bir kvadrat", "ab" deyil, "a və b seqmentləri arasında bağlanmış bir düzbucaqlı" dan geniş istifadə etdilər.