Дом, дизайн, ремонт, декор. Двор и сад. Своими руками

Уравнение

где ортогональные декартовы координаты, называют уравнением Лапласа. Выражение, стоящее в левой его части, называют лапласианом функции и, а правило, по которому образуется выражение, - оператором Лапласа. Оператор Лапласа принято обозначать символом вследствие чего уравнение (1) может быть записано в форме

Неоднородное уравнение

где заданная функция, называют уравнением Пуассона.

Вид дифференциальных выражений в левых частях уравнений Лапласа и Пуассона одинаков во всех ортогональных декартовых координатах. При переходе к криволинейным координатам он изменяется и может быть, для ортогональных криволинейных координат, определен с помощью соотношений § 7 предыдущей главы. В частности, используя формулы (54), (48) и (49) гл. XVIII найдем, что в цилиндрических координатах

в сферических координатах

К уравнениям Лапласа и Пуассона приводят многочисленные задачи теории теплопроводности, электростатики, гидродинамики и т. д. Рассмотрим, например, постановку некоторых задач для уравнения Лапласа.

1. Задача о стационарном тепловом состоянии однородного тела. Допустим, что мы имеем некоторое

изолированное от внешнего пространства однородное изотропное тело, тепловое состояние которого не меняется с течением времени. Обозначим через V занятую им часть пространства, через его поверхность, а через и температуру в точке

Докажем, что во всякой внутренней точке х взятого нами тела функция удовлетворяет уравнению Лапласа.

С этой целью выделим из тела некоторую область ограниченную произвольно взятой поверхностью и рассмотрим количество тепла, которое проходит в единицу времени через элемент поверхности. Согласно принципу Фурье, оно пропорционально площади элемента и нормальной производной где через обозначено направление внешней нормали к поверхности. Другими словами, это количество тепла равно произведению

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом внутренней теплопроводности тела.

Рассмотрим движение тепла в теле. Из термодинамики известно, что тепло течет от точек с большей температурой к точкам с меньшей температурой. Следовательно, при отрицательной производной поток тепла будет происходить из внутренней части тела, ограниченной поверхностью в область, внешнюю по отношению к этой поверхности. Если же указанная производная положительна, то распространение тепла будет представлять обратную картину.

Отсюда вытекает, что двойной интеграл

дает алгебраическую сумму количества тепла, прошедшего за единицу времени через поверхность причем вытекающему теплу приписывается отрицательный знак, а втекающему - положительный.

Если предположить, что внутри тела отсутствуют как источники тепла, так и точки его поглощения, то интеграл (5) должен равняться нулю. Действительно, если бы это было не так, то тепло накапливалось бы или терялось внутри тела, и, следовательно, температура тела изменилась бы с течением времени, что противоречит предположению о неизменности теплового состояния тела.

Итак, в данном случае должно иметь место следующее равенство:

Применим в области формулу Грина (7) гл. XVIII:

и положим в ней

Тогда, приняв во внимание, что интеграл (5) равен нулю, найдем, что

Отсюда, ввиду произвольности области вытекает, что

т. е. функция удовлетворяет уравнению Лапласа.

Предположим теперь, что нам известно распределение температуры на поверхности тела и мы желаем определить температуру любой точки, находящейся внутри тела.

Очевидно, мы решим эту задачу, если найдем такое решение уравнения Лапласа, которое удовлетворяло бы граничному условию

где обозначает температуру в точке х поверхности

2. Задача о равновесии электрических масс на поверхности проводника. Рассмотрим стационарное электростатическое поле, созданное в пространстве некоторой системой электрических зарядов. Если заряды расположены дискретно в точках то потенциал поля в точке х

где расстояние от заряда до точки х. Если же заряды непрерывно распределены на некоторой линии или поверхности или в объеме У, то потенциал поля соответственно выражается одним из интегралов:

где расстояние от элемента линии (поверхности, объема) до точки поля, обладающей потенциалом и. В этих формулах величины обозначают линейную, поверхностную или объемную плотность зарядов:

где заряд элемента линии L (поверхности S, объема V). В общем случае потенциал поля равен сумме потенциалов, созданных каждым из этих видов распределения зарядов в отдельности.

Допустим, что конечная область V пространства занята проводящей средой - проводником, т. е. средой, в которой заряды могут свободно передвигаться, а остальная часть пространства - диэлектриком, т. е. средой, в которой движение зарядов невозможно.

В стационарном состоянии потенциал поля во всех точках области V, включая ее границу, одинаков, так как иначе бы возникло движение электрических зарядов, стремящееся выровнять потенциал, и поле менялось бы. Отсюда непосредственно очевидно, что в области V потенциал поля и удовлетворяет уравнению Лапласа:

Внутри проводника заряды разных знаков должны быть взаимно нейтрализованы. В самом деле, оставшиеся внутри проводника избыточные заряды какого-либо знака под действием отталкивания между одноименными зарядами перемещались бы до тех пор, пока все они не оказались бы на границе проводника и не распределились на ней должным образом. Следовательно, если достигается стационарное состояние, то избыточные заряды располагаются на границе проводника в виде бесконечно тонкого электрического слоя.

Потенциал этого слоя в точке выражается интегралом:

где расстояние от переменной точки поверхности проводника до точки х.

Если точка х находится вне проводника, то функция у удовлетворяет уравнению Лапласа. В самом деле,

Следовательно, уравнению Лапласа удовлетворяет и потенциал и, определяемый формулой (12). Чтобы доказать это утверждение, достаточно применить к интегралу (12) правило дифференцирования по параметру, что мы имеем право сделать, так как, по

предположению, точка х находится вне поверхности следовательно, подынтегральная функция в выражении (12) нигде не обращается в бесконечность.

Итак, в каждой точке х, лежащей вне проводника, потенциал и также удовлетворяет уравнению Лапласа.

Обратимся теперь к выяснению обстоятельств, имеющих место в бесконечно удаленных точках пространства, заполненного диэлектриком, и на самой поверхности проводника.

Как мы это выясним ниже, интеграл (12) обращается в бесконечно удаленных точках в нуль (вместе со своими частными производными первого порядка), и притом так, что произведения

остаются ограниченными, когда расстояние от точки х до начала координат увеличивается до бесконечности. Что касается обстоятельств, имеющих место на поверхности проводника, то будет доказано, что потенциал и остается ограниченным и непрерывным при переходе точки х через поверхность проводника. Напротив, нормальные производные потенциала и при таком переходе претерпевают конечный разрыв непрерывности, причем этот разрыв характеризуется равенством

где предельные значения выражения

при приближении точки х к точке соответственно по внутренней и внешней нормали к в точке

Воспользуемся равенством (13) для постановки так называемой электростатической задачи: найти плотность электрического слоя, непрерывно распределенного на поверхности данного проводника, если последний находится в состоянии электрического равновесия.

Допустим, что для данного проводника такое состояние наступило. Тогда, по данным выше разъяснениям, потенциал внутри проводника будет величиной постоянной, и, следовательно, будет иметь место равенство

Из этого равенства и из формулы (13) вытекает, что

т. е. искомая плотность слоя будет найдена, если мы определим потенциал и этого слоя в точках, лежащих вне проводника.

Эта теория не была записана с помощью математических символов и по­этому не могла показать количественную связь между притяжением отдельных частиц и конеч­ным результатом. Теория Лесли была позднее переработана с применением ла­пласов­ских математических методов Джеймсом Ивори (James Ivory) в статье о capil­lary action, under “Fluids, Elevation of”, в приложении к 4-му изданию Encyclo­paedia Britannica, опубликованном в 1819 г.

Теории Юнга и Лапласа.

В 1804 г. Томас Юнг обосновал теорию капиллярных явле­ний на прин­ципе поверхностного натяжения. Он также наблюдал постоян­ство угла смачива­ния жид­ко­стью поверхности твердого тела (краевого угла) и нашел количе­ст­венное соотно­шение, связывающее краевой угол с коэффициен­тами поверхност­ного натяжения со­ответст­вующих межфазных границ. В рав­новесии контактная ли­ния не должна дви­гаться по поверхности твердого тела, а значит, говорил

где sSV, sSL, sLV - коэффициенты поверхностного натяжения межфазных гра­ниц твер­дое тело – газ (пар), твердое тело – жидкость, жидкость – газ соот­ветст­венно, q - краевой угол. Это соотношение теперь известно как формула Юнга. Эта работа все же не оказала такого влияния на развитие науки в этом направ­лении, какое ока­зала вы­шедшая несколькими месяцами позже статья Лапласа (Pierre Simon Laplace). Это, по-видимому, связано с тем, что Юнг избе­гал ис­пользования математических обозначений, а пытался описывать все сло­весно, отчего его работа кажется запутан­ной и неясной. Тем не менее он счита­ется се­годня одним из основателей количест­венной теории ка­пиллярности.

Явления когезии и адгезии, конденсация пара в жидкость, смачивание твердых тел жидкостями и многие другие простые свойства вещества - все ука­зывало на на­ли­чие сил притяжения, во много раз более сильных, чем гравита­ция, но действую­щих только на очень малых расстояниях между молекулами. Как говорил Лаплас, единст­венное вытекающее из наблюдаемых явлений усло­вие, налагаемое на эти силы, состоит в том, что они «неощутимы на ощутимых расстояниях».

Силы отталкивания создавали больше хлопот. Их наличие нельзя было от­ри­цать - они должны уравновешивать силы притяжения и препятствовать пол­ному разруше­нию вещества, но их природа была совершенно неясной. Во­прос осложнялся двумя следующими ошибочными мнениями. Во-первых, часто счи­талось, что дейст­вующей силой отталкивания является тепло (как правило, мне­ние сторонников тео­рии тепло­рода), поскольку (такова была аргументация) жидкость при нагревании сначала расши­ряется и затем кипит, так что молеку­лы разъединяются на гораздо большие расстояния, чем в твердом теле. Второе ошибочное мнение возникло из уводящего назад к Ньютону представления, со­гласно которому наблюдаемое давле­ние газа происходит вследствие статиче­ского отталкивания между молекулами, а не из-за их столкновений со стенками сосуда, как тщетно доказывал Даниель Бернулли.

На этом фоне было естественно, что первые попытки объяснить капил­ляр­ность или вообще сцепление жидкостей основывались на статических аспек­тах вещества. Ме­ханика была хорошо понимаемой теоретической ветвью науки; термодинамика и кине­тическая теория были еще в будущем. В механиче­ском рассмотрении ключевым было предположение о больших, но короткодей­ст­вующих силах притяжения. По­коящиеся жидкости (в капиллярной ли трубке или вне ее) находятся, очевидно, в равновесии, а потому эти силы притяжения должны уравновешиваться силами от­талкивания. По­скольку о них можно было сказать еще меньше, чем о силах притя­жения, их часто об­ходили молчанием, и, говоря словами Рэлея, «силам притяжения предоставлялось ис­полнять немыс­лимый трюк уравновешивания самих себя». Лап­лас первым удовлетво­ри­тельно разрешил эту проблему , полагая, что силы оттал­кивания (тепловые, как он допускал) можно заменить внутренним давлением, кото­рое действует повсеме­стно в несжимаемой жидкости. (Это предположение приводит време­нами к не­определенности в работах XIX в. в отношении того, что строго пони­мается под «давлением в жидко­сти».) Приведем расчет внутреннего давления по Ла­п­ласу. (Этот вывод ближе к выво­дам Максвелла и Рэлея . Вывод при­водится по .)

Оно должно уравновешивать силы сцепления в жидкости, и Лаплас отож­деств­лял это с силой на единицу площади, которая оказывает сопротивление разделению беско­нечного жидкого тела на два далеко разъединяемых полубес­конечных тела, ог­раничен­ных плоскими поверхностями. Приведенный ниже вывод ближе к выводам Максвелла и Рэлея, чем к оригинальной форме Лапласа, но существенного различия в аргумента­ции нет.

Рассмотрим два полубесконечных тела жидкости со строго плоскими по­верх­но­стями, разделенные прослойкой (толщины l) пара с пренебрежимо малой плотно­стью (рис. 1), и в каждом из них выделим элемент объема. Первый нахо­дится в верх­нем теле на высоте r над плоской поверхностью нижнего тела; его объем равен dxdydz. Второй находится в нижнем теле и имеет объем , где начало полярных коорди­нат совпа­дает с положением пер­вого элементарного объема. Пусть f(s) - сила, дейст­вующая между двумя мо­лекулами, разделенными расстоянием s, а d - радиус ее дейст­вия. Поскольку это всегда сила притяжения, имеем

Если r - плотность числа молекул в обоих телах, то вертикальная состав­ляю­щая силы взаимодействия двух элементов объема равна

Приведенный выше вывод основан на неявном допущении, что молекулы рас­пре­делены равномерно с плотностью r, т.е. жидкость не обладает различи­мой струк­турой в шкале размеров, соизмеримых с радиусом действия сил d. Без этого предпо­ложения нельзя было бы написать выражения (2) и (3) в такой про­стой форме, а надо было бы выяснить, как присутствие молекулы в первом эле­менте объема влияет на вероятность наличия молекулы во втором.

На поверхность жидкости в капилляре действует сила поверхностного натяжения, которая будет являться равнодействующей сил, действующих на молекулы поверхностного слоя, прилегающие к стенке сосуда, для смачивающих жидкостей будет направлена наружу (вверх), а для несмачивающих – внутрь (вниз).Под действием этих сил поверхность жидкости около стенки сосуда принимает криволинейную (изогнутую) форму, называемую мениском.Мениск будет вогнутым, если жидкость смачивает стенку сосуда (рис. 8, а)и выпуклым, если не смачивает (рис. 8, б).

Вывод формулы (факультативно). По определению коэффициента поверхностного натяжения можно определить давление внутри шарообразной капли жидкости или давление внутри пузырька газа в жидкости.

Если р - давление внутри шарообразной капли жидкости или внутри пузырька газа, σ - поверхностное натяжение жидкости, r - радиус шарика, то для увеличения радиуса r шарика на величину Δr (r 1 = r + Δr ) (Рис. 9 а) или увеличения площади его поверхности S на ΔS надо затратить работу, равную приращению поверхностной энергии: ΔW = ΔА = σ ΔS , где площадь шара (вспомним из школьного курса геометрии) равна S = 4 π r 2 .

Тогда ΔА = σ ΔS = σ = σ ,

а значит: ΔА = 4π σ [(r + Δr ) 2 - r 2 ] .

Квадрат суммы, как известно, равен (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , то:

ΔА = 4π σ [(r + Δr ) 2 - r 2 ] = 4π σ [(r 2 + 2r ּΔr + (Δr ) 2) - r 2 ] = 4π σ ּ[r 2 + 2r ּΔr +

(Δr ) 2 - r 2 ] = 4π σ [ 2r ּΔr + (Δr ) 2 ] = 4π σ [ 2r ּΔr + (Δr ) 2 ]

Поскольку (Δr ) 2 << 2r ּΔr , точленом, содержащим (Δr ) 2 можно пренебречь. Поэтому для изменения работы мыеем: ΔА = σ ּ8 πr ּΔr .

С другой стороны, затраченная работа газа при постоянной температуре равна: ΔА = р ΔV , где изменение объёма шара как дифференциал функции равно .

Тогда ΔА = р ΔV = р ּ4 π r 2 ּΔr . Приравнивая оба выражения, получим:

ΔА = σ ּ8 πr ּΔr = р ּ4 π r 2 ּΔr .

В итоге получим:σ ּ2 = р ּ r , что можно преобразовать так: .

Эта формула называется формулой Лапласа для дополнительного давления под изогнутой поверхностью жидкости.

Формула Лапласа читается так: дополнительное давление под изогнутой поверхностью жидкости вследствие действия сил поверхностного натяжения прямо пропорционально коэффициенту поверхностного натяжения σ , обратно пропорционально радиусу r капли жидкости или пузырька газа в жидкости и направлено в сторону вогнутости (к центру кривизны).

Отметим, что поскольку давление обратно пропорционально радиусу капли жидкости или пузырька газа в жидкости, давление тем больше, чем меньше радиус шарообразной капли.

Формула Лапласа выполняется и для капиллярных явлений.

Под действием сил поверхностного натяжения поверхностный слой жидкости искривлен,образуя мениск, и оказывает дополнительное по отношению к внешнему давление Δр . В капилляре внешним давлением является атмосферное давление (гидростатическое давление столба атмосферы, находящейся над нами), обусловленное силой тяжести и равное на поверхности моря 760 мм рт.ст. или 1, 0135·10 5 Па.

Результирующая сила поверхностного натяжения искривленной поверхности направлена в сторону вогнутости (к центру кривизны). В случае сферической поверхности, радиус кривизны которой r , дополнительное давление по формуле Лапласа: .

При хорошем смачивании образуется вогнутый мениск. Силы дополнительного давления Лапласа направлены от жидкости наружу, т.е. вверх.

Дополнительное давление Лапласа действует против атмосферного давления, уменьшая его, обусловливая подъем жидкости в капилляре.

Жидкость будет подниматься в капилляре до тех пор, пока дополнительное давление Δp (давление Лапласа), обусловленное силами поверхностного натяжения и направленное вверх (к центру окружности мениска), не уравновесится гидростатическим (весовым) давлением p гидрост = ρgh , действующим вниз (Δp= p гидрост ).

Но радиус мениска равен радиусу капилляра (R = r) только при полном смачивании, когда Θ=0 0 . Во всех других случаях найти радиус мениска экспериментально непросто, поэтому выразим r через R –радиус капилляра. Из рис. 9б видно, что .

Поэтому, учитывая закон Лапласа, получаем равенство: , откуда высота поднятия жидкости в капилляре (*), т.е. зависит от свойств жидкости и материала капилляра, а также от его радиуса.

В случае плохого смачивания (несмачивания) cosΘ< 0 и формула (*) покажет высоту опускания жидкости в капилляре.

Эта же формула даёт возможность определить поверхностное натяжение жидкости по высоте подъема жидкости в капилляре и величине краевого угла между мениском жидкости и стенками сосуда (капиллярный метод ):

.

В случае полного смачивания (угол Θ = 0 °, а значит cos Θ = 1 ) и полного несмачивания (угол Θ = 180° , а значит cos Θ = -1 ) формула намного упростится.

Существуют и другие методы определения коэффициента поверхностного натяжения σ : а) метод отрыва капель, б) методы отрыва кольца и рамки, в) метод отрывающегося пузырька воздуха (Ребиндера). Они будут рассмотрены ниже.

ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2010, том 48, № 2, с. 193-197

ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА

УДК 532.6:004.932

УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЙ МЕТОД ЛЕЖАЩЕЙ КАПЛИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ

© 2010 г. Л. Б. Директор, В. М. Зайченко, И. Л. Майков

Объединенный институт высоких температур РАН, Москва Поступила в редакцию 25.05.2009 г.

Разработана усовершенствованная методика обработки изображений меридионального сечения капли жидкости, полученных при реализации метода лежащей капли для определения поверхностного натяжения жидкости. Методика обеспечивает сканирование цифрового изображения капли, численное решение уравнения Юнга-Лапласа, а также расчет поверхностного натяжения, краевого угла смачивания и объема капли.

ВВЕДЕНИЕ

Метод лежащей (висящей) или неподвижной капли считается наиболее надежным статическим методом для изучения поверхностного натяжения металлических расплавов, солевых, полимерных и других жидкостей .

Статические методы основаны на решении дифференциального уравнения Юнга-Лапласа. Приближенные решения этого уравнения получены многими авторами, и наиболее распространенный способ определения коэффициента поверхностного натяжения основан на использовании таблиц Башфорта и Адамса . Существующие эмпирические зависимости по своей сути являются аппроксимацией этих таблиц. Недостатками таких методов являются невысокая точность, а также ограничения, связанные с размерами капли. Геометрические параметры капли определяются путем обмера ее фотографического изображения с помощью измерительного микроскопа. Процесс обмера достаточно трудоемок, а его результаты содержат погрешность, связанную с индивидуальными особенностями наблюдателя.

Целью настоящей работы является создание быстродействующего программного комплекса, позволяющего обрабатывать цифровое изображение капли и проводить оптимизационную процедуру для определения коэффициента поверхностного натяжения жидкости с использованием как метода лежащей, так и метода отрыва капли (висящей капли). В основе методики лежит идеология численного интегрирования уравнения Юнга-Лапласа, представленная в работе .

МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЯ КАПЛИ

Исходная информация представляет собой графический файл в стандартном точечном фор-

мате BitMaP (BMP), который содержит изображение меридионального сечения капли. Изображение имеет черно-белую палитру с градацией серого цвета от белого до черного (в шестнадцате-ричном представлении от 000000 до FFFFFF) в RGB-цвете (рис. 1).

Определение точной границы изображения представляет собой отдельную задачу. Имеются достаточно сложные алгоритмы, основанные на методе функции уровня (level set function) и требующие решения уравнений гиперболического типа в частных производных. В настоящей работе для упрощения численных расчетов используется простой алгоритм, описанный ниже, и оценивается его точность.

На первом этапе обработки серое изображение переводится в черно-белое монохромное следующим образом. Выбирается среднее значение цвета из палитры цветов (в шестнадцатеричном представлении это соответствует цвету 888888). Дальнейший процесс обработки заключается в

Рис. 1. Изображение капли на подложке (формат ВМР).

сканировании изображения по каждому пикселю. Все пиксели со значением цвета меньше граничного изменяют свое значение на белый цвет, больше граничного - на черный, в результате чего определяется граница белого и черного цветов и, соответственно, координаты точек контура изображения (рис. 2).

Выбор граничного цвета при переводе изображения из серого в монохромное вносит определенную ошибку в результат, что иллюстрирует кривая зависимости относительного объема эталона (калиброванного стального шарика) от выбора граничного цвета (рис. 3).

При выборе пятой части полной палитры (цвета палитры от 666666 до ЛЛЛЛЛА в шестнадцате-ричном представлении соответствуют цветам от 1 до 4 на рис. 3) относительная погрешность определения объема составляет 0.2%. Цвету палитры 888888 (середина полной палитры) соответствует значение 3 по оси абсцисс и относительный объем, равный 1.

Относительный объем 1.0010

Граница разделения цвета

Рис. 3. Зависимость относительного объема эталона от выбора граничного цвета.

ЧИСЛЕННАЯ ПРОЦЕДУРА ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЯ КАПЛИ

Форма капли, лежащей на подложке (рис. 4), удовлетворяет уравнению Юнга-Лапласа

(l + У "2)3/2 У (1 + У

Капиллярная постоянная; ст - ко-

эффициент поверхностного натяжения; Н - высота капли; [х, у(х)] - координаты границы меридионального сечения капли (см. рис. 4); Я0 - радиус кривизны в верхней точке капли; Ар - разность плотностей жидкости и окружающего газа.

Для численного решения уравнения (1) проведем его параметризацию х = х(1),

Здесь I - длина дуги кривой от вершины капли до точки с координатами х(1), у(1). Тогда уравнение Юнга-Лапласа в параметрической форме запишется в виде

v a y Ro н - x + x + _2_

A y Roy с начальными условиями x(0) = H, y(0) = 0, x(0) = 0, y(0) = -1.

Рис. 4. Меридиональное сечение лежащей капли.

усовершенствованный метод лежащей капли

Система двух дифференциальных уравнений второго порядка (2) представима в виде системы четырех уравнений первого порядка

и = -v + ä + 2

" H - x , ü , 2 v = ü |-2--1---1--

с начальными условиями x(0) = H, y(0) = 0,

и (0) = 0, v (0) = -1.

Для интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3) использовался численный метод решения жестких дифференциальных уравнений - линейный многошаговый метод с автоматическим выбором шага, реализованный в алгоритме DIFSUB .

При обработке данных, полученных в методе лежащей капли (отрыва капли), решается обратная задача определения капиллярной постоянной а2, высоты капли Hи ее радиуса кривизны R с использованием зависимости радиуса окружности горизонтального сечения капли от расстояния этого сечения до подложки.

Рассмотрим функционал, представляющий сумму квадратов отклонений экспериментальных точек от расчетной кривой

L = К - X;)2 + (Уе1 - У,)2),

где (хе, уе) - координаты экспериментальных точек, (х, у) - координаты расчетных точек.

Расчетные точки (х;, у() являются функциями параметров а1= а2, а2 = Н, а3= Я0:

xi - xi(t, a1 a2, a3),

yt - y,(h, ai, a2, a3). Разложим (5) в ряд Тейлора в окрестности точ-

ки (a1, a2, a3)

xt = x (t , a°, a°, a°) + dXi Aa1 + dXt Aa2 + dXi Aa3,

yl = y,(ti, ai1, a°, a°) + ^ Aai + Aa2 + Aay

Для нахождения минимума функционала (4) должны выполняться условия

Подставив (4) в (6) и продифференцировав, систему уравнений (7) можно записать в виде

Xei - xi - dx- Aai - dx- Aa2 - dx- Aa3)) +

+ | yei - у, -дУ Aai -f* Aa2 -f* Aa3))

öa1 öa2 öa3 jda1_

xei - x, - ^Дв1 -О*!.дa2 -§xlAa3- +

yei- y, -йУ. Да, - Дa1 - & Дaз -

da1 da2 da3)da2j

dx. 5x- 5x- 15x-xei - xi --LД^ --LДa2 --LДaз - +

yei- yt -dR Дa1 -M Дa2 -^У- Дa3 -

dxt dxt + dyt dyt =1 dak da, dak da,

I| (xei-xi)f + (yei - у, fi|, V da, da, 1

I I dxL dx± + dy_ dyj_

t dak da, dak da,

k = 1| i = 1 k 2 k 2.

I| (xei-x,)f* + (yei - У,)f |,

I I dxj_ dxi + dy_ dy_

Dak da3 dak da3 k = 1V i = 1 k 3 k 3 У

I| (xei- x, + (yei - У,)f

Для решения системы уравнений (8) необхо-

димо вычислить частные производные вида

(6) , Где I = 1-^, к = 1-3. Так как аналитические

зависимости (4) от параметров а1 неизвестны, частные производные определяются численно.

Новые значения ак (где к = 1-3) рассчитываются через найденные значения Аак по формуле

0 0 , . ak = ak + Aak

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

Для численного решения системы уравнений (8) разработан следующий алгоритм.

ДИРЕКТОР и др.

Рис. 5. Форма капли воды в методе лежащей капли: 1 - опытные точки; 2 - расчет с использованием оптимизационной процедуры.

1. Задание начального приближения (a0, a0, a0) в предположении, что форма капли приближенно описывается эллипсом с полуосями, равными высоте капли и максимальному радиусу окружности горизонтального сечения.

2. Задание малых отклонений (Aab Aa2, Aa3).

3. Решение системы уравнений (3) с использованием алгоритма DIFSUB при заданных значениях (a0, a0, a0). Получение 1-го численного решения. Определение функциональных зависимостей xn и уп с использованием алгоритма вычисления параметров кубической сплайн-функции SPLINE .

4. Решение системы уравнений (3) с использованием алгоритма DIFSUB при заданных значениях (a0 + Aa1, a0, a0). Получение 2-го численного решения. Определение функциональных зависимостей xi2 и yi2 с использованием алгоритма SPLINE. Вычисление производных с использованием 1-го и 2-го решений

дх1 = Xg - хп dy1 = y2 - yn. da1 Aa1 da1 Aa1

5. Решение системы уравнений (3) с использованием алгоритма DIFSUB при заданных (a0, a0 +

Aa2, a0). Получение 3-го численного решения. Определение функциональных зависимостей xi3 и yi3 с использованием алгоритма SPLINE. Вычисление производных с использованием 1-го и 3-го решений

дX = Xз - х/1 ? д!± = Уа - У/1. da2 Aa2 da2 Aa2

6. Решение системы уравнений (3) с использо-

a3 + Aa3). Получение 4-го численного решения. Определение функциональных зависимостей xi4 и yi4 с использованием алгоритма SPLINE. Вычисление производных с использованием 1-го и 4-го решений

дХ/ = X/4 - Xj 1 dyl = У/4 - У/1.

7. Вычисление коэффициентов системы (8) и ее решение с использованием алгоритма решения системы линейных уравнений SOLVE . Получение (Aab Aa2, Aa3).

8. Вычисление новых значений параметров по формуле (9)

ванием алгоритма DIFSUB

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст

КАШЕЖЕВ А. З., КУТУЕВ Р. А., ПОНЕЖЕВ М. Х., СОЗАЕВ В. А., ХАСАНОВ А. И. - 2012 г.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

Также и в n -мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

• Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример - см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".

Другие формы уравнения Лапласа

1 r 2 ∂ ∂ r (r 2 ∂ f ∂ r) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ (sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}

Особые точки r = 0 , θ = 0 , θ = π {\displaystyle r=0,\theta =0,\theta =\pi } .

Особая точка .

Особая точка r = 0 {\displaystyle r=0} .

Применение уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера .

Решения уравнения Лапласа

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Общее решение

Одномерное пространство

где C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}} - произвольные постоянные.

Двумерное пространство

Уравнению Лапласа на двумерном пространстве удовлетворяют аналитические функции. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и класс решений уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде

Аналитические функции

Если z = x + iy , и

то условия Коши - Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f (z ) была аналитической:

И вещественная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия